Một số giải pháp giúp học sinh có kĩ năng giải phương trình vô tỉ_SKKN Toán THPT

21 2K 0
Một số giải pháp giúp học sinh có kĩ năng giải phương trình vô tỉ_SKKN Toán THPT

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Năm học 2010-2011, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Đa số học sinh nhận thức cịn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt - Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thơng thường tốn đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, em gặp lớp toán phương trình vơ tỷ mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên khơng thể đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu địi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: ‘’Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải phương trình vơ tỉ’’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp toán giải phương trình vơ tỷ PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f ( x ) = g(x) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp tốn giải phương trình vơ tỉ, có nhiều tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng tốn khơng mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao * Dạng 1: phương trình Phương trình điều kiện (1) f ( x ) = g(x) (1)  g( x ) ≥  ⇔  f( x) = g ( x )  gx) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2(x) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện gx) ≥ để kết luận nghiệm mà khơng cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình Phương trình (2) f( x) = g( x ) (2)  f( x) ≥  ⇔  f( x) = g( x )  Điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (2) Chú ý không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) g(x) không âm f(x) = g(x) *Dạng tốn khơng mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể 2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Học sinh trường THPT Hoằng Hóa đa số học sinh xã vùng biển,trường thành lập, em xét tuyển nên nhận thức chậm, kiến thức hổng,chưa hệ thống kiến thức Khi gặp tốn phương trình vơ tỉ chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh tơi nhận thấy: Khi gặp tốn: Giải phương trình 2x − = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x ≥ (*) (1) ⇒ 2x - = x2 - 4x + ⇒ x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Mặt khác, số học sinh cịn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x ≥ (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + x = - Theo cách giải vừa nêu phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau loại bỏ nghiệm ngoại lai dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối nhầm tưởng điều kiện x ≥ điều kiện cần đủ 2 Khi gặp tốn: Giải phương trình Học sinh thường đặt điều kiện x2 − = x2 − ≥  x + ≥ x +1 sau bình phương hai vế để giải phương trình Điều ý học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà khơng biết cần điều kiện x + ≥ điều kiện cần đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp tốn: Giải phương trình (x + 1) x − = Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: x + = (x + 1) x − =    x−3 =  x = −1 x =  Nhận xét: Đây toán đơn giản giải mắc sai lầm mà khơng đáng có Rõ ràng x = - khơng phải nghiệm phương trình B ≥  Chú ý rằng: A B = ⇔  A =  B =  bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp toán: Giải phương trình x + x + = x -2x+3 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải kết cuối phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông Khi gặp tốn: Giải phương trình (x+2) x −1 x+2 = x+1 Một số HS có lời giải sai sau: Ta có: (x+2) x −1 = x+1 ⇔ x+2 ( x + 2)( x − 1) =x+1 ⇔ x + ≥  ( x + 2)( x − 1) = ( x + 1) ⇔  x ≥ −1  x ≥ −1 ⇔   (vô nghiệm)  x = −3 x + x − = x + 2x + Vậy phương trình cho vơ nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 nghiệm phương trình Lời giải làm cho tốn có nghiệm trở thành vơ nghiệm Cần ý rằng: B A  AB A ≥ 0; B >  = B − AB A < 0; B <  Lời giải xét thiếu trường hợp A < 0; B < Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải tốn phương trình vơ tỉ MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x ) = g(x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải khơng âm pt  g( x ) ≥  f ( x ) = g(x) ⇔   f( x) = g ( x)  gx) ≥ điều kiện cần đủ f(x) = g2(x) ≥ Không Điều kiện cần đặt thêm điều kiện fx) ≥ b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x − = x -2 (1) Điều kiện x ≥ (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - ≥ 0) Khi pt(1) ⇔ 2x - = (x - 2)2 ⇔ x2 - 4x + 4= 2x - ⇔ x2 - 6x + = x = ⇔ x = đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x = ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x ≥ (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình x − x − = x-1 (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 2x 2x -1 ≥ thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: Điều kiện: x ≥ (**) Khi pt(2) ⇔ 2x2 - x - = (x -1)2 ⇔ 2x2 - x - = x2 - 2x + ⇔ x2 + x -2 = ⇔ x+2)(x-1)=0 ⇔ x =  x = −2  đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x = *Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : điều kiện phương trình gì? đặt ? biến đổi biến đổi tương đương ? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f( x ) = g( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi  f ( x ) ≥ 0( g ( x ) ≥ 0)  pt(2) ⇔   f( x) = g( x )  Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x) ≥ f(x) ≥ f(x) = g(x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x +1 = Điều kiện 2x − , (1) x ≥ -1, (*) pt (1) ⇔ x + = 2x -7 ⇔ x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = 10 ! Lưu ý: Điều kiện x ≥ -1 , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình x2 − x + = x − , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x ≥ , (*) pt(2) ⇔ x2 - x +1 = 2x -1 x = ⇔ x2 - 3x -+2 = ⇔  x = Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình x = x=2 + Ví dụ 3: Giải phương trình x−3 = x + (*) Tóm tắt giải x ≥ x ≥ ⇔  (vô nghiệm) x − = 2x +  x = −10 (*) ⇔  Vậy phương trình cho vơ nghiệm 3/ Giải pháp :  Hướng dẫn học sinh giải số phương trình khơng mẫu mực (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ1: Giải phương trình 2x + - x =1 2 x + ≥ x ≥ Điều kiện  (2) ⇔ x ≥ (**) Chuyển vế bình phương hai vế ta pt(2) ⇔ x + = 1+ x 11 với điều kiện (**) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta ⇔ 2x + = x + + x ⇔ x= x tiếp tục bình phương hai vế ⇔ x2 = 4x x = x =  (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình x = V x = + Ví dụ2 : Giải phương trình : x − + x + = x − 12 + x − Lời giải : Ta có Pt ⇔ x − + x + = x − + x − x ≥  ⇔ x + ≥ x + = 2x −  x − ≥ ⇔   x + = 2x − x ≥ ⇔  x = Vậy phương trình cho vơ nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau Ta có : x − + x + = x − 12 + x − ⇔ x−3 + ⇔ x +1 = x +1 = x − + 2x − 2x −1 x + ≥  x ≥ −1 ⇔  ⇔ ⇔ x=2 x + = 2x − x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho 12 Chú ý rằng: A ≥ A+ C ⇔  B= C A+ B = + Ví dụ 3: Giải phương trình − x2 + x x + = (3) − 2x − x 7 − x + x x + ≥   Hướng dẫn : Đk 3 − x − x ≥ x + ≥   (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế khơng âm ,bình phương hai vế ta pt(3) ⇔ - x2 + x x + = - 2x - x2 ⇔ x x + = - 2x -  x(2 x + 4) ≤ ⇔  2  x ( x + 5) = x + 16 x + 16  −2 ≤ x ≤ ⇔   x + x − 16 x − 16 =  −2 ≤ x ≤ ⇔  ( x + 1)( x − 16) =  −2 ≤ x ≤  ⇔   x = −1 ⇔ x = -1   x = ±4  Thay giá trị x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x = -1 + Ví dụ4 : Giải phương trình 2x + + x + = 3x + 2 x + x + - 16 , (4)  2 x + ≥ x ≥ − ⇔  HD: Điều kiện  x +1 ≥  x ≥ −1  ⇔ x ≥ -1 (****) 13 NX: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta khơng thu kết thuận lợi giải nên ta giải sau Đặt 2x + + x + = t , (ĐK: t ≥ 0) ⇔ 3x + 2 x + x + = t2 - pt(4) ⇔ t2 - t - 20 = ⇔ t = (nhận) V t = - (loại) Với t = ⇔ 2 x + x + =21 - 3x ( phương trình thuộc dạng 1)  21 − 3x ≥ ⇔  2  4(2 x + x + 3) = 441 − 216 x + x x ≤ ⇔   x − 236 x + 429 = ⇔ x = 118 - 1345 (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình x = 118 - 1345 + Ví dụ 5: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2)  ( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) ⇔   −( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4)  ( x − 3) ( x − 2) (1) ( 2) Giải (1) ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔  x+2 = x−4 ⇔ (x-3)(x-4) = ⇔ ( x − 3) ( ) x+2−x+4 =0 x = ⇔ x = Giải (2) ⇔ − ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) ⇔ − ( x − 3) ( ) x+2 + x−4 =0 14 x = ⇔  x + = 4− x x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = v x = v x = Nhân xét: Bài tốn HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔  x+2 = x−4 Giải ( ∗) ta có ⇔ (x-3)(x-4) = ⇔ ( x − 3) ( ( x − 3) ( x − 2) ) x+2−x+4 =0 ( ∗) x − ≥ x+2 = x−4 ⇔   x + = ( x − 4) x ≥ ⇔ ⇔ x=7  x − x + 14 = Vậy phương trình cho có nghiệm x = x = HS kết luận với x =3 x = hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà khơng ngờ phương trình cho cịn có nghiệm Chú ý rằng: x = thoả mãn 0 A =  A2 B = A B =  A B A >   − A B A < Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ 15 * Sau tập giải phương trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vơ tỉ Bài tập Giải phương trình a x + = 2x-5 b x +1 = c x − x + +x-4 = 3x − 15 HD: Biến đổi theo dạng dạng 2 Giải phương trình: x2 - x + x − x + = HD: Đặt t= ĐS: x = v x2 − x + (t ≥ ) x=1 Giải phương trình: x −1 + 3x − = 5x − HD: Đặt đk sau bình phương hai vế ĐS: x = Giải phương trình: HD : A = B x + x +1 = x −1 x −1  AB A ≥ 0; B > AB  B  = B − AB A < 0; B <   B ĐS : Nghiệm phương trình : x = -3 x−2 = x+2 Giải phương trình: ( x + 5) x+5 16 HD: B A  AB A ≥ 0; B >  = B − AB A < 0; B <  ĐS: Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x +1 + x + 10 = Giải phương trình: x +1 + x −1 = Giải phương trình: x + x+ x+2 + x+5 1 + x+ = 2 Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x + 10 Giải phương trình: (4x - 1) x3 + = 2x3 + 2x +1 11 Giải phương trình: x2 - = 2x x − x 12 Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2) x − x + 17 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Trên giải pháp mà đúc rút trình giảng dạy trường THPT Hoằng Hóa Phương trình vơ tỉ nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vơ tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói , kết qua kiểm tra thử sau : Năm học Lớp Tổng số Điểm trở lên Số Tỷ lệ Điểm từ đến Số Tỷ lệ Điểm Số Tỷ lệ 18 20102011 20112012 10A2 10A5 10A2 10A3 46 43 36 34 lượng 11 % 14 % 19 % 26 % lượng 15 18 21 20 33 % 42 % 58 % 59 % lượng 26 19 56 % 44 % 22 % 15 % Như tơi thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo tơi dạy phần tốn giải phương trình vơ tỉ giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Hoằng Hóa, Ngày tháng năm 2013 Người viết 19 Trịnh Thị Ngoan TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các đề thi đại học năm trước 20 MỤC LỤC PHẦN I: Trang ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CỞ SỞ LÝ LUẬN 2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ MỘT SỐ GIẢI PHÁP PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: 18 Kiến nghị đề xuất: 19 21 ... đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f ( x ) = g(x) trình bày phương pháp giải. .. trình vơ tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vơ tỉ Bài tập Giải phương trình a x + = 2x-5... phương trình vơ tỉ MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh

Ngày đăng: 20/03/2015, 05:06

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan