Đề vận dụng cao môn Toán – Phương trình, bất phương trình mũ Loga phần 2 với 40 câu hỏi giúp các em củng cố, nâng cao kiến thức và giải các bài toán hiệu quả hơn.
Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ ĐỀ VDC TỐN SỐ 39 - PT BPT MŨ LOGA PHẦN 02 (Đề gồm trang - 36 câu - Thời gian làm chuẩn 65 phút) Câu (2 - B) Giá trị biểu thức T 8(3 2) 2021 (17 12 2)1011 nằm khoảng ? A (4; ) B (1; ) C (0;1) D (2; 4) Câu (2 - A) Giá trị biểu thức T (1 2) 4001 (3 2)2000 a b ; a b số nguyên dương Giá trị biểu thức (a b) bằng: A B C D 2020 2019 Câu (2 - C) Giá trị biểu thức T log (8 15) log (8 15) nằm khoảng ? A (3039; 4040) B (1010;1011) C (4038; 4039) D (2019; 2020) x m Câu (2 - D) Nghiệm phương trình 23 tương ứng là: A log (log 2) m B log (log 3) m C log (log m) D x log (log 3) m 2 Câu (2 - A) Số nghiệm nguyên bất phương trình log (2 x) tương ứng là: A B C D Câu (2 - C) Tập chứa tập nghiệm bất phương trình log log 0,3 ( x 1) ? B ( ; ) C ( 1; ) D (1; ) 2 log3 x Câu (2 - D) Bất phương trình x có nghiệm ngun dương ? A B C D A ( ;1) Câu (2 - B) Bất phương trình log x log (2 x 1) có tập nghiệm S Tập chứa tập S ? A (0;1) B (1; 2) Câu (2 - A) Bất phương trình log x1 C ( ; 4) D (;1) log (3x 3) có tập nghiệm S Tập S chứa tập đây? 4 A (1; ) B ( ; 2) C ( ; 2) 3 Câu 10 (2 - C) Đạo hàm hàm số y ln log( x) tương ứng là: A y ' x log x x ln10 B y ' C y ' D (0;1) x ln x D y ' ln x.log x x Câu 11 (2 - C) Đạo hàm hàm số y e tương ứng là: x A y ' e x x B y ' x.e2 C y ' x.e ln x D y ' 2e x Câu 12 (2 - C) Số tự nhiên 220192020 có chữ số có nghĩa hệ thập phân ? A 20192020 B 6078405 C 6078404 D 6079403 Câu 13 (3 - A) Phương trình 42 x 1.5 x tương đương với phương trình ? A x x log5 log5 B x x log C x x log log D x x log 3log5 Câu 14 (3 - B) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị thực tham số m để phương trình log x mx x log x m x3 x Tổng tất phần tử tập S tương ứng bằng: A B C Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu 15 (3 - A) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để phương trình log 22 x 12 log 22 x m có nghiệm x (1;8) Tổng tất phần tử tập S bằng: A 70 B 81 C D 55 logb / a c Câu 16 (3 - C) Nghiệm phương trình log (log3 x) log3 (log x) tương ứng x 3 a ; với a , b, c số nguyên dương Khi tổng (a b c) bằng: A B C D Câu 17 (3 - D) Cho phương trình log mx 7 ( x 10 x 1) log mx7 ( x 1) với m tham số Hỏi có tất log b giá trị nguyên m [ 18;18] để phương trình cho có nhiệm thực x ? A 15 B 18 C 17 D 16 x 3x có tập nghiệm S Tập chứa tập S ? Câu 18 (3 - C) Cho phương trình log x x2 3 A ( ; 2) B (; ) C ( ;1) D ( ; 4) Câu 19 (3 - B) Có giá trị nguyên x [ 2019; 2019] thỏa mãn bất phương trình: log 2x x log x ? A 2018 B 2017 C 2019 D 2016 Câu 20 (3 - C) Cho phương trình log (6 x 1) log (10 x 9) Số nghiệm phương trình là: A B C D Câu 21 (4 - B) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị thự tham số m 20 để 2m số nguyên phương trình x m.4 x (2m 1) 2 x 4m3 4m m có hai nghiệm thực Số phần tử tập S là: A 40 B 39 C 20 D 19 12 x x 2019 Câu 22 (3 - D) Số nghiệm nguyên dương bất phương trình ( x 10).5 có hai nghiệm thực Số phần tử tập S là: A B C 19 D 10 x x x Câu 23 (3 - A) Số nghiệm thực phương trình ( x 1).4 (3x 1).2 (3x x 1) là: A B C D Câu 24 (4 - D) Cho phương trình log a log 25 b log10 (b a) , với a b số thực dương Tính giá trị a 2b biểu thức T tương ứng bằng: 3a b 92 14 62 17 A B C D 2 Câu 25 (3 - A) Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên n có hai chữ số Xác suất để số tự nhiên 2n có chữ số là: 1 A B C D 30 45 18 15 Câu 26 (3 - D) Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên n có chữ số Xác suất để tồn số tự nhiên m cho 2m n tương ứng là: 1 A B C D 45 15 18 30 Câu 27 (4 - C) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để phương trình logarit: log ( x3 x x m) log ( x 1) có hai Số phần tử tập S là: A B C D ( y 2) Câu 28 (5 - B) Cho hai số thực x , y ( 2; ) thỏa mãn hệ thức: log ( x 2)( y 2) x( y 2) Giá trị nhỏ biểu thức T x y tương ứng bằng: A B C Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D 2 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN Câu 29 (5 - A) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn: log lớn giá trị nhỏ biểu thức P A 60 13 B 12 TƯ DUY MỞ 3( x y ) x y xy 6( x y ) Gọi giá trị x y xy 2x y M m Giá trị biểu thức ( M m) bằng: x y 1 26 40 C D 13 Câu 30 (5 - D) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn: x biểu thức P 3x y y tương ứng bằng: 11 A B 2 1 y 1 C Câu 31 (5 - B) Xét số thực a, b thỏa mãn b > log x y log ( y y ) Giá trị lớn 21 D a a b a Biểu thức P log a a log b ( ) đạt giá trị b b nhỏ khi: A a b B a b3 C a b D a b Câu 32 (5 - C) Cho hai số thực dương x , y biểu thức P 2018 (16 y 103 x 24 y ) 12.10 x log y Giá trị lớn biểu thức P là: A 2050 B 2038 C 2042 D 2048 8(3a 2) Câu 33 (5 - D) Cho hai số thực thỏa mãn b Khi biểu thức P logb log ab b đạt giá trị a nhỏ giá trị biểu thức (3a 16b) nằm khoảng ? A 11 B C 16 D 13 Câu 34 (5 - A) Cho hai số thực x y thỏa mãn: x y log x y x(8 x y x) y Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y M m Khi giá trị biểu thức ( M 2m) : A 12 18 B 24 C 10 x Câu 35 (5 - A) Cho hai số thực x 0, y 1 thỏa mãn : 2 y 1 D 10 log x log y Giá trị nhỏ biểu y 1 thức P x y : A B C D x3 3x 3x 3m x 3x 3m Gọi S tập chứa tất giá x 2x trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm Số phần tử tập S : A B C D Câu 36 (4 - A) Cho phương trình : log Câu 37 (4 - A) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn : phương trình : log x log y log( x y ) Giá trị nhỏ biểu thức P 25 x y : A 375 B 45 Câu 38 (4 - B) Cho phương trình (1 x x ).52 x phương trình nằm khoảng ? A (0; 4) B (4;6) C 3 x 1 195 D 14 26 (2 x 3x 1).51 x x x x Tổng tất nghiệm C (6;8) Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D (8;12) Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu 39 (5 - B) Cho pt ( x 3x 2).6 x 3 ( x x 6).6 x 1 ( x x 3).6 x x 12 x 11 Số nghiệm thực phương trình : A B C D 2x 3x x log (4 x 2) có nghiệm thực x ( ; ] Giá trị 4x lớn biểu thức P 2( ) tương ứng bằng: A B C D Câu 40 (4 - D) Cho bất phương trình Hết Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ ĐÁP ÁN: 01B 14B 27C 40D 02A 15A 28B 03C 16C 29A 04D 17D 30D 05A 18C 31B 06C 19B 32C 07D 20C 33D Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 08B 21B 34A 09A 22D 35A 10C 23A 36A 11C 24D 37A 12C 25A 38B 13A 26D 39B Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT: Câu (2 - B) Giá trị biểu thức T 8(3 2) 2021 (17 12 2)1011 nằm khoảng ? A (4; ) B (1; ) C (0;1) D (2; 4) Giải: Ta sử dụng CASIO dính bẫy tốn ln Phải biến đổi: T 8(3 2)2021 (3 2)2022 8(3 2) 2021 (3 2) 2021 (3 2) T (3 2)(3 2) 2021 8(3 2) 1.8(3 2) 1,37 Vậy ta chọn đáp án B Câu (2 - A) Giá trị biểu thức T (1 2) 4001 (3 2)2000 a b ; a b số nguyên dương Giá trị biểu thức (a b) bằng: A B C D Giải: Vẫn xử lí tránh tràn số CASIO Đây dạng câu hỏi soạn để hạn chế CASIO cấp thấp a Ta có: T (1 2) 4001 ( 1) 4000 (1 2) 4000 ( 1) 4000 (1 2) a b b Suy ra: T (a b) Vậy ta chọn đáp án A Câu (2 - C) Giá trị biểu thức T log (8 15)2020 log (8 15) 2019 nằm khoảng ? A (3039; 4040) B (1010;1011) C (4038; 4039) D (2019; 2020) Giải: Ta có: T log (8 15) 2020 (8 15)2019 log (8 15) 2019 (8 15) 2019 (8 15) 2019 (8 15) log 492019.(8 15) log 492019 log (8 15) T log (8 15).(8 15) T 2019 log 49 log (8 15) 2019.2 log (8 15) 4038 log (8 15) 4038,73 Vậy ta chọn đáp án C Câu (2 - B) Bất phương trình log x log (2 x 1) có tập nghiệm S Tập chứa tập S ? A (0;1) B (1; 2) C ( ; 4) D (;1) Giải: Ta chia trường hợp theo số loga chứa biến sau: Trường hợp 1: x Suy ra: 3 Suy ra: x 2 1 Trường hợp 2: x ta kết hợp thêm điều kiện có nghĩa: x x ta được: x 2 Khi từ bất phương trình suy được: log x log (2 x 1) log (2 x 1) x 21 x Kết hợp với điều kiện x suy không thỏa mãn Suy nghiệm bất phương trình cho là: x Tập chứa S là: (1; 2) Vậy ta chọn đáp án B log x log (2 x 1) log (2 x 1) x 21 x Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu (2 - A) Bất phương trình log x1 log (3x 3) có tập nghiệm S Tập S chứa tập đây? B ( ; 2) A (1; ) C ( ; 2) D (0;1) Giải: Ta chia trường hợp theo số loga chứa biến sau: Trường hợp 1: x x Suy ra: 9 log x 1 log (3x 3) log (3x 3) ( x 1)1 x 3x 3x 1 3x 3x x log 3 2 Kết hợp điều kiện suy ra: x Trường hợp 2: x x kết hợp thêm ĐK có nghĩa: 3x x ta được: x Khi từ bất phương trình suy được: 3x 9 log (3x 3) ( x 1)1 x 3x 3x 1 3x 3x x log 3 2 Kết hợp với điều kiện x Suy ra: x log3 1,37 Kết hợp trường hợp, ta được: x (1;log ) (2; ) Tập S chứa tập đáp án A Vậy ta chọn đáp án A Câu 12 (2 - C) Số tự nhiên 220192020 có chữ số có nghĩa hệ thập phân ? A 20192020 B 6078405 C 6078404 D 6079403 Giải: Chữ số có nghĩa số tự nhiên hệ thập phân tính theo công thức: N [ log x] [ log 220192020 ] [20192020 log 2] [6078403,69] 6078404 Vậy ta chọn đáp án C Câu 13 (3 - A) Phương trình 42 x 1.5 x tương đương với phương trình ? A x x log5 log5 B x x log C x x log log D x x log 3log5 Giải: 2 Loga số hai vế ta được: log (42 x 1.5x ) log log 42 x 1 log 5x (2 x 1) log x x x log log Vậy ta chọn đáp án A Câu 14 (3 - B) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị thực tham số m để phương trình log x mx x log x m x3 x Tổng tất phần tử tập S tương ứng bằng: A B C D Giải: 4 x Điều kiện có nghĩa phương trình phải có: x x x31 Như có giá trị thực x thỏa mãn, ta thay trực tiếp x vào phương trình cho: 2m log x mx x log x m x x log 2m log 8m m 2m 8m 1 Suy S { } S Vậy ta chọn đáp án B 4 Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TOÁN TƯ DUY MỞ Câu 15 (3 - A) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để phương trình log 22 x 12 log 22 x m có nghiệm x (1;8) Tổng tất phần tử tập S bằng: A 70 B 81 D 55 C Giải: Đặt t log 22 x t (1; 10) Phương trình trở thành: (t 1) 12t m m t 12t f (t ) Lập nhanh bảng biến thiên hàm số f (t ) t 3t khoảng (1; 10) Ta được: x f '( x) 10 11 15,8 f ( x) ym 16 Từ bảng biến thiên ta thấy điều kiện tham số m là: 16 m 11 S { 12; 13; 14; 15; 16} Suy tổng tất phần tử tập S bằng: 70 Vậy ta chọn đáp án A Câu 16 (3 - C) Nghiệm phương trình log (log3 x) log3 (log x) tương ứng x 3 số nguyên dương Khi tổng (a b c) bằng: A B C D Giải: Đặt x 3t pt log (t ) log (t.log 3) t 2log3 (t log2 3) 3log3 t t.log 3 log t log3 log 3 log3 log3 log3 log 3 log 3.log3 log 3 a Suy nghiệm phương trình: x 3t 3 Suy ra: a 2; b 3; c (a b c ) Vậy ta chọn đáp án C log3/2 Câu 17 (3 - D) Cho phương trình log mx 7 ( x3 10 x 1) log log b mx log3 ( t log 3) t.log 3 t log 3 t log 3 log 3 log log3 log 3 t1log3 log 3 log 3 logb / a c log a b ; với a , b, c log3 log 1 log log 3/2 logb/ a c ( x 1) với m tham số Hỏi có tất giá trị nguyên m [ 18;18] để phương trình cho có nhiệm thực x ? A 15 B 18 C 17 D 16 Giải: Phương trình cho log mx 7 ( x3 10 x 1) log mx ( x 1) log mx 7 ( x x 1) mx mx mx x 1 mx x 1 x ( Loai ) x 10 x x x x 3 ( Loai ) x4 Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ mx 4m m Để phương trình cho có nghiệm thì: mx 4m m Suy ra: m 18 có tất 16 giá trị nguyên m thỏa mãn toán Vậy ta chọn đáp án D x 3x có tập nghiệm S Tập chứa tập S ? x2 3 B (; ) C ( ;1) D ( ; 4) Câu 18 (3 - C) Cho phương trình log x A ( ; 2) Giải: x 3x x 3x x 3x 1 x x 1) (nhận thấy: x2 x2 x2 x 3x 5 x 2 x0 2 x Kết hợp điều kiện suy bất phương trình vơ nghiệm x2 x2 0 x x2 2 x 3x x 3x x Trường hợp 2: x Khi đó: log x 1 x 2 x 1 x2 x2 x 5 Trường hợp 1: x Khi đó: log x x 1 Kết hợp với x , suy ra: Suy tập nghiệm bất phương trình là: x ( ;1) Vậy ta chọn đáp án C Câu 19 (3 - B) Có giá trị nguyên x [ 2019; 2019] thỏa mãn bất phương trình: log 2x x log x ? A 2018 B 2017 C 2019 D 2016 Giải: x Điều kiện: Bất phương trình log x 1 log x x 1 (1 t ) 1 2t Đặt t (log x) bất phương trình trở thành: 1 2t t2 t (1 t ) 2t 6t 2t 5t 2t (t 1)(2t 3t 1) 17 17 3 17 t t log x x 3, 44 4 Lập bảng xét dấu ta được: 3 17 17 17 t 1 t log x 0,82 x x 2019 Với x số nguyên x [ 2019; 2019] Nên ta có: có tất 2017 giá trị nguyên x x 1 thỏa mãn Vậy ta chọn đáp án B Câu 20 (3 - C) Cho phương trình log (6 x 1) log (10 x 9) Số nghiệm phương trình là: A B C D Giải: Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Điều kiện: x x 5t 60 x 10.5t 10 Đặt: log (6 x 1) log (10 x 9) t t t 10 x 60 x 6.7 63 5 1 Suy ra: 60 x 10.5 10 6.7 63 10.5 53 6.7 f (t ) 10 53 7 7 t t t t t t t t 5 1 Đạo hàm: f '(t ) 10 ln 53 ln hàm số nghịch biến R Suy phương trình 7 7 f (t ) có nghiệm Dễ dàng nhẩm nghiệm t x Vậy ta chọn đáp án C Câu 21 (4 - B) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị thự tham số m 20 để 2m số nguyên phương trình x m.4 x (2m 1) 2 x 4m3 4m m có hai nghiệm thực Số phần tử tập S là: A 40 B 39 C 20 D 19 Giải: Đặt t x phương trình trở thành: f (t ) t m.t (2m 1) t 4m3 4m m (1) Ycbt phương trình (1) có hai nghiệm thực t dương Dùng CASIO phân tích nghiệm đẹp cách gán m = 1000 giải phương trình bậc 3, ta được: tm (t 2m 1)(t 2m 1)(t m) t 2m t 2m Vì có hai nghiệm đối nhau, nên cần điều kiện hai nghiệm khác hai nghiệm có nghiệm âm nghiệm dương; nghiệm thứ ba phải dương Ta có: m t m0 Ycbt 2m m 0 2m 40 Ta có: 2m Z số giá trị thực m thỏa mãn là: 39 Vậy ta chọn đáp án B 2m Câu 22 (3 - D) Số nghiệm nguyên dương bất phương trình 312 x ( x 10).5x 2019 có hai nghiệm thực Số phần tử tập S là: A B C 19 D 10 Giải: Bất phương trình 3(10 x ) (10 x).5x 2019 3(10 x ) 30 VT 3(10 x ) (10 x).5 x 2019 Suy bất phương Với: (10 x) x 2019 0 (10 x).5 trình khơng thỏa mãn 3(10 x ) 30 VT 3(10 x ) (10 x).5 x 2019 Suy bất phương Với: (10 x) x 2019 0 (10 x).5 trình Suy nghiệm bất phương trình là: (10 x) x 10 số giá trị nguyên dương biến x thỏa mãn là: x 10 Vậy ta chọn đáp án D Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 10 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu 23 (3 - A) Số nghiệm thực phương trình x ( x 1).4 x (3x 1).2 x (3x x 1) là: A B C D Giải: x 3x x x x x x Pt ( x 1) (3x 1) ( x 1) x 1 x 1 x x 1 Xét phương trình: x x f ( x) x x Đạo hàm: f '( x) x ln ; f '( x) x log A ln Ta có: lim f ( x) ; lim f ( x) ; f ( A) A A Ta có bảng biến thiên: x x x A f '( x) f ( x) y0 f ( A) Suy pt f ( x) x x có hai nghiệm phân biệt Dễ dàng nhẩm hai nghiệm x 0; x Tương tự phương trình x x có hai nghiệm là: x 0; x Suy tất có nghiệm x 0; x Vậy ta chọn đáp án A Câu 24 (4 - D) Cho phương trình log a log 25 b log10 (b a) , với a b số thực dương Tính giá trị a 2b biểu thức T tương ứng bằng: 3a b 92 14 62 17 A B C D 2 Giải: a 4t t t 25 10 t t t t Đặt: log a log 25 b log10 (b a ) t b 25 25 10 4 b a 10t t ( Loai ) 2t t t b 25 2 5 5 1 t a 2 2 2 a 2b Suy ra: T 3a b 3 17 Vậy ta chọn đáp án D 3 3 Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 11 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TOÁN TƯ DUY MỞ Câu 25 (3 - A) Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên n có hai chữ số Xác suất để số tự nhiên 2n có chữ số là: 1 A B C D 30 45 18 15 Giải: 90 Có tất 90 số tự nhiên có hai chữ số nên khơng gian mẫu: n() C90 Để 2n có chữ số thì: 100000 2n 999999 16, log 100000 n log 999999 19,9 Suy giá trị n thỏa mãn là: n {17;18;19} = số Suy n( A) C31 n( A) Suy xác suất: p( A) Vậy ta chọn đáp án A n() 90 30 Câu 26 (3 - D) Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên n có chữ số Xác suất để tồn số tự nhiên m cho 2m n tương ứng là: 1 A B C D 45 15 18 30 Giải: 90000 Có 90000 số tự nhiên có chữ số Suy ra: n() C90000 Giả thiết suy ra: 13,3 log 10000 m log n log 99999 16, tồn giá trị m nguyên để thỏa mãn toán ứng với ba giá trị nguyên n : m [14;15;16} n {214 ; 215 ; 216 } = số Suy n( A) C31 Suy xác suất: p( A) n( A) Vậy ta chọn đáp án D n() 90 30 Câu 27 (4 - C) Gọi S tập hợp chứa tất giá trị nguyên tham số m để phương trình logarit: log ( x3 x x m) log ( x 1) có hai Số phần tử tập S là: A B D C Giải: Ta cần điều kiện: x Phương trình cho log ( x3 x x m) log ( x 1) log ( x x 1) (1) x3 x x m x x x3 3x m Ycbt tương đương với tìm m nguyên để phương trình (1) có hai nghiệm thực thỏa mãn x Xét hàm số: f ( x) x3 3x có đồ thị hình vẽ y O x 2 1 m 4 Suy ra: 4 m 2 m m ; có giá trị nguyên m thỏa mãn Vậy ta chọn đáp án C Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 12 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu 28 (5 - B) Cho hai số thực x , y ( 2; ) thỏa mãn hệ thức: log ( x 2)( y 2) nhỏ biểu thức T x y tương ứng bằng: A B C ( y 2) x( y 2) Giá trị D 2 Giải: Ta biến đổi hàm đặc trưng dạng phương trình hay gặp: ( y 2) x( y 2) ( y 2) log ( x 2)( y 2) x( y 2) log ( x 2)( y 2) ( y 2) log ( x 2)( y 2) 2( y 2) x( y 2) 2( y 2) ( x 2)( y 2) ( x 2) ( x 2) log ( x 2) y2 / ( y 2) y 4 (1) log ( x 2) ( x 2) log y2 y2 với t Suy hàm số đơn điệu tăng Xét hàm đặc trưng f (t ) t log t f '(t ) t ln Ta biết hàm đơn điệu f (u ) f (v) u v 4 Từ (1), suy ra: f ( x 2) f ( ) x2 x Thế vào biểu thức T ta được: y2 y2 y2 log 8 2) y ( y 2) .( y 2) (BĐT CÔ SI) y2 y2 y2 Dấu "=" xảy khi: y y 2 2 y 2 2 x y2 T x y 2( Suy giá trị nhỏ T là: Tmin Vậy ta chọn đáp án B 3( x y ) Câu 29 (5 - A) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn: log 2 x y xy 6( x y ) Gọi giá trị x y xy 2x y lớn giá trị nhỏ biểu thức P M m Giá trị biểu thức ( M m) bằng: x y 1 60 26 40 A B 12 C D 13 13 Giải: Ta biến đổi hàm đặc trưng dạng phương trình hay gặp: 3( x y ) 3( x y ) log 2 x y xy 6( x y ) log 2 x y xy 6( x y ) 2 x y xy x y xy 6( x y ) log 2 ( x y xy 3) 6( x y ) x y xy 6( x y ) log 6( x y ) ( x y xy 3) log ( x y xy 3) f ( x y xy 3) f (6 x y ) với t Suy hàm số đơn điệu tăng Với hàm đặc trưng f (t ) t log t f '(t ) t ln Suy ra: x y xy x y (*) x u v Đưa hệ thức dạng chuần với kĩ sau: đặt (bỏ qua điều kiện cho đơn giản) y u v Suy ra: (*) (u v)2 (u v) (u v)(u v) 6(u v) 6(u v) u cos t 3(u 2) v Đến đặt: v 3sin t Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 13 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN Biểu thức: P TƯ DUY MỞ x y 2(u v) 3(u v) 5u v 5( cos t 2) 3sin t x y 1 (u v) (u v) 2u 2( cos t 2) cos t 3sin t 12 (2 3P 3) cos t 3sin t 12 5P cos t 30 30 30 30 Điều kiện có nghiệm: (2 3P 3) (12 P )2 P 13 13 30 30 M max 13 Suy giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P là: m 30 30 13 60 Suy ra: ( M m) Vậy ta chọn đáp án A 13 Bài tốn khơng xét tới q nhiều điều kiện tồn điểm rơi Tuy nhiên, phức tạp chủ yếu trang bị cho em học sinh giỏi kĩ đưa lượng giác cho đơn giản so với nhiều lời giải phức tạp P Câu 30 (5 - D) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn: x biểu thức P 3x y y tương ứng bằng: 11 A B Giải: Ta biến đổi giả thiết sau: 1 y 1 C log x y log ( y y ) Giá trị lớn 21 D x 1 y 1 y log x log ( y y ) 2.2 x log x 2 y.2 x log x y y 1 log 2.2 x log x y 1 2 y log 2 y 1 y 2.2 x log x y.2 ( y y )( y y ) y 1 y2 1 y log ( y y ) y 1 log ( y y 1) f ( x ) f ( y y 1) x y y 1 với t Suy hàm đặc trưng (Với hàm đặc trưng: f (t ) 2t log t f '(t ) 2t log t.ln 2t t ln ta xét đơn điệu tăng) Thay: x y y vào biểu thức: 3 P 3( y y 1) y y y y y 2 2 5 3 0 y y ;x 2 2 Suy giá trị lớn biểu thức P là: Pmax Vậy ta chọn đáp án D Dấu "=" xảy y2 1 Câu 31 (5 - B) Xét số thực a, b thỏa mãn b > nhỏ khi: A a b Giải: B a b3 a a b a Biểu thức P log a a log b ( ) đạt giá trị b b C a b Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội D a b 14 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ 1 4(log b a log b b) 4(log b a 1) log a a log a b 1 log b a Đặt: log a a t log b a log a a t [1; 2] Thay vào (1), ta được: P Biểu thức: P 1 t 4(t 1) (1) t 4t f (t ) ; với t [1; 2] t 1 3 Khảo sát hàm số f (t ) ta được: f (t ) t logb a a b a b3 t[1;2] Vậy ta chọn đáp án B Câu 32 (5 - C) Cho hai số thực dương x , y biểu thức P 2018 (16 y 103 x 24 y ) 12.10 x log y Giá trị lớn biểu thức P là: A 2050 B 2038 C 2042 D 2048 Giải: Ta có: P 2018 (16 y 103 x 24 y ) 12.10 x.10log y 2018 (16 y 103 x 24 y ) 12 y10 x Áp dụng BĐT CƠ SI ta có: 2.(2 y ).10 x (2 y ) (10 x ) y 10 x Dấu “=” xảy y 10 x Suy ra: P 2018 (16 y 10 24 y ) 3.2.(2 y )10 x 2018 (16 y 103 x 24 y ) y 102 x P 2018 4(4 y y y ) (103 x 3.102 x ) Ta khảo sát giá trị biểu thức: f ( y ) 4 y y y ; y (0; ) Nhận thấy: f ( y ) f (1) Với g ( x ) 103 x 3.102 x t 3t h(t ) h(2) ; tương ứng với t 10 x x log Suy ra: P 2018 4(4 y y y ) (103 x 3.102 x ) 2018 f ( y ) g ( x) 2018 4.5 2042 Dấu “=” xảy 10 x y x log ; y Suy giá trị lớn P là: Pmax = 2042 Vậy ta chọn đáp án C (1) 3x 8(3a 2) b Khi biểu thức P logb log ab b đạt giá trị a nhỏ giá trị biểu thức (3a 16b) nằm khoảng ? A 11 B C 16 D 13 Giải: 1 Ta có: log 2ab b 8(1 log b a ) Câu 33 (5 - D) Cho hai số thực thỏa mãn 6a 8(3a 2) 6a 3 a P log 8(3a 2) log a log a Ta có: b b b 3 6a a Dấu “=” xảy 3 Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 15 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN Suy ra: P log b Với 1 log b TƯ DUY MỞ 8(3a 2) 1 log ab b log b a 2t f (t ) 8(1 log b a ) 8(1 t ) log b a t logb t (1;0) a Khảo sát hàm số f (t ) 2t với t (1; 0) suy nhanh giá trị nhỏ hàm số: 8(1 t ) f (t ) t( 1;0) 1 t log b a b 2 a Suy giá trị nhỏ P là: Pmin Vậy ta chọn đáp án D a (3a 16b) 13 b 16 Câu 34 (5 - A) Cho hai số thực x y thỏa mãn: x y log x y x(8 x y x) y Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y M m Khi giá trị biểu thức ( M 2m) : A 12 18 B 24 C 10 D 10 Giải: Từ log x y x(8 x y x) y ( x y )(8 x 7) ( x y ) ( x 4) y x2 y Như x y thỏa mãn: Đây miền D giới hạn bên đường tròn (C2): 2 ( x 4) y ( x 4) y bên ngồi đường tròn (C1): x y Hai đường tròn có bán kính R1 = R2 = tâm I1(0;0) , tâm I2(4;0) hình vẽ: Giao điểm hai đường tròn (2; 5) Cụ thể điểm A hình vẽ có A (2; 5) Xét họ đường thẳng Δ song song với nhau: x y P Δ2 y Δ1 (C1) O A I2 x (C2) Để thỏa mãn tốn họ đường thẳng phải cắt miền D Ứng với vị trí đường thẳng Δ1 qua điểm A, ta có: 3.2 P P1 Ứng với vị trí đường thẳng Δ2 tiếp xúc với (C2) ta có: d ( I ; ) R2 Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 16 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ P 12 10 | 3.4 P | 3 P2 12 10 1 P 12 10 M P2 Pmax 12 10 Vậy suy giá trị lớn giá trị nhỏ P tương ứng : m P1 Pmin Suy : ( M 3m 2) 12 18 Vậy ta chọn đáp án A x Câu 35 (5 - A) Cho hai số thực x 0, y 1 thỏa mãn : 2 y 1 log x log y Giá trị nhỏ biểu y 1 thức P x y : A B C D Giải: x y 1 log x log y ( y 1) y 2x y 1 log x log ( y 1)( y 1) y 1 Ta có: x log x Nhận thấy hàm số: f (t ) 2t log t đơn điệu miền dương y 1 log ( y 1) 2.2 x log x y 1 1 log ( y 1) x log x 1 Suy ra: x y y ( x 1)2 P x y x x ( x )2 4 Suy giá trị nhỏ P Pmin Vậy ta chọn đáp án D x3 3x 3x 3m x 3x 3m Gọi S tập chứa tất giá x2 x trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm Số phần tử tập S : A B C D Giải: Câu 36 (4 - A) Cho phương trình : log Điều kiện: ta có x3 3x 3x 3m x 3x 3x 3m x2 x Phương trình cho biến đổi thành: log x3 3x 3x 3m x 3x 3m x2 x x3 3x 3x 3m ( x3 3x 3x 3m 8) (3x x 9) 3x x log ( x x x 3m 8) ( x x x 3m 8) log (3 x x 9) (3 x x 9) log Nhận thấy hàm số : f (t ) t log t đơn điệu (0; ) Nên từ (*) suy : ( x 3x 3x 3m 8) (3x x 9) (TM điều kiện) 3m m x x 3m có hai nghiệm 3m 2 m 1 Suy có giá trị nguyên m thỏa mãn Vậy ta chọn đáp án A Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 17 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu 37 (4 - A) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn : phương trình : log x log y log( x y ) Giá trị nhỏ biểu thức P 25 x y : A 375 B 45 C 195 D 14 26 Giải: Từ giả thiết suy ra: log( xy ) log( x y ) xy x y y ( x 2) x x Suy ra: y x3 x3 P 25 x y 25 x x2 x2 x3 Khảo sát hàm số: f ( x) 25 x miền x (2; ) , ta được: x2 x 13,5( Loai ) 3x ( x 2) x3 x3 19 x 100 x 100 Có: f '( x) 25 ; f '( x) x 1,5( Loai ) 2 ( x 2) ( x 2) x (TM ) 375 Suy được: f ( x) f ( ) x (0; ) x3 375 x3 125 f ( x) Khi: x ; y x2 x2 375 chọn đáp án A Vậy giá trị nhỏ P là: Pmin Suy được: P 25 x y 25 x Câu 38 (4 - B) Cho phương trình (1 x x ).52 x phương trình nằm khoảng ? A (0; 4) B (4;6) 3 x 1 (2 x 3x 1).51 x x x x Tổng tất nghiệm C (6;8) D (8;12) Giải: Đặt a x 3x ; b x x a b x x Phương trình cho trở thành: b.5a a.5b a b a(5b 1) b(5a 1) b a 1 1 0 Trường hợp 1: Nếu (*) b a b Nhận thấy: a (5a 1) (*) a (**) 5a 0 a 5a 5a 5b Vậy suy ra: 0; với a, b a a b Suy phương trình (**) vơ nghiệm với a, b Trường hợp 2: Dễ thấy a = b = nghiệm (*), nên ta có: Và a (5a 1) a x 3x 11 x1 x2 x3 x4 (*) 2 b x x Vậy ta chọn đáp án B Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 18 Tuyển tập 100 đề VDC dành cho khóa học online 2019 – Mơn TỐN TƯ DUY MỞ Câu 39 (5 - B) Cho pt ( x 3x 2).6 x 3 ( x x 6).6 x 1 ( x x 3).6 x x 12 x 11 Số nghiệm thực phương trình : A B C D Giải: Pt ( x 3x 2).(6 x 3 1) ( x x 6).(6 x 1 1) ( x x 3).(6 x 1) (*) x 1 Trường hợp 1: x chia hai vế (*) cho: ( x 1)( x 2)( x 3) ta được: x x 3 x 1 x 0 x3 x 1 x2 Nhận thấy: Suy ra: 6a với a vì: a 6a ; a 6a a x 3 x 1 x 2 phương trình (**) vơ nghiệm x 3 x 1 x2 x 1 Trường hợp 2: x thỏa mãn phương trình (*) x Suy phương trình cho có ba nghiệm Chọn đáp án B 2x 3x x log (4 x 2) có nghiệm thực x ( ; ] Giá trị Câu 40 (4 - D) Cho bất phương trình x 2 lớn biểu thức P 2( ) tương ứng bằng: A B C D Giải: Điều kiện: x x (1) Ta có bất phương trình ban đầu 2x log (4 x 2) 3x x log (4 x 2) x log (4 Nếu: x log (4 2) x log (4 x 2) 3x x log (4 x 2) 2) 0; Vậy nghiệm bất phương trình (2) nghiệm: x log (4 Nếu: x log (4 x 2) 3x x log (4 x 2) 0; x log2 (4 x x2 x x 2) x log (4 x 2) x (2) không thỏa mãn (2) thỏa mãn (2) 2) x log (4 x 2) 2x 4x 2x x Kết hợp điều kiện suy ra: 1 x x ( ;1] ( ; ] 2( ) max 2(1 ) 2 Vậy ta chọn đáp án D Biên soạn: Nguyễn Đăng Ái – Kĩ sư tài – Bách Khoa Hà Nội 19 ... (0;1) D (2; 4) Giải: Ta sử dụng CASIO dính bẫy tốn ln Phải biến đổi: T 8(3 2) 2 021 (3 2) 2 022 8(3 2) 20 21 (3 2) 20 21 (3 2) T (3 2) (3 2) 20 21 8(3 2) 1.8(3 2) 1,37... y 2) log ( x 2) ( y 2) x( y 2) log ( x 2) ( y 2) ( y 2) log ( x 2) ( y 2) 2( y 2) x( y 2) 2( y 2) ( x 2) ( y 2) ( x 2) ... 2) f ( ) x 2 x Thế vào biểu thức T ta được: y 2 y 2 y 2 log 8 2) y ( y 2) .( y 2) (BĐT CÔ SI) y 2 y 2 y 2 Dấu "=" xảy khi: y y 2 2 y 2 2