Chương 2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản
2.3. Các ví dụ số
Dưới đây, ta xét các ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng các kết quả lý thuyết trên và sự hội tụ của phương pháp lặp (2.2.1)-(2.2.4).
Để giải số theo phương pháp lặp, ta sử dụng lược đồ sai phân với độ chính xác cấp hai trên lưới đều ω¯h = {xi = ih, i = 0,1, ..., N; h = 1/N} với các bài toán (2.2.2), (2.2.3) tại mỗi bước lặp. Cụ thể là đối với bài toán cấp hai tiêu biểu
v00 = ϕ(x), 0 < x <1, v(0) = v(1) = 0,
sử dụng lược đồ sai phân
vi−1 −2vi+ vi+1
h2 = ϕi, 1 ≤i ≤ N −1, v0 = 0, vN = 0,
trong đó vi ≈ v(xi), ϕi = ϕ(xi).
Để kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp đề xuất, ta xét các ví dụ trong trường hợp biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng.
Trong tất cả các bảng số liệu tính toán và các đồ thị, ta kí hiệu k là số lần lặp, euk = kuưukk
ωh. Quá trình lặp được thực hiện cho đến khi ek = kuk −uk−1kω¯h ≤10−16. (2.3.1) Ta sử dụng công bội r(k) = ek/ek−1 để minh họa tốc độ hội tụ thực tế của phương pháp lặp.
Trước tiên ta xét ví dụ trong trường hợp đã biết trước nghiệm đúng.
Ví dụ 2.1. Xét bài toán
u(4)(x) = (u00(x))2
144 −u(x) + 24 + x−x2, 0 < x <1, u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
Nghiệm đúng của bài toán trên [0,1] là u(x) =x4 −2x3 +x.
Ta có
f(x, u, v) = v2
144 −u+ 24 +x−x2. Trong miền
DM = n
(x, u, v) | 0≤ x ≤ 1, |u| ≤ M
64, |v| ≤ M 8
o , ta có
|f(x, u, v)| ≤ 1 144.M2
64 + M
64 + 26.
Do đó chọn M = 27 đảm bảo điều kiện |f(x, u, v)| ≤ M trong DM. Khi đó trong D27, từ điều kiện
|fu0| = | −1| = 1, |fv0|= | v
72| ≤ 3 64, ta có thể chọn
L1 = 1, L2 = 3 64. Khi đó
q = 1
64(L1 + 8L2) ≈ 0.02 < 1.
Như vậy tất cả các điều kiện của Định lý 2.1 đều được thỏa mãn. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ.
Bảng 2.1 thể hiện rõ sự hội tụ của phương pháp lặp. Từ bảng này ta thấy rằng sự hội tụ của phương pháp lặp rời rạc không phụ thuộc vào cỡ lưới.
Thêm vào đó ta cũng dễ dàng kiểm tra được rằng tất cả các điều kiện của Định lý 2.2 đều được thỏa mãn trong miền D+M. Do đó ta còn khẳng định được nghiệm của bài toán là không âm.
Tiếp theo ta xét một số ví dụ trong trường hợp chưa biết trước nghiệm đúng.
Bảng 2.1: Sự hội tụ trong Ví dụ 2.1.
N k euk ek
80 12 8.4292e-5 1.6625e-17 100 12 6.5626e-5 1.5993e-17 200 12 3.5680e-6 1.5287e-17 250 12 1.4268e-6 1.4825e-17
Ví dụ 2.2. (Xem [5]). Xét bài toán
u(4)(x) = −3u2(x)(u00(x))2 + 3u(x)−4u00(x) + sinπx, 0< x < 1, u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
Trong ví dụ này
f(x, u, v) = −3u2v2 + 3u−4v + sinπx.
Ta phải chọn M > 0 sao cho điều kiện (2.1.9) của Định lý 2.1 được thỏa mãn. Số M có thể xác định từ bất phương trình
3 M
64
2M 8
2
+ 3M
64 + 4M
8 + 1 ≤ M.
Ta thấy M = 3 là lựa chọn phù hợp. Khi đó trong miền D3 =
(x, u, v) | 0≤ x ≤ 1,|u| ≤ 3
64,|v| ≤ 3 8
, vì fu0 = −6uv2 + 3, fv0 = −6u2v −4, nên ta có
0 ≤ fu0 ≤ 3, fv0 < 0, |fv0| ≤ 6.
3 64
2
.3
8 + 4≈ 4.0049 ≤ 4.1.
Do đó, L1 = 3, L2 = 4.1thỏa mãn điều kiện (2.1.10) của Định lý 2.1. Khi đó, theo công thức (2.1.11) ta được q ≈ 0.5594. Ta thấy tất cả các điều kiện của Định lý 2.1 được thỏa mãn. Vì vậy, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ.
Hơn nữa, nghiệm này là không âm. Thật vậy, trong D3 ta có fu0 >
0, fv0 < 0, do đó, f(x, u, v) tăng theo u, và giảm theo v.
Lấy xấp xỉ ban đầu ϕ0 = f(x,0,0) = sinπx ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1. Theo Bổ đề 2.1 ta có
−1
8 ≤v0 ≤ 0, 0 ≤u0 ≤ 1 64. Từ đây, ta thu được đánh giá
ϕ1 = f(x, u0, v0) = −3u20v02 + 3u0 −4v0 + sinπx
= 3u0(1ưu0v02)ư4v0 + sinπx
≥ sinπx = ϕ0.
Theo Bổ đề 2.2, dãy xấp xỉ xây dựng bởi quá trình lặp là dãy tăng 0 ≤u0 ≤ u1 ≤ ... ≤uk ≤ ...
Do đó, giới hạn của nó là nghiệm của bài toán ban đầu và nghiệm này không âm.
Ngoài ra ta có thể áp dụng trực tiếp Định lý 2.2 trong D+3 để kết luận bài toán có nghiệm không âm duy nhất.
Với điều kiện dừng (2.3.1), ta thấy quá trình lặp thực hiện k = 39 bước.
Khi đó e39 = 7.9797e−17 và công bội thực tế là q ≈0.4361 thay vì đánh giá lý thuyết q ≈ 0.5594 như trên. Công bội r(k) và một số nghiệm xấp xỉ được mô tả trong Hình 2.1. Từ hình vẽ này ta thấy tốc độ giảm của công bội r(k) hầu như không đổi.
Chú ý rằng với ví dụ này trong [5] bằng phương pháp đơn điệu với nghiệm dướiα = 0và nghiệm trên β = sinπx, Li chỉ ra bài toán có nghiệm không âm duy nhất. Thêm vào đó, với M = 3, N = 2, C1 = 3, C2 = 4 các
Hình 2.1: Công bội thực tế r(k)(trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.2
dãy {αn(x)},{βn(x)} được xây dựng bởi quá trình lặp L4un(x) =F(x, un−1(x), u00n−1(x)),
un(0) = un(1) = u00n(0) = u00n(1) = 0, n = 1,2, ..., trong đó
L4u = u(4) −N u00 +M u, F(x, u, u00) = f(x, u, u00)−N u00 +M u với các hàm ban đầu u0 = α, u0 = β tương ứng thỏa mãn αn−1 ≤ αn ≤ βn ≤ βn−1 và hội tụ tới nghiệm theo cấp số nhân với công bội
ρ = C1 +M + 8(C2 + N)
56 ≈0.9643.
Rõ ràng, đánh giá lý thuyết này về công bội ρ trong phương pháp của Li lớn hơn so với công bội q ≈ 0.5594 vừa tính được ở trên. Một lợi thế khác của phương pháp được trình bày trong luận văn so với phương pháp của Li đó là các bài toán cấp hai (2.2.2) và (2.2.3) rất dễ giải trong khi bài toán cấp bốn tuyến tính
u(4)−2u00 + 3u = g(x),
u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0
tại mỗi phép lặp trong phương pháp của Li rất khó giải. Lý do của điều này là vì ta không thể phân tích toán tử L4u = u(4)−2u00+ 3u thành tích của các toán tử vi phân cấp hai với các hệ số thực vì thực tế phương trình D4 −2D2 + 3 = 0 không có các nghiệm thực.
Ví dụ 2.3. (Xem [4]). Xét bài toán
u(4)(x) = −5u00 −(u+ 1)2 + sin2πx+ 1, u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
Trong ví dụ này
f(x, u, v) = −5v −(u+ 1)2 + sin2πx+ 1.
Tương tự như Ví dụ 2.2 ta thấy các điều kiện của Định lý 2.1 thỏa mãn với M = 3.5, L1 = 2.11, L2 = 5 và q ≈ 0.6580. Do đó, bài toán có nghiệm duy nhất và phương pháp lặp hội tụ.
Thực nghiệm số chỉ ra sau k = 45 lần lặp thì quá trình lặp dừng với e45 = 5.8981e−17 và công bội thực tế là q ≈ 0.4858 thay vì đánh giá lý thuyết q ≈ 0.6580 như trên. Công bội r(k) và một số nghiệm xấp xỉ được mô tả trong Hình 2.2. Từ hình vẽ này ta thấy tốc độ giảm của công bội r(k) hầu như không đổi.
Chú ý rằng trong [4] Bai chỉ có thể thiết lập sự tồn tại nhưng không đảm bảo tính duy nhất của nghiệm. Như Li trong [5], Bai cũng sử dụng nghiệm dưới α = 0 và nghiệm trên β = sinπx. Dãy xấp xỉ {αn},{βn} trong [4]
được tạo ra bởi việc giải phương trình dạngu(4)+ 5u00+ 4u = g(x) tại mỗi bước lặp. Như trong Ví dụ 2.2 của Li, phương trình này thật khó để giải vì toán tử vi phân này không thể phân tích thành tích của hai toán tử vi phân cấp hai.
Hình 2.2: Công bội thực tế r(k)(trái) và một số nghiệm xấp xỉ (phải) trong Ví dụ 2.3
Ví dụ 2.4. (Xem [6]). Xét bài toán
u(4) = um − 1
π10(u00)5 + sinπx, m ≥ 1, u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0.
Trong ví dụ này,
f(x, u, v) =um − 1
π10v5 + sinπx.
Với mọi m ≥ 1ta có thể chọn M = 1.1. Trong D+M, ta có 0 ≤f(x, u, v) ≤ M và ta có thể chọnL1 = 1, L2 = 0.1. Do đó,q ≈ 0.0156. Theo Định lý 2.2 bài toán có nghiệm không âm duy nhất. Phương pháp lặp hội tụ rất nhanh được khẳng định qua kết quả thực nghiệm số. Sai số ||uk−uk−1|| ≤10−16 đạt được sau k = 8 phép lặp với m = 1; k = 4 với m = 2; k = 3 với m = 3; k = 2 với m = 4.
Cần chú ý rằng trong [6], ở ví dụ này các tác giả khẳng định được sự tồn tại ít nhất một nghiệm của bài toán chứ không chỉ ra được sự duy nhất của nghiệm.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu định tính và phương pháp lặp giải một bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn với
điều kiện biên gối - tựa đơn giản với cách tiếp cận đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải. Các kết quả đạt được là:
- Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm dưới các điều kiện dễ kiểm tra đặt lên hàm vế phải xét trên một miền bị chặn;
- Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm với tốc độ cấp số nhân;
- Xét tính đơn điệu của dãy xấp xỉ nghiệm;
- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó một số ví dụ cho thấy ưu thế của phương pháp nghiên cứu so với phương pháp của một số tác giả khác.
KẾT LUẬN CHUNG
Với các kiến thức cơ sở ở Chương 1 về Không gian Banach, Định lý điểm bất động Banach, hàm Green, Nguyên lý cực đại, dựa trên việc nghiên cứu đọc hiểu tài liệu [2], đối với một bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên gối - tựa đơn giản (0.0.1), luận văn đã:
1. Trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm, xét tính dương của nghiệm của bài toán nhờ sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đó là đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến, sau đó áp dụng Định lý điểm bất động Banach đối với toán tử này;
2. Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp với tốc độ cấp số nhân;
3. Nêu một số ví dụ số minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có một số ví dụ được phân tích cho thấy ưu thế của phương pháp được trình bày so với phương pháp của một số tác giả khác;
4. Bổ sung thêm ví dụ trong trường hợp đã biết trước nghiệm đúng để minh họa cho các kết quả lý thuyết. Ví dụ trong trường hợp này chưa được đưa ra trong [2].
Hướng phát triển
1. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân cấp cao hơn với các điều kiện biên khác;
2. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn và cấp cao hơn với một số loại điều kiện biên;
3. Nghiên cứu giải bài toán biên phi tuyến đối với hệ phương trình vi phân cấp bốn và cấp cao hơn với các điều kiện biên phức tạp hơn.