Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm dựa trên vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
…… ….***…………
NGÔ THỊ KIM QUY
PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP BỐN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12
TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
(2)Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam
Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS Hà Tiến Ngoạn
Phản biện 1: … Phản biện 2: … Phản biện 3: …
Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 201…
Có thể tìm hiểu luận án tại:
(3)MỞ ĐẦU
1 Tính cấp thiết luận án
Nhiều toán vật lý, học số lĩnh vực khác mơ tả phương trình hệ phương trình vi phân với điều kiện biên khác Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình vi phân cấp bốn mà hàm vế phải chứa ẩn hàm chứa đầy đủ đạo hàm cấp (từ cấp đến cấp ba) gọi phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Ngược lại, phương trình gọi phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ
Bài tốn biên phương trình vi phân thu hút quan tâm nhà khoa học Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós, Một số nhà toán học học Việt Nam, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, nghiên cứu phương pháp giải tốn biên cho phương trình vi phân
Trong số phương trình vi phân phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn quan tâm nhiều thời gian gần mơ hình tốn học nhiều toán học Dưới chúng tơi điểm qua số tốn biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn
Đầu tiên, xét toán dầm đàn hồi mơ tả phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng
u(4)(x) = f(x, u(x), u00(x)) (0.0.2)
u(4)(x) = f(x, u(x), u0(x)) (0.0.3) u độ võng dầm, ≤ x ≤ L Các điều kiện biên hai đầu dầm cho phụ thuộc vào ràng buộc tốn Đã có số kết nghiên cứu định tính tốn biên phương trình vi phân tồn tại, tính tính dương nghiệm Đáng ý phải kể đến báo Alves cộng (2009), Amster cộng (2008), Bai (2004), Li (2010), Ma cộng (1997), , phương pháp nghiệm nghiệm dưới, phương pháp biến phân, định lý điểm bất động sử dụng Trong
(4)báo điều kiện tính bị chặn hàm vế phải f(x, u, v) bậc tăng trưởng vơ thiếu
Trong báo nhắc đến trên, phương trình vi phân cấp bốn không chứa đạo hàm cấp ba Khoảng chục năm trở lại đây, phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ, cụ thể phương trình
u(4)(x) =f(x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)) (0.0.6) thu hút quan tâm nhiều tác giả (xem Ehme cộng (2002), Feng cộng (2009), Li cộng (2013), Li (2016), Minhós cộng (2009), Pei cộng (2011), ) Các kết báo nghiên cứu tồn tại, tính tính dương nghiệm Các cơng cụ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder (xem Pei cộng (2011)), định lý điểm bất động Schauder sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm nghiệm (xem Bai (2007), Ehme cộng (2002), Feng cộng (2009), Minhós cộng (2009)) giải tích Fourier (xem Li Liang (2013))
Tuy nhiên, tất báo nêu trên, tác giả cần đến giả thiết quan trọng hàm f : [0,1] ×R4 →
R thỏa mãn điều kiện Nagumo
số điều kiện khác tính đơn điệu tăng trưởng vô Cần lưu ý rằng, phương pháp đơn điệu, giả thiết tìm nghiệm nghiệm ln ln cần thiết việc tìm chúng nói chung khơng dễ dàng
Các tốn hệ phương trình vi phân cấp bốn nghiên cứu chưa nhiều, chẳng hạn Kang cộng (2012), Lău v cng s (2005), Zhu v cng s (2010), tác giả xét phương trình vi phân chứa đạo hàm cấp chẵn Với điều kiện phức tạp, việc sử dụng định lý số điểm bất động nón, tác giả thu tồn nghiệm dương Tuy nhiên, kết đạt có tính lý thuyết túy khơng có ví dụ minh họa tồn nghiệm
Minhós Coxe (2017, 2018) tác giả xét hệ hai phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Tác giả đưa điều kiện đủ cho tính giải hệ việc sử dụng phương pháp nghiệm dưới, nghiệm Định lý điểm bất động Schauder Chứng minh kết cồng kềnh phức tạp, đòi hỏi điều kiện Nagumo hàm f h
(5)khoa học thực tiễn
Đó lý chúng tơi chọn đề tài: "Phương pháp lặp giải toán biên hai điểm cho phương trình hệ phương trình vi phân cấp bốn"
2 Mục tiêu phạm vi nghiên cứu luận án Mục tiêu luận án phát triển phương pháp lặp kết hợp với phương pháp khác để thiết lập định tính đặc biệt phương pháp giải số số toán biên hai điểm phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn nảy sinh lý thuyết uốn dầm, khơng dùng đến điều kiện tăng trưởng vô cùng, điều kiện Nagumo hàm vế phải
3 Phương pháp nội dung nghiên cứu
Sử dụng cách tiếp cận đưa tốn biên phi tuyến phương trình tốn tử hàm dựa vế phải, với cơng cụ tốn giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, chúng tơi nghiên cứu tồn tại, số tính chất nghiệm số toán phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ
Cũng sở phương trình tốn tử, chúng tơi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm tốn chứng minh hội tụ phương pháp
Một số ví dụ đưa ra, biết trước trước nghiệm đúng, để minh họa tính đắn kết lý thuyết thực tính tốn máy tính điện tử để kiểm tra hội tụ thuật toán
4 Kết đạt luận án
Luận án đề xuất phương pháp nghiên cứu định tính phương pháp lặp giải toán biên phương trình hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ đầy đủ nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa tốn phương trình tốn tử hàm dựa vế phải Các kết đạt là:
• Thiết lập tồn tại, số tính chất nghiệm toán điều kiện dễ kiểm tra
• Đề xuất phương pháp lặp giải toán chứng minh hội tụ phương pháp với tốc độ cấp số nhân
•Đưa số ví dụ minh họa cho khả ứng dụng kết lý thuyết, có ví dụ mà tồn tính nghiệm chúng khơng bảo đảm tác giả khác không thỏa mãn điều kiện định lý họ
• Các thực nghiệm tính tốn minh họa tính hiệu phương pháp lặp Luận án viết sở báo [1]-[6] danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án
(6)5 Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận án gồm chương:
Chương trình bày kiến thức bổ trợ bao gồm số định lý điểm bất động; phương pháp đơn điệu giải toán biên phương trình vi phân; hàm Green số tốn phương pháp số giải phương trình vi phân Các kiến thức Chương đóng vai trò quan trọng, làm tảng cho kết trình bày Chương Chương
Trong Chương 2, cách tiếp cận đưa tốn biên phi tuyến phương trình toán tử hàm dựa vế phải, ẩn hàm, thiết lập tồn tại, số tính chất nghiệm số toán cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn khơng đầy đủ đầy đủ Cũng sở phương trình tốn tử, chúng tơi xây dựng phương pháp lặp tìm nghiệm toán chứng minh hội tụ phương pháp Một số ví dụ, biết trước trước nghiệm đưa minh họa cho tính đắn kết lý thuyết hiệu phương pháp lặp
Tiếp tục phát triển kỹ thuật Chương 2, Chương 3, hệ hai phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn khơng đầy đủ đầy đủ, thu kết tồn tại, nghiệm hội tụ phương pháp lặp Các kết làm phong phú thêm khẳng định tính hiệu cách tiếp cận đưa toán biên phi tuyến phương trình tốn tử hàm dựa vế phải
(7)Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho chương tham khảo từ tài liệu Ladde (1985), Melnikov cộng (2012), Samarskii cộng (1989), Zeidler (1986)
1.1 Một số định lý điểm bất động
Trong mục này, chúng tơi trình bày ba định lý điểm bất động có ứng dụng nhiều nghiên cứu tồn tại, nghiệm phương trình vi phân: Định lý điểm bất động Banach, Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểm bất động Schauder
1.2 Phương pháp đơn điệu giải tốn biên đối
với phương trình vi phân
Một phương pháp phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, nhất) nghiệm xây dựng nghiệm gần phương trình vi phân phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm nghiệm toán biên phi tuyến thu hút ý nhà nghiên cứu năm gần Phương pháp phổ biến khơng đưa cách chứng minh định lý tồn mà dẫn đến kết so sánh khác nhau, kỹ thuật hiệu để nghiên cứu tính chất định tính nghiệm Ý tưởng chung phương pháp xuất phát từ hai hàm α β tương ứng gọi nghiệm (lower solution) nghiệm (upper solution) toán, người ta xây dựng nhờ trình lặp hai dãy hàm αk βk hội tụ đơn
điệu từ hai phía tới hàm u u thỏa mãn điều kiện
α ≤α1 ≤ α2 ≤ ≤αk ≤ ≤ u ≤u ≤ ≤ βk ≤ ≤ β2 ≤ β1 ≤ β
Trong trường hợp u = u, tốn có nghiệm dải < α, β >, khác, tốn có nghiệm cực trị nghiệm cực trị
(8)1.3 Hàm Green số toán
Hàm Green có ứng dụng rộng rãi nghiên cứu toán giá trị biên Đặc biệt, hàm Green công cụ quan trọng để tồn nghiệm toán
Xét tốn giá trị biên tuyến tính
L[y(x)] ≡ p0(x) dny
dxn +p1(x)
dn−1y
dxn−1 + +pn(x)y = 0, (1.3.1)
Mi(y(a), y(b)) ≡ n−1
X
k=0
αikd
ky(a)
dxk +β i k
dky(b)
dxk
= 0, i = 1, n, (1.3.2) pi(x), i = 0, n hàm liên tục (a, b), p0(x) 6= với điểm
thuộc (a, b)
Định nghĩa 1.4 (Melnikov cộng (2012)) Hàm G(x, t) gọi hàm Green toán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) xem hàm biến x, thỏa mãn điều kiện với t ∈ (a, b) :
(i) Trên [a, t) (t, b], G(x, t) hàm liên tục, có đạo hàm liên tục tới cấp n thỏa mãn phương trình (1.3.1) (a, t) (t, b), tức là:
L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b) (ii) G(x, t) phải thỏa mãn điều kiện biên (1.3.2), tức
Mi(G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, , n
(iii) Tại x = t, G(x, t) tất đạo hàm riêng theo biến x tới cấp (n−2) hàm liên tục
lim
x→t+
∂kG(x, t)
∂xk −xlim→t−
∂kG(x, t)
∂xk = 0, k = 0, , n−2
(iv) Đạo hàm riêng cấp (n−1) theo biến x G(x, t) gián đoạn x = t, cụ thể
lim
x→t+
∂n−1G(x, t)
∂xn−1 −xlim→t−
∂n−1G(x, t)
∂xn−1 = −
1
p0(t)
Định lý sau điều kiện tồn hàm Green
Định lý 1.6 (Melnikov cộng (2012)) (Tồn nhất) Nếu toán giá trị biên (1.3.1)-(1.3.2) có nghiệm tầm thường tồn hàm Green tương ứng với tốn
Xét phương trình vi phân tuyến tính khơng
L[y(x)] ≡ p0(x) dny
+p1(x)
dn−1y
(9)với điều kiện biên
Mi(y(a), y(b)) ≡ n−1
X
k=0
αikd
ky(a)
dxk +β i k
dky(b)
dxk
= 0, i = 1, n (1.3.4)
trong hệ số pj(x) hàm vế phải f(x) phương trình (1.3.3)
các hàm liên tục, vớip0(x) 6= 0trên (a, b) Mi biểu diễn dạng độc lập tuyến
tính với hệ số
Định lý sau thể mối quan hệ tính nghiệm (1.3.3)-(1.3.4) với toán tương ứng
Định lý 1.7 (Melnikov cộng (2012)) Nếu toán giá trị biên tương ứng với (1.3.3)-(1.3.4) có nghiệm tầm thường tốn (1.3.3)-(1.3.4)
có nghiệm biểu diễn dạng
y(x) =
Z b
a
G(x, t)f(t)dt,
trong G(x, t) hàm Green toán tương ứng
1.4 Phương pháp số giải phương trình vi phân
Để giải toán biên phương trình vi phân, người ta tìm nghiệm giải tích chúng số trường hợp đặc biệt đại đa số trường hợp buộc phải sử dụng phương pháp giải gần Phương pháp sai phân phương pháp số giải gần phương trình vi phân Ý tưởng chung phương pháp sai phân đưa toán vi phân toán rời rạc lưới điểm dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính
Bài tốn giá trị biên phương trình vi phân cấp hai, phương pháp sai phân ba điểm dẫn đến giải hệ phương trình có ma trận hệ số dạng ba đường chéo Một phương pháp trực tiếp hữu hiệu giải hệ phương pháp truy đuổi (một dạng đặc biệt phương pháp khử) Trong mục 1.4 chúng tơi trình bày chi tiết phương pháp truy đuổi giải hệ ba đường chéo (xem Samarskii cộng (1989))
(10)Chương 2
Phương pháp lặp giải tốn biên đối với phương trình vi phân
phi tuyến cấp bốn
Các toán giá trị biên phương trình phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên khác nghiên cứu số báo năm gần Sự tồn nghiệm toán thiết lập nhờ sử dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder (Pei Chang (2011)), định lý điểm bất động Schauder sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm nghiệm trên, chẳng hạn, Bai (2007), Ehme cộng (2002), Feng cộng (2009), Minhós cộng (2009) giải tích Fourier (Li Liang (2013)) Trong báo điều kiện tính bị chặn hàm vế phải bậc tăng trưởng vơ khơng thể thiếu Trong báo nêu trên, tác giả đưa tốn ban đầu phương trình toán tử ẩn hàm u(x) Khác với cách tiếp cận đó, báo [1]-[4], chúng tơi đưa tốn ban đầu phương trình tốn tử hàm dựa vế phải ϕ(x) =f(x, u(x), v(x), ) Ý tưởng bắt nguồn từ báo trước tác giả Đặng Quang Á (2006) nghiên cứu tốn Neumann phương trình kiểu song điều hịa Xét miền bị chặn thích hợp, không dùng đến điều kiện tăng trưởng vô cùng, điều kiện Nagumo hàm vế phải Khi đó, tốn tử ϕ số điều kiện dễ kiểm tra hàm f miền bị chặn toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, tốn ban đầu có nghiệm đảm bảo hội tụ phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương nghiệm tính đơn điệu dãy lặp Một số ví dụ, nghiệm xác toán biết chưa biết đưa để minh họa cho kết lý thuyết thu