Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 1 CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số th.
Hàm số lượng giác phương trình lượng giác CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin OJ U6 Rn N BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực sin x sin : x y sin x gọi hàm số sin, kí hiệu y sin x Tập xác định hàm số sin 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực cos x cos : x y cos x gọi hàm số sin, kí hiệu y cos x Tập xác định hàm số cô sin e/ 1V 3) Hàm số tang Hàm số tang hàm số xác định công thức y y tan x sin x cos x cos x 0, kí hiệu Tập xác định hàm số y tan x D \ k , k 4) Hàm số côtang y cot x e e Hàm số côtang hàm số xác định công thức y cos x sin x sin x 0, kí hiệu Tập xác định hàm số y cot x D \ k , k II – TÍNH TUẦN HỒN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC op 1) Định nghĩa Hàm số y f x có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T 0 cho với x D ta có: /sh ● x T D x T D ● f x T f x Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn ht s:/ Người ta chứng minh hàm số y sin x tuần hồn với chu kì T 2 ; hàm số y cos x tuần hồn với chu kì T 2 ; hàm số y tan x tuần hồn với chu kì T ; hàm số y cot x tuần hồn với chu kì T 2) Chú ý Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 2 a OJ U6 Rn N ● Hàm số y sin ax b tuần hoàn với chu kì T0 ● Hàm số y cos ax b tuần hồn với chu kì T0 2 a ● Hàm số y tan ax b tuần hồn với chu kì T0 a ● Hàm số y cot ax b tuần hồn với chu kì T0 a ● Hàm số y f x tuần hồn với chu kì T1 hàm số y f x tuần hồn với chu kì T2 hàm số y f x f x tuần hồn với chu kì T0 bội chung nhỏ T1 T2 Lưu ý số thực không xác đinh bội chung m, n, nên T0 mT1 nT2 với m,n số tự nhiên nguyên tố ) III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y sin x ● Tập xác định D , có nghĩa xác định với x ; ● Tập giá trị T 1;1 , có nghĩa 1 sin x 1; e/ 1V ● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2, có nghĩa sin x k 2 sin x với k ; ● Hàm số đồng biến khoảng k 2; k 2 nghịch biến khoảng k 2; 3 k 2 , k ; 2 op 2) Hàm số y cos x e e ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ● Tập xác định D , có nghĩa xác định với x ● Tập giá trị T 1;1 , có nghĩa 1 cos x 1; /sh ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2, có nghĩa cos x k 2 cos x với k ; ● Hàm số đồng biến khoảng k 2; k 2 nghịch biến khoảng k 2; k 2 , k ; ht s:/ ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 3) Hàm số y tan x 2 ● Tập xác định D \ k , k ; ● Tập giá trị T ; OJ U6 Rn N Hàm số lượng giác phương trình lượng giác ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x với k ; ● Hàm số đồng biến khoảng k ; k , k ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 3 4) Hàm số y cot x x e/ 1V y O 3 ● Tập xác định D \ k , k ; e e ● Tập giá trị T ; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì , có nghĩa tan x k tan x với k ; ● Hàm số đồng biến khoảng k ; k , k ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 2 3 O ht s:/ /sh op y Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 3 2 x Hàm số lượng giác phương trình lượng giác B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP OJ U6 Rn N Dạng 1: Tìm tập xác đinh hàm số Phương pháp Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau y u x có nghĩa u x xác định u ( x) y y Hàm số y s inx, y cosx xác định tập giá trị là: 1 sin x ; cos x u ( x) có nghĩa u x , v x xác định v( x) v( x) u ( x) có nghĩa u x , v x xác định v( x) v( x) Như vậy, y s in u x , y cos u x xác định u x xác định y tan u x có nghĩa u x xác định cos u x u x k , k e/ 1V y cot u x có nghĩa u x xác định sin u x u x k , k sin u x u x cos u x u x k 2 cos u x u x k 2 , k k 2 sin u x u x Các ví dụ mẫu k 2 , k 5x a) y sin ; x 1 e e Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: b) y cos x ; d) y sin x Giải op 5x a) Hàm số y sin xác định x x 1 x 1 Vậy D \ 1 /sh b) Hàm số y cos x xác định x x 2 x Vậy D x | 2 x 2 c) Ta có: 1 s inx s inx Do đó, hàm só ln ln xác định hay D ht s:/ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a) y tan x ; b) y cot x ; 6 3 c) y sin x ; cos( x ) Giải Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác d) y tan x Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 2 Vậy D \ k , k OJ U6 Rn N 2 a) Hàm số y tan x xác định x k x k , k 6 b) Hàm số y cot x xác định x k x k , k 3 3 Vậy D \ k , k c) Hàm số y 3 sin x xác định cos x x k x k , k cos( x ) 2 Vậy y g ( x) d) Hàm số y xác định tan x x k , k tan x Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: ; cos x b) y 3cos x sin x cos x e/ 1V a) y cos x Giải a) Hàm số y cos x xác định cosx x k , k cos x Vậy D \ k , k 2 3cos x xác định sin x cos x sin x cos x e e b) Hàm số y k sin x x k x , k k Vậy D \ , k op Ví dụ Tìm m để hàm số sau xác định : y 2m 3cos x Giải /sh Hàm số cho xác định R 2m 3cos x cosx Bất đẳng thức với x 2m 2m m 3 Bài tập trắc nghiệm ht s:/ Câu Tìm tập xác định D hàm số y 2021 sin x B D \ 0 A D Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác OJ U6 Rn N D D \ k , k 2 C D \ k , k Lời giải Chọn C Hàm số xác định sin x x k , k Vật tập xác định D \ k , k Câu Tìm tập xác định D hàm số y sin x cos x B D \ k , k 2 A D C D \ k , k D D \ k 2 , k Lời giải Chọn D Hàm số xác định cos x cos x x k 2 , k e/ 1V Vậy tập xác định D \ k 2 , k Câu Tìm tập xác định D hàm số y A D \ k , k cos x sin x 2 B D \ k , k Chọn C e e C D \ 1 2k , k D D \ 1 2k , k Lời giải op Hàm số xác định sin x x k x k , k 2 2 Vậy tập xác định D \ k , k 2 /sh Câu Tìm tập xác định D hàm số y A D B D \ k , k C D \ k 2 , k 4 D D \ k , k 4 s:/ ht 2021 sin x cos x Lời giải Chọn D Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác k , k OJ U6 Rn N Hàm số xác định sin x cos x tan x x Vậy tập xác định D \ k , k 4 Câu Tìm tập xác định D hàm số y cot x sin x 4 A D \ k , k 4 B D C D \ k , k 8 D D Lời giải Chọn C k Hàm số xác định sin x x k x , k 4 e/ 1V Vậy tập xác định D \ k , k 8 x Câu Tìm tập xác định D hàm số y tan 2 4 3 k 2, k A D \ 3 k , k Chọn A x 2 D D \ k , k e e C D \ 2 B D \ k 2, k Lời giải x 3 Hàm số xác định cos k x k 2, k 2 4 2 3 k 2, k 2 op Vậy tập xác định D \ Câu Tìm tập xác định D hàm số y 2 tan x sin x 2 C D \ k , k D D /sh B D \ k , k Lời giải Chọn B Hàm số xác định sin x tan x xác định s:/ ht A D \ k 2, k sin x cos x x k , k cos x Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 2 Câu Tìm tập xác định D hàm số y sin x B D 2; A D OJ U6 Rn N Vậy tập xác định D \ k , k C D 0;2 D D Lời giải Chọn A sin x 3, x Ta có 1 sin x Do ln tồn bậc hai sin x với x Vậy tập xác định D Câu Tìm tập xác định D hàm số y sin x B \ k , k A D C D 1;1 D D Lời giải Chọn D 3 sin x 1, x Ta có 1 sin x Do khơng tồn bậc hai sin x e/ 1V Vậy tập xác định D Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y 1 sin x B D \ k , k A D \ k , k 2 C D \ k 2, k D D Chọn C e e Lời giải Hàm số xác định sin x sin x * Mà 1 sin x nên * sin x x k 2, k 2 op Vậy tập xác định D \ k 2, k Câu 11 Tìm tập xác định D hàm số y sin x sin x /sh A D C D k 2; B D 5 k 2 , k 5 13 k ; k 2 , k D D Lời giải Chọn B s:/ ht 1 sin x , x 1 sin x Ta có 1 sin x Vậy tập xác định D Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 2 OJ U6 Rn N Câu 12 Tìm tập xác định D hàm số y tan cos x 2 A D \ k , k B D \ k 2, k D D \ k , k C D Lời giải Chọn D Hàm số xác định cos x k cos x k * 2 Do k nên * cos x 1 sin x x k , k Vậy tập xác định D \ k , k Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ hàm số y f ( x) Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số; kiểm chứng D tập đối xứng qua số tức x D x D (1) Bước 2: Tính f ( x) so sánh f ( x) với f ( x) e/ 1V - Nếu f ( x) f ( x) f ( x) hàm số chẵn D (2) - Nếu f ( x) f ( x) f ( x) hàm số lẻ D Chú ý: (3) Nếu điều kiện (1) không nghiệm f ( x) hàm khơng chẵn khơng lẻ D; - Nếu điều kiện (2) (3) khơng nghiệm đúng, f ( x) hàm khơng chẵn không lẻ D e e - Lúc đó, để kết luận f ( x) hàm không chẵn không lẻ ta cần điểm x0 D f ( x0 ) f ( x0 ) cho f ( x0 ) f ( x0 ) op Các ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = sin2x; c) y sin x b) y = tan x ; Giải /sh a) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: f x sin 2 x sin x f x Do hàm số cho hàm số lẻ ht s:/ b) TXĐ: D \ k , k Suy x D x D Ta có: f x tan x tan x f x Do hàm số cho hàm số chẵn Page Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Ta có: f x sin x sin x f x Do hàm số cho hàm số chẵn Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = tanx + cotx; b) y = sinx.cosx Giải k a) TXĐ: D \ , k Suy x D x D OJ U6 Rn N c) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: f x tan x cot x tan x - cot x tan x cot x f x Do hàm số cho hàm số lẻ b) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: f x sin x cos x sin x cos x f x Do hàm số cho hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = 2sinx + 3; b) y sinx cosx e/ 1V Giải a) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: f 2sin 2 f 2 2 f 2 2 e e f Nhận thấy f ; f 2sin 2 2 Do hàm số không chẵn không lẻ op b) TXĐ: D Suy x D x D Ta có: y sinx cosx sin x 4 /sh f sin 0; 4 4 ht s:/ f Nhận thấy f f sin 4 4 4 f 4 4 f 4 4 Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: Page 10 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác ... x sin x sin x hàm số chẵn Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? Page 12 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác tan x sin x Hàm số lượng giác phương trình lượng giác C y B y x sin... Hàm số y sin x hàm số lẻ Hàm số y cos x hàm số chẵn ht s:/ Hàm số y tan x hàm số lẻ Hàm số y cot x hàm số lẻ Vậy B đáp án Câu 2: Trong hàm số sau, hàm số hàm số chẵn? Page 11 Hàm. .. f 4 4 Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: Page 10 Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hàm số lượng giác phương trình lượng giác sinx tan x ; sin