Untitled Fly Education Thầy Hải Toán K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng SĐT 0905958921 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021 N ơ iĐ âu C ó Ý C hí Ở Đ ó C ó C on Đ ư ờ ng M[.]
Fly Education Thầy Hải Toán K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng SĐT: 0905958921 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021 MỤC LỤC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §0 – Công thức lượng giác cần nhớ §1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §2 – §3 – A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN | Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác | Dạng Tính chẵn lẻ hàm số | Dạng Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 13 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 17 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 19 | Dạng Giải phương trình lượng giác 19 | Dạng Giải phương trình lượng giác dạng mở rộng 21 | Dạng Giải phương trình lượng giác có điều kiện xác định 22 | Dạng Giải phương trình lượng giác khoảng (a; b) cho trước 24 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 26 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP i/63 29 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 29 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 30 | Dạng Giải phương trình bậc hàm số lượng giác 30 | Dạng Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác 33 | Dạng Giải phương trình bậc sinx cosx 37 | Dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx 41 | Dạng Phương trình chứa sin x ± cos x sin x · cos x 43 C §4 – 17 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 45 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC A 48 PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 48 | Dạng Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình bậc hai (ba) hàm số lượng giác 48 | Dạng Biến đổi asinx + bcosx 49 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ơ 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương ii MỤC LỤC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH | Dạng Biến đổi đưa phương trình tích 50 | Dạng Một số toán biện luận theo tham số 51 B §5 – ĐỀ ƠN TẬP CUỐI CHƯƠNG 57 A Đề số 57 B Đề số 60 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 63 Gv Ths: Phạm Hùng Hải §6 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 55 ii/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 ng Chươ HÀM SỐ SỐ LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC VÀ VÀ HÀM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIÁC PHƯƠNG LƯỢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCTRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin x Góc (I) (II) (III) (IV ) GTLG sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − (Nhất - Nhị sin - Tam tan - Tứ cos) y + π (II) (I) cos x x 2π π −1 O (III) (IV ) 3π −1 − 2) Công thức lượng giác sin α cos α 1 + tan2 α = cos2 α cos α sin α 1 + cot2 α = sin α Cung (góc) đối Cung (góc) bù cos(−α) = cos α sin(π − α) = sin α sin(−α) = − sin α cos(π − α) = − cos α tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α Cung (góc) phụ π − α = cos α sin 2π − α = sin α cos π2 − α = cot α tan π2 cot − α = tan α sin2 α + cos2 α = tan α · cot α = tan α = cot α = 3) Cung góc liên kết 1/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ơ 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BÀI CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ Công thức lượng giác cần nhớ Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Cung (góc) π cos(π + α) = − cos α sin(π + α) = − sin α tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α π Cung (góc) π sin + α = cos α π2 cos + α = − sin α π2 tan + α = − cot α π2 + α = − tan α cot 4) Công thức cộng Gv Ths: Phạm Hùng Hải sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b tan a + tan b tan a − tan b tan (a + b) = tan (a − b) = − tan + tan a · tan b π 11− πa · tanb + tan x tan x +x = tan −x = Hệ quả: tan − tan x + tan x 5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba Nhân đôi sin 2α = sin α · cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α tan 2α = − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Hạ bậc − cos 2α sin2 α = sin 3α = sin α − sin3 α + cos 2α cos 3α = cos3 α − cos α cos2 α = − cos 2α + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α tan2 α = Nhân ba tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α 6) Công thức biến đổi tổng thành tích a−b a−b a+b a+b · cos · sin cos a + cos b = cos cos a − cos b = −2 sin 2 2 a+b a+b a−b a−b sin a + sin b = sin sin a − sin b = cos · cos · sin 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tan a + tan b = tan a − tan b = cos a · cos b cos a · cos b sin(a + b) sin(b − a) cot a + cot b = cot a − cot b = sin a · sin b sin a · sin b Đặc biệt √ √ π π sin x + cos x = sin x + sin x − cos x = sin x − 4 π √ √ π = = − cos x + cos x − 4 7) Cơng thức biến tích thành tổng cos a · cos b = 2/63 1 sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x ○ Tập xác định: D = R y ○ Tập giá trị: [−1; 1], tức −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ○ Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng −π π π x Đồ thị hàm số y = sin x ○ Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π, nghĩa sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z − π2 Hàm số y = cos x ○ Tập xác định: D = R ○ Tập giá trị: [−1; 1], tức −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R ○ Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng ○ Hàm số y = cos x hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π, nghĩa cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z y − π2 −π π x π Đồ thị hàm số y = cos x Hàm số y = tan x π ○ Điều kiện cos x 6= ⇔ x 6= + kπ, k ∈ Z o nπ + kπ, k ∈ Z Tập xác định: D = R\ y ○ Tập giá trị: R ○ Là hàm số lẻ ○ Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z 3/63 −π − π2 O π π x Hàm số y = cot x p Th.S Phạm Hùng Hải – Ơ 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ○ Điều kiện sin x 6= ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} y ○ Tập giá trị: R ○ Là hàm số lẻ ○ Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z −π 3π − π2 O π π x Một số trường hợp đặc biệt Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x Gv Ths: Phạm Hùng Hải sin sin sin B cos O sin x = ⇔ x = π + k2π A′ cos O A cos O B′ sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π sin x = ⇔ x = kπ Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x B A′ A O sin sin sin cos cos x = ⇔ x = k2π O O cos B′ cos x = ⇔ x = cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos π + kπ B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN | Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: ○ y = tan f (x) = π sin f (x) ĐKXĐ −−−−−−−−−−−−−→ cos f (x) 6= ⇔ f (x) 6= + kπ, k ∈ Z cos f (x) ○ y = cot f (x) = cos f (x) ĐKXĐ −−−−−−−−−−−−−→ sin f (x) 6= ⇔ f (x) 6= kπ, k ∈ Z sin f (x) ○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: ○ y= 4/63 ĐKXĐ −−−−−−−−→ P(x) 6= P(x) ○ y= p ĐKXĐ P(x) −−−−−−−−→ P(x) ≥ 2n p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ĐKXĐ p ○ y = 2n −−−−−−−−→ P(x) > P(x) ○ Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt: + sin x = ⇔ x = π + k2π ≤ | cos x| ≤ ○ −1 ≤ sin x ≤ ⇒ −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ sin2 x ≤ ≤ cos2 x ≤ ○ Biến đổi dạng: m ≤ y ≤ M Kết luận: max y = M y = m Phương pháp: Khảo sát parabol Trong trường hợp hàm số có dạng bậc hai theo hàm số lượng giác, ta dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hàm bậc hai, sau khảo sát hàm kết luận Kiến thức parabol: Å ã b ∆ ○ Đỉnh parabol (P) : y = ax + bx + c I − ; − 2a 4a ○ Bảng biến thiên: ○ a>0: 8/63 ○ a + ≥ Dấu “=”xảy = a b a+b a b o Trong trường hợp đề yêu cầu tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác đoạn cho trước, ta sử dụng đường tròn lượng giác để giới hạn miền sin cos Sau thêm bớt giống phương pháp bậc sử dụng parabol ○ m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max f (x) x∈D ○ m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ f (x) x∈D c Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau − 2sin2 x a) y = sin x + b) y = d) y = sin x cos x + e) y = − sin2 2x g) y = sin4 x + cos4 x h) y = sin6 x + cos6 x c) y = √ + cos x − f) y = (3 − sin x)2 + Ê Lời giải 9/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ○ ∀x, y, a, b ∈ R |ax + by| ≤ 10 Gv Ths: Phạm Hùng Hải HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 10/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 11 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH √ c Ví dụ Tìm x để hàm số y = − − cos2 x đạt giá trị nhỏ Ê Lời giải c Ví dụ 10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau √ a) y = sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = sin x + cos x Ê Lời giải 11/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ơ 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c Ví dụ Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − đạt giá trị nhỏ Ê Lời giải 12 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH c Ví dụ 11 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau Gv Ths: Phạm Hùng Hải a) y = 2sin2 x − sin x + b) y = 2cos2 x + cos x − Ê Lời giải c) y = cos 2x − sin x + 12/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 13 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH c Ví dụ 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = Ê Lời giải sin x + cos x + sin x − cos x + C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm tập n πxác định D o hàm số y = − tan x A D = R\ + kπ, k ∈ Z C D = R \ {k2π, k ∈ Z} 13/63 B D = R \ {kπ, k ∈ Z} nπ o D D = R\ + k2π, k ∈ Z p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường √ c Ví dụ 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos2 x − sin x cos x + Ê Lời giải 14 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Câu Tìm tập địnhocủa hàm số y = cot x n xác π A D = R\ k |k ∈ Z C D = R\{k2π|k ∈ Z} B D = R\{kπ|k ∈ Z} nπ o + kπ|k ∈ Z D D = R\ Gv Ths: Phạm Hùng Hải − cos x Câu Điều kiện xác định hàm số y = sin x π kπ A x 6= + kπ, k ∈ Z B x 6= k2π, k ∈ Z C x 6= , k ∈ Z 2 sin x + Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = − cos x π A x 6= k2π B x 6= kπ C x 6= + kπ π Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = tan 2x − 5π π π π A x 6= + k B x 6= C x 6= + kπ + kπ 12 Câu Tập giá trị hàm số y = cos x tập hợp sau đây? A R B (−∞; 0] C [0; +∞] D x 6= kπ, k ∈ Z D x 6= π + k2π D x 6= 5π π +k 12 D [−1; 1] Câu Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn Câu Tìm hàm số lẻ hàm số sau: A y = sin2 x B y = x cos 2x C y = x sin x D [0; 1] D y = cos x Câu 10 Tìm điều kiện xác định hàm số y = tan x + cot x π kπ , k ∈ Z A x 6= kπ, k ∈ Z B x 6= + kπ, k ∈ Z C x 6= D x ∈ R 2 cos 3x − Câu 11 Tập xác định hàm số y = cos x + A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z} B D = R \ {k2π; k ∈ Z} π C D = R \ { + kπ; k ∈ Z} D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z} Câu 12 Mệnh đề sai? A Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π B Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì π C Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π Câu 13 Hàm số y = sin 2x có chu kỳ π A T = 2π B T= C T = π D T = 4π Câu 14 Hàm hàm số chẵn? số π π A y = sin x + B y = cos x + C y = sin 2x D y = tan x − sin 2x 2 Câu 15 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? y −π π O 2π x −1 14/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 15 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A y = + sin x B y = − sin x Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH C y = sin x D y = cos x Câu 16 Đường cong hình vẽ bên đồ thị bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào? y −π π O π π x B y = − sin x C y = cos x D y = cos2 x + √ Câu 17 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + A max y = y = B max y = y = C max y = y = −2 D max y = y = −1 √ Câu 18 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + √ √ √ A max y = 5, y = B max y = 5, y = √ √ C max y = 5, y = D max y = 5, y = π Câu 19 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = + sin 2x − A y = −2, max y = B y = 2, max y = C y = −2, max y = D y = −1, max y = Câu 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = − cos2 3x A y = 1, max y = B y = 1, max y = C y = 2, max y = D y = −1, max y = √ Câu 21 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = + + sin 2x √ √ A y = 2, max y = + B y = 2, max y = + √ C y = 1, max y = + D y = 1, max y = Câu 22 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = + 2sin2 x 4 A y = , max y = B y = , max y = 3 C y = , max y = D y = , max y = Câu 23 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin2 x + cos2 2x A max y = 4, y = B max y = 3, y = C max y = 4, y = D max y = 3, y = Câu 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + cos x + A max y = 6, y = −2 B max y = 4, y = −4 C max y = 6, y = −4 D max y = 6, y = −1 Câu 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + cos x − A y = −6; max y = B y = −6; max y = C y = −3; max y = D y = −6; max y = Câu 26 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x − A max y = 4, y = −6 B max y = 6, y = −8 C max y = 6, y = −4 D max y = 8, y = −6 15/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường A y = cos x + − 16 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Câu 27 Gọi T tập giá trị hàm số y = A B sin x − cos 2x + Tìm tổng giá trị nguyên T C D Câu 28 Hàm số y = cos2 x + sin x + có giá trị lớn giá trị nhỏ 9 A 3; B 1; −1 C ; D ; 4 Câu 29 Giá trị lớn hàm số y = cos2 x − sin 2x + √ √ √ √ A + B − C D − Câu 30 Tìm giá trị lớn M hàm số y = B M = −3 D M = —HẾT— Gv Ths: Phạm Hùng Hải A M = −2 sin x + cos x + sin x + cos x + C M = 16/63 p Th.S Phạm Hùng Hải – Ô 0905.958.921