chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van1 of 98 TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bản demo soạn Latex Tiến Nhanh biên soạn sưu tầm Tập xác định hàm số lượng giác Chú ý •y= f (x) có nghĩa g(x) = g(x) •y= f (x) có nghĩa f (x) •y= f (x) có nghĩa g(x) > g(x) √ Câu Tìm tập xác định hàm số y = cos x A D = [0; 2π] B D = [0; +∞) C D = R D D = R\ {0} Lời giải: Điều kiện x ≥ Vậy tập xác định D = [0; +∞) Câu Tìm tập xác định hàm số y = cot x + sin 3x π + kπ B D = R\ {kπ} A D = R\ C D = R D D = R\ {k2π} Lời giải: Điều kiện sin x = 0⇔ x = kπ Vậy tập xác định D = R\ {kπ} , k ∈ Z Câu Tìm tập xác định hàm số y = tan x π A D = R\ + kπ B D = R\ {kπ} D D = R\ {k2π} C D = R Lời giải: : Điều kiện cos x = 0⇔ x = π2 + kπ Vậy tập xác định D = R\ π2 + kπ , k ∈ Z Câu Tìm tập xác định hàm số y = ±π + k2π π C D = R\ + k2π A D = R\ document, khoa luan1 of 98 cos x √ cos x − π π 5π D D = R\ + k2π; + k2π 6 B D = R\ k fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van2 of 98 . π √  x = + k2π √ π Lời giải: Điều kiện cos x − = 0⇔ cos x = ⇔ cos x = cos ⇔ (k ∈ Z)  x = − π + k2π π π Vậy tập xác định D = R\ + k2π; − + k2π , k ∈ Z 6 Câu Tìm tập xác định hàm số y = 2018 cos x − cos 3x π π π π C D = R\ + k2π; kπ D D = R\ +k 2 Lời giải: y x = kπ x = 3x + k2π π (k ∈ Z) Điều kiện cos x = cos 3x ⇔ ⇔ x = −3x + k2π x=k x Ta biểu diễn điều kiện lên đường tròn lượng giác hợp điều kiện ta π được: D = R\ k A D = R\ {kπ} B D = R\ k Câu Tìm tập xác định hàm số y = 2018cot2017 2x π π π π C D = R D D = R\ +k A D = R\ + kπ B D = R\ k 2 cos2017 2x Lời giải: Ta có y = 2018cot2017 2x = 2018 2017 sin 2x kπ Điều kiện: sin2017 2x = ⇔ sin 2x = 0⇔ sin 2x = 0⇔ 2x = kπ⇔ x = kπ Vậy D = R\ , (k ∈ Z) Câu Tìm tập xác định hàm số y = tan x + cot x + x π π π π A D = R\ + kπ B D = R\ k D D = R\ +k C D = R\π 2 y Lời giải: sin x cos x y = tan x + cot x + x ⇔ y = +2 + x cos x sin x Tập xác định hàm số là: x π cos x = x = + kπ ⇔ sin x = x = kπ Ta biểu diễn điều kiện lên đường tròn lượng giác hợp điều kiện ta được: π D = R\ k document, khoa luan2 of 98 3 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van3 of 98 Câu Tìm tập xác định hàm số y = sin x − cos2 x π π π D D = R\ +k C D = R Lời giải: Tập xác định hàm số là: π π π sin2 x − cos2 x = ⇔ − cos 2x = ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , (k ∈ Z) A D = R\ π + kπ B D = R\ k Câu Tìm tập xác định hàm số y = tan2 x π − 3π 3π + k2π B D = R\ + kπ 2 π π + k2π D D = R\ + k2π C D = R\ x π π 3π x π Lời giải: Tập xác định hàm số là: cos2 − + k2π, (k ∈ Z) = ⇔ − = + kπ ⇔ x = 4 2 A D = R\ Câu 10 Tìm tập xác định hàm số y = 2017 tan 2x sin2 x − cos2 x π π π +k C D = R D D = R\ cos 2x = cos2 x − sin2 x = Lời giải: Tập xác định hàm số ⇔ sin2 x − cos2 x = sin2 x − cos2 x = √ π π ⇔ x = +k ⇔ sin2 x − = ⇔ sin x = ± A D = R\ π + kπ Câu 11 Tìm tập xác định hàm số y = B D = R\ k tan x sin x − π π + k2π B D = R\ k 2 π π π C D = R\ D D = R\ + kπ +k   x = π + kπ π cos x = Lời giải: Tập xác định: ⇔ ⇔ x = + kπ π sin x − =  x = + k2π 2 A D = R\ Câu 12 Tìm tập xác định hàm số y = π + kπ π π C D = R\ + kπ; + kπ A D = R\ − document, khoa luan3 of 98 sin x sin x + cos x π π D D = R\ + k2π B D = R\ k fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van4 of 98 .√ π π π Lời giải: Tập xác định: sin x + cos x = ⇔ sin x + = ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ 4 Câu 13 Tìm tập xác định hàm số y = sin x cos x − sin x π π + k2π B D = R\ k 4 π π π C D = R\ + kπ; + kπ D D = R\ + kπ 4 √ π π π π Lời giải: Tập xác định: cos x − sin x = ⇔ cos x + = ⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ 4 A D = R\ − Câu 14 Tìm tập xác định hàm số y = √ − cos 4x A D = R\ {kπ} B D = R π π π C D = R\ + kπ; + kπ D D = R\ + k2π 2 Lời giải: Tập xác định: − cos 4x ≥ ⇔ ≥ cos 4x, ∀x ∈ R Câu 15 Tìm tập xác định hàm số y = √ − cos 6x A D = R\ {kπ} B D = R π π π C D = R\ + kπ; + kπ D D = R\ + kπ 4 Lời giải: Tập xác định − cos 6x > mà | cos 6x| ≤ Vậy D = R Câu 16 Tìm tập xác định hàm số y = + sin x − cos x π π + kπ D D = R\ k 2 Lời giải: Ta có: + sin x > − cos x ≥ Suy ra: TXĐ − cos x = ⇔ x = k2π A D = R\ {kπ} B D = R\ {k2π} C D = R\ Câu 17 Hàm số sau có tập xác định R? √ A y = sin x B y = tan 2x C y = cos 2x D y = cot x2 + Lời giải: y = cos 2x xác định với ∀x ∈ R Câu 18 Hàm số sau có tập xác định R? A y = cos document, khoa luan4 of 98 √ x B y= tan 2x sin2 x + 1 x C y = cos D y= sin 2x + cos 4x + 5 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van5 of 98 Lời giải: √Ta có: y = cos x có TXĐ D = [0; +∞) tan 2x π kπ y= có TXĐ cos 2x = ⇔ x = + sin x + 1 y = cos có TXĐ R = x sin 2x + sin 2x + y= có | sin 2x| ≤ 1; | cos 4x| ≤ nên > có TXĐ D = R cos 4x + cos 4x + Câu 19 Hàm số sau có tập xác định khác với tập xác định hàm số lại? sin x + cos x A y = tan x B y= cos x tan 2017x + 2018 C y= D y= cos x − sin2 x tan 2017x + 2018 Lời giải: Tất hàm số có TXĐ cos x = trừ hàm số y = cần cos x cos 2017x = cos x Câu 20 Để tìm tập xác định hàm số y = tan x + cot x, học sinh giải theo bước sau: sin x = Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa cos x =  x = π + kπ Bước 2: ⇔ ; (k; m ∈ Z) x = mπ π Bước 3: Vậy tập xác định hàm số cho D = R\ + kπ; mπ , (k; m ∈ Z) Câu giải bạn chưa? Và sai, sai bước nào? A Câu giải B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Lời giải: Các bước thực document, khoa luan5 of 98 6 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van6 of 98 GTLN GTNN Của Hàm Số Lượng Giác Chú ý • −1 ≤ sin x ≤ 1; ≤ sin2 x ≤ • −1 ≤ cos x ≤ 1; ≤ cos2 x ≤ • |tan x + cot x| • Hàm số dạng y = a sin2 x + b sin x + c (tương tự cos, tan ) tìm max theo hàm bậc (lập bảng biến thiên) • Dùng phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm x ∈√R a2√+ b2 c2 • Với hàm số y = a sin x + b cos x ta có kết quả: ymax = a2 + b2 , ymin = − a2 + b2 a1 sin x + b1 cos x + c1 ta tìm tập xác định Đưa phương trình dạng: • Hàm số có dạng: y = a2 sin x + b2 cos x + c2 a sin x + b cos x = c Câu 21 Tìm tập giá trị T hàm số y = sin 2x A T = [−2; 2] B T = [−1; 1] C T = R D T = (−1; 1) Lời giải: Hàm số y = sin 2x xác định R có tập giá trị [−1; 1] Câu 22 Tìm tập giá trị T hàm số y = − sin 2x A T = [−1; 3] B T = [−3; 4] C T = R D T = [−3; 3] Lời giải: Ta có: −1 ≤ sin 2x ≤ ⇒ −2 ≤ sin 2x ≤ ⇒ −1 ≤ − sin 2x ≤ Vậy tập giá trị hàm số :T = [−1; 3] Câu 23 Tìm tập giá trị T hàm số y = 4cos2 2x + A T = [3; 7] B T = [0; 7] C T = R D T = [0; 3] Lời giải: Ta có: ≤ cos2 2x ≤ ⇒ ≤ 4cos2 2x + ≤ Vậy tập giá trị hàm số :T = [3; 7] Câu 24 Tìm tập giá trị T hàm số y = A T = [4; 9] B T = [−1; 3] 5sin2 x + C T = R D T = [2; 3] Lời giải: Ta có: ≤ sin2 x ≤ ⇒ ≤ 5sin2 x + ≤ ⇒ ≤ 5sin2 x + ≤ Vậy tập giá trị hàm số :T = [2; 3] Câu 25 Tìm tập giá trị T hàm số y = + |sin 2x| A T = [1; 3] B T = [−1; 3] C T = R D T = [−3; 3] Lời giải: Ta có ≤ |sin 2x| ≤ ⇒ ≤ y ≤ Vậy T = [1; 3] document, khoa luan6 of 98 7 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van7 of 98 Câu 26 Trên R, hàm số sau có tập giá trị R? √ C y = cos 2x A y = sin x B y = tan 2x D y = x + sin x .√ Lời giải: Hàm số y = sin x không xác định R Hàm số y = tan 2x không xác định R Hàm số y = cos 2x xác định R có tập giá trị [−1; 1] Hàm số y = x + sin x xác định R có tập giá trị R Câu 27 Xét bốn mệnh đề sau: (1): Trên R, hàm số y = cos x có tập giá trị [−1; 1] π (2): Trên 0; , hàm số y = cos x có tập giá trị [0; 1] √ 3π , hàm số y = cos x có tập giá trị 0; (3): Trên 0; π (4): Trên 0; , hàm số y = cos x có tập giá trị (0; 1] Tìm số phát biểu A B C D Lời giải: (1): Trên R, hàm số y = cos x có tập giá trị [−1; 1] (đúng) π (2): Trên 0; , hàm số y = cos x có tập giá trị [0; 1] (đúng) √ 3π , hàm số y = cos x có tập giá trị 0; (sai) (3): Trên 0; π (4): Trên 0; , hàm số y = cos x có tập giá trị (0; 1] (đúng) Câu 28 Tập giá trị hàm số y = A T = [−2; 1] C T = (−∞, −2] ∪ [1, +∞) sin x + cos x + là: sin x + cos x + B T = [−1; 1] D T = R\ {1} Lời giải: Ta có sin x + cos x + > ∀x ∈ R Tập giá trị hàm số tập hợp giá trị y để phương trình (y − 1) sin x + (y − 2) cos x = (1 − 2y) có nghiệm ⇔ (y − 1)2 + (y − 2)2 ≥ (1 − 2y)2 ⇔ y ∈ [−2; 1] Câu 29 Tập giá trị hàm số y = cos x + sin x là: √ √ A − 2; B [−2; 2] C R D [−1; 1] .√ π Lời giải: Ta có y = cos x + sin x = sin(x + ) √ Suy |y| ≤ √ √ Vậy tập giá trị hàm số cho − 2; document, khoa luan7 of 98 8 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van8 of 98 Câu 30 Tập giá trị hàm số y = sin x + cos x là: A T = [−3; 3] B T = [−4; 4] C T = (4; ∞] D T = [−5; 5] Lời giải: Ta có y = sin x + cos x = sin(x + α) Do y ∈ [−5; 5] Câu 31 Tập giá trị hàm số y = tan x + cot x là: A T = R B T = [−2; 2] √ √ C T = − 2, D T = (−∞; −2] ∪ [2; +∞) = Lời giải: Ta có y = tan x + cot x = sin x cos x sin 2x Vì −1 ≤ sin 2x ≤ nên y ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞) 1 + sin x cos2 x A T = [0; 1] B T = 0; C T = (−∞; 1] D T = [4, +∞) 1 + = Lời giải: Ta có y = = 2 2 cos x sin x cos x sin x sin 2x Vì ≤ sin2 2x ≤ nên y ∈ [4; +∞) Câu 32 Tập giá trị hàm số y = Câu 33 Giá trị nhỏ hàm số y = sin x + A B −1 π bao nhiêu? C D −3 π π Lời giải: Vì −1 ≤ sin x + ≤ ⇔ −3 ≤ sin x + ≤ 4 sin x + cos x − là: sin x − cos x + 1 1 A M = −1, m = B M = −1, m = D M = −1, m = − C M=− ,m= 7 7 Lời giải: Vì sin x − cos x + > ∀x ∈ R nên tập giá trị hàm số tập hợp giá trị y để phương trình (1 − y) sin x + (y + 1) cos x = (1 + 3y) có nghiệm Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình A sin x + B cos x = C có nghiệm 1 suy −1 ≤ y ≤ Vậy M = −1 m = 7 Câu 34 Gọi M; m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = Câu 35 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x − cos x là: √ √ √ A −1 B C − document, khoa luan8 of 98 √ D − 9 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van9 of 98 .√ π Lời giải: y = sin x − cos x = sin x − 4√ √ √ Ta có −1 ≤ sin u ≤ ⇔ − ≤ sin u ≤ π π Câu 36 Giá trị nhỏ hàm số y = 2sin2 x + đoaạn − ; là: A B C D 2 Lời giải: y = 2sin2 x + 3, ta có sin2 x ≥ 0, ∀ ∈ R⇔ 2sin2 x + ≥ 3, ∀x ∈ R π π Do GTNN hàm số y = x = ∈ − ; Câu 37 Hàm số y = sin x + đạt giá trị nhỏ tại? sin x + cos x + π B x = π π C x = + k2π, (k ∈ Z) D x = − + k2π, (k ∈ Z) 2 sinx + Lời giải: y = ⇔ (sin x + cos x + 2) y = sinx + 1⇔ (y − 1) sin x + y cos x = − 2y sin x + cos x + Phương trình dạng a cos x + b sin x = c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Do ta có y2 + (y − 1)2 ≥ (1 − 2y)2 ⇔ 2y2 − 2y + ≥ 4y2 − 4y + 1⇔ 2y2 − 2y ≤ 0⇔ ≤ y ≤ π GTNN y = 0⇔ sin x + = 0⇔ sin x = −1⇒ x = − + k2π, (k ∈ Z) A x= Câu 38 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = + cos x là: sin x + cos x − 1 B − C − −3 D Một kết khác 2 + cos x ⇔ (sin x + cos x − 2) y = + cos x ⇔ y sin x + (y − 1) cos x = + 2y Lời giải: y = sin x + cos x − Phương trình dạng a cos x + b sin x = c Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Do ta có y2 + (y − 1)2 ≥ (2 + 2y)2 ⇔ 2y2 − 2y + 12 ≥ 4y2 + 8y + ⇔ 2y2 + 10y + ≤ √ √ 1 ⇔ −5 − 19 ≤ y ≤ −5 + 19 2 A Câu 39 Giá trị lớn hàm số y = A B −1 √ π π sin x + cos x đoaạn − ; là: √ C D √ π Lời giải: y = sin x + cos x = sin x x + π π π π π π π π Ta có: − ≤ x ≤ ⇔ ≤ x + ≤ , y = sin x x + đồng biến − ; 6 6 π π = Vậy giá trị lớn hàm số y = sin x + document, khoa luan9 of 98 10 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van10 of 98 Câu 40 Giá trị lớn hàm số y = sin2 x + cos x + là: Lời giải: y = sin2 x + cos x + = −cos2 x + cos x + = − (cos x − 1)2 + Ta có −1 ≤ cos x ≤ ⇔ −2 ≤ cos x − ≤ ⇒ ≥ (cos x − 1)2 ≥ ⇒ −4 ≤ − (cos x − 1)2 ≤ ⇒ ≤ y ≤ A B Câu 41 Hàm số y = cos x + π C đạt giá trị lớn đoạn 0; D 2π 2π π D x= π π 2π π Lời giải: Ta có x + ∈ ; π , GTNL y = x + = π ⇔ x = 3 3 B x = 90◦ A x = C x= Câu 42 Tập giá trị hàm số y = tan 3x + cot 3x là: A [−2; 2] B [−1; 1] C [−π; π] D R Lời giải: Câu 43 Giá trị nhỏ hàm số y = là: cos x + 1 B C √ D Không xác định 2 1 Lời giải: Có ≤ + cos x ≤ 2, ∀x ∈ R ⇒ ≥ GTNN y = + cos x 2 √ Câu 44 Giá trị lớn hàm số y = cos x + − cos2 x là: √ A max y = B max y = C max y = D max y = Lời giải: Đặt t = cos x Điều kiện |t| ≤ √ Bài tốn trở thành tính giá trị lớn hàm ⇔ f (t) = t + − t đoạn [−1; 1] Khi max y = max f (t) = A R [−1;1] Câu 45 Giá trị nhỏ hàm số y = là: + tan2 x Lời giải: Có tan2 x + ≥ ⇒ < ≤ GTNN y không tồn tan2 x + A Không xác định B Câu 46 Hàm số y = sin2 x + có: document, khoa luan10 of 98 C D 11 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van11 of 98 A GTLN B GTLN C GTNN D GTNN Lời giải: Có ≤ sin2 x ≤ 1, ∀x ∈ R ⇒ ≤ sin2 x + ≤ GTNN y = 2, GTLN y = π π Câu 47 Hàm số y = |sin x| xét − ; 2 A Khơng có GTLN B GTNN -1 C GTLN D GTNN .√ π π Lời giải: Vì − ≤ x ≤ ⇒ −1 ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ sin x ≤ GTNN y = 0, GTLN y = 2 Câu 48 GTNN hàm số y = |cos x| xét đoạn [−π; π] là: A −π B −1 C D Khơng có .√ Lời giải: Vì −π ≤ x ≤ π ⇒ −1 ≤ cos x ≤ ⇒ ≤ cos x ≤ GTNN y = π π Câu 49 GTNN hàm số y = |tan x| xét − ; là: 2 √ π A B C Không xác định D √ π π Lời giải: Vì x ∈ − ; ⇒ tan x ∈ (−∞; +∞) ⇒ tan x ∈ [0; +∞) GTNN y = 2 Câu 50 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x R Tính giá trị M + m A B C D 2 Lời giải: Hàm số y = sin x + cos x xác định R √ √ √ π Ta có: y = sin x + cos x = sin x + Do tập giá trị hàm số − 2; √ √ GTLN M = GTNN m = − Suy ra: M + m = Câu 51 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = |sin x + cos x| R Tính giá trị M + m √ A B D C Lời giải: Hàm số y = |sin x + cos x| xác định R √ √ π Ta có: y = |sin x + cos x| = sin x + Do tập giá trị hàm số 0; √ √ GTLN M = GTNN m = Suy ra: M + m = Câu 52 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = Tính giá trị M + m document, khoa luan11 of 98 √ sin x + cos x R 12 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van12 of 98 A B √ C D .√ √ π Lời giải: Ta có: sin x + cos x = sin x + cos x = sin x + 2 π π Do ≤ sin x + ≤ nên ≤ sin x + ≤ hay ≤ y ≤ 6 π π π = ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z y = ⇔ sin x + 6 π π π π y = ⇔ sin x + = ±1 ⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 6 Vậy : M = m = 0, suy ra: M + m = Câu 53 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin 2x + R Tính giá trị M.m A −3 B −15 C D −1 Lời giải: Ta có: −1 ≤ sin 2x ≤ ⇒ −2 ≤ sin 2x ≤ ⇒ −1 ≤ y = sin 2x + ≤ π π y = ⇔ sin 2x = ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z π π y = −1 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z Vậy : M = m = −1, suy ra: M.m = −3 π Câu 54 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + 0; Tính giá trị M.m A −3 B −5 C D 20 π Lời giải: Với x ∈ 0; ≤ cos x ≤ 1, ≤ y ≤ Vậy M.m = 20 Câu 55 Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos4 x − sin4 x R Tính giá trị M + n A B D C Lời giải: Ta có: y = cos4 x − sin4 x = (cos2 x + sin2 x)(cos2 x − sin2 x) = cos 2x Do −1 ≤ cos 2x ≤ ⇒ −1 ≤ y ≤ y = ⇔ cos 2x = ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z π y = −1 ⇔ cos 2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z Vậy : M = m = −1, suy ra: M + m = Câu 56 Giá trị nhỏ biểu thức A = sin8 x + cos8 x là: 1 A B C document, khoa luan12 of 98 D Các kết đêu sai 13 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van13 of 98 Lời giải: Ta có sin8 x + cos8 x = sin4 2x − sin2 2x + Đặt t = sin 2x Điều kiện |t| ≤ 1 Bài tốn trở thành tính giá trị nhỏ f (t) = t − t + [−1; 1] Khi y = f (t) = R [−1;1] Tính chẵn lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Chú ý Để xác định tính chẵn lẻ hàm số lượng giác ta thực theo sau Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số, đó: • Nếu D tập đối xứng (Tức ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực tiếp bước • Nếu D khơng tập đối xứng (Tức ∃x ∈ D mà −x ∈ / D), ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ Bước 2: Xác định f (−x) đó: • Nếu f (−x) = f (x) kết luận hàm số chẵn • Nếu f (−x) = − f (x) kết luận hàm số lẻ • Ngồi kết luận hàm số không chẵn không lẻ Câu 57 Hàm số y = − sin2 x là: A Hàm số lẻ C Hàm số chẵn B Hàm số khơng tuần hồn D Hàm số không chẵn không lẻ Lời giải: Xét hàm số f (x) = − sin2 x Ta có tập xác định D = R ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D f (−x) = − sin2 (−x) = − sin2 x = f (x) Vậy hàm số cho hàm số chẵn Câu 58 Hàm số sau hàm số chẵn? x D y = x + sin x cos x Lời giải: Xét hàm số y = |sin x| Ta có tập xác định D = R ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D f (−x) = |sin(−x)| = |sin x| = f (x) Vậy hàm số cho hàm số chẵn A y = |sin x| B y = x2 sin x C y= Câu 59 Hàm số sau hàm số lẻ? A y = | tan x| document, khoa luan13 of 98 B y = cot 3x C y= sin x + cos x D y = sin x + cos x 14 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van14 of 98 kπ Lời giải: Hàm số y = cot 3x có tập xác định D = R\ , k ∈ Z ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x) = − f (x) Vậy hàm số cho hàm số lẻ Câu 60 Hàm số y = − cos x + Chọn khẳng định đúng? B Hàm số cho hàm số chẵn A Hàm số cho hàm số lẻ C Hàm số khơng có tính chẵn lẻ D Hàm số có tập xác định D = R∗ Lời giải: Hàm số y = − cos x + có tập xác định D = R ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x) = − cos(−x) + = f (x) Vậy hàm số cho hàm số chẵn Câu 61 Cho hai hàm số f (x) = sin x − cos x, g(x) = cot x Chọn khẳng định đúng? A f (x) hàm số lẻ, g(x) hàm số chẵn B f (x) hàm số chẵn, g(x) hàm số lẻ C f (x) khơng có tính chẵn lẻ, g(x) hàm số lẻ D f (x), g(x) hàm số lẻ Lời giải: Hàm số f (x) có tập xác định D = R ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x) = sin(−x) − cos(−x) = − sin x − cos x = ± f (x) Vậy hàm số f (x) khơng có tính chẵn lẻ Hàm số g(x) hàm số lẻ Câu 62 Xét TXĐ A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = cos x hàm số chẵn B Hàm số y = tan x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn Lời giải: document, khoa luan14 of 98 15 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van15 of 98 Tính Tuần Hồn Của Hàm Số Lượng Giác Chú ý 2π |a| π • Hàm số y = tan(ax + b) y = cot(ax + b) với a = tuần hoàn với chu kì: |a| a • Hàm số f (x), g(x) tuần hồn tập D có chu kì a b với ∈ Q Khi F(x) = b f (x) + g(x), G(x) = f (x)g(x) tuần hồn D • Hàm số F(x) = m f (x) + n.g(x) tuần hồn với chu kì T BCNN a, b • Hàm số y = sin(ax + b) y = cos(ax + b) với a = tuần hồn với chu kì: Câu 63 Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số tuần hoàn? A y = cos2 x B y = xcos2 x C y = x2 − cos2 x D y = x2 Lời giải: Hàm số y = cos2 x tuần hoàn hoàn với chu kì T = π Câu 64 Chu kì hàm số f (x) = − sin2 x là: A T = π B T = 2π C T = π D T = 4π 2π = π Lời giải: Ta có −sin2 x = − (1 − cos 2x) có chu kì T = 2 Hay T = π số dương bé cho − sin2 (x + π) = −sin2 x nên chu kì hàm số f (x) = − sin2 x π Câu 65 Hàm số y = 2cos2 2x hàm số tuần hoàn với chu kì π 3π A 2π B π C D 2 2π π Lời giải: Có y = + cos 4x Suy hàm số tuần hồn với chu kì T = = Câu 66 Chu kì hàm số y = sin 2x + cos 3x là: π D T = 2π Lời giải: Do hàm số y = sin 2x tuần hồn với chu kì π 2π Hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì Suy hàm số y = sin 2x + cos 3x tuần hồn với chu kì 2π A T = π B T = 3π C T= Câu 67 Chu kì hàm số y = sin x + cos x là: A T = 6π document, khoa luan15 of 98 B T = 2π C T = 4π D T = 16 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van16 of 98 Lời giải: Vì sin x hàm số tuần hồn với chu kì T1 = 2π, cos x hàm số tuần hồn với chu kì T2 = 2π Nên chu kì T hàm số y = sin x + cos x BCNN T1 T2 T = 2π x x Câu 68 Chu kì hàm số f (x) = cot x + cot + cot là: A T = π B T = 2π C T = 3π D T = 6π x x Lời giải: Các hàm số cot x, cot , cot tuần hồn với chu kì π, 2π, 3π Suy hàm số f (x) = cot x + x x cot + cot tuần hồn với chu kì 3π Câu 69 Hàm số y = cos2 3x hàm số tuần hoàn với chu kì π 3π C A 3π B π D π + cos 6x Suy hàm số tuần hoàn với chu kì T = Lời giải: Có y = Câu 70 Hàm số y = 2sin2 x + 3cos2 3x hàm số tuần hoàn với chu kì π π Lời giải: BSCNN π A π B 2π C 3π D x hàm số tuần hồn với chu kì π π π A B 2π C D Lời giải: π Hàm tan 2x có chu kì T1 = x Hàm cot có chu kì T2 = 2π Vậy T = 2π Câu 71 Hàm số y = tan 2x + cot Câu 72 Hàm số y = cos 3x cos x hàm số tuần hoàn với chu kì π π π A B C D π Lời giải: y = cos 3x cos x = (cos 4x + cos 2x) document, khoa luan16 of 98 17 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van17 of 98 Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Chú ý u, v biểu thức x, x số đo góc lượng giác: u = v + 2kπ • sin u = sin v ⇔ x = π − v + k2π • cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2π π • tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (u, v = + lπ) • cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (u, v = lπ) • Muốn tìm số điểm (vị trí) biểu diễn x lên đường trịn lượng giác ta đưa dạng x = α + k 2π n Kết luận số điểm n Với k, l ∈ Z Câu 73 Trên (0; π) phương trình sin 2x = − có nghiệm? B C A D Vô số nghiệm Lời giải: Ta có: π x = − + kπ  12 sin 2x = − ⇔  Ta có x ∈ (0; π) nên ta có: 7π + kπ x= 12 π 13 11π < − + kπ < π ⇔ 1⇔m> m−1 Câu 79 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình 2cos2 x = 1: √ √ 2 A sin x = − B sin x = C tan x = D tan2 x = 2 document, khoa luan18 of 98 19 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van19 of 98 Lời giải: 2cos2 x = ⇔ = ⇔ = tan2 x + ⇔ tan2 x = (cos x = khơng phải nghiệm cos2 x phương trình) Câu 80 Giải phương trình sin2 2x + cos2 3x = 2π ,k∈Z π C x = π + kπ , k ∈ Z D x = kπ ∨ x = k , k ∈ Z Lời giải:  x = kπ − cos 4x + cos 6x 2  + = ⇔ cos 6x = cos 4x ⇔ 6x = ±4x + k2π ⇔ sin 2x + cos 3x = ⇔ kπ 2 x= A x = k2π , k ∈ Z B x=k π 5π π Câu 81 Trên (0; ) tổng nghiệm phương trình cos(3x − ) = sin(x + ) là: 5π π π 5π A B C D − 12 6 π π Lời giải: Ta có sin(x + ) = cos( − x) (dùng cung phụ.)  π kπ π π x = + Suy cos(3x + ) = cos( − x) ⇔  π 6 x = + kπ π π π Trên (0; ) ta x1 = ; x2 = π Vậy x1 + x2 = 12 Câu 82 Phương trình cos2 x − cos x + = có nghiệm A k2π, arccos + k2π (k ∈ Z) B kπ, arccos + k2π (k ∈ Z) kπ (k ∈ Z) D k2π (k ∈ Z) cos x = Lời giải: 2cos2 x − cos x + = ⇔ ⇒ x = k2π với k ∈ Z cos x = 2(V n) C Câu 83 Trong nghiệm sau, nghiệm dương nhỏ phương trình 2cos2 x+5 cos x+3 = π π A B π C D 3π  cos x = −1  Lời giải: 2cos x + cos x + = ⇔ ⇒ x = π + k2π với k ∈ Z ⇒ k = cos x = − Câu 84 Phương trình 4sin4 x + 12cos2 x − = có nghiệm document, khoa luan19 of 98 20 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van20 of 98 π π π π π + k2π B x = +k D x = − + kπ C x = + kπ 4 4 Lời giải: 4sin4 x + 12cos2 x − = ⇔ 4sin4 x + 12(1 − sin2 x) − = A x=± Câu 85 Phương trình cos(sin x) = có nghiệm khoảng (−2π; 2π)? A B C D Lời giải: cos(sin x) = ⇔ sin x = k2π (*) Điều kiện để (*) có nghiệm −1 ≤ k2π ≤ ⇒ k = Do (*) ⇔ sin x = ⇔ x = lπ Vì x ∈ (−2π; 2π) nên l ∈ {−1; 0; 1} Câu 86 Phương trình cos x cos 2x = cos 3x có nghiệm là: kπ π A kπ B D C π + 2kπ + kπ 2 Lời giải: cos x cos 2x = cos 3x ⇔ (cos 3x + cos x) = cos 3x ⇔ cos 3x = cos x ⇔ 3x = ±x + k2π  x = kπ kπ ⇔ kπ ⇔ x = x= Chú ý Phương trình dạng a sin x + b cos x = c • Nếu a2 + b2 < c2 phương trình vơ nghiệm • Nếu a2 + b2 c2√ phương trình có nghiệm, ta tiếp tục giải: Chia hai vế cho a2 + b2 a b Đặt cos α = √ , sin α = √ a2 + b2 a2 + b2 c Đưa dạng: cos(x − α) = √ a + b2 √ Câu 87 Nghiệm phương trình sin 2x − cos 2x = π π π A x = +k , k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z π π π C x = + kπ , k ∈ Z D x = +k , k ∈ Z Lời giải: Câu 88 Phương trình sau vơ nghiệm: A sin x − cos x = −3 C √ sin 2x − cos 2x = document, khoa luan20 of 98 √ B sin x = D sin x − cos x = 21 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van21 of 98 Lời giải: Điều kiến để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm: a2 + b2 c2 Câu 89 Với giá trị m phương trình sin x + cos x = m có nghiệm: √ √ √ A − ≤ m ≤ B m ≥ D m ≤ C −1 ≤ m ≤ .√ .√ 2 2 Lời giải: Điều kiện có nghiệm: + m ⇔ m ≤ hay − ≤ m ≤ Câu 90 Với giá trị m phương trình m sin x − cos x = vô nghiệm? A m ≥ B −4 < m < C m≥ √ 34 D m ≤ −4 m≥4 Lời giải: Điều kiện có nghiệm m2 + (−3)2 < 52 ⇔ m2 < 42 hay −4 < m < √ Câu 91 Phương trình: sin 3x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình sau đây: π π π A sin 3x − =− B sin 3x + =− 6 π π C sin 3x + =− D sin 3x + = 6 √ √ 1 π Lời giải: sin 3x + cos 3x = −1 ⇔ sin 3x + cos 3x = ⇔ sin 3x + = 2 Câu 92 Tìm m để phương trình cos x − m sin x = m + có nghiệm A m ≤ −13 B m ≤ 12 C m ≤ 24 D m ≥ 24 Lời giải: Điều kiện có nghiệm: 52 + m2 (m + 1)2 ⇔ m ≤ 12 √ Câu 93 Cho phương trình m sin x − − 3m cos x = m − Tìm m để phương trình có nghiệm 1 A ≤m≤3 B m≤ 3 D m≥3 C Khơng có giá trị m √ Lời giải: Điều kiện để − 3m có nghĩa m ≤ (1) √ Điều kiện để phương trình có nghiệm : m2 + (− − 3m)2 (m − 2)2 ⇔ m 3.(2) Từ (1),(2) suy khơng có giá trị m để phương trình có nghiệm Chú ý Phương trình dạng a.sin2 x + b sin x cos x + c.cos2 x = d, (a, b, c = 0) (1) • Cách 1: Sử dụng cho toán giải pt, tìm điều kiện m để pt có nghiệm thuộc tập D: document, khoa luan21 of 98 22 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van22 of 98 π + kπ pt (1) có dạng a = d π + Nếu a = d pt (1) nhận x = + kπ làm nghiệm π + Nếu a = d pt (1) khơng nhận x = + kπ làm nghiệm Với cos x = ta chia hai vế pt cho cos2 x ta được: Với cos x = ⇔ x = a.tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x) Đặt t = tan x giải pt bậc theo t • Cách 2: Sử dụng cho tốn tìm m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, dùng công thức + cos 2x 1 − cos 2x , cos2 x = sin x cos x = sin 2x ta được: sin2 x = 2 (c − a) cos 2x + b sin 2x = d − c − a Câu 94 Phương trình sin2 x − sin x cos x + 3cos2 x = có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sau đây?  tan x = A cos x = B cot x = C tan x = D  cot x = Lời giải: Xét cos x = khơng nghiệm phương trình Xét cos x = ta chia hai vế cho cos2 x :  tan x = tan x =  tan x − tan x + = ⇔ (tan x − 1).(tan x − 3) = ⇔ ⇔ tan x = cot x = Câu 95 Phương trình sin2 x − sin x cos x + 4.cos2 x = có họ nghiệm? A Ba họ nghiệm B Một họ nghiệm C Hai họ nghiệm D Bốn họ nghiệm Lời giải: Xét cos x = khơng nghiệm phương trình Xét cos x = ta chia hai vế cho cos2 x : tan2 x − tan x + = 5(1 + tan2 x) ⇔ 4tan2 x + tan x + = ⇔ (2 tan x + 1)2 = ⇔ tan x = − Câu 96 Với giá trị m phương trình msin2 x + sin 2x − 2cos2 x = − m có nghiệm? √ √ − 33 + 33 A ∀m ∈ R B ≤m≤ 2 D m ≤ C m document, khoa luan22 of 98 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 23 tai lieu, luan van23 of 98 Lời giải: − cos 2x msin2 x + sin 2x − 2cos2 x = − m ⇔ m + sin 2x − (1 + cos 2x) = − m ⇔ m − m cos 2x + sin 2x − − cos 2x = − 2m ⇔ −(m + 2) cos 2x + sin 2x = − 3m Để phương trình có nghiệm ⇔ [−(m + 2)]2 + 22 (4 − 3m)2 ⇔ 8m2 √ − 28m + ≤ √ − 33 + 33 ⇔ ≤m≤ 2 Chú ý Phương trình dạng a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = √ t2 − • Đặt t = sin x + cos x, điều kiện |t| ≤ ⇒ sin x cos x = Khi phương trình có dạng: t2 − + c = ⇔ bt + 2at + 2c − b = (*) at + b √ • Giải (*) theo t chọn t0 thỏa |t| ≤ √ π sin x + cos x = t0 ⇔ sin x + = to (đã biết cách giải) Tương tự cho phương trình a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = Câu 97 Số điểm biểu diễn vị trí nghiệm cuả phương trình (sin x − cos x) đường tròn lượng giác là: A B C D .√ Lời giải: Đặt t = (sin x − cos x) với |t| ≤ y Khi phương trình có dạng: − t2 6t − + = ⇔ t − 12t − 13 =  x π x = − + k2π π ⇒ t = −1 ⇔ sin x − cos x = −1 ⇔ sin x − = −√ ⇔  x = k2π Ta xác định số điểm biểu diễn vị trí đường trịn lượng giác bên Câu 98 Cho phương trình (sin x + cos x) + sin 2x + = Đặt t = (sin x + cos x) ta phương trình đây: A t + 3t + = B 2t + 3t + = D t + 3t + = C 2t + 3t − = Lời giải: (sin x + cos x) + 2sin2x + = ⇔ (sin x + cos x) + sin x cos x + = Đặt t = (sin x + cos x) ta được: 3t + t − + = ⇔ 2t + 3t + = Câu 99 Tìm số nghiệm phương trình document, khoa luan23 of 98 √ x − x2 sin 2017x = 24 fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 tai lieu, luan van24 of 98 A 645 nghiệm B 644 nghiệm C 643 nghiệm D 642 nghiệm  x=0  x−x = x=1 Lời giải: Tập xác định phương trình x − x2 ≥ ⇔ x ∈ [0; 1] PT ⇔ ⇔  sin2017x = kπ x= 2017 2017 Kết hợp với tập xác định, ta có ≤ k ≤ ⇔ k ∈ {0; 1; 2; ; 642} Vậy phương trình có 644 nghiệm π document, khoa luan24 of 98  ... khơng có tính chẵn lẻ Hàm số g(x) hàm số lẻ Câu 62 Xét TXĐ A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = cos x hàm số chẵn B Hàm số y = tan x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn ... = f (x) Vậy hàm số cho hàm số chẵn Câu 61 Cho hai hàm số f (x) = sin x − cos x, g(x) = cot x Chọn khẳng định đúng? A f (x) hàm số lẻ, g(x) hàm số chẵn B f (x) hàm số chẵn, g(x) hàm số lẻ C f (x)... Hàm số y = cot 3x có tập xác định D = R\ , k ∈ Z ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Ta có f (−x) = − f (x) Vậy hàm số cho hàm số lẻ Câu 60 Hàm số y = − cos x + Chọn khẳng định đúng? B Hàm số cho hàm số chẵn A Hàm