Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác chương trình toán học THPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về hàm số số lượng giác và phương trình lượng giác lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Các cơng thức lượng giác Các đẳng thức: * sin2 cos2 với k với � * tan .cot * 1 tan * 1 cot cos2 với �k2 với �k sin2 Hệ thức cung đặc biệt a.Hai cung đối nhau: cos() cos tan() tan b Hai cung phụ nhau: cos( ) sin tan( ) cot c Hai cung bù nhau: sin( ) sin tan( ) tan d) Hai cung : sin( ) sin sin() sin cot( ) cot sin( ) cos cot( ) tan cos( ) cos cot( ) cot cos( ) cos Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả tan( ) tan Các công thức lượng giác a Công thức cộng cos(a �b) cosa.cosbm sina.sin b cot( ) cot sin(a �b) sina.cosb �cosa.sinb tana �tanb 1m tana.tanb b) Công thức nhân sin2a 2sinacosa tan(a �b) cos2a cos2 a sin2 a 1 2sin2 a 2cos2 a sin3a 3sina 4sin3 a cos3a 4cos3 a 3cosa c Công thức hạ bậc 1 cos2a 1 cos2a sin2 a cos2 a 2 1 cos2a tan2 a 1 cos2a d Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb [cos(a b) cos(a b)] sina.sin b [cos(a b) cos(a b)] sina.cosb [sin(a b) sin(a b)] e Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cosa cosb 2cos cos 2 a b a b cosa cosb 2sin sin 2 a b a b a b a b sina sin b 2sin cos sina- sin b 2cos sin 2 2 sin(a b) sin(a b) tana tanb tana tan b cosacosb cosacosb II Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T �0 cho với x �D ta có x �T �D f(x T) f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T III Các hàm số lượng giác Hàm số y sinx Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt �Tập xác định: D R �Tập giác trị: [ 1;1] , tức 1�sinx �1 x �R �Hàm số đồng biến khoảng ( k2; k2) , nghịch biến 2 3 khoảng ( k2; k2) 2 �Hàm số y sinx hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng �Hàm số y sinx hàm số tuần hồn với chu kì T 2 �Đồ thị hàm số y sinx Hàm số y cosx �Tập xác định: D R �Tập giác trị: [ 1;1] , tức 1�cosx �1 x �R �Hàm số y cosx nghịch biến khoảng (k2; k2) , đồng biến khoảng ( k2;k2) �Hàm số y cosx hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng �Hàm số y cosx hàm số tuần hồn với chu kì T 2 �Đồ thị hàm số y cosx Đồ thị hàm số y cosx cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx u r theo véc tơ v ( ;0) Hàm số y tanx Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � � �Tập xác định : D �\ � k , k ��� �2 �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hồn với chu kì T � � �Hàm đồng biến khoảng � k; k � �2 � �Đồ thị nhận đường thẳng x k, k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị Hàm số y cotx �Tập xác định : D �\ k, k �� �Tập giá trị: � �Là hàm số lẻ �Là hàm số tuần hoàn với chu kì T �Hàm nghịch biến khoảng k; k �Đồ thị nhận đường thẳng x k , k �� làm đường tiệm cận �Đồ thị Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề Tập xác định tập giá trị hàm số Phương pháp �Hàm số y f(x) có nghĩa ۳ f(x) f(x) tồn có nghĩa ۹ f(x) f(x) tồn f(x) � sinu(x) � �0 u(x) k , k � �Hàm số y � cosu(x) �۹ � u(x) k , k � � 1�sinx, cosx �1 Các ví dụ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: y tan(x ) 2 y cot2( 3x) Lời giải ) 0�x۹ k x Điều kiện: cos(x �� 6 �2 � TXĐ: D �\ � k , k ��� �3 2 2 �� 3x) 0 �۹ 3 �2 � TXĐ: D �\ � k , k ��� � Điều kiện: sin( 3x k Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: tan2x cot(3x ) y sinx tan5x y sin4x cos3x Lời giải x 2 2 k k Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � � sinx �1 x � k2 � � � �� Điều kiện: � sin(3x ) � � �x � k � 18 � � n � k2, ;k,n ��� Vậy TXĐ: D �\ � 18 �2 � � Ta có: sin4x cos3x sin4x sin � 3x � �2 � �x � �7x � 2cos� � sin � � �2 � �2 � � � cos5x �0 � � � �x � cos� �۹ Điều kiện: � �0 � �2 � � �7x � sin � ��0 � � �2 � � x� k � 10 � � x k2 � � k2 � x � � 14 � � k 2m � , n2 , Vậy TXĐ: D �\ � � 14 �10 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm tập xác định hàm số sau: 1 sin2x 1 cos3x y y cos3x 1 sin4x y tan(2x ) y 1 cot x 1 sin3x Bài Tìm tập xác định hàm số sau: tan2x y y sin2x cos3x 3sin2x cos2x cotx y y tan(x ).cot(x ) 2sinx Bài Tìm tập xác định hàm số sau: y tan3x.cot5x y tan(2x ) y tan3x cot(x ) sinx y tan4x tan x y cos4x sin3x sin3x y sin8x sin5x 10 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vấn đề Tính chất hàm số đồ thị hàm số Phương pháp Cho hàm số y f(x) tuần hoàn với chu kì T * Để khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số, ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn có độ dài T sau ta u r u r tịnh tiến theo véc tơ k.v (với v (T;0), k �� ) ta toàn đồ thị hàm số * Số nghiệm phương trình f(x) k , (với k số) số giao điểm hai đồ thị y f(x) y k * Nghiệm bất phương trình f(x) �0 miền x mà đồ thị hàm số y f(x) nằm trục Ox Chú ý: �Hàm số f(x) asinux bcosvx c ( với u,v �� ) hàm số tuần hồn 2 với chu kì T ( (u,v) ước chung lớn nhất) (u,v) �Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c (với u,v �� ) hàm tuần hồn với chu kì T (u,v) Các ví dụ Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số : 3x x f(x) cos cos 2 Lời giải Ta có f(x) cosx cos2x � hàm số tuần hồn với chu kì sở T0 2 Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau f(x) cosx cos 3.x f(x) sinx2 Lời giải Giả sử hàm số cho tuần hoàn � có số thực dương T thỏa f(x T) f(x) � cos(x T) cos 3(x T) cosx cos 3x � cosT � Cho x � cosT cos 3T � � cos 3T � 11 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � T 2n m � m �� � 3 vơ lí, m,n �� � số hữu tỉ n n � 3T 2m Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Giả sử hàm số cho hàm số tuần hoàn � T 0:f(x T) f(x) � sin(x T)2 sinx2 x �� Cho x � sinT � T k � T k � f(x k ) f(x) x �� k2 sin(k2) k sin 3k 2k 2 �sin(2k Cho x 2k ta có: f( 2k ) sin f(x k ) sin k2 2 2) � f(x k ) �0 Vậy hàm số cho hàm số tuần hồn Ví dụ Cho a,b,c,d số thực khác Chứng minh hàm số c f(x) asincx bcosdx hàm số tuần hoàn số hữu d tỉ Lời giải * Giả sử f(x) hàm số tuần hoàn � T 0: f(x T) f(x) x � asincT bcosdT b � cosdT �� Cho x 0,x T � � asincT bcosdT b � sincT � � dT 2n c m �� � �� cT m d 2n � c c k 2k 2l * Giả sử �� � k,l ��: Đặt T c d d d l Ta có: f(x T) f(x) x �� � f(x) hàm số tuần hoàn với chu kì 2k 2l T c d Ví dụ Cho hàm số y f(x) y g(x) hai hàm số tuần hoàn với T chu kỳ T1,T2 Chứng minh số hữu tỉ T2 f(x) � g(x); f(x).g(x) hàm số hàm số tuần hồn Lời giải T Vì số hữu tỉ nên tồn hai số nguyên m,n;n �0 cho T2 12 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt T1 T2 m � nT1 mT2 T n Khi f(x T) f(x nT1) f(x) g(x T) g(x mT2) g(x) Suy f(x T) �g(x T) f(x) �g(x) f(x T).g(x T) f(x).g(x) , f(x T) f(x) Từ ta có điều phải chứng minh g(x T) g(x) Nhận xét: Hàm số f(x) asinux bcosvx c ( với u,v �� ) hàm số tuần hoàn 2 với chu kì T ( (u,v) ước chung lớn nhất) (u,v) Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c (với u,v �� ) hàm tuần hồn (u,v) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hồn với chu kì sở T0 với chu kì T Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y sin2x sinx y tanx.tan3x y sin3x 2cos2x Bài Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở (nếu có) hàm số sau y sin2x sinx y tan x.tan3x y sin3x 2cos2x y sin x f(x) sinx , T0 2 f(x) tan2x, T0 Vấn đề Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Các ví dụ Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y 2sinx Lời giải Hàm số y 2sinx �TXĐ: D � �Hàm số y 2sinx hàm số lẻ �Hàm số y 2sinx hàm tuần hồn với chu kì T 2 13 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � � �Hàm số đồng biến khoảng � k2; k2 � Nghịch biến � � � � khoảng � k2; k2 � � � � � �Đồ thị hàm số quan điểm (k;0), � k2;2� �2 � Ví dụ Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau y tan2x Lời giải Hàm số y tan2x � � �TXĐ: D �\ � k ,k ��� � �Hàm số y tan2x hàm số lẻ �Hàm số y tan2x hàm tuần hồn với chu kì T � � �Hàm số đồng biến khoảng � k; k � � � �Các đường tiệm cận: x k k �Đồ thị hàm số quan điểm ( ;0) 14 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x 9 21 29 ;x ;x ;x 16 16 16 16 Vấn đề Phương pháp loại nghiệm giải phương trình lượng giác có điều kiện Bài 1: Cách 1: �Với sinx �0 (*) phương trình cho tương đương với � 2x x k2 � � � cos2x sinx cos� x �� � � � � 2x x k2 � � � 2k x (1) � �� � x k2 (2) � � Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta điểm A 1, A , A Trong có hai điểm A 1,A nằm phía Ox 5 k2 x k2 6 �Với sinx (**) phương trình cho tương đương với � 2x x k2 � � � cos2x sinx cos� x �� � �2 � � 2x x k2 � � Hai điểm ứng với cung x 104 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � x k2 (3) � �� k2 � x (4) � � Dễ thấy (3) không thỏa (**) Biểu diễn (4) đường tròn lượng giác ta điểm B1 , B2 ,B3 Trong có hai điểm B2 ,B3 nằm Ox ( sinx ) 5 k2 x k2 6 Vậy nghiệm phương trình cho là: x � k Bài 2: Điều kiện: cos4x �0 Phương trình � sin 4xcos3x sin5xcos4x � sin7x sinx sin9x sinx � sin9x sin7x k � x k,x 16 �Với x k cos4x cos4k �0 � k � k �Với x cos4x cos� ��0 với k 16 �4 � Hai điểm ứng với cung: x Vậy nghiệm phương trình là: x k , x k , k �� 16 � sin3x cos3x �0 � Bài 3: Phương trình � � 2 sin3x cos3x 1 2sin6x 2sin2x � � 105 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � sin3x cos3x �0 � sin3x cos3x �0 (*) � � �� �� 5 sin2x x k (1),x k (2) � � � � 12 12 �Với nghiệm x k 12 � � � � sin3x cos3x sin � 3k � cos� 3k ��0 � k 2n �4 � �4 � 5 k 12 �5 � �5 � sin3x cos3x sin � 3k � cos� 3k ��0 � k 2n 4 � � � � Vậy nghiệm phương trình cho là: 17 x 2n x 2n 12 12 � x� k � � cos2x � � � cos3x �۹ 0 � x k Bài 4: Điều kiện: � � � cos7x �0 � � k x� � � 14 Phương trình � tan2x(1 tan3xtan7x) tan3x tan7x Nếu tan3xtan7x 1� tan3x tan7x vơ lí tan3x tan7x tan10x Nên ta có phương trình : tan2x 1 tan3xtan7x m � 10x 2x m � x 12 Loại nghiệm: Với toán sử dụng phương pháp loại nghiệm cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp phải xét nghiều trường hợp Do ta lựa chọn phương pháp đại số m � k � 6k m 12 m � k � 4k m 12 � m 12t m � k � 12k 7m � � ,t �� k 7t 14 12 � �Với nghiệm x � k 2(2t 1) � k k �3(2t 1),t �� KL: Nghiệm phương trình là: x với � 12 � k �6(2t 1) � 106 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � � sin2x 2cosx �0 � � cosx ��۹� Bài 5: Điều kiện: � � �x � � cos� ��0 � � �2 � Phương trình � � sinx � cosx �0 � sinx � � 4cos2x �x � tanx � 1 tan2 � � � sin2x 2cosx �2 � � � � 4cos2x sin2x 2cosx tanx 2tanx �x � 1 sinx cos2 � � �2 � � cos2x sinx � cos2x sinx (*) cosx(1 sinx) cosx(1 sinx) � 2sin2 x sinx � sinx 1 (loại), sinx (nhận) 5 k2, x k2 6 � sinx �0 � sinx �0 � � � �� Bài 6: Phương trình � sin x � 8cosx(1 cos2 x) � �8cosx � x � sinx �0 � �� 8cos3 x 8cosx � � sinx �0 (1) � �� (2cosx 1)(4cos x 2cosx 3) � (2) 1 13 ,cosx Vì nghiệm phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn nghiệm qua sinx Giải phương trình (2) ta có nghiệm cosx �cosx 2 ta có sinx � x k2, x k2 3 �cosx 1 13 � sinx 1 cos2 x 13 4 � 13 � � k2, � x arcsin � � � � � 107 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � 13 � � k2 x arcsin � � � � � Vậy nghiệm phương trình cho là: � 13 � � k2, x k2 , x 2 k2 x arcsin � � � 3 � � � 13 � � k2 x arcsin � � � � � � sin3x ۹ sin3x Bài 7: Điều kiện: � sinx �0 � Phương trình � cos2x(3 4sin2 x) sinx(3 4sin x) cosx sinx � cosx � cos2x cosx � 2cos2 x cosx � � � cosx � �Với cosx 1� sinx � sin3x � cosx loại �Với cosx � sin3x sinx 4sin2 x sinx 4cos2 x loại Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài Suy cosx � k x� � � cosx cos2x cos3x � � Điều kiện: � 2 � x �� k2 � 2sin2xcosx 2sin2x Phương trình � 2cosxcos2x cos2x m � tan2x � x , m �� Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm phương trình là: 5 x n , x 2n 6 Điều kiện: cosx �0 Phương trình � 2cos2 x 1 tan2 x cosx 1 tan2 x 108 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � cosx 1 � � 2cos x cosx � � cosx � � x k2, x � k2 nghiệm phương trình � � cosx sinx � � � sin2x �۹� � sinx Điều kiện: � � � sin4x �0 � � sinx �� � 2 Phương trình � sinx 2sin2 x sinx � sinx 5 k2 ,x k2 6 sinx Điều kiện: cosx �۹� Hay x 4 Phương trình � sin x cos x (2 sin2 2x)sin3x 1 � 3sinx 4sin3 x (*) 2 không thỏa (*) Ta thấy sinx � � � k2 3x k2 x � � � � 18 Vậy nghiệm phương trình : � k2 � � 3x k2 x � � � � 18 Điều kiện: cos5x �0 k k ,x Phương trình � sin12x sin8x � x 20 10 k Sử dụng phương pháp thử trực tiếp ta có: x m ,x 20 10 � cosx � � tanx cot2x �0 � sin2x �0 �� Điều kiện: � cotx �0 sinx �0 � � � sinx cosx �0 � � sinx � Phương trình � sin2x 2sinx � � cosx � � � sin3x 109 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Kết hợp điều kiện ta có nghiệm: x 3 k2 Bài cos2x 1 Điều kiện: sin2x �۹� Phương trình � 8sin x cos2x 4sin2 2x � cos2x (loai) � � 4cos 2x 3cos2x � � cos2x � � 1� � x � arccos� � k � 4� Điều kiện: cos2x.cos3x.cos5x �0 k Phương trình � tan5x tan( x) � x Thay vào điều kiện kiểm tra trực tiếp sử dụng phương trình nghiệm nguyên ta tìm nghiệm phương trình 2 x k2,x k2,x k2 3 � cosx ۹ cos3x ۹ x k Điều kiện: � cos3x �0 � Phương trình � cos2 x cos5xcos3x 8sinxcosxsin3xcos3x � 1 cos8x 4sin6xsin2x � cos4x(cos4x 1) k k ,x Sử dụng phương pháp phương trình nghiệm nguyên ta có nghiệm phương trình là: x k ,x m � sinx cosx �0 Điều kiện: � cos2x �0 � � x Phương trình � (sinx cosx)(cosx sinx) (sinx cosx)2 sinx cosx � sinx cosx sinx cosx sinx cosx � tanx 1� x k � �� � 2cosx cos2x (*) � (*) � cos2x cosx � cos2x 4cosx cos2 x � cos2 x 4cosx � cosx 1 110 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Thử trực tiếp ta thấy: x k2,x k2 nghiệm phương trình Vấn đề Phương trình lượng giác chứa tham số Bài 1 Phương trình � sin2x 2m (1) 2m �1 � 2m �4 � �m � phương trình (1) có 2 � 2m x arcsin k � , k �� nghiệm � 2m � x arcsin k � � 2 � � �3 � �Nếu m �� �; ��� ; ��thì phương trình (1) vơ nghiệm 2 � � � � �Nếu m 1� phương trình (1) vơ nghiệm � � 2m �Nếu m �1� phương trình đa cho � cos2 � 4x � (2) 3� m � �Nếu �2m �0 � � m �(�;0] �(1; �) � �� � 1�m �0 +) Nếu �m 1�m �2m �1 � �m � � 2m 2x � � Phương trình (2) � cos� 3� m1 � � 2m � �arccos� � � k2 � m 1� � � � 2m � � x � arccos� � � k, k �� � m 1� � � � 2x � m 1 +) Nếu � phương trình (2) vơ nghiệm m � Với giá trị m ta có phương trình cho tương đương với k 2x arctan(m 1) k � x arctan(m 1) 12 2 111 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả �Nếu m � phương trình vơ nghiệm �Nếu m �0 phương trình ch tương đương với � � 2m cot2 � 2x � (4) 8� m � 2m 1 � m phương trình (4) vơ nghiệm m � m � +) Nếu � phương trình (4) có nghiệm � m � +) Nếu 2x � 2m � � 2m � k arccot � � arccot � � , k �� � k � x � � � � � m 16 m � � � � Bài �Nếu m � phương trình vơ nghiệm �Nếu m �0 � phương trình � sin2 2x +) 1 m m � m 1 m � � 1 m m � � � phương trình vơ nghiệm m � m �0 � � � 1 m � x arcsin � � � � k � m � � � � +) m � � phương trình có nghiệm : � � 1 m � � x arcsin � � � k � 2 � m � � � � �Nếu m � phương trình vơ nghiệm m �Nếu m � phương trình � tan2 3x 2m 1 +) Nếu 2 m � phương trình vơ nghiệm � m +) Nếu � � phương trình có nghiệm � m � � m � k x arctan � � � � 2m � � � Bài 112 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương trình có nghiệm x 3 (m 1)sin mcos 2m � m 3 Bạn đọc tự giải phương trình Phương trình có nghiệm � (m 1)2 m2 �(2m 1)2 � m2 m� �0 m Bài Phương trình � 3sin2 x 3sinx 2m 1;1� � Ta có phương trình : 3t2 3t 2m Đặt t sin,t �� � 1;1� � Xét hàm số f(t) 3t2 3t, t �� � Bảng biến thiên t 1 f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình cho có nghiệm ۣ ۣ �0�2m ��2 m 2 Phương trình � 2cos2x 2m 1 cosx m � 2cosx � 2cosx 1 cosx m � � cosx m � � � Ta có : x �� ; �� 1 �cosx �0 �2 � � � Suy phương trình cho có nghiệm x �� ; �� 1�m �0 �2 � Bài 5: �Nếu m , phương trình � sin3 x sinx k �Nếu m �0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x �0 ta sinxcos2 x � sin2x � x (8m2 1)tan3 x (4m2 1)tanx 1 tan2 x 2m � 4m2 tan3 x (4m2 1)tanx 2m 113 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � (2mtanx 1)(2mtan2 x tanx 2m) � � � x arctan k � tanx tanx 2m � �� � 2m � � 2m � � k � tan2x 4m � 2mtan2 x tanx 2m � x arctan(4m) � � � 2 k KL: �Nếu m phương trình có nghiệm x �Nếu m �0 phương trình có nghiệm k 1 k x ,x arctan k,x arctan(4m) 2m 2 � � � x � , t � 2; 2�� sinxcosx t Đặt t sinx cosx 2cos� � � 4� � Thay vào phương trình ta có: � t1 m(t2 1) t � (t 1)(mt m 1) � � mt 1 m � � x k2 � � � t � cos� x � �� � � 4� x k2 � �Xét phương trình : mt 1 m (*) +) Nếu m � (*) vô nghiệm +) Nếu � (*) � t � m �0 1 m � � 2� � � m m 2m 1�0 � � m �1 � � m �1 � �1 m � 1 m � � 1 m � cos� x � � x �arccos� � k2 m � 4� m �m � � m �0 1 m � � (*) � t +) � vô nghiệm m 1 m 1 � KL: �Nếu 1 m 1 � phương trình có nghiệm x k2, x k2 � m 1 �Nếu � � phương trình có nghiệm � m 1 � x 114 �1 m � k2, x k2,x �arccos� � k2 �m � Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phương trình � m cos2x cos2x sin2x 1 3sin2 xcos2 x �Phương trình ln có nghiệm: x k m hay 3mt2 4t 4m (*) sin2x 3sin2 2x 1;1� � \ 0 Với t sin2x �� � �Phương trình: +) m phương trình vơ nghiệm � 1;1 � nên có có nhiều nghiệm thuộc � � +) m �0 � phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt t1t2 2 Nghiệm t 2 1 3m �� 1;1� � �� 1 3m �3 m 3m �3m �2�� 3m 9m4 144m2 m 2 Nghiệm t 2 1 3m �� vô nghiệm 1;1� � �� 1 3m �3 m 3m � m Vậy : * Nếu � phương trình cho có nghiệm x k �m � m � * Nếu � phương trình cho có nghiệm x k �m �2 2 1 3m2 2 1 3m2 x arcsin k , x arcsin k 3m 2 3m Bài 6: � sinx (1) Phương trình � � cos2x(msinx 1) (2) � �Nếu m � phương trình � cos2x 3 5 7 � x ,x ,x ,x � m thỏa yêu cầu toán 4 4 � m �0 Vì phương trình ln có nghiệm 0;2 nêu u cầu tốn � phương trình msinx 1 vơ nghiệm có nghiệm 115 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả � m � � m ��1 � �� ��m �� Điều xảy ��m �� �� m � � ��1 �� � ��m �m Vậy � giá trị cần tìm � m � � 1 m 4m Phương trình � cos x cosx Đặt t � t x � 1;� cosx Ta có phương trình : (1 m)t2 2t 4m (*) Yêu cầu tốn � (*) có nhiều nghiệm t � (*) có hai nghiệm phân biệt t1,t2 � � 1 m �0 m �1,m � � � ' 1 4m(m 1) � � �� �� t1 t2 (t1 1) (t2 1) � � t t (t1 t2) � �1 (t 1)(t 1) �1 � � � m �1,m � m �1,m � � � � m �1,m � 2 � � � � m� � � � �2m � �� 2 �� 0 �� 0 m �� m m � � �1 � m1 �4m �3m �3 � m �1 m 1 m �1 m �3 � � Phương trình � mtan2 x 2tanx 1 tan2 x � (m 1)tan2 x 2tanx (1) � m 1� (*) � tanx � m �1 Ta có (*) có nghiệm � ' �۳ 2m m Vậy m � giá trị cần tìm 1 cos6x m(1 cos2x) Phương trình � 2cos2 2x 2 � 4cos3 2x 4cos2 2x 3cos2x m(1 cos2x) 116 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt � cos2x � � (cos2x 1)(4cos 2x m) � m � cos2 2x � �3 � � � � � 0; �� 2x �� 0; �� cos2x �� ;1� Vì x �� �2 � � 12 � � 6� � � m 1� m Do phương trình cho có nghiệm � 4 1 Bài 7: Phương trình � 1 sin2 2x cos2x sin2 2x a � cos2 2x 4cos2x 4a Với a 2 � cos2 2x 4cos2x � cos2x 1 � x k 2 Phương trình � cos2 2x 4cos2x 4a Phương trình có nghiệm � 3 �4a �5 � 2 �a �0 Bài 8: Phương trình � 1 sin2 2x cos2x m � cos2 2x 4cos2x 3 4m 1;1� � Đặt t cos2x � t �� � Ta có phương trình f(t) t2 4t 4m Bảng biến thiên t 1 f(t) 3 Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm � 3 �4m �5 � 2 �m �0 Bài 9: Phương trình � 2mcos2 x cosx m 1;1� �ta có phương trình Đặt t cosx,t �� � 2mt2 t m � m � t nghiệm phương trình � m �0 ta thấy phương trình ln có hai nghiệm t1,t2 t1t2 � 1;1� hai nghiệm ln có nghiệm thuộc � � � 117 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả 118 ... hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định tập D gọi hàm số tuần hoàn có số T �0 cho với x �D ta có x �T �D f(x T) f(x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần... 1 t2 � 4� � sinxcosx � Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Vấn đề Giải phương trình lượng giác Các ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: sinx cos2x 2sin(2x... vẽ đồ thị hàm số sau y 2sinx Lời giải Hàm số y 2sinx �TXĐ: D � ? ?Hàm số y 2sinx hàm số lẻ ? ?Hàm số y 2sinx hàm tuần hồn với chu kì T 2 13 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn