phương pháp giải hệ phương trình lượng giác

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCI... Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm.

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:

( ) ( )

2cos x 1 0 1

3

2

− =

⎧

⎪

⎨

=

⎪

⎩

Ta có: ( )1 cos x 1

2

3

π

⇔ = ± + π ∈Z

π

= + π thay vào (2), ta được

π

Với x

3

π

= − + k2π thay vào (2), ta được

π

3

2 (loại)

Do đó nghiệm của hệ là: 2 ,

3

π

Bài 174: Giải hệ phương trình:

sin x sin y 1

x y

3

⎧

⎪

π

⎨ + =

⎪⎩

Cách 1:

Hệ đã cho

x y

3

⎪⎪

⎪ + =

⎪⎩

π π

⎩

x y

x y

3 3

4 2

2

3 3

−

⎪⎩

x y

k

x y

x y

2 6 2 6

π

⎧ = + π

⎪⎪

π

⎪ = − π

⎪⎩

Cách 2:

Hệ đã cho

2 6 2 6

π

⎩

π

⎪

⎩

π

⎧ = + π

⎪⎪

π

⎪ = − π

⎪⎩

k

Bài 175: Giải hệ phương trình: sin x sin y 2 (1)

cos x cos y 2 (2)

⎪

⎨

⎪⎩

Cách 1:

Hệ đã cho

⎪⎪

⎪⎩

Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+

− = không là nghiệm của (1) và (2) )

k

thay vào (1) ta được: sin x sin x k2 2

2

π

+ ⎜ − + π =⎟

sin x cos x 2

2 cos 2

4

2 , 4

π

π

=

x

Do đó: hệ đã cho

2 , 4

2 , , 4

π

⎧ = + π ∈

⎪⎪

⎪⎩

Cách 2: Ta có A B A C B

⇔

D +

− Hệ đã cho

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

⇔ ⎨

⎩

sin x cos x sin y cos y 0

sin x cos x sin y cos y 2 2

4

4 2

2

x

y

⎧ ⎛ −π⎞+ ⎛ −π⎞=

⎪

⎩

⎪

⎪

π π

⎪

⎪

⎪ ⎛ −π⎞+ ⎛ −π⎞=

⎩

π

⎧ = + π

⎪⎪

⎪⎩

4

Bài 176: Giải hệ phương trình: ⎧⎪ − − =

⎨

⎪⎩

tgx tgy tgxtgy 1 (1) cos 2y 3 cos 2x 1 (2)

Ta có: tgx tgy 1 tgxtgy− = +

2

1 tgxtgy 0

tg x y 1

tgx tgy 0

1 tgxtgy 0

1 tg x 0 (VN)

(

4

π

⇔ − = + π ∈ ), với x, y k

2

π

≠ + π

4

π

2

π

≠ + π

Thay vào (2) ta được: cos 2y 3 cos 2y k2 1

2

π

π

1 2

=

Do đó:

5

6

h k Z

π

⎧ = + + π

⎪⎪

π

⎪ = + π

⎪⎩

Bài 177: Giải hệ phương trình cos x cos x sin y 0 (1)33

sin x sin y cos x 0 (2)

⎪

⎨

⎪⎩

Lấy (1) + (2) ta được: sin x cos x 03 + 3 =

3

sin x cos x

tg x 1

tgx 1

4

π

⇔ = − + π ∈Z)

Thay vào (1) ta được:

sin y cos x cos x cos x 1 cos x= − = −

= cos x.sin x2 = 1sin 2x sin x

2

= ⎛⎜−π⎞⎟ ⎛⎜− +π

⎞ π⎟⎠ = − ⎛⎜− + ππ ⎞⎟

⎧

⎪⎪

= ⎨

⎪−

⎪⎩

2 (nếu k chẵn) 4

2 (nếu k lẻ) 4

4

α = (với 0< α < π ) 2 Vậy nghiệm hệ

⎨⎡ = α + π ∈ ⎨⎡ = −α + π ∈

⎪⎣ = π − α + π ∈ ⎪⎣ = π + α + π ∈

II GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG

Bài 178: Giải hệ phương trình: ( )

( )

1

2

⎪

⎨

⎩ Điều kiện: cos x.sin y 0≠

Cách 1: Hệ đã cho 1 sin x y( ) sin x y( ) 1

sin x.cos y 1 0 cos x.sin y

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

−

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

−

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

sin x y sin x y 1 sin x cos y sin y cos x 0 sin x y sin x y 1 sin x y 0

−

+ = −

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

π

⎧ + = − + π ∈

⎪

⇔ ⎨

⎩

sin x y 1 sin x y 0

2

x y h , h

⎪⎪

⎪⎩

≠

(nhận do sin y cos x 0)

Cách 2: ( )2 sin x cos y 1

cos x sin y

⇔ = ⇔ sin x cos y cos x sin y=

( )

1

2 1

2

Thế 1 vào 2 ta được:

x y

x y

⎪⎪

⎨

⎪⎩

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

) )

2 , 2

,

π

⎧ + = − + π ∈

⎪

⇔ ⎨

⎪ − = π ∈

⎩

2

2

h k Z

⎪⎪

⎪⎩

III GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ

Bài 179: Giải hệ phương trình:

( ) ( )

2 3

1 3

2 3

3

tgx tgy

⎧

⎪⎪

⎨

−

⎪⎩

Hệ đã cho thành:

+

2

2 3

X Y

2 3

3

2 3

3

3 3

3

⎧

= −

= −

Do đó:

Hệ đã cho :

3 3

3

= −

= −

Bài 180: Cho hệ phương trình:

1 sin x sin y

2 cos 2x cos 2y m

⎪

⎨

⎩ a/ Giải hệ phương trình khi m 1

2

= −

b/ Tìm m để hệ có nghiệm

Hệ đã cho

1 sin x sin y

2

⎪

⇔ ⎨

⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

2

1 sin x sin y

2

2 m sin x sin y

2 1 sin x sin y

2

m sin x sin y 2sin x sin y 1

2

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

1 sin x sin y

2

1 2sin x sin y 1 m

⎪⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

1 sin x sin y

2

3 m sin x sin y

Đặt X sin x, Y sin y với X , Y 1= = ≤

thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình

( )

a/ Khi m = −1thì * thành :( )

2

− − =

⇔ = ∨ = −

2

2

2t t 1 0

1

t 1 t

2

Vậy hệ đã cho

2 1

2

=

= −

h

h

b/ Ta có : ( )* m t2 1

⇔ = − + t+ 3

8

Xét y t2 1t 3( )C trên D [ 1,1]

thì: y ' 2t 1

2

= − +

1

y ' 0 t

4

= ⇔ =

Hệ đã cho có nghiệm ⇔( )* có 2 nghiệm trên -1,1[ ]

( )d y m

4

⇔ = cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc trên -1,1 [ ]

Cách khác

2

ycbt f t t t m có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa

1 2

⇔ − ≤ ≤ ≤t t

/ 28 16 0

(1) 1 2 0

( 1) 9 2 0

1

2 4

⎪⎪

⎪

⎪− ≤ = ≤

⎪⎩

m

S

⇔ − ≤ ≤m

Bài 181: Cho hệ phương trình: sin x mtgy m22

tg y m sin x m

⎪

⎨

⎪⎩

a/ Giải hệ khi m = -4

b/ Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm

Đặt X sin x= với X 1≤

Y tgy=

( )

2 2

⎪

⎨

⎪⎩

Lấy (1) – (2) ta được: X2 −Y2 +m Y X( − ) =0

(X Y X Y m)( ) 0

X Y Y m X

Hệ thành

2 2

= −

⎪

hay

a/Khi m = -4 ta được hệ

2 2

X Y

X 4X 20 0 vô nghiệm

X 2 loạido X 1

Y 2

= − −

∨

⎪

⎪

⇔ ⎨

=

⎪⎩

Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4

b/ Ta có (*) ⇔ X2 +mX m 0 với X 1− = ≤

2

2

X m do m không là nghiệm của *

1 X

−

2

Z' 0= ⇔ X 0 X 2= ∨ =

2

⎪

⎨

Xét (**): X2 −mX m+ 2 −m 0=

Ta có Δ = m2 −4 m( 2 −m) = −3m2 +4m

4

3

Kết luận: ≥ 0 thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm

Δ (do < 0) nên hệ đã cho vô nghiệm

Do đó: Hệ có nghiệm ⇔ m 0≥

Cách khác

Hệ có nghiệm ⇔ f (X) X= 2 +mX m 0− = (*)hay

g(X) X= 2 −mX m+ 2 −m 0= (**) có nghiệm trên [-1,1]

( 1) (1) 0

2

(1) 0 ( 1) 0

af hay af

m S

⎪⎪

⎨ − ≥

⎪⎩

hayg( 1) (1) 0− g ≤

2 2

2 2

⎪⎪

⎪

⎪− ≤ = ≤

⎪⎩

1 2m 0

2

m

⎪ − ≥

⎨

⎪− ≤ ≤

⎩

hay m = 1 hay 0 m≤ ≤ 4

3

m 0

IV HỆ KHÔNG MẪU MỰC

Bài 182: Giải hệ phương trình:

⎨

π

⎩

tgx cotgx = 2sin y + (1)

4 tgy cotgy = 2sin x - (2)

4

⎠

Cách 1:

Vậy hệ đã cho

⎪

⇔ ⎨

π

⎩

⇔ ⎨

π

⎩

4

4

⎠

Ta có: (1)

−

3

Thay

π

⎧ = + π ∈

⎪⎪

⎪ = + π ∈

⎪⎩

4

4

vào (2) ta được

sin 2y.sin x sin sin k 0 1

Thay

−π

⎪⎪

⎪⎩

4 3

4

vào (2) ta được

⎛ − ⎞ = ⎛− ⎞ ⎛− + π

3

⎞

⎟

⎠

= ⎛⎜− + π = ⎨π ⎞⎟ ⎧

−

1 ( nếu k lẻ)

Do đó hệ có nghiệm

π

⎪⎩

3

4

Cách 2:

Do bất đẳng thức Cauchy

tgx cotgx+ ≥2

dấu = xảy ra tgx cotgx tgx= 1

tgx

tgx 1

Do đó:

4

π

Dấu = tại (1) chỉ xảy ra khi

3

thay (I) vào (2): + ⎛⎜ π⎞⎟

tgy cotgy=2sin x

-4

ta thấy 2 2sin k= π =0 không thỏa

thay (II) vào (2) ta thấy = ⎛⎜− + ππ ⎞⎟

2

chỉ thỏa khi k lẻ

Vậy: hệ đã cho ⇔ ⎧ = − +⎪⎪ π ( + )π ∈

⎪⎩

3

4

Bài 183: Cho hệ phương trình:

2 cos 2x cos 2y 1 4 cos m 0 (2)

− =

⎧⎪

⎪⎩

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Hệ đã cho

x y m

4 cos x y cos x y 1 4 cos m

− =

⎧⎪

⎪⎩

( )

− =

⎧⎪

⎪⎩

− =

⎧⎪

⎪⎩

− =

⎧⎪

⎪⎩

2

x y m

4 cos x y cos m 4 cos m 1 0

x y m

x y m

=

⎧ − =

⎪

⎩

x y m

cos x y 2 cos m

− =

⎧

⎪

⎩

x y m

x y k , k cos(k ) 2 cos m

Do đó hệ có nghiệm ⇔ m= ± +π h2π ∨m = ±2π+h2 , hπ ∈

BÀI TẬP

1 Giải các hệ phương trình sau:

3sin 2y 2 cos 4x sin x sin y 2

⎩

⎧

⎪

2 2

cos x y 2cos x y

2 cos x 1 cos y

cos x.cos y

2 sin x sin y

4

sin x cos y

5sin y cos x 6 3tgx tgy

tgx tgy 1 sin x cos x cos y

⎧

=

=

⎪

⎩

⎩

⎧

=

2.Cho hệ phương trình: cos x cos y m 12

sin x sin y 4m 2m

⎧

⎨

⎩ a/ Giải hệ khi m 1

4

= −

b/ Tìm m để hệ có nghiệm ⎛⎜ − ≤ ≤ − ⎞⎟

3 Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:

⎪

⎨

⎪⎩

2

4 Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm

3

cos x m cos y sin x cos y m

sin y cos x m sin x m cos y

⎪

=

⎩

Th.S Phạm Hồng Danh

TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn