Phương pháp giải phương trình lượng giác bằng phương pháp lạ và mới

CHƯƠNG XI: NHẬN DẠNG TAM GIÁC I. TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC Bài 201: Tính các góc của A BCΔ nếu : ()()()() 3 sin B C sin C A cos A B * 2 ++ ++ += Do A BC + +=π Nên: () 3 *sinAsinBcosC 2 ⇔ +−= +− ⎛⎞ ⇔− ⎜⎟ ⎝⎠ − ⇔−= − ⇔− += −− ⎛⎞ −= ⇔ −+− ⎜⎟ ⎝⎠ −− ⎛⎞ ⇔− + = ⎜⎟ ⎝⎠ − ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ − ⎪ = ⎪ ⎩ == ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 = A BAB C 3 2 sin cos 2 cos 1 22 2 CAB C1 2cos cos 2cos 22 22 CCAB 4cos 4cos cos 1 0 222 CAB AB 2cos cos 1 cos 0 22 2 CAB AB 2 cos cos sin 0 22 2 CAB 2cos cos 22 AB sin 0 2 C 2cos cos0 1 2 A 2 ⎧ π ⎧ ⎪ = ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ − ⎪⎪ = = ⎩ ⎪ ⎩ π ⎧ == ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = ⎪ ⎩ C 23 B AB 0 2 AB 6 2 C 3 Bài 202: Tính các góc của A BC Δ biết: () 5 cos2A 3 cos 2B cos2C 0 (*) 2 +++= Ta có: () ()() 2 5 *2cosA123cosBCcosBC 2 0 ⇔ −+ + − + = ⎡⎤ ⎣⎦ ( ) () () () () () () ⇔− −+= ⎡⎤ ⇔ −−+−− ⎣⎦ ⎡⎤ ⇔− −+ −= ⎣⎦ −= ⎧ −= ⎧ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ = =− ⎪⎪ ⎩ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ == ⎪ ⎩ 2 2 2 2 2 0 0 4cos A 4 3cosA.cos B C 3 0 2cosA 3cos B C 3 3cos B C 0 2cosA 3cos B C 3sin B C 0 sin B C 0 BC 0 3 3 cos A cos A cos B C 2 2 A30 BC75 = Bài 203: Chứng minh A BCΔ có nếu : 0 C 120= A BC sin A sin B sin C 2sin sin 2sin (*) 22 2 ++− ⋅ = Ta có A BABCC ABC (*) 2sin cos 2sin cos 2sin sin 2sin 22 2222 CAB CC AB A 2cos cos 2sin cos 2cos 2sin sin 22 22 2 2 CAB C AB cos cos sin cos cos 22 2 22 CAB AB AB cos cos cos cos cos 22 2 22 CAB AB 2cos cos cos cos cos 222 22 +− ⇔+= −+ ⇔+=+ − ⎛⎞ ⇔+=⋅ ⎜⎟ ⎝⎠ −+ ⎡⎤ ⇔+= ⎢⎥ ⎣⎦ ⇔= 2 B 2 + C1 cos 22 ⇔= (do A cos 0 2 > và B cos 0 2 > vì A B 0; 22 2 π < < ) ⇔= 0 C120 Bài 204: Tính các góc của C Δ ΑΒ biết số đo 3 góc tạo cấp số cộng và 33 sin A sin B sin C 2 + ++= Không làm mất tính chất tổng quát của bài toán giả sử A BC<< Ta có: A, B, C tạo 1 cấp số cộng nên A + C = 2B Mà A BC++=π nên B 3 π = Lúc đó: 33 sin A sin B sin C 2 + ++= 33 sin A sin sin C 32 3 sin A sin C 2 AC AC 3 2sin cos 222 BAC3 2cos cos 222 3AC3 2. cos 222 CA 3 cos cos 22 6 π+ ⇔++= ⇔+= +− ⇔= − ⇔= ⎛⎞ − ⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ −π ⇔== Do C > A nên có: CΔΑΒ −π π ⎧ ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ππ ⎪⎪ += ⇔ = ⎨⎨ ⎪⎪ ππ ⎪⎪ == ⎪⎪ ⎩ ⎩ CA C 26 2 2 CA A 36 BB 33 Bài 205: Tính các góc của A BCΔ nếu ( ) () ⎧ +≤ ⎪ ⎨ ++=+ ⎪ ⎩ 22 2 bca 1 sin A sin B sin C 1 2 2 Áp dụng đònh lý hàm cosin: 22 bca cos A 2bc +− = 2 2 Do (1): nên co 22 bca+≤ s A 0 ≤ Do đó: A A 24 ππ ≤<π⇔≤ < 22 π Vậy () A2 cos cos 242 π ≤ =∗ Mặt khác: sin A sin B sinC++ BC BC sin A 2sin cos 22 + − =+ A BC sin A 2 cos cos 22 − =+ 2 12 1 2 ⎛⎞ ≤ +⋅ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ () − ⎛⎞ ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ BC do * và cos 1 2 Mà sin A sin B sin C 1 2 do (2)++=+ Dấu “=” tại (2) xảy ra ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎩ sin A 1 A 2 cos 22 BC cos 1 2 π ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = = ⎪ ⎩ A 2 BC 4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho A BCΔ không tù thỏa điều kiện ( ) cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++= Tính ba góc của A BCΔ * Cách 1: Đặt M = cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 + +− Ta có: M = 2 BC BC 2cos A 4 2 cos cos 4 22 + − +− ⇔ M = 2 A BC 2cos A 4 2sin cos 4 22 − +− Do A sin 0 2 > và B - C cos 1 2 ≤ Nên 2 A M2cosA42sin 4 2 ≤ +− Mặt khác: A BCΔ không tù nên 0A 2 π < ≤ ⇒≤ ≤ ⇒≤ 2 0cosA1 cos A cos A Do đó: A M2cosA42sin 4 2 ≤+ − 2 2 2 A A M12sin 42sin 22 AA M4sin 42sin 2 22 A M22sin 1 0 2 ⎛⎞ ⇔≤− + − ⎜⎟ ⎝⎠ ⇔≤− + − ⎛⎞ ⇔≤− − ≤ ⎜⎟ ⎝⎠ 4 Do giả thiết (*) ta có M=0 Vậy: 2 0 0 cos A cos A A90 BC cos 1 2 BC45 A1 sin 2 2 ⎧ ⎪ = ⎪ ⎧ = − ⎪⎪ =⇔ ⎨⎨ == ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ * Cách 2: () * cos2A 22cosB 22cosC 3 0⇔+ + −= () () () () 2 2 2 2 2 2 2 BC BC cos A 2 2 cos cos 2 0 22 ABC cos A cos A cos A 2 2 sin cos 2 0 22 AABC cos A cos A 1 1 2sin 2 2 sin cos 2 0 222 ABC BC cos A cos A 1 2 sin cos 1 cos 0 22 2 ABC B cos A cos A 1 2 sin cos sin 22 +− ⇔+ −= − ⇔−++ −= − ⎛⎞ ⇔−+−+ − ⎜⎟ ⎝⎠ −− ⎛⎞⎛ ⇔−−−−− ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ −− ⎛⎞ ⇔−−−− ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎞ = ⎟ ⎠ C 0(*) 2 = Do A BCΔ không tù nên và co cos A 0≥ s A 1 0 − < Vậy vế trái của (*) luôn ≤ 0 Dấu “=” xảy ra cos A 0 A BC 2sin cos 22 BC sin 0 2 ⎧ ⎪ = ⎪ − ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ − ⎪ = ⎪ ⎩ ⎧ = ⎪ ⇔ ⎨ == ⎪ ⎩ 0 0 A90 BC45 Bài 207: Chứng minh A BCΔ có ít nhất 1 góc 60 0 khi và chỉ khi sin A sin B sin C 3(*) cos A cos B cosC + + = + + Ta có: () ( ) ( ) (*) sin A 3 cos A sin B 3 cosB sin C 3 cosC 0⇔− +− +− = sin A sin B sin C 0 333 AB AB 2sin cos sin C 0 23 2 3 πππ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⇔−+−+−= ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ +π − π ⎛⎞ ⎛ ⇔−+− ⎜⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝ ⎞ = ⎟ ⎠ CABCC 2sin cos 2sin cos 0 22 3 2 26 26 CABC 2sin cos cos 0 26 2 26 ⎡π π⎤ − π π ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ⇔−− +− − ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ π⎡ − π⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⇔−− +−= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ = π− ππ ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⇔−=∨ =−=− ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎝⎠ ⎝⎠⎝ CABC sin 0 cos cos cos 26 2 26 3 2 + ⎞ ⎟ ⎠ AB π−π+−+π+ ⇔=∨ =− ∨ =− CABABABA 26 2 3 2 2 3 2 B ππ ⇔=∨=∨=CAB 33 π 3 Bài 208: Cho A BCΔ và V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chứng minh: a/ Nếu V = 0 thì A BCΔ có một góc vuông b/ Nếu V < 0 thì A BCΔ có ba góc nhọn c/ Nếu V > 0 thì A BCΔ có một góc tù Ta có: ()() 2 11 V 1cos2A 1cos2B cos 1 22 = ++++− () ()() () ()( 2 2 2 1 V cos2A cos2B cos C 2 ) V cos A B .cos A B cos C V cosC.cos A B cos C V cosC cos A B cos A B V 2cosC cos A cosB ⇔= + + ⇔= + −+ ⇔=− −+ ⇔=− −+ + ⎡⎤ ⎣⎦ ⇔=− Do đó: a / V 0 cos A 0 cos B 0 cosC 0 = ⇔=∨=∨= ⇔ A BCΔ ⊥ tại A hay A BCΔ ⊥ tại B hay A BC Δ ⊥ tại C b / V 0 cos A.cos B.cosC 0 < ⇔> ⇔ A BCΔ có ba góc nhọn ( vì trong 1 tam giác không thể có nhiều hơn 1 góc tù nên không có trường hợp có 2 cos cùng âm ) c / V 0 cos A.cosB.cosC 0>⇔ < cos A 0 cos B 0 cos C 0⇔<∨<∨< ⇔ A BCΔ có 1 góc tù. II. TAM GIÁC VUÔNG Bài 209: Cho A BCΔ có + = Bac cotg 2b Chứng minh A BCΔ vuông Ta có: Bac cotg 2b + = ++ ⇔= = B cos 2R sin A 2R sin C sin A sin C 2 B 2R sin B sin B sin 2 +− ⇔= BACA cos 2 sin . cos 22 BB sin 2 sin .cos 22 C 2 B 2 − ⇔= > 2 BBAC B cos cos . cos (do sin 0) 22 2 2 − ⇔= > BAC B cos cos (do cos 0) 22 2 −− ⇔= ∨= ⇔=+∨=+ BACBCA 2222 A BCCAB ππ ⇔=∨= ⇔Δ Δ AC 22 ABC vuông tại A hay ABC vuông tại C Bài 210: Chứng minh A BCΔ vuông tại A nếu bc a cos B cosC sin Bsin C += Ta có: bc a cos B cosC sin Bsin C += ⇔+= + ⇔= 2R sin B 2R sin C 2R sin A cosB cosC sin Bsin C sin BcosC sin C cos B sin A cos B.cos C sin Bsin C () + ⇔= ⇔= sin B C sin A cos B.cos C sin Bsin C cos B cos C sin Bsin C (do sin A 0)> () ⇔− ⇔+= π ⇔+= ⇔Δ cos B.cos C sin B.sin C 0 cos B C 0 BC 2 ABC vuông tại A = Bài 211: Cho A BCΔ có: A BC ABC1 cos cos cos sin sin sin (*) 222 2222 ⋅⋅−⋅⋅= Chứng minh A BCΔ vuông Ta có: ⇔=+ +− +− ⎡⎤⎡ ⇔+ =−− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ⎤ ⎥ ⎦ A BC1 ABC (*) cos cos cos sin sin sin 2222 222 1AB ABC11AB AB cos cos cos cos cos sin 22 22222 2 C 2 −− ⎡⎤⎡⎤ ⇔+ =−− ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ −− ⇔+ =−+=−+ 22 CABC CABC sin cos cos 1 sin cos sin 222 222 CC ABC C C C AB sin cos cos cos 1 sin cos 1 sin cos sin 22 2 2 2 2 2 2 C 2 −− ⇔+ =+ 2 C C AB C C AB C sin cos cos cos cos cos sin 22 2 2 2 2 2 − ⎡⎤⎡⎤ ⇔−= − ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ − ⎡⎤⎡ ⎤ ⇔− − = ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ CC C ABC C cos sin cos cos sin cos 22 2 2 2 2 CCCAB sin cos cos cos 0 222 2 − ⇔=∨= −− ⇔ =∨= ∨= π ⇔=∨=+∨=+ πππ ⇔=∨=∨= CCCA sin cos cos cos 222 2 CCABCB tg 1 22222 C ABCBAC 24 CAB 222 B A Bài 212: Chứng minh A BCΔ vuông nếu: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++= Do bất đẳng thức Bunhiacốpki ta có: 22 3cosB 4sinB 9 16 cos B sin B 15+≤+ += và 22 6sin C 8cosC 36 64 sin C cos C 10+≤+ += nên: 3(cos B 2 sin C) 4(sin B 2 cos C) 15+++≤ Dấu “=” xảy ra cosB sin B 4 tgB 34 sin C cosC 4 cotgC= 68 ⎧⎧ == ⎪⎪ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎪⎪ = ⎪⎪ ⎩⎩ 3 3 ⇔= π ⇔+= tgB cotgC BC 2 A BC⇔Δ vuông tại A. Bài 213: Cho A BCΔ có: sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B + = Chứng minh A BCΔ vuông. Ta có: +=sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B [ ] [] ⇔+ −=−+−− ⇔+=−+ − 2sin(A B) cos(A B) 2 cos(A B) cos(A B) cos(A B) 1 sin(A B) cos(A B) [ ] ⇔− = − −cos C 1 sin C cos(A B) ⇔− + = − − 2 cos C(1 sin C) (1 sin C). cos(A B) ⇔− + = − 2 cos C(1 sin C) cos C.cos(A B) ⇔= −+ = −cos C 0 hay (1 sin C) cos C.cos(A B) (*) ⇔=cos C 0 ( Do nên sin C 0> (1 sin C) 1−+ <− Mà .Vậy (*) vô nghiệm.) cosC.cos(A B) 1−≥− Do đó A BCΔ vuông tại C III. TAM GIÁC CÂN Bài 214:Chứng minh nếu A BCΔ có C tgA tgB 2 cotg 2 += thì là tam giác cân. Ta có: C tgA tgB 2 cotg 2 += C 2cos sin(A B) 2 C cos A.cos B sin 2 C 2cos sin C 2 C cos A.cos B sin 2 CC C 2sin cos 2cos 22 C cos A cosB sin 2 + ⇔= ⇔= ⇔= 2 ⇔ 2 CC sin cos A.cos B do cos 0 22 ⎛⎞ => ⎜⎟ ⎝⎠ ()()( () () ⇔− = ++ −⎡⎤ ⎣⎦ ⇔− =− + − ⇔−= ⇔= 11 1cosC cosAB cosAB 22 1 cosC cosC cos A B cos A B 1 ) A B A BC⇔Δ cân tại C. Bài 215: Chứng minh A BCΔ cân nếu: 33 A BB sin .cos sin .cos 22 22 = A Ta có: 33 A BB sin .cos sin .cos 22 22 = A 22 A B sin sin 11 22 AA BB cos cos cos cos 22 22 ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⇔= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ (do A cos 2 > 0 và B cos 2 > 0 ) 22 33 22 A AB B tg 1 tg tg 1 tg 2222 ABAB tg tg tg tg 0 2222 AB A BAB tg tg 1 tg tg tg .tg 0 (*) 22 2 222 ⎛⎞⎛⎞ ⇔+=+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⇔−+−= ⎛⎞⎡ ⎤ ⇔− +++ = ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎣ ⎦ ⇔= A B tg tg 22 ( vì 22 A BAB 1tg tg tg tg 0 2222 + ++ > ) ⇔= A B A BC⇔Δ cân tại C Bài 216: Chứng minh A BCΔ cân nếu: () 22 22 22 cos A cos B 1 cotg A cotg B (*) sin A sin B 2 + =+ + Ta có: (*) 22 22 2 2 cos A cos B 1 1 1 2 sin A sin B 2 sin A sin B + ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ − 22 22 2 2 cos A cos B 1 1 1 1 sin A sin B 2 sin A sin B + ⎛⎞ ⇔+=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ ⎛⎞ ⇔=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ 22 2 2 2111 2 sin A sin B sin A sin B () ⇔=+ 2 22 2 2 4 sin A sin B sin A sin B () 22 0sinAsinB sin A sin B ⇔= − ⇔= Vậy A BCΔ cân tại C Bài 217: Chứng minh A BCΔ cân nếu: () C a b tg atgA btgB (*) 2 += + Ta có: () C a b tg atgA btgB 2 += + () ⇔+ = + C a b cotg atgA btgB 2 ⎡⎤⎡ ⇔− +− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ CC a tgA cotg b tgB cotg 0 22 ⎤ = ⎥ ⎦ ++ ⎡⎤⎡ ⇔− +− ⎢⎥⎢ ⎣⎦⎣ ⎤ = ⎥ ⎦ A BA a tgA tg b tgB tg 0 22 B −− ⇔+ ++ = A BBA a sin b sin 22 0 AB AB cos A. cos cos B. cos 22 [...]... ⎢1 − cos B − sin B ⎥ = 0 ⇔ 2 sin B ⎢1 − cos C − 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = 0 (1) 3 ⎠⎦ 3 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ π⎞ ⎛ Do sin B > 0 và 1 − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > 0 và 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ Nê n vế trá i củ a (1) luô n ≥ 0 ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1 ⎪ ⎝ ⎠ Do đó , (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎪ 3⎠ ⎝ ⎩ π ⇔ ΔABC đề u ⇔C=B= 3 3 ⎧ sin B sin C... 2 sin2 A sin B cos B + 2 sin A cos A sin 2 B = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = 0 ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay và o (2) ta đượ c sin 2A = 2 sin 2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 ) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 Do đó ΔABC vuô n g câ n tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U Bà i 221: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u... ) ⇔ sin 2 A ⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤ + sin 2 B ⎡sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⇔ 2sin2 A cos A sin ( −B ) + 2sin2 B sin A cos B = 0 ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 (do sin A > 0 và sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Vậ y ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC là tam giá c gì nế u : ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B... bđt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C 2 3 ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 3 2p a + b + c 2 Mà vế phả i : = = ( sin A + sin B + sin C ) 9R 9R 9 2 ≥ 3 sin A sin B sin C (2) 3 Từ (1) và (2) ta có ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c Cá c h 2: Ta có : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ ⎛ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c