SKKN Một số định hướng giải phương trình lượng giác

MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ B NỘI DUNG I Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức II Phương trình bậc sin x , cos x 11  Phương trình chứa sin x cos x 11  Phương trình khơng chứa sin x cos x 15 III Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung 17 IV Sử dụng công thức đặc biệt 19  Dạng 1: Đưa phương trình dạng cos A  cos B sin A  sin B 19  Dạng 2: Đưa phương trình bậc hàm số lượng giác 22 V Thay số đẳng thức lượng giác 25 C KẾT LUẬN 28 D TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 A ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình lượng giác vấn đề quan trọng quen thuộc chương trình tốn học bậc THPT đề thi tuyển sinh đại học Việc giải thành thạo phương trình lượng giác trở thành nhiệm vụ mong muốn học sinh Tuy nhiên, phong phú công thức lượng giác gây khó khăn cho học sinh việc định hướng lời giải Nếu định hướng không tốt dẫn đến biến đổi vịng vo, khơng giải lời giải dài dịng, khơng đẹp Cản trở phần làm nản chí em học sinh Một số em sợ học xác định bỏ phần phương trình lượng giác Với mong muốn giúp học sinh khắc phục khó khăn này, viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số định hướng giải phương trình lượng giác” Bài viết đưa số định hướng biến đổi phương trình dựa dấu hiệu đặc biệt Nhờ học sinh nhanh chóng tìm lời giải tốn, tiết kiệm thời gian, tự tin trước phương trình lượng giác Nội dung sáng kiến gồm nội dung sau: I Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức II Phương trình bậc sin x , cos x III Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung IV Sử dụng công thức đặc biệt V Thay số đẳng thức lượng giác Mỗi nội dung trình bày công phu Dấu hiệu phương pháp đưa cách đầy đủ cụ thể Các ví dụ cho nội dung phong phú, đa dạng, có phân tích định hướng thể rõ ràng phương pháp áp dụng có lời giải chi tiết Tuy cố gắng, mong muốn viết có chất lượng tốt hạn chế thời gian nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý chân thành bạn đồng nghiệp cấp để viết hoàn thiện Vĩnh Yên, ngày 20 tháng năm 2016 Phan Trọng Vĩ B NỘI DUNG I Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức Khi phương trình lượng giác xuất biểu thức có dấu hiệu nhân tử chung nhận dạng ta biến đổi hướng dễ dàng giải Việc phát nhân tử chung đòi hỏi phải nắm đẳng thức Sau số đẳng thức quen thuộc:  Nhân tử sin x  cos x :  cos x  cos x  sin x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)   sin x  (sin x  cos x)   tan x  cos x  sin x cos x   cot x  sin x  cos x sin x      sin  x    cos  x    sin x  cos x 4 4    Nhân tử sin x  cos x :  cos x  cos x  sin x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)   sin x  (sin x  cos x)   tan x  cos x  sin x cos x   cot x  sin x  cos x sin x      sin  x     cos  x    sin x  cos x 4 4    Nhân tử  sin x : cos x  (1  sin x)(1  sin x)  Nhân tử  cos x : sin x  (1  cos x)(1  cos x)  Nhân tử  2sin x :  4cos x    4sin x  (1  2sin x)(1  2sin x)  cos3 x  cos x (4cos x  3)  cos x(1  2sin x)(1  2sin x)  Nhân tử  2cos x :  4sin x    4cos x  (1  2cos x)(1  2cos x)  sin x  sin x(3  4sin x)  sin x(2cos x  1)(2cos x  1)  Một số đẳng thức khác:  cot x  tan x  2cot x  tan x  cot x  sin x  cos3 x  sin x  (cos x  sin x)(1  2sin x)  cos3 x  sin x  (cos x  sin x )(1  2sin x) Để thấy rõ tầm quan trọng lợi ích đẳng thức ta xem vài ví dụ Ví dụ 1.1(ĐH 2007 – KA) Giải phương trình: (1  sin x)cos x  (1  cos x)sin x   sin x (1.1) Phân tích: Khai triển vế trái phương trình thấy đối xứng với sin x,cos x nên xuất nhân tử sin x  cos x Vế phải  sin x  (sin x  cos x) chứa nhân tử sin x  cos x Vì ta có lời giải Giải: Pt 1.1  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2  (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)   (sin x  cos x)(1  sin x)(1  cos x)       k x  sin x  cos x      sin x    x   k 2   cos x   x  k 2   (k  ) Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.2(ĐH 2005 – KB) Giải phương trình:  sin x  cos x  sin x  cos x  (1.2) Phân tích: Vì phương trình xuất sin x  cos x,1  sin x,cos x nên dễ dàng nhận thấy nhân tử làsin x  cos x Giải: pt(1.2)  sin x  cos x  (sin x  cos x)2  cos x  sin x   sin x  cos x  (sin x  cos x)  (cos x  sin x)(cos x  sin x)   (sin x  cos x)(1  sin x  cos x  cos x  sin x)   (sin x  cos x)(1  2cos x)    sin x  cos x   x    k   (k  ) cos x    x    k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.3 Giải phương trình:  5   x   4(sin x  cos x) sin x  4sin    (1.3) Phân tích: Pt(1.3)  2sin x cos x  4cos x  4(sin x  cos x)  Vậy phương trình chứa nhân tử sin x  cos x Giải: Pt(1.3)  2sin x cos x  4cos x  4(sin x  cos x)   2sin x(cos x  sin x)  4(cos x  sin x)  4(sin x  cos x)   4sin x cos x(cos x  sin x)(cos x  sin x)  4(cos x  sin x )(cos x  sin x)  4(sin x  cos x)   (sin x  cos x)  sin x cos x(cos x  sin x)  cos x  sin x  1  (1.3.1) sin x  cos x   sin x cos x(cos x  sin x)  cos x  sin x   (1.3.2) Giải (1.3.1): sin x  cos x   x     k , k     Giải (1.3.2): Đặt t  cos x  sin x  cos  x   ,   t  Phương trình 4  (1.3.2) trở thành: 1 t2 t  t    t  3t    t   x  k 2   (k  )  Với t   cos  x      x    k 2 4   Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.4(ĐH 2003 – KA) Giải phương trình: cot x   cos x  sin x  sin x (1.4)  tan x Phân tích: Phương trình có chứa cot x  1, cos x nên ta nghĩ đến nhân tử chung sin x  cos x Giải:   ĐKXĐ: x  k , x    k cos x  sin x cos x(cos x  sin x)   sin x  sin x cos x Pt(1.4)  sin x sin x  cos x cos x  sin x cos x(cos x  sin x)(cos x  sin x)    sin x(sin x  cos x) sin x sin x  cos x  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin x)    cos x  sin x  x   k , k   (tm)     cos x  1  sin x  0 sin x  cos x  (vn)  Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.5(ĐH 2008 – KD) Giải phương trình: 2sin x(1  cos x)  sin x   2cos x (1.5) Phân tích: Phương trình xuất  sin x, cos x, cos x  sin x nên dễ thấy phương trình có nhân tử cos x  sin x Giải: Pt(1.5)  2sin x  2cos x  2sin x(cos x  sin x)  2sin x cos x    2(sin x  cos x)  2sin x(cos x  sin x)(cos x  sin x)  (sin x  cos x)   (sin x  cos x)(2  2sin x cos x  2sin x  sin x  cos x)   (sin x  cos x)(2sin x cos x  2cos x  sin x  cos x)   (sin x  cos x) (2cos x  1)    x   k sin x  cos x      (k  ) cos x    x    k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.6 Giải phương trình: cos x  cos x  sin x  (1.6) Phân tích: Phương trình chứa sin x , tức chứa sin x  (1  cos x)(1  cos x) Như nhân tử phương trình cos x  Giải: Pt(1.6)  cos x(cos x  1)  sin x(1  cos x)   cos x(cos x  1)  sin x(1  cos x)(1  cos x)   (cos x  1)(cos x  sin x  sin x cos x)  (1.6.1) cos x  1  cos x  sin x  sin x cos x  (1.6.2) Giải (1.6.1): cos x  1  x    k 2 , k     Giải (1.6.2): Đặt t  sin x  cos x  cos  x   ,   t  Phương trình 4  (1.6.2) trở thành: t   ( l ) t  2t      t   (tm) 1    1    x   arccos  Với t    cos  x      k 2 , k   4    Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.7 Giải phương trình: cos x(cos x  1)  2(1  sin x) sin x  cos x (1.7) Phân tích: Nhìn vào phương trình dựa vào đẳng thức dễ dàng suy  sin x nhân tử chung Giải: ĐKXĐ: x     k , k   Pt(1.7)  (1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  2(1  sin x)(sin x  cos x)  (1  sin x)(cos x  sin x cos x  sin x   2sin x  2cos x)   (1  sin x)(cos x  sin x cos x  sin x  1)   (1  sin x) (cos x  1)    x    k 2 sin x  1   (k  ) cos x  1  x    k 2  Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.8 Giải phương trình: 4cos x  (2sin x  1)(2sin x  1)  (1.8) Phân tích: Trong phương trình có 4cos x  tức chứa nhân tử 2sin x  Giải: Pt(1.8)   4sin x  (2sin x  1)(2sin x  1)   (1  2sin x)(1  2sin x)  (2sin x  1)(2sin x  1)   (1  2sin x)(sin x  2sin x cos x)   sin x(1  2sin x)(1  2cos x)   x  k    sin x   x   k 2      sin x   (k  ) 5   k 2 x    cos x      x    k 2 Vậy phương trình có họ nghiệm 10  (2cos x  1)(2sin x  sin x  2)  cos x   2  x  k 2 , k     2sin x  sin x   (vn) Ví dụ 2.7 Giải phương trình: sin x  3sin x  2cos x  3sin x  3cos x   (2.7) Giải: Pt(2.7)  3sin x  4sin x  6sin x cos x  2sin x   3sin x  3cos x    4sin x  2sin x  6sin x   3cos x(2sin x  1)   (2sin x  1)(2sin x  3)  3cos x(2sin x  1)   (2sin x  1)(2sin x  3cos x  3)   sin x  (2.7.1)     2cos x  3cos x   (2.7.2)     k 2 x  ( k  ) Giải (2.7.1): sin x     x   k 2   x  k 2 cos x  Giải (2.7.2): 2cos x  3cos x     (k  )    cos x  x    k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm  Phương trình khơng chứa sin x cos x : Đối với loại phương trình ta biến đổi dạng A2  B Ví dụ 2.8 Giải phương trình: cos x  4cos x  2sin x   (2.6) Giải: 15 Ta có: cos x  4cos x  2sin x    cos x  sin x  4cos x  2sin x    cos x  4cos x   sin x  2sin x  sin x  cos x  (vn)  (cos x  2)  (sin x  1)2   sin x  cos x  1   x    k 2    (k  )  sin  x       4   x    k 2 Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 2.9 Giải phương trình:  cos x  2cos x  tan x (2.7) Giải: ĐKXĐ: cos x  0, tan x   Khi đó:  cos x  2cos x   cos x  sin x  6cos x  4sin x  tan x  cos x  6cos x   sin x  4sin x  cos x  sin x  (vn)  (cos x  3)  (sin x  2)   sin x  cos x   x  k 2    sin  x     (k  )   x   k 2    Vậy phương trình có họ nghiệm 16 III Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung Trong số phương trình, việc xác định nhân tử chung khó khăn Khi ta nhẩm số nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung Từ định hướng rõ ràng cách biến đổi phương trình Ta thực hiên theo bước sau: Bước 1: Nhẩm nghiệm đặc biệt Bước 2: Kiểm tra giá trị đặc biệt tương ứng với nghiệm tìm bước Từ xác định nhân tử chung Bước 3: Nhóm theo nhân tử xác định Ví dụ 3.1 Giải phương trình: cos3 x  cos x  sin x  sin x  5cos x  (3.1) Bước 1: Nhập vào máy tính cầm tay phương trình trên: cos3alpha x  cos 2alpha x  sin 2alpha x  sin alpha x  5cosalpha x alpha  Dùng lệnh shift solve, hình xuất X  ? Ta nhập giá trị, ấn = chờ kết Hoặc dùng lệnh Calc để thử số giá trị đặc biệt Kết x  120 Bước 2: Các giá trị đặc biệt tương ứng là: + x  120 nhân tử 2cos x  + x  60 nhân tử 2sin x  4sin x  + x  60 nhân tử tan x  tan x  Phương trình có nghiệm x  120, tức có nhân tử 2cos x  Nhóm làm xuất hiên nhân tử tìm Dễ thấy sin x  sin x  sin x(2cos x  1) nên phần cịn lại phương trình ta đưa bậc cos x , chác chắn có nhân tử 2cos x  Giải: 17 Pt(3.1)  4cos x  3cos x  2cos   2sin x cos x  sin x  5cos x    4cos3 x  2cos x  8cos x   sin x(2cos x  1)   (2cos x  1)(2cos x  4)  sin x(2cos x  1)   (2cos x  1)(2cos x  sin x  4)     cos x 2   x  k 2 , k     2sin x  sin x   (vn) Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 3.2 Giải phương trình: sin x  3sin x  2cos x  3sin x  3cos x   (3.2) Phân tích: Nhẩm nghiệm thấy phương trình có hai nghiệm đặc biệt 30,150 nên có nhân tử 2sin x  Giải: Pt(3.2)  3sin x  4sin x  6sin x cos x  2sin x   3sin x  3cos x    4sin x  2sin x  6sin x   3cos x(2sin x  1)   (2sin x  1)(2sin x  3)  3cos x(2sin x  1)   (2sin x  1)(2sin x  3cos x  3)   sin x  (3.2.1)    2cos x  3cos x   (3.2.2)     k 2 x  Giải (3.2.1): sin x    ( k  )  x  5  k 2   x  k 2 cos x   Giải (3.2.2): 2cos x  3cos x    (k  )    cos x  x    k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm 18 IV Sử dụng công thức đặc biệt Một số công thức thường dùng:      sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   3 6        sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   3 6        sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   6 3        sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   6 3   Dấu hiệu nhân dạng phương trình giải theo phương pháp phương trình có chứa số là: Hai hướng biến đổi phương trình loại + Đưa phương trình dạng cos A  cos B sin A  sin B + Đưa phương trình bậc hàm số lượng giác  Dạng 1: Đưa phương trình dạng cos A  cos B sin A  sin B Ví dụ 4.1 Giải phương trình: 4sin x 3    cos x   2cos  x     (4.1) Giải: Ta có:   Pt(4.1)  2(1  cos x)  cos x    cos  x   2    cos x  cos( x   )  cos  x    cos( x   )  sin x  2 6  19  7   x x k x       k 2     6   (k  )     x    x    k 2 x   k   18 Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.2 Giải phương trình:   2cos   2x   cos 4x  4cos x  4  (4.2) Giải: Ta có:   Pt(4.2)   cos   4x   cos 4x  2(1  cos 2x)  2     sin 4x  cos 4x  2cos 2x  cos  4x    cos 2x 6       4x   2x  k2  x  12  k (k  )       4x   2x  k2 x  k  36  Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.3 Giải phương trình: 2cos3 x.cos x  3(1  sin x) 2  2 cos   x  4  (4.3) Giải: ĐKXĐ: x   k  , k   Khi đó: 20     Pt(4.3)  cos x  cos x   sin x  1  cos  x        sin x  cos x  ( sin x  cos x)          sin  x     sin  x    sin  x    sin  2 x   6 6 6 6            x   2 x   k 2  x   18  k   (k  )     x     x   k 2  x   k   6 Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.4 Giải phương trình: 2cos2 x  2cos x  4sin x  cos x   sin 3x cos x (4.4) Giải: Ta có: Pt(4.4)  2cos x  2cos x  8sin x cos3 x  sin x cos x  4sin 3x sin x  8sin x cos3 x  sin x cos x   x k   sin x    cos3 x  cos  x     2cos3 x  sin x  cos x    6    x k       x    k (k  )  12    x  k  24 Vậy phương trình có họ nghiệm 21  Dạng 2: Đưa phương trình bậc hàm số lượng giác Ví dụ 4.5 Giải phương trình:   sin x  cos x  cos 2x  sin 2x Giải: Ta có: 1  3 Pt(4.5)   sin x  cos x   sin x  cos x  2 2       sin  x    cos  x    3 6          2sin  x   cos  x    cos  x    6 6 6    2    k x      cos  x          x    k 2 (k  )    12   sin  x     17 6   x   k 2  12 Vậy phương trình có họ nghiệm Nhận xét: Biểu thức hàm số lượng giác x nhóm với  x nhóm với  , x gắn với 2  , x gắn với để sử dụng công thức nhân đôi đưa 3 phương bậc hàm số lượng giác Ví dụ 4.6 Giải phương trình: 3(sin2x +sinx)+ cos2x -cosx =2 (4.6) 22 Giải: Ta có: Pt(4.6)  sin x  cos x  sin x  cos x   3 sin x  cos x  sin x  cos x   2 2      cos  x    sin  x     3 6         2sin  x    sin  x  6    0      k x      sin  x          x   k 2 (k  )     x   sin     x    k 2 6     Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.7 Giải phương trình: cos 2x  sin 2x  cos x  4sin x   Giải: Ta có:   Pt(4.7)  cos 2x  sin 2x   cos x  sin x    2     cos 2 2     cos 2x  sin sin 2x   sin cos x  cos sin x    3 3   2        2  cos  2x    4sin  x     4sin  x    8sin  x      3 3 3     23      x    k2 sin  x    (vn)    (k  )        x   k2 sin  x        Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.8 Giải phương trình: 3cos x  sin x  3(cos x  sin x) (4.8) Giải: Pt(4.8)  sin x  3cos2 x  3cos x  sin x  sin(2 x    )  cos( x  )        cos  x    2sin  x       6      x   k       cos  x          x   k 2      sin  x    6  x    k 2    ( k  ) Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.9 Giải phương trình: 1  sin x   2sin x    sin x  3cos x  (4.9) Giải: Pt(4.9)   3sin x  cos x  sin x  3 cos x  cos x  sin x  3( cos x  sin x)        cos  x    3cos  x     3 6   24      2cos  x    3cos  x     6 6   5  x   k 2      cos  x    1       x   k 2  k           cos x     6    x   5  k 2  Vậy phương trình có họ nghiệm V Thay số đẳng thức lượng giác Trong nhiều toán thay khéo léo số giá trị lượng giác hay biểu thức lượng giác cho cách giải ngắn gọn Sau ta xét vài ví dụ Ví dụ 5.1 Giải phương trình: cos x  sin x cos x   cos x  sin x cos x (5.1) Giải : Đk : x     k , k   Khi : Pt(5.1)       3cos x  cos x sin x  sin x  cos x  sin x 2cos x  cos x  sin x    cos x  sin x cos x     cos  x     cos x  sin x  6      cos x  sin x  2cos x cos  x    cos x    25   x   k    (k  )   x   k 2    x     k 2  18 Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 5.2 Giải phương trình : 2(cos x  sin x)   cos x  sin x (5.2) x  2cos(  ) Giải: Đk: x  5  k 2 , k   Khi x  Pt(5.2)  2cos x  2sin x   2cos    cos x  sin x 2 3 x   3cos x  sin x  2cos    cos x  sin x 2 3 x   cos x  sin x cos x  sin x  2cos    cos x  sin x 2 3     cos x  sin x  cos  x         x      cos x  sin x  2cos     x  2 3 cos  x    cos             2   x   k    x    k 4   4 x   k        (k  ) Vậy phương trình có họ nghiệm 26 Ví dụ 5.3 Giải phương trình:      4sin  x   sin  x    1  2cos x  6   6   (5.3) Giải :       Pt(5.3)  4sin  x   sin  x    1  2cos x  2cos 6   6             sin  x   cos  x    1   sin  x   sin  x   6   3  6  6            sin  x    2sin  x    sin  x      6          x  sin x    k 0    6         sin  x      x   k 2 (k  )  6    x    k 2     sin  x     6   Vậy phương trình có họ nghiệm 27 C KẾT LUẬN Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm trình bày cách logic, cụ thể khoa học “Một số định hướng giải phương trình lượng giác” đem lại ý nghĩa thiết thực cho việc dạy học tốn bậc trung học phổ thơng Cụ thể là:  Báo cáo đưa dấu hiệu đặc biệt phương trình lượng giác giúp học sinh định hướng lời giải  Báo cáo đề cập đến năm gợi ý định hướng biến đổi phương trình lượng giác Mỗi dạng đưa phương pháp, ví dụ có lời giải chi tiết  Báo phân tích dấu hiệu qua ví dụ Do đó, học sinh tự học tự tin trước tốn khó Qua việc áp dụng sáng kiến vào dạy học nhiều năm, nhận thấy gợi ý thật bổ ích Từ việc áp dụng định hướng biến đổi phương trình lượng giác, học sinh khơng cịn sợ mà cịn xem phương trình lượng giác phần gỡ điểm đề thi Do em thấy yêu hứng thú học toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Vĩnh yên, ngày 20 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Phan Trọng Vĩ 28 D TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số giải tích 11 nâng cao- NXB Giáo dục – 2011- Nhiều tác giả - 227 trang Lượng giác - Đẳng thức Phương trình Tập - NXB Giáo dục - Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng Phương trình lượng giác – NXB Giáo dục – Trần Phương Đề thi thử đại học trường THPT nước 29 ... phương trình giải theo phương pháp phương trình có chứa số là: Hai hướng biến đổi phương trình loại + Đưa phương trình dạng cos A  cos B sin A  sin B + Đưa phương trình bậc hàm số lượng giác. .. sinh Một số em sợ học xác định bỏ phần phương trình lượng giác Với mong muốn giúp học sinh khắc phục khó khăn này, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm ? ?Một số định hướng giải phương trình lượng giác? ??... đặc biệt phương trình lượng giác giúp học sinh định hướng lời giải  Báo cáo đề cập đến năm gợi ý định hướng biến đổi phương trình lượng giác Mỗi dạng đưa phương pháp, ví dụ có lời giải chi tiết