Phương pháp phân tích thành nhân tử trong việc giải phương trình lượng giác

I HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Trần Thông Trang 1 MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Tháng 07, năm 2017 HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁN[.]

HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Tháng 07, năm 2017 Trần Thơng Trang HỘI TỐN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ A MỞ ĐẦU Phương trình lượng giác vấn đề quan trọng quen thuộc chương trình tốn học bậc THPT đề thi tuyển sinh đại học Việc giải thành thạo phương trình lượng giác trở thành nhiệm vụ mong muốn học sinh Tuy nhiên, phong phú công thức lượng giác gây khó khăn cho học sinh việc định hướng lời giải Nếu định hướng không tốt dẫn đến biến đổi vịng vo, khơng giải lời giải dài dịng, khơng đẹp Cản trở phần làm nản chí em học sinh Một số em sợ học xác định bỏ phần phương trình lượng giác Với mong muốn giúp học sinh khắc phục khó khăn này, tơi viết viết Bài viết đưa số định hướng biến đổi phương trình dựa dấu hiệu đặc biệt Nhờ học sinh nhanh chóng tìm lời giải tốn, tiết kiệm thời gian, tự tin trước phương trình lượng giác Bài viết chia thành ba phần: Phần A: Trình bày cần thiết nội dung viết Phần B: Nội dung viết, phần chia thành mục nhỏ I Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức II Phƣơng trình bậc sin x , cos x III Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định nhân tử chung IV Sử dụng công thức đặc biệt V Thay số đẳng thức lƣợng giác Phần C: Trình bày số tập tương tự Tuy cố gắng, mong muốn viết có chất lượng tốt hạn chế thời gian hiểu biết nên không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý chân thành bạn đồng nghiệp cấp để viết hồn thiện Trần Thơng Trang HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Mọi ý kiến đóng góp độc giả xa gần vui lòng gửi địa mail: thongqna@gmail.com Quảng Nam, ngày 15 tháng 07 năm2017 TRẦN THƠNG Trần Thơng Trang HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ B PHƢƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức Khi phương trình lượng giác xuất biểu thức có dấu hiệu nhân tử chung nhận dạng ta biến đổi hướng dễ dàng giải Việc phát nhân tử chung đòi hỏi phải nắm đẳng thức Sau số đẳng thức quen thuộc:  Nhân tử sin x  cos x :  cos x  cos x  sin x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)   sin x  (sin x  cos x)   tan x  cos x  sin x cos x   cot x  sin x  cos x sin x     sin  x    cos  x    sin x  cos x 4 4     Nhân tử sin x  cos x :  cos x  cos x  sin x  (cos x  sin x)(cos x  sin x)   sin x  (sin x  cos x)   tan x  cos x  sin x cos x   cot x  sin x  cos x sin x  Trần Thông     sin  x     cos  x    sin x  cos x 4 4   Trang HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ  Nhân tử  sin x : cos2 x  (1  sin x )(1  sin x )  Nhân tử  cos x : sin x  (1  cos x )(1  cos x )  Nhân tử  2sin x :  4cos x    4sin x  (1  2sin x)(1  2sin x)  cos3x  cos x(4cos x  3)  cos x(1  2sin x)(1  2sin x)  Nhân tử  2cos x :  4sin x    4cos x  (1  2cos x)(1  2cos x)  sin 3x  sin x(3  4sin x)  sin x(2cos x  1)(2cos x  1)  Một số đẳng thức khác:  cot x  tan x  2cot x  tan x  cot x   cos3x  sin 3x  (cos x  sin x)(1  2sin x)  cos3x  sin 3x  (cos x  sin x)(1  2sin x) sin x Để thấy rõ tầm quan trọng lợi ích đẳng thức ta xem vài ví dụ Ví dụ 1.1(ĐH 2007 – KA) Giải phương trình: (1  sin x)cos x  (1  cos x)sin x   sin x (1.1) Phân tích: Khai triển vế trái phương trình thấy đối xứng với sin x,cos x nên xuất nhân tử sin x  cos x Vế phải  sin x  (sin x  cos x) chứa nhân tử sin x  cos x Vì ta có lời giải Giải: Trần Thơng Trang HỘI TỐN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Pt 1.1  sin x  cos x  sin x cos x(sin x  cos x)  (sin x  cos x)  (sin x  cos x)(1  sin x cos x  sin x  cos x)   (sin x  cos x)(1  sin x)(1  cos x)     x    k sin x  cos x      sin x    x   k 2   cos x   x  k 2   (k  ) Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.2(ĐH 2005 – KB) Giải phương trình:  sin x  cos x  sin x  cos2 x  (1.2) Phân tích: Vì phương trình xuất sin x  cos x,1  sin x,cos x nên dễ dàng nhận thấy nhân tử sin x  cos x Giải: pt(1.2)  sin x  cos x  (sin x  cos x)  cos x  sin x   sin x  cos x  (sin x  cos x)  (cos x  sin x)(cos x  sin x )   (sin x  cos x)(1  sin x  cos x  cos x  sin x)   (sin x  cos x)(1  2cos x)       k x sin x  cos x      (k  ) cos x    x    k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.3 Giải phương trình:  5   x   4(sin x  cos x) sin x  4sin    Trần Thông (1.3) Trang HỘI TỐN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Phân tích: Pt(1.3)  2sin x cos x  4cos x  4(sin x  cos x)  Vậy phương trình chứa nhân tử sin x  cos x Giải: Pt(1.3)  2sin x cos x  4cos x  4(sin x  cos x)   2sin x(cos x  sin x)  4(cos x  sin x)  4(sin x  cos x)   4sin x cos x(cos x  sin x)(cos x  sin x)  4(cos x  sin x)(cos x  sin x)  4(sin x  cos x)   (sin x  cos x)  sin x cos x(cos x  sin x)  cos x  sin x  1  (1.3.1) sin x  cos x   sin x cos x(cos x  sin x)  cos x  sin x   (1.3.2) Giải (1.3.1): sin x  cos x   x     k , k    Giải (1.3.2): Đặt t  cos x  sin x  cos  x   ,   t  Phương trình 4  (1.3.2) trở thành: 1 t2 t  t    t  3t    t   x  k 2   (k  )  Với t   cos  x          x k 2    Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.4(ĐH 2003 – KA) Giải phương trình: cot x   cos x  sin x  sin x (1.4)  tan x Phân tích: Phương trình có chứa cot x  1, cos x nên ta nghĩ đến nhân tử chung sin x  cos x Giải: Trần Thông Trang HỘI TOÁN BẮC NAM  MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ  ĐKXĐ: x  k , x    k cos x  sin x cos x(cos x  sin x)   sin x  sin x cos x Pt(1.4)  sin x sin x  cos x cos x  sin x cos x(cos x  sin x)(cos x  sin x)    sin x(sin x  cos x) sin x sin x  cos x  (cos x  sin x)(1  sin x cos x  sin x)    cos x  sin x  x   k , k  (tm)    cos x  1  sin x  0 sin x  cos x  (vn)  Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.5(ĐH 2008 – KD) Giải phương trình: 2sin x(1  cos x)  sin x   2cos x (1.5) Phân tích: Phương trình xuất  sin x, cos x, cos x  sin x nên dễ thấy phương trình có nhân tử cos x  sin x Giải: Pt(1.5)  2sin x  2cos x  2sin x(cos x  sin x)  2sin x cos x    2(sin x  cos x)  2sin x(cos x  sin x)(cos x  sin x)  (sin x  cos x)   (sin x  cos x)(2  2sin x cos x  2sin x  sin x  cos x)   (sin x  cos x)(2sin x cos x  2cos x  sin x  cos x)   (sin x  cos x) (2cos x  1)    x   k sin x  cos x   (k  )   cos x    x   2  k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.6 Giải phương trình: cos x  cos x  sin x  Trần Thơng (1.6) Trang HỘI TỐN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Phân tích: Phương trình chứa sin x , tức chứa sin x  (1  cos x)(1  cos x) Như nhân tử phương trình cos x  Giải: Pt(1.6)  cos x(cos x  1)  sin x(1  cos x)   cos x(cos x  1)  sin x(1  cos x)(1  cos x)   (cos x  1)(cos x  sin x  sin x cos x)  (1.6.1) cos x  1  cos x  sin x  sin x cos x  (1.6.2) Giải (1.6.1): cos x  1  x    k 2 , k    Giải (1.6.2): Đặt t  sin x  cos x  cos  x   ,   t  Phương trình 4  (1.6.2) trở thành: t   ( l ) t  2t      t   (tm) 1    1   Với t    cos  x     x   arccos    k 2 , k  4    Vậy phương trình có họ nghiệm cos x(cos x  1)  2(1  sin x) Ví dụ 1.7 Giải phương trình: sin x  cos x (1.7) Phân tích: Nhìn vào phương trình dựa vào đẳng thức dễ dàng suy  sin x nhân tử chung Giải: ĐKXĐ: x   Trần Thông   k , k  Trang HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Pt(1.7)  (1  sin x)(1  sin x)(cos x  1)  2(1  sin x)(sin x  cos x)  (1  sin x)(cos x  sin x cos x  sin x   2sin x  2cos x)   (1  sin x)(cos x  sin x cos x  sin x  1)   (1  sin x) (cos x  1)       k 2 x sin x  1   (k  ) cos x  1  x    k 2  Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 1.8 Giải phương trình: 4cos x  (2sin x  1)(2sin x  1)  (1.8) Phân tích: Trong phương trình có 4cos x  tức chứa nhân tử 2sin x  Giải: Pt(1.8)   4sin x  (2sin x  1)(2sin x  1)   (1  2sin x)(1  2sin x)  (2sin x  1)(2sin x  1)   (1  2sin x)(sin x  2sin x cos x)   sin x(1  2sin x)(1  2cos x)   x  k    sin x   x   k 2      sin x   (k  ) 5   k 2 x    cos x      x    k 2 Vậy phương trình có họ nghiệm Trần Thơng Trang 10 HỘI TỐN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ Pt(3.1)  4cos x  3cos x  2cos   2sin x cos x  sin x  5cos x    4cos3 x  2cos x  8cos x   sin x(2cos x  1)   (2cos x  1)(2cos x  4)  sin x(2cos x  1)   (2cos x  1)(2cos x  sin x  4)   cos x   2    x  k 2 , k    2sin x  sin x   (vn) Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 3.2 Giải phương trình: sin3x  3sin x  2cos2 x  3sin x  3cos x   (3.2) Phân tích: Nhẩm nghiệm thấy phương trình có hai nghiệm đặc biệt 30,150 nên có nhân tử 2sin x  Giải: Pt(3.2)  3sin x  4sin x  6sin x cos x  2sin x   3sin x  3cos x    4sin x  2sin x  6sin x   3cos x(2sin x  1)   (2sin x  1)(2sin x  3)  3cos x(2sin x  1)   (2sin x  1)(2sin x  3cos x  3)    x sin (3.2.1)    2cos x  3cos x   (3.2.2)   x   k 2  Giải (3.2.1): sin x    (k  )  x   k 2   x  k 2 cos x  (k  ) Giải (3.2.2): 2cos x  3cos x        cos x  x    k 2   Vậy phương trình có họ nghiệm Trần Thơng Trang 18 HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ IV Sử dụng công thức đặc biệt Một số công thức thường dùng:      sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   3 6        sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   3 6        sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   6 3        sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   6 3   Dấu hiệu nhân dạng phương trình giải theo phương pháp phương trình có chứa số là: Hai hướng biến đổi phương trình loại + Đưa phương trình dạng cos A  cos B sin A  sin B + Đưa phương trình bậc hàm số lượng giác  Dạng 1: Đưa phương trình dạng cos A  cos B sin A  sin B Ví dụ 4.1 Giải phương trình: 4sin x 3    cos x   2cos  x     (4.1) Giải: Ta có:   Pt(4.1)  2(1  cos x)  cos x    cos  x   2     cos( x   )  sin x  cos x  cos( x   )  cos  x   2 6  Trần Thông Trang 19 HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ  7   2   x x k x       k 2   6 (k  )    x     x    k 2  x   5  k 2  18  Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.2 Giải phương trình:   2cos   2x   cos 4x  4cos x  4  (4.2) Giải: Ta có:   Pt(4.2)   cos   4x   cos 4x  2(1  cos 2x)  2     sin 4x  cos 4x  2cos 2x  cos  4x    cos 2x 6       4x   2x  k2  x  12  k (k  )       4x   2x  k2 x  k   36 Vậy phương trình có họ nghiệm Ví dụ 4.3 Giải phương trình: 2cos3 x.cos x  3(1  sin x) 2  2 cos   x  4  (4.3) Giải: ĐKXĐ: x  Trần Thông  k  , k  Khi đó: Trang 20 ... viết B? ?i viết đưa số định hướng biến đ? ?i phương trình dựa dấu hiệu đặc biệt Nhờ học sinh nhanh chóng tìm l? ?i gi? ?i toán, tiết kiệm th? ?i gian, tự tin trước phương trình lượng giác B? ?i viết chia thành... tích: Khai triển vế tr? ?i phương trình thấy đ? ?i xứng v? ?i sin x,cos x nên xuất nhân tử sin x  cos x Vế ph? ?i  sin x  (sin x  cos x) chứa nhân tử sin x  cos x Vì ta có l? ?i gi? ?i Gi? ?i: Trần Thơng... Trình bày cần thiết n? ?i dung viết Phần B: N? ?i dung viết, phần chia thành mục nhỏ I Nhận dạng nhân tử chung dựa vào đẳng thức II Phƣơng trình bậc sin x , cos x III Nhẩm nghiệm đặc biệt để xác định