(SKKN HAY NHẤT) sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THPT LÊ LAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Người thực hiện: Phạm Chí Đạt Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Trang Mở đầu………………………………………………………………………1 1.1 Lí chọn đề tài……………………………………………………….….1 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………….… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………….…….1 1.4.Phương phpas nghiên cứu……………………………………… ……….1 1.5.Những điểm SKKN……………………………………… …… 2.Nội dung…………………………………………………………………… 2.1.Cơ sở lý luận SKKN………………………………………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dung SKKN …………………………….4 2.3.Các SKKN áp dụng………………………………………………… ……4 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………….…………….……… … ……… 15 Kết luận, kiến nghị……………………….………………………….…….15 3.1 Kết luận………………………………………………………………… 15 3.2 Kiến nghị…………………………………… ……….15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Giải phương trình lượng giác thường gặp toán liên quan kết hợp nghiệm đường trịn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm miền D nội dung quan trọng toán giải phương trình lượng giác Tuy nhiên học sinh thường sử dung máy tính cầm tay để giải phương trình lượng giác thường gặp, cách làm chất tốn học, chí học sinh khơng cịn biết giá trị lượng giác cung vấn đề liên quan việc kết hợp họ nghiệm, tìm số nghiệm phương trình lượng giác miền D Sử dụng đường tròn lượng giác để lấy nghiệm giúp học sinh hiểu rõ chất việc lấy nghiệm phương trình lượng giác bản, từ mở rộng, nâng cao cho toán kết hợp nghiệm đường lượng giác tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm miền D Đó lí tơi viết SKKN “Sử dụng đường trịn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích tổng quát làm rõ chất giá trị lượng giác cung(góc) lượng giác Mục đích cụ thể giúp học sinh hiểu giải nhanh chóng, xác, dễ dàng phương trình lượng giác thường gặp Biết kết hợp họ nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn mẫu),biết viết gọn họ nghiệm phương trình lượng giác, biết tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm miền D 1.3 Đối tượng nghiên cứu Là cách lấy nghiệm phương trình lượng giác đường trịn lượng giác Hiện tượng thuộc phạm vi nghiên cứu cách viết số đo cung lượng giác biết điểm cuối cung, cách kết hợp họ nghiệm, cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác miền D 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài có sử dụng số phương pháp nghiên cứu phương pháp quan sát khoa học, phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.5 Những điểm SKKN Bằng trực giác cụ thể nhìn vào đường tròn lượng giác ta lấy nghiệm phương trình lượng giác thường gặp cách nhanh chóng, kết hợp họ nghiệm với để đưa nghiệm gọn xác (đối với phương trình lượng giác có điều kiện) hay đường tròn lượng giác biết cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác miền D , từ giải tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm D Nội dung SKKN 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.1.1 Đường tròn định hướng, cung góc lượng giác a)Đường trịn định hướng: Là đường trịn chọn chiều chuyển động chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước ngược chiều kim đồng hồ chiều dương b)Cung góc lượng giác: Trên đường trịn định hướng tâm O cho điểm A , B Một điểm M di chuyển đường tròn theo chiều từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu(điểm gốc) A , điểm cuối B Kí hiệu Như với điểm A , B đường trịn định hướng có vơ số cung lượng giác lượng giác khác nhận A điểm đầu, B điểm cuối Khi tia OM tạo góc lượng giác, tia đầu OA , tia cuối OB Kí hiệu: (OA , OB) 2.1.2 Đường trịn lượng giác Trên mặt phẳng Oxy , đường tròn lượng giác đường trịn định hướng có tâm O(0 ; 0), bán kính Giao đường trịn lượng giác với trục Ox , Oy ' ' A ( ;0 ) , A (−1 ; ) , B ( ;1 ) , B (0 ;−1) đường tròn chia thành cung phần tư thứ ( I ) , ( II ) , ( III ) ,( IV ) hình vẽ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com y B (II) A' -1 (I) A O (III) x (IV) -1 B' Mọi cung lượng giác vẽ đường trịn lượng giác ln ln nhận điểm đầu(điểm gốc) điểm A(1 ; 0) 2.1.3 Đơn vị đo cung(góc) lượng giác π Ngoài đơn vị đo độ, ta có đơn vị đo rađian với = 180 rađian Khi viết đơn vị đo π π rađian ta không ghi chữ rađian đằng sau, chẳng hạn cung hiểu rađian 2.1.4 Giá trị lượng giác cung lượng giác Trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM =α (điểm gốc cung α A , điểm cuối M ), cung lượng giác α có giá trị lượng giác là: +) sin α = tung độ điểm M = OK (độ dài đại số đoạn OK ) +) cos α = hoành độ điểm M = OH (độ dài đại số đoạn OH ) sinα +) tanα= cosα = AT (độ dài đại số đoạn AT ), điều kiện cosα ≠ Tiếp tuyến t ' At trục tang cosα +) cotα = sinα = BS(độ dài đại số đoạn BS), điều kiện sinα ≠ Tiếp tuyến s' B s trục côtang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com t y s' B K T S s M A O H x t' 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Thực tế gần thi TNKQ nên nhanh tìm đáp số phương trình lượng giác thường gặp học sinh thường dùng máy tính cầm tay,vì khơng hiểu rõ chất lấy nghiệm phương trình lượng giác dẫn đến cần kết hợp nghiệm gặp tốn tìm nghiệm có điều kiện, tốn cần đếm đủ số nghiệm miền D học sinh gặp khó khăn khơng làm Khi em ghi nhớ hình ảnh đường tròn lượng giác với đầy đủ giá trị lượng giác cung thường gặp việc lấy nghiệm phương trình lượng giác dễ dàng, nhanh chóng dùng hình ảnh đường trịn lượng giác để giải toán nâng cao giải phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn mẫu) hay tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có n nghiệm miền D 2.3 Các SKKN áp dụng 2.3.1 Viết số đo cung lượng giác biết vị trí điểm cuối cung Bài tốn1: Cho điểm M đường trịn lượng giác, viết số đo cung lượng giác nhận M điểm cuối Bước 1: Tính số đo cung lượng giác có điểm đầu A , điểm cuối M , giả sử cung α (nên tính α cung dễ tìm nhất, thường là cung xác định di chuyển điểm từ A đến M lần thứ nhất, chọn chiều di chuyển ¿ ¿ cho ngắn nhất) Bước 2: Khi số đo cung lượng giác ln nhận M điểm cuối là: sđ AM=α + k π (k ∈ Z ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VD1: Cho cung lượng giác AM có điểm cuối M hình vẽ, biết điểm M vị trí cung thứ ( I) gần A y M O A x Hãy viết số đo cung lượng giác π - Giải: Số đo cung lượng giác α nhận M điểm cuối α = (α xác định di chuyển điểm đường tròn theo chiều ¿ từ A đến M lần thứ dừng) π Khi sđ AM= + k π (hoặc sđ AM =30o +k 360o ) VD2: Viết số đo cung lượng giác nhận B' (0 ;−1) điểm cuối −π - Giải: Số đo cung lượng giác α nhận B' điểm cuối α = (α xác định di chuyển điểm đường tròn theo chiều ¿ từ A đến B' lần thứ nhất) ' −π Khi sđ A B = +k π VD3: Viết số đo cung lượng giác có điểm cuối điểm A - Giải: Số đo cung lượng giác α nhận A điểm cuối α =0 (α xác định di chuyển điểm đường tròn từ A đến A lần thứ nhất) Khi sđ A A ' =k π Bài toán 2(bài toán tổng quát): Cho điểm M , M ,…, M n nằm cách đường tròn lượng giác, viết số đo cung lượng giác nhận M , M ,…, M n điểm cuối LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 1: Tính số đo cung lượng giác có điểm cuối điểm M , M ,…, M ntrên, giả sử cung α (nên tính α cung dễ tìm tốn 1) 2π Bước 2: Khi số đo cung lượng giác cần tìm là: α +k n VD4: Cho điểm M , M đường tròn lượng giác hình vẽ y M1 M2 A x O Biết M vị trí cung thứ (I ) gần A Viết số đo cung lượng giác nhận M , M điểm cuối - Giải: π Ta xác định α = cung lượng giác di chuyển điểm đường tròn lượng giác từ A đến M lần thứ theo chiều¿ π 2π π Khi số đo cung lượng giác cần tìm là: +k = +k π (k =0 điểm cuối M 1, k =1 điểm cuối M 2, k =2 điểm cuối M 1,…) VD5: Cho điểm M , M , M cách đường trịn lượng giác hình vẽ sau y O M3 M2 A x M1 Biết M 1ở 1/ 3cung thứ (IV ) gần A , viết số đo cung lượng giác nhận M , M , M điểm cuối - Giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com −π Ta xác định α = cung lượng giác di chuyển điểm đường tròn lượng giác từ A đến M lần thứ theo chiều¿ −π 2π Khi số đo cung lượng giác cần tìm là: + k 2.3.2 Xác định vị trí điểm cuối biết số đo cung lượng giác 2π Bài toán: Tìm điểm cuối cung lượng giác α +k n ¿) Lần lượt thay k =0 ; k =1; ; k=2 … , k=n, tìm điểm cuối cung tương ứng đường tròn điểm cuối trùng lại điểm tìm thơi Lưu ý với n ≥ 2π cung α +k n có n điểm cuối đỉnh đa giác nội tiếp đường tròn lượng giác π VD6: Tìm điểm cuối cung +k π - Giải: π Các cung +k π có điểm cuối trùng nhau(ở cung (I ) ¿ π π VD7: Tìm điểm cuối cung +k π π π 2π - Giải: Ta có: +k = + k nên cung cho có điểm cuối đỉnh hình vng nội tiếp đường trịn lượng giác, đỉnh hình vng vị trí cung ( I ) , ( II ) , ( III ) , ( IV ) 2.3.3 Sử dụng đường trịn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp a) Giải phương trình sinx=a ; cosx=a - Với a giá trị thường gặp: ; ± ;± √ ; ± √ ; ± 1, cung lượng giác 2 có hồnh độ tung độ điểm cuối a ghi đường trịn lượng giác hình vẽ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com s in 2   3 3  4 5  6 A  -1 - - -1 2 O 2 -1 -5 -3 cos - 6 - - - -2 - -1 - Hình Để giải phương trình sinx=a cosx =a học sinh cần ghi nhớ hình ảnh đường tròn lượng giác với tất thơng tin đường trịn, sau theo định nghĩa giá trị lượng giác sin cosin kết hợp với toán viết số đo cung lượng giác biết vị trí điểm cuối(bài tốn tốn 2) để tìm nghiệm VD8: Giải phương trình sinx= - Giải: Trên hình có điểm đường trịn có tung độ (2 điểm khơng π 5π cách đường trịn) nên ta có họ nghiệm: x= + k π x= +k π VD9: Giải phương trình sinx=0 - Giải: Trên hình có điểm đường trịn có tung độ 0(đó điểm A A ’ cách đường tròn) nên theo tốn 2(bài tốn tổng qt) ta có họ 2π nghiệm là: x=0+ k =kπ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VD10: Giải phương trình cosx=−1 - Giải: Trên hình có điểm đường trịn có hồnh độ -1(điểm A ’ ¿ nên ta có họ nghiệm: x=π +k π − VD11: Giải phương trình: cosx = √ − - Giải: Trên hình ta thấy x có hai điểm cuối có hồnh độ √ cách A cung 5π −5 π 5π −5 π nên ta có họ nghiệm: x= +k π ; x= + k π b) Giải phương trình tanx=a ; cotx=a - Với a giá trị thường gặp: ; ± √ ; ± √ ; ±1, cung lượng giác có giá trị tan cot a ghi đường trịn lượng giác hình vẽ tan - - -1 B 3 3  cot   3 A  O - - - - -1 - Hình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Xét phương trình tanx =a: Trên trục tan ta tìm điểm T cho AT =a , đường thẳng OT cắt đường tròn M , M cách đường tròn lượng giác tan M1 T a A O M2 Ta có: tan ( OA ; O M 1) =tan ( OA ; O M 2) = AT =a, suy điểm cuối x phải vị trí M , M Theo tốn ta có x=α +kπ nghiệm phương trình(α cung lượng giác tính từ A đến M đến M ¿ - Xét phương trình cotx=a : Trên trục cot ta tìm điểm C cho BC=a, đường thẳng OC cắt đường tròn M , M B a C cot M1 O M2 Tương tự ta có nghiệm phương trình cotx=a x=α +kπ (α cung lượng giác tính từ A đến M từ A đến M 2) VD12: Giải phương trình: tanx=√3 π - Giải: Theo hình ta có nghiệm phương trình x= + kπ VD13: Giải phương trình: cotx=−1 −π - Giải: Theo hình ta có nghiệm phương trình x= + kπ VD14: Giải phương trình: tanx=0 - Giải: Theo hình ta có nghiệm phương trình x=kπ 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.3.4 Kết hợp họ nghiệm đường tròn lượng giác Khi giải phương trình lượng giác dạng tích có nhiều họ nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện(chứa sinx , cosx ,tanx , cotx mẫu):Ta tìm họ nghiệm phương trình lượng giác thường gặp phương trình dạng tích, dạng thương đó, xác định điểm cuối họ nghiệm đường trịn lượng giác, từ kết hợp họ nghiệm để thỏa mãn tốn làm gọn cơng thức nghiệm VD15: Giải phương trình: ( cosx +1 ) cosx− =0 ( [ [[ cosx=−1 Phương trình ↔ ↔ -Giải: cosx= ) x=π +k π (điểm cuối x A' ) π x= +k π (điểm cuối x M 1) −π x= +k π (điểm cuối x M 2)  M1 A' A O - cos M2 Vì A' , M , M cách đường tròn lượng giác nên theo tốn ta π 2π viết gộp họ nghiệm lại thành họ nghiệm là: x= + k tanx VD16: Giải phương trình: cosx−1 =0 - Giải: ĐK cosx ≠ 1↔ x ≠ k π (điểm cuối x khác A ) Khi phương trình ↔ tanx=0 ↔ x=kπ :điểm cuối x vị trí A A' Kết hợp với ĐK điểm cuối x lấy A' , nghiệm phương trình là: x=π +k π 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com VD17: Giải phương trình: 3 sinx−4 sin x =0 cos x−cosx - Giải: ĐK: cos x−cosx ≠ ↔2 cos x−cosx −1≠ → cosx ≠ cosx ≠ ↔ x ≠ k π ( điểm cuối x khác A ) x ≠ ± Khi ta có: sinx−4 sin x=0 ↔ [ −1 2π +k 2π sinx=0 sinx=± √3 x=kπ (điểm cuối x A A ' , taloại điểm A) π x =± + k π ↔ 2π x=± + k π (loại) [ π Đối chiếu ĐK ta có họ nghiệm x=± +k π x=π +k π Vì điểm cuối họ nghiệm nằm cách đường tròn lượng giác nên theo π 2π toán ta gộp lại thành họ nghiệm là: x= + k VD18: Giải phương trình: sin x +2 cosx−sinx−1 =0 tanx+ √ −π - Giải: ĐK: tanx ≠− √ ↔ x ≠ +kπ Khi ta có phương trình: sin x+2 cosx −sinx−1=0↔ ( sinx+1 ) ( 2cosx−1 )=0 ↔ [ sinx=−1 cosx= 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com −π +k π π ↔ x 2= +k π −π x 3= +k π [ x 1= Đối chiếu với ĐK x bị loại(vì đường tròn lượng giác điểm cuối họ nghiệm x khơng thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có họ nghiệm x x 2.3.5.Sử dụng đường trịn lượng giác tìm tham số để phương trình có n nghiệm miền D Bài toán: Biện luận theo t số nghiệm phương trình: sinx=t miền D - Phương pháp giải: TH1: t=0: đường trịn lượng giác có điểm A A' có tung độ 0, điểm I chạy miền D qua A A' lần phương trình sinx=t miền D có nhiêu nghiệm TH2: t =1(hoặc t=−1) : đường tròn lượng giác có điểm B có tung độ 1(hoặc điểm B' có tung độ -1), điểm I chạy miền D qua B (hoặc B' ) lần phương trình sinx=t miền D có nhiêu nghiệm TH3: 0