SKKN sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác cơ bản thường gặp và các bài toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THPT LÊ LAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN THƯỜNG GẶP VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Người thực hiện: Phạm Chí Đạt Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2021 Mục lục Trang Mở đầu………………………………………………………………………1 1.1 Lí chọn đề tài……………………………………………………….….1 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………….… 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………….…….1 1.4.Phương phpas nghiên cứu……………………………………… ……….1 1.5.Những điểm SKKN……………………………………… …… 2.Nội dung…………………………………………………………………… 2.1.Cơ sở lý luận SKKN………………………………………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dung SKKN …………………………….4 2.3.Các SKKN áp dụng………………………………………………… ……4 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………….…………….……… … ……… 15 Kết luận, kiến nghị……………………….………………………….…….15 3.1 Kết luận………………………………………………………………… 15 3.2 Kiến nghị…………………………………… ……….15 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Giải phương trình lượng giác thường gặp toán liên quan kết hợp nghiệm đường trịn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền nội dung quan trọng tốn giải phương trình lượng giác Tuy nhiên học sinh thường sử dung máy tính cầm tay để giải phương trình lượng giác thường gặp, cách làm chất toán học, chí học sinh khơng cịn biết giá trị lượng giác cung vấn đề liên quan việc kết hợp họ nghiệm, tìm số nghiệm phương trình lượng giác miền Sử dụng đường tròn lượng giác để lấy nghiệm giúp học sinh hiểu rõ chất việc lấy nghiệm phương trình lượng giác bản, từ mở rộng, nâng cao cho tốn kết hợp nghiệm đường lượng giác tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền Đó lí tơi viết SKKN “Sử dụng đường trịn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích tổng quát làm rõ chất giá trị lượng giác cung(góc) lượng giác Mục đích cụ thể giúp học sinh hiểu giải nhanh chóng, xác, dễ dàng phương trình lượng giác thường gặp Biết kết hợp họ nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn mẫu),biết viết gọn họ nghiệm phương trình lượng giác, biết tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền 1.3 Đối tượng nghiên cứu Là cách lấy nghiệm phương trình lượng giác đường tròn lượng giác Hiện tượng thuộc phạm vi nghiên cứu cách viết số đo cung lượng giác biết điểm cuối cung, cách kết hợp họ nghiệm, cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác miền 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong đề tài có sử dụng số phương pháp nghiên cứu phương pháp quan sát khoa học, phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 1.5 Những điểm SKKN Bằng trực giác cụ thể nhìn vào đường trịn lượng giác ta lấy nghiệm phương trình lượng giác thường gặp cách nhanh chóng, kết hợp họ nghiệm với để đưa nghiệm gọn xác (đối với phương trình lượng giác có điều kiện) hay đường tròn lượng giác biết cách đếm số nghiệm phương trình lượng giác miền , từ giải tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm Nội dung SKKN 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.1.1 Đường trịn định hướng, cung góc lượng giác a)Đường trịn định hướng: Là đường trịn chọn chiều chuyển động chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước ngược chiều kim đồng hồ chiều dương b)Cung góc lượng giác: Trên đường tròn định hướng tâm cho điểm Một điểm di chuyển đường tròn theo chiều từ đến tạo nên cung lượng giác có điểm đầu(điểm gốc) , điểm cuối Kí hiệu Như với điểm đường tròn định hướng có vơ số cung lượng giác lượng giác khác nhận điểm đầu, điểm cuối Khi tia tạo góc lượng giác, tia đầu , tia cuối Kí hiệu: 2.1.2 Đường trịn lượng giác Trên mặt phẳng , đường tròn lượng giác đường tròn định hướng có tâm , bán kính Giao đường tròn lượng giác với trục đường trịn chia thành cung phần tư thứ hình vẽ y B (II) A' -1 (I) A O (III) x (IV) -1 B' Mọi cung lượng giác vẽ đường trịn lượng giác ln ln nhận điểm đầu(điểm gốc) điểm 2.1.3 Đơn vị đo cung(góc) lượng giác Ngồi đơn vị đo độ, ta có đơn vị đo rađian với Khi viết đơn vị đo ta không ghi chữ đằng sau, chẳng hạn cung hiểu 2.1.4 Giá trị lượng giác cung lượng giác Trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác (điểm gốc cung , điểm cuối ), cung lượng giác có giá trị lượng giác là: +) = tung độ điểm = (độ dài đại số đoạn ) +) = hoành độ điểm = (độ dài đại số đoạn ) +) (độ dài đại số đoạn ), điều kiện Tiếp tuyến trục +) = (độ dài đại số đoạn ), điều kiện Tiếp tuyến s trục t y s' B K T S s M A O H x t' 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Thực tế gần thi TNKQ nên nhanh tìm đáp số phương trình lượng giác thường gặp học sinh thường dùng máy tính cầm tay,vì khơng hiểu rõ chất lấy nghiệm phương trình lượng giác dẫn đến cần kết hợp nghiệm gặp tốn tìm nghiệm có điều kiện, tốn cần đếm đủ số nghiệm miền học sinh gặp khó khăn khơng làm Khi em ghi nhớ hình ảnh đường trịn lượng giác với đầy đủ giá trị lượng giác cung thường gặp việc lấy nghiệm phương trình lượng giác dễ dàng, nhanh chóng dùng hình ảnh đường trịn lượng giác để giải tốn nâng cao giải phương trình lượng giác có điều kiện(có ẩn mẫu) hay tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền 2.3 Các SKKN áp dụng 2.3.1 Viết số đo cung lượng giác biết vị trí điểm cuối cung Bài tốn1: Cho điểm đường trịn lượng giác, viết số đo cung lượng giác nhận điểm cuối Bước 1: Tính số đo cung lượng giác có điểm đầu , điểm cuối , giả sử cung (nên tính cung dễ tìm nhất, thường là cung xác định di chuyển điểm từ đến lần thứ nhất, chọn chiều di chuyển cho ngắn nhất) Bước 2: Khi số đo cung lượng giác nhận điểm cuối là: VD1: Cho cung lượng giác có điểm cuối hình vẽ, biết điểm vị trí cung thứ gần y M A x O Hãy viết số đo cung lượng giác - Giải: Số đo cung lượng giác nhận điểm cuối ( xác định di chuyển điểm đường tròn theo chiều từ đến lần thứ dừng) Khi (hoặc sđ) VD2: Viết số đo cung lượng giác nhận điểm cuối - Giải: Số đo cung lượng giác nhận điểm cuối ( xác định di chuyển điểm đường tròn theo chiều từ đến lần thứ nhất) Khi VD3: Viết số đo cung lượng giác có điểm cuối điểm - Giải: Số đo cung lượng giác nhận điểm cuối ( xác định di chuyển điểm đường tròn từ đến lần thứ nhất) Khi Bài tốn 2(bài tốn tổng quát): Cho điểm …, nằm cách đường tròn lượng giác, viết số đo cung lượng giác nhận …, điểm cuối Bước 1: Tính số đo cung lượng giác có điểm cuối điểm …,trên, giả sử cung (nên tính cung dễ tìm tốn 1) Bước 2: Khi số đo cung lượng giác cần tìm là: VD4: Cho điểm đường trịn lượng giác hình vẽ y M1 M2 O A x Biết vị trí cung thứ gần Viết số đo cung lượng giác nhận điểm cuối - Giải: Ta xác định cung lượng giác di chuyển điểm đường tròn lượng giác từ đến lần thứ theo chiều Khi số đo cung lượng giác cần tìm là: ( điểm cuối , điểm cuối , điểm cuối ,…) VD5: Cho điểm cách đường trịn lượng giác hình vẽ sau y M2 O M3 A x M1 Biết cung thứ gần , viết số đo cung lượng giác nhận điểm cuối - Giải: Ta xác định cung lượng giác di chuyển điểm đường tròn lượng giác từ đến lần thứ theo chiều Khi số đo cung lượng giác cần tìm là: 2.3.2 Xác định vị trí điểm cuối biết số đo cung lượng giác Bài tốn: Tìm điểm cuối cung lượng giác ) Lần lượt thay , tìm điểm cuối cung tương ứng đường tròn điểm cuối trùng lại điểm tìm thơi Lưu ý với cung có điểm cuối đỉnh đa giác nội tiếp đường tròn lượng giác VD6: Tìm điểm cuối cung - Giải: Các cung có điểm cuối trùng nhau(ở cung VD7: Tìm điểm cuối cung - Giải: Ta có: nên cung cho có điểm cuối đỉnh hình vng nội tiếp đường trịn lượng giác, đỉnh hình vng vị trí cung 2.3.3 Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp a) Giải phương trình - Với giá trị thường gặp: , cung lượng giác có hồnh độ tung độ điểm cuối ghi đường trịn lượng giác hình vẽ s in 2π π π 3 3π π 4 5π π 6 A π -1 - - -1 2 O 2 -5π -1 -π 6 - -3π -π cos - -2π -π -1 -π Hình Để giải phương trình học sinh cần ghi nhớ hình ảnh đường tròn lượng giác với tất thơng tin đường trịn, sau theo định nghĩa giá trị lượng giác kết hợp với toán viết số đo cung lượng giác biết vị trí điểm cuối(bài tốn tốn 2) để tìm nghiệm VD8: Giải phương trình - Giải: Trên hình có điểm đường trịn có tung độ (2 điểm không cách đường trịn) nên ta có họ nghiệm: VD9: Giải phương trình - Giải: Trên hình có điểm đường trịn có tung độ 0(đó điểm cách đường tròn) nên theo tốn 2(bài tốn tổng qt) ta có họ nghiệm là: VD10: Giải phương trình - Giải: Trên hình có điểm đường trịn có hồnh độ -1(điểm nên ta có họ nghiệm: VD11: Giải phương trình: - Giải: Trên hình ta thấy có hai điểm cuối có hồnh độ cách cung nên ta có họ nghiệm: b) Giải phương trình - Với giá trị thường gặp: , cung lượng giác có giá trị ghi đường tròn lượng giác hình vẽ 10 tan - - -1 3 B 3 π cot π π 3 A π O -π - -π -π -1 - Hình - Xét phương trình : Trên trục ta tìm điểm cho , đường thẳng cắt đường trịn cách đường tròn lượng giác tan M1 T a A O M2 Ta có: , suy điểm cuối phải vị trí Theo tốn ta có nghiệm phương trình( cung lượng giác tính từ đến đến - Xét phương trình : Trên trục ta tìm điểm cho , đường thẳng cắt đường tròn 11 B cot a C M1 O M2 Tương tự ta có nghiệm phương trình ( cung lượng giác tính từ đến từ đến ) VD12: Giải phương trình: - Giải: Theo hình ta có nghiệm phương trình VD13: Giải phương trình: - Giải: Theo hình ta có nghiệm phương trình VD14: Giải phương trình: - Giải: Theo hình ta có nghiệm phương trình 2.3.4 Kết hợp họ nghiệm đường trịn lượng giác Khi giải phương trình lượng giác dạng tích có nhiều họ nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện(chứa mẫu):Ta tìm họ nghiệm phương trình lượng giác thường gặp phương trình dạng tích, dạng thương đó, xác định điểm cuối họ nghiệm đường trịn lượng giác, từ kết hợp họ nghiệm để thỏa mãn toán làm gọn cơng thức nghiệm VD15: Giải phương trình: -Giải: π M1 A ' A O -π cos M2 12 Vì cách đường trịn lượng giác nên theo tốn ta viết gộp họ nghiệm lại thành họ nghiệm là: VD16: Giải phương trình: - Giải: ĐK (điểm cuối khác ) Khi phương trình :điểm cuối vị trí Kết hợp với ĐK điểm cuối lấy , nghiệm phương trình là: VD17: Giải phương trình: - Giải: ĐK: Khi ta có: Đối chiếu ĐK ta có họ nghiệm Vì điểm cuối họ nghiệm nằm cách đường trịn lượng giác nên theo tốn ta gộp lại thành họ nghiệm là: VD18: Giải phương trình: - Giải: ĐK: Khi ta có phương trình: Đối chiếu với ĐK bị loại(vì đường trịn lượng giác điểm cuối họ nghiệm không thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có họ nghiệm 13 2.3.5.Sử dụng đường trịn lượng giác tìm tham số để phương trình có nghiệm miền Bài tốn: Biện luận theo số nghiệm phương trình: miền - Phương pháp giải: TH1: : đường tròn lượng giác có điểm có tung độ 0, điểm chạy miền qua lần phương trình miền có nhiêu nghiệm TH2: (hoặc ) : đường tròn lượng giác có điểm có tung độ 1(hoặc điểm có tung độ -1), điểm chạy miền qua (hoặc ) lần phương trình miền có nhiêu nghiệm TH3: : đường trịn lượng giác ln có điểm có tung độ , điểm chạy miền qua điểm lần phương trình miền có nhiêu nghiệm Hồn tồn tương tự xét phương trình miền VD19: Cho phương trình: Tìm để phương trình thỏa mãn: a)Có nghiệm khác thuộc khoảng b)Có nghiệm khác thuộc khoảng - Giải: Nhận xét: Khoảng đường tròn lượng giác sinh ta cho điểm di chuyển đường tròn theo chiều (+) từ ( vịng trịn Khi đó: +) : Mỗi phương trình có nghiệm thuộc khoảng (vì điểm qua điểm lần) +) có nghiệm thuộc khoảng (có điểm đường trịn lượng giác thuộc cung phần tư thứ ) có hồnh độ điểm chạy qua điểm tất lần) +) có nghiệm thuộc khoảng (có điểm đường tròn lượng giác thuộc cung phần tư thứ có hồnh độ điểm chạy qua điểm tất lần) Từ phương trình cho, ta có: 14 Ta có phương trình (1) ln có nghiệm nhận xét a) Yêu cầu tốn thỏa mãn phương trình (2) có nghiêm khác thuộc khoảng Đặt , từ phương trình (2) ta có phương trình: phải có nghiệm thỏa mãn: b)u cầu tốn thỏa mãn phương trình (2) có nghiêm khác thuộc khoảng Khi phương trình (3) phải có nghiệm thỏa mãn: 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi áp dụng SKKN cho học sinh lớp 11 trường THPT Lê Lai thấy em thích thú, hào hứng hẳn giải phương trình lượng giác thường gặp,việc lấy nghiệm trở nên nhanh nhẹ nhàng thuộc hình hình SKKN em đọc họ nghiệm phương trình lượng giác thường gặp, hai hình dễ thuộc có quy luật để nhớ nên học sinh nắm nhanh Đặc biệt thông qua giải phương trình lượng giác thường gặp hai hình ảnh đường trịn lượng giác học sinh hiểu chất tốn học giải phương trình lượng giác, em giải thích lại có nghiệm vậy, khơng giải máy tính nhiều em khơng hiểu lượng giác Bên cạnh SKKN giúp em học có điều kiện phát triển giải toán nâng cao toán kết hợp họ nghiệm, tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền , giúp em phát triển tư lập luận, logic, khả cụ thể hóa, tổng quát hóa Kết luận, kiến nghị 15 3.1 Kết luận: SSKN “Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp tốn liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác” giúp học sinh hiểu rõ chất giải phương trình lượng giác, giúp em giải nhanh, dễ dàng phương trình lượng giác thường gặp, giúp em học sinh có điều kiện giải toán nâng cao toán kết hợp họ nghiệm, tốn tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền 3.2 Kiến nghị: Đề nghị nhà trường, đồng nghiệp phổ biến rộng rãi SKKN cho học sinh, giúp em học tốt phần phương trình lượng giác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15/05/2021 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Phạm Chí Đạt 16 Danh mục tài liệu tham khảo 1) ĐỒN QUỲNH-NGUYỄN HUY ĐOAN-NGUYỄN XN LIÊM-ĐẶNG HÙNG THẮNG-TRẦN VĂN VNG (2006) ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội 2) ĐOÀN QUỲNH-NGUYỄN HUY ĐOAN-NGUYỄN XUÂN LIÊMNGUYỄN KHẮC MINH-ĐẶNG HÙNG THẮNG(2007) ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO, Nhà xuất Giáo Dục, Hà Nội DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Chí Đạt Chức vụ đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn tổ Tốn Tin TT Tên đề tài SKKN Một số kinh nghiệm dạy phần nguyên hàm cho học sinh trường THPT Lê LaiNgọc Lặc Luyện tập cho học sinh giải tốn viết phương trình đường thẳng phương trình mặt phẳng thường gặp theo cách chia thành dạng Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành GD cấp C tỉnh; Tỉnh Thanh Hóa 2016-2017 Ngành GD cấp C tỉnh; Tỉnh Thanh Hóa 2014-2015 ... toán kết hợp nghiệm đường lượng giác tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền Đó lí tơi viết SKKN ? ?Sử dụng đường tròn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp tốn liên. .. SSKN ? ?Sử dụng đường trịn lượng giác để giải phương trình lượng giác thường gặp toán liên quan đến số nghiệm phương trình lượng giác? ?? giúp học sinh hiểu rõ chất giải phương trình lượng giác, giúp... tài Giải phương trình lượng giác thường gặp toán liên quan kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác, tìm tham số để phương trình lượng giác có nghiệm miền nội dung quan trọng tốn giải phương trình lượng