Hướng dẫn học sinh giải các bài toán liên quan đến hàm số có sử dụng đồ thị của hàm số , nhằm nângcao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ CÓ SỬ DỤNG ′ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ F ( X ) Người thực hiện: Lê Văn Hùng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong năm gần trường THPT Hậu Lộc có nhiều chuyển biến tích cực chất lượng giáo dục mũi nhọn đại trà, thể qua kỳ thi kỳ thi Học sinh giỏi cấp Tỉnh mơn văn hóa; kỳ thi Tốt nghiệp THPT Kết đạt lãnh đạo Chi bộ, ban giám hiệu Nhà trường thông qua số công việc như: Bồi dưỡng, nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho giáo viên; Ứng dụng công nghệ thông tin tiết dạy; sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu học; phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm; nghiên cứu đề tài khoa học ứng dụng; tổ chức hoạt động ngoại khóa; vận dụng kiến thức liên môn để giải vấn đề thực tiễn; dạy học tích hợp qua tiết dạy; … Một yếu tố khơng thể thiếu nhiệt tình ủng hộ tồn thể cán giáo viên trường; hăng say nghiên cứu khoa học đội ngũ giáo viên; … Đối với mơn Tốn, năm gần hình thức thi có thay đổi dẫn đến có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên cần phải học tập, bồi dưỡng đổi phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Vì giáo viên cần phải trau dồi kiến thức phương pháp giảng trực quan, sinh động nhằm gây hứng thú cho học sinh để em dễ tiếp cận với kiến thức Qua phát triển tư Tốn học cách toàn diện Sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số để giải toán liên quan đến hàm số xu hướng dạy học, chiếm số lượng không nhỏ câu hỏi kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm gần gây không khó khăn cho học sinh THPT đặc biệt Toán sử dụng bảng biến thiên đồ thị hàm số đạo hàm khó khăn gấp bội học sinh Qua thực tế giảng dạy nghĩ hệ thống lại dạng tập đưa phương pháp giảng dạy phù hợp tơi tin có nhiều học sinh vượt qua rào cản dần tự tin gặp Toán dạng Với lý vậy, mạnh dạn chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải Toán liên quan đến hàm ′ số có sử dụng đồ thị hàm số f ( x ) , nhằm nâng cao chất lượng ôn thi Tốt nghiệp THPT” 2.2 Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện kỹ đọc đồ thị hàm số hàm số ′ - Giải tốn có sử dụng đồ thị hàm số f ( x ) 2.3 Đối tượng nghiên cứu - Các dạng toán hàm số có liên quan đến đồ thị - Học sinh lớp 12A2, 12A8 trường THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa 2.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu liên quan - Phương pháp điều tra, thống kê, phân tích - Quan sát tìm hiểu thực tế học tập học sinh II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Có nhiều cách định nghĩa khác kỹ Tuy nhiên hầu hết thừa nhận kỹ hình thành áp dụng kiến thức vào thực tiễn, kỹ học q trình lặp lặp lại một nhóm hành động định Trong hoạt động dạy học nói chung kỹ thể qua phương pháp dạy - học, kỹ trình bày, kỹ thuyết trình Trong mơn tốn ngồi kỹ chung dạy học cịn thể qua yếu tố đặc thù môn chẳng hạn: kỹ giải tốn, kỹ tính tốn kỹ đọc đồ thị hàm số liên hệ với kiến thức liên quan đến đạo hàm kỹ ngoại lệ mà cịn có xu hướng khai thác nhiều đề thi năm gần 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12A2 12A6 trường THPT Hậu Lộc làm đề kiểm tra trắc nghiệm gồm 10 câu 15 phút thu kết sau Điểm Lớp Sĩ số - khoảng x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) Chú ý: Điểm x0 điểm cực trị hàm số y = f ( x ) đạo hàm đổi dấu qua điểm x0 - Điểm x0 điểm cực đại đạo hàm đổi dấu từ “+” sang “-“, điểm cực tiểu đạo hàm đổi dấu từ “-“ sang “+” * Sự tương giao hai đồ thị hàm số ′ Cho hai đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) ( C ) : y = g ( x ) Số nghiệm ′ phương trình f ( x ) = g ( x ) số giao điểm hai đồ thị ( C ) ( C ) * Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) a>0 a0 a 0, f ′ ( x ) < 0, f ′ ( x ) = ” giáo viên cần nhắc lại đồ thị nằm miền f ′ ( x ) > , nằm miền f ′ ( x ) < , f ′ ( x ) = +) Đối với câu hỏi “Chỉ điểm cực đại, cực tiểu hàm số, đồ thị hàm số” ′ giáo viên đồ thị hàm số f ( x ) hàm số đạt cực đại, cực tiểu ′ Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ , có đồ thị hàm số f ( x ) hình vẽ sau: y O - x - a) Hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng nào? b) Hàm số đạt cực tiểu điểm nào? Phân tích tốn: Dựa vào đồ thị ta thấy khoảng ( −∞; −2 ) đồ thị hàm số f ′ ( x ) nằm phía trục hồnh nên f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −2 ) ; khoảng ( −2;1) ′ ′ ( 1;+∞ ) đồ thị hàm số f ( x ) nằm phía trục hoành nên f ( x ) > ′ Đạo hàm f ( x ) = x = −2; x = đạo hàm đổi dấu qua x = −2 Lời giải: ′ a) Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) < ⇔ x < −2 nên hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ; f ′ ( x ) > ⇔ x ∈ ( −2;1) ∪ ( 1; +∞ ) x = ta có f ′ ( x ) = nên hàm số đồng biến ( −2; +∞ ) ′ b) Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) từ âm sang dương qua x = −2 nên hàm số đạt cực tiểu x = −2 Lời bình: Đây toán mở đầu để học sinh làm quen với cách đọc đồ thị ′ hàm số f ( x ) Để học sinh hình thành nắm vững nên tơi cho thêm ví dụ tương tự sau ′ Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ , đạo hàm f ( x ) có đồ thị hình vẽ a) Hàm số đồng biến khoảng nào? b) Hàm số có điểm cực trị? Lời giải: Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau: x −∞ −2 +∞ y′ y − + − f ( 1) +∞ f ( −2 ) + +∞ f ( 3) a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến khoảng ( −2;1) ( 3;+∞ ) b) Hàm số cho có điểm cực đại hai điểm cực tiểu nên có điểm cực trị Lời bình: Qua hai ví dụ học sinh phần nắm kiến thức để học sinh nắm vững đưa thêm ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có đồ thị f ′( x) hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số f ( x) a) Tìm khoảng nghịch biến hàm số f ( x ) b) Tìm số điểm cực trị hàm số f ( x ) Lời giải: ′ Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) ta có bảng biến thiên sau: x y′ y −∞ −1 + − − +∞ + f ( −1) +∞ f ( 3) −∞ a) Từ bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến khoảng ( −1;3) b) Hàm số đạt cực đại x = −1 đạt cực tiểu điểm x = nên hàm số có điểm cực trị Lời bình: Qua toán học sinh làm quen với việc đọc đồ thị hàm số đạo hàm để giải số toán đơn giản Từ giáo viên mở rộng toán hàm số hợp đơn giản Ví dụ 4: (Mở rộng từ Ví dụ 1) Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ , có đồ ′ thị hàm số f ( x ) hình vẽ sau: y O - x Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số g ( x) = f ( − x) Phân tích tốn: Đối với tốn dạng hàm hợp giáo viên cần hướng dẫn ′ học sinh tính đạo hàm giải phương trình f ( u ) = ′ ′ Lời giải: Ta có g ( x ) = − f ( − x ) 1 − x = −2 x = g′ ( x ) = ⇔  ⇔ 1 − x = x = ′ ′ Ta có g ( x ) > ⇔ f ( − x ) < ⇔ − x < −2 ⇔ x > Bảng biến thiên x −∞ +∞ − − + g′( x ) g ( x ) +∞ +∞ g ( 0) g ( 3) Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;3) , đồng biến khoảng ( 3;+∞ ) Hàm số đạt cực tiểu x = Lời bình: Đối với học sinh làm giáo viên cần biết học sinh gặp khó khăn phần nào? Vì để học sinh giải giáo viên cần hướng dẫn tỉ mỉ số phần sau: - Cách tính đạo hàm hàm số hợp ′ - Cách giải phương trình f ( u ) = - Xét dấu đạo hàm Qua ví dụ ta dần nâng độ khó tốn, ta có ví dụ thứ sau: ′ Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm khoảng nghịch biến số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x − 3) y O - x - Phân tích toán: Cũng tập ta làm cách lấy đạo hàm hàm số hợp xét dấu đạo hàm suy kết 10 Lời giải: x = x =  2 g ′ ( x ) = x f ′ ( x − 3) ; g ′ ( x ) = ⇔  x − = −2 ⇔  x = ±1   x2 − =  x = ±2  Ta có ′ Do x = nghiệm kép phương trình f ( x ) = nên x = ±2 nghiệm kép phương trình y′ = Bảng biến thiên x −∞ +∞ y′ y −2 − +∞ −1 − 0 + − + g ( 0) g ( −2 ) g ( 2) g ( −1) + +∞ g ( 1) Vậy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) Hàm số đạt cực đại x = , đạt cực tiểu x = −1 x = suy hàm số có điểm cực trị Lời bình: Bài tốn mở rộng thêm cách cho hàm số hợp phức tạp ′ Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x ) g ( x ) = f ( x ) − x − 3x hình vẽ Xét hàm số y x - O a) Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số g ( x ) b) Tìm số điểm cực trị hàm số g ( x ) Phân tích tốn: Bài tốn có mức độ khó nhiều so với tốn ví dụ ví dụ Tuy nhiên dạy cho học sinh lối tư nâng cao dần học sinh phán đoán cách giải, tạo hứng thú, kích thích trí tị mị học sinh, cho học sinh thấy vẻ đẹp toán học ′ ′ ′ ′ Lời giải: Ta có g ( x ) = f ( x ) − x − 3; g ( x ) = ⇔ f ( x ) = x − 11 y x O -  x = −2 f ′ ( x ) = x + ⇔  x = ′  x = Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) y = x + ta có Bảng biến thiên x −∞ −2 +∞ g′( x ) g ( x) − + − g ( 0) +∞ g ( −2 ) + +∞ g ( 2) a) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) ( 0;2 ) ; hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) ( 2;+∞ ) b) Hàm số cho có điểm cực tiểu điểm cực đại nên có điểm cực trị Lời bình: Qua tốn phần hình thành cho học sinh hệ thống toán hàm số, nâng cao tư hàm số, khái quát số dạng tốn hàm số Từ tự tìm hiểu thêm toán dạng mức độ khó Bài tập tự luyện ′ Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số f ( x ) hình vẽ sau: y x - O a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số f ( x ) 12 b) Tìm đạt cực đại, cực tiểu hàm số f ( x ) c) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số g ( x) = f ( − x) d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại cực tiểu đồ thị hàm số h ( x ) = f ( x ) − x2 − 2x ′ Bài Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số f ( x ) hình vẽ sau: a) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số f ( x ) b) Tìm khồng đồng biến, nghịch biến, cực đại, cực tiểu hàm số g ( x ) = f ( x − 1) ′ Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số f ( x ) So sánh giá trị hàm số điểm Phân tích tốn: Đối với dạng tốn ngồi việc đọc đồ thị hàm số học sinh cần nhớ kỹ khái nệm hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng ′ Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x ) g ( x ) = f ( x ) − x − 3x hình vẽ Xét hàm số So sánh g ( ) g ( ) y x - - O Phân tích toán: Đối với dạng toán trước tiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên Sau hướng dẫn học sinh vận so sánh giá trị hàm số 13 ′ ′ ′ Lời giải: Ta có g ( x ) = f ( x ) − x − = f ( x ) − ( x + 3)  x = −2 ⇔ x =  ′ ′ ′  x = Khi đó: g ( x ) = ⇔ f ( x ) − ( x + 3) = ⇔ f ( x ) = ( x + 3) Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 2;+∞ ) nên suy g ( ) < g ( ) ′ Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) hình vẽ Đặt h ( x ) = f ( x ) − x + 3x So sánh h ( −1) h ( 1) Lời giải x ∈  − 3;  Xét h ( x ) = f ( x ) − x + 3x với ′ ′ Ta có h ( x ) = f ( x ) − 3x + 14 x =  h′ ( x ) = ⇔ f ′ ( x ) = x − ⇔  x = ± h( x) Bảng biến thiên hàm số Vậy h ( −1) > h ( 1) Lời bình: Qua ví dụ học sinh phần nắm phương pháp giá trị hàm số biết đồ thị hàm đạo hàm ′ Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Biết f ( −1) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) So sánh f ( −1) f ( ) Phân tích tốn: Đối với tốn học sinh găọ nhiều khó khăn tốn cho thêm giả thiết f ( −1) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) , giáo viên cần hướng dãn kỹ cách khai thác giả thiết Lời giải ′ Từ đồ thị hàm số f ( x ) ta có bảng biến thiên đoạn [ −1;6] sau : 15 Quan sát bảng biến thiên ta thấy Mặt khác f ( 3) > f ( ) nên f ( x ) = f ( ) [ −1;6] f ( −1) − f ( ) = f ( ) − f ( 3) < ⇔ f ( −1) < f ( ) max f ( x ) = f ( ) Vậy [ −1;6] ′ Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a , b , c hình vẽ Chứng minh f ( c ) + f ( a ) − f ( b ) > y x a O b c Lời giải ′ Quan sát đồ thị ta có f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] suy hàm số y = f ( x ) nghịch biến [ a; b ] suy f ( a ) > f ( b ) f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ b; c ] suy hàm số y = f ( x ) đồng biến [ a; b ] suy f ( c) > f ( b) f ( c ) + f ( a ) − f ( b ) =  f ( a ) − f ( b )  +  f ( c ) − f ( b )  > Vậy f ( c ) + f ( a ) − f ( b ) > Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Biết đồ thị ′ hàm số y = f ( x ) hình y −1 O −1 y x 16 So sánh g ( 1) g ( ) ′ Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục đoạn [ 0;5] đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đoạn [ 0;5] cho hình bên y − O −5 5− x Hãy so sánh f ( 3) , f ( ) , f ( ) ′ Bài toán 3: Cho đồ thị hàm số f ( x ) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ′ Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x) = f ( x) + x + x − x + 2018 Tìm giá trị nhỏ hàm số đoạn [ −3;1] Phân tích tốn: Đối với toán cần rõ cho học sinh cách chuyển phương trình phương trình hồnh độ giao điểm hai hàm số ′ hàm f ( x ) hàm lại đồ thị hàm số biết, từ suy giao điểm hai đồ thị dấu đạo hàm 17 g′( x ) = f ′ ( x ) + Lời giải: Ta có h′ ( x ) = − x − x + 4 với x + x − g ′ x = ⇔ f ′ x − h′ x = ( ) ( ) ( ) 4 ,  x = −3 g ′ ( x ) = ⇔  x =  x = Dựa vào hình vẽ ta , Từ suy hàm số đạt giá trị nhỏ x =  g ′ ( x ) <   g ′ ( x ) > x ∈ ( −3;0 ) x ∈ ( 0;1) Lời bình: Đây toán mức độ vừa phải nhiên học sinh cần phải hiểu rõ chất tốn tiếp tục nâng cao kỹ làm toán nâng cao Từ tốn mở rộng cho tốn khác sau ′ Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Biết f ( −1) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số [ −1;6] Phân tích tốn: Đối với tốn học sinh găọ nhiều khó khăn toán cho thêm giả thiết f ( −1) + f ( 3) = f ( ) + f ( ) , giáo viên cần hướng dãn kỹ cách khai thác giả thiết Lời giải 18 ′ Từ đồ thị hàm số f ( x ) ta có bảng biến thiên đoạn [ −1;6] sau : Quan sát bảng biến thiên ta thấy Mặt khác f ( 3) > f ( ) nên f ( x ) = f ( ) [ −1;6] f ( −1) − f ( ) = f ( ) − f ( 3) < ⇔ f ( −1) < f ( ) max f ( x ) = f ( ) Vậy [ −1;6] Lời bình: Bài toán đồ thị hàm bậc bốn trùng phương nào? Ta vào tìm hiểu ví dụ ′ Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ( x ) hình vẽ Đặt h ( x ) = f ( x ) − x + x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  − 3;    x ∈  − 3;  Lời giải: Xét h ( x ) = f ( x ) − x + 3x với ′ ′ Ta có h ( x ) = f ( x ) − 3x + ′ Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) y = x − hệ trục tọa độ 19 x =  ′( x ) = ⇔ f ′( x ) = x2 − ⇔  x = ± h Dựa vào đồ thị ta có: h( x) Bảng biến thiên hàm số ( ) ( ) max h ( x ) = h − = f − , h ( x ) = h − ;     − 3;    ( 3) = f ( 3) Vậy Lời bình: Qua số ví dụ phần giúp học sinh phát triển tư hàm số, đặc biệt tư đồ thị hàm số Từ khái quát hóa để giải bào tốn khó Bài tập tự luyện: ′ Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ đây: 20 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [ −1;0] Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên y x - - O Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g ( x ) = f ( x ) − x + 2021 đoạn [ −2;1] 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua nghiên cứu giảng dạy thực tế lớp khảo sát chất lượng 12A2 trường THPT Hậu Lộc kiểm tra đối chứng với lớp không áp dụng phương pháp thấy có hiệu qua cải thiện rõ rệt sau: Điểm Lớp Sĩ số 0-