Giải gần đúng bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN ĐỖ LINH CHI GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔ HỢPLUẬN VĂN TH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN ĐỖ LINH CHI

GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN ĐỖ LINH CHI

GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔ HỢP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Thanh Hường

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Cô giáo - Tiến sĩ NguyễnThanh Hường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Cô,người đã luôn theo sát, hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình từ khilựa chọn đề tài đến khi thực hiện và hoàn thiện luận văn Qua đây, tôi cũng xinđược gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc Khoa Toán - Tin, trường Đại họcKhoa học, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thànhkhóa học Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể các Thầy,

Cô giáo của trường Tiểu học và Trung học cơ sở Hợp Minh - Thành Phố Yên Bái

- Tỉnh Yên Bái nơi tôi đang công tác, đã động viên và tạo điều kiện cho tôi hoànthành khóa học

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu

Mục lục

Lời cảm ơn i

Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức bổ trợ 5

1.1 Định lý điểm bất động Banach 5

1.2 Hàm Green 8

1.3 Đạo hàm số với sai số cấp cao 11

1.4 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình 12

1.4.1 Phương pháp truy đuổi phải 12

1.4.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía 13

1.4.3 Tính khả thi và ổn định của phương pháp 14

Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp 16

2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 16

2.2 Phương pháp giải 20

2.3 Các ví dụ số 27

Kết luận chung 34

Tài liệu tham khảo 35

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của luận văn

Các bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn luônthu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi chúng là mô hình hóa toán họccủa nhiều bài toán trong lĩnh vực Vật lý, Cơ học, mà điển hình là các bài toán

về dầm trên nền đàn hồi Các điều kiện ràng buộc tại hai đầu của dầm được thểhiện bởi các điều kiện biên khác nhau như: dạng gối - tựa đơn giản, dạng ngàm

- tự do, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên tuần hoàn,điều kiện biên phức tạp (phi tuyến, chứa thành phần tích phân), Trong khuônkhổ đề tài luận văn, chúng tôi xét bài toán biên cho phương trình vi phân thườngcấp bốn địa phương với điều kiện biên tổ hợp mô tả độ võng của dầm

đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.0.1) trong trường hợp b = c = 0.Trong bài báo này, hàm phi tuyến f (x, u, y, v, z) được giả thiết là hàm tăng theo

trên và nghiệm dưới của bài toán, nghĩa là

α(4)(x) ≥ f (x, α(x), α0(x), α00(x), α000(x)), 0 < x < 1,α(0) = 0, α0(1) = 0, aα00(0) − bα000(0) ≤ 0, cα00(1) + dα000(1) ≤ 0,

β(4)(x) ≤ f (x, β(x), β0(x), β00(x), β000(x)), 0 < x < 1,β(0) = 0, β0(1) = 0, aβ00(0) − bβ000(0) ≥ 0, cβ00(1) + dβ000(1) ≥ 0,

ứng với α00, β00, tức là, tồn tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho

|f (x, u, y, v, z)| ≤ h(|z|)

với mọi (x, u, y, v, z) ∈ [0, 1] × [−M , M ]2× [α00, β00] × R và

λ

sh(s)ds > max0≤x≤1β00(x) − min

trong đó

λ = max{|β00(1) − α00(0)|, |β00(0) − α00(1)|}

Trong [6], cũng với phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, các tác giả chỉ ra

sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.0.1) Trong công trình này, hàm phituyến f cũng được giả thiết thỏa mãn điều kiện Nagumo, giảm theo u, y và tăngchặt theo z Các điều kiện chặt chẽ này làm giới hạn lớp các bài toán có nghiệmduy nhất

Rõ ràng, trong hai công trình nêu trên, các tác giả giả thiết về sự tồn tại củanghiệm trên và nghiệm dưới mặc dù tìm được chúng như thế nào không phải làviệc đơn giản và khi tìm được các nghiệm này rồi cũng rất khó để kiểm tra điềukiện Nagumo đối với hàm f

Trong công trình [9], M Pei và S.K Chang đã sử dụng định lý bậc Schauder chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.0.1) với giả thiết hàm

Leray-f (x, u, y, v, z) thỏa mãn điều kiện Nagumo, không giảm theo u, không tăng theo y

và uf (x, −u, u, u, 0) > 0 với x ∈ [0, 1], |u| > A > 0

Khác với các công trình nêu trên, trong [5], các tác giả thiết lập sự tồn tạinghiệm của bài toán (0.0.1) bằng cách sử dụng phương pháp hạch sinh (reproducingkernel) Trong công trình này, các điều kiện ràng buộc đối với hàm f được nới lỏngtuy nhiên phương pháp giải bài toán không được đề cập đến

Hoàn toàn khác với các ý tưởng trên, với ý tưởng đưa bài toán (0.0.1) về phươngtrình toán tử được xây dựng một cách phù hợp dựa trên thành phần phi tuyến

f (x, u(x), u0(x), u00(x), u000(x)),

xét trong một miền giới nội, các tác giả trong [3] đã chứng minh toán tử này làtoán tử co với một số điều kiện dễ kiểm tra đặt lên hàm f , từ đó thiết lập sự tồntại duy nhất nghiệm của bài toán; nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm ở mứcliên tục, đồng thời ở mức rời rạc, các tác giả xây dựng lược đồ sai phân với độchính xác cấp bốn Thêm vào đó, trong công trình nêu trên, một số ví dụ cụ thểtrong trường hợp biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng cũngđược đưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết Phải nhấn mạnh rằng trongcác ví dụ này, hàm f (x, u, y, v, z) không thỏa mãn các điều kiện trong định lý về

sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.0.1) trong [6]

Với mục đích nghiên cứu được toàn diện cả về mặt định tính lẫn định lượngcủa bài toán (0.0.1) sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản và dễ kiểm tra,đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lý thuyết, so sánh

được kết quả đạt được so với kết quả đã có của một số tác giả khác về một mặtnào đó, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn "Giảigần đúng bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiệnbiên tổ hợp".

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận văn

Trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], đối với bài toán biên phi tuyến cho phương trình

vi phân thường cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp (0.0.1) là mô hình các bài toántrong lý thuyết uốn của dầm:

- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm)bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Banach không cần đến điều kiện tăngtrưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, của hàm vế phải;

- Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán ở hai mức liên tục và rời rạc;

- Bổ sung thêm một kết quả nhỏ cho [3] là đánh giá được sai số giữa nghiệmđúng và nghiệm rời rạc trong một trường hợp đặc biệt của hàm vế phải;

- Trình bày các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví

dụ thể hiện ưu thế của phương pháp được trình bày so với phương pháp của một

số tác giả khác

3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu

- Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa bài toán ban đầu vềphương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến của phương trình, sử dụng cáccông cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiêncứu sự tồn tại nghiệm duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm;

- Nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán ở mức liên tục và rờirạc, chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp;

- Trình bày một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng

và chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả

lý thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm

4 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài luậnvăn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm: Định lý điểm bất độngBanach; hàm Green đối với một số bài toán; các công thức tính gần đúng đạo hàmvới sai số cấp hai và cấp cao hơn; phương pháp truy đuổi giải hệ phương trìnhlưới Đây là những kiến thức cơ bản, có vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho

Chương 2 của luận văn Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1],[2], [7], [8], [10], [11].

Trong Chương 2, với cách tiếp cận đưa bài toán ban đầu về phương trình toán

tử đối với thành phần phi tuyến trong phương trình, luận văn nghiên cứu sự tồn tại

và duy nhất nghiệm, xét tính dương của nghiệm đối với bài toán biên cho phươngtrình vi phân thường phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp Đồng thời, luậnvăn cũng nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm ở mức liên tục và rời rạc, chứngminh sự hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân của phương pháp lặp Thêm vào

đó, trong một trường hợp đặc biệt của hàm vế phải, luận văn đánh giá được sai

số giữa nghiệm đúng và nghiệm rời rạc Luận văn cũng đưa ra các ví dụ trong cảhai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng hoặc không biết trước nghiệm đúng đểminh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phươngpháp lặp Chú ý rằng trong các ví dụ này, một số ví dụ được phân tích để thấyđược lợi thế trong phương pháp được trình bày so với phương pháp của một số tácgiả khác Nội dung chính của chương được tham khảo từ tài liệu [3]

Trong luận văn, các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trườngMATLAB

Chương 1

Kiến thức bổ trợ

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong chươngtiếp theo của luận văn Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1],[2], [7], [8], [10], [11]

Định nghĩa 1.1 (Xem [2]) Cho X là một tập hợp khác rỗng Một metric trên X

Khi đó, ta viết lim

được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu

Định nghĩa 1.5 (Xem [2])

Cho X là một không gian véc tơ trên trường K (thực hoặc phức) Một chuẩn

Do đó, sự hội tụ trong không gian tuyến tính định chuẩn X được định nghĩa giống

Định nghĩa 1.6 (Xem [2]) Không gian Banach là một không gian tuyến tính địnhchuẩn đầy đủ

Một số ví dụ về không gian Banach:

1) R và C là những không gian Banach với chuẩn xác định bởi:

k u kC1 [a,b]=k u kC[a,b] + k u0 kC[a,b]

Định nghĩa 1.7 (Xem [11]) Giả sử (X, d) là không gian metric, T là ánh xạ từ

X vào X Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu x = T x

Các định lý điểm bất động đảm bảo sự tồn tại điểm bất động Các định lý này

có tính ứng dụng cao trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phươngtrình Chẳng hạn như, xét phương trình

F (x) = 0,

ở đây F là một hàm thực hoặc tổng quát hơn là một toán tử trong không gianBanach Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình trên ta chỉ cần chứng minhánh xạ

x 7→ x − λT (x)F (x)

có điểm bất động, trong đó λ > 0 là một tham số, T (x) là toán tử tuyến tính khảnghịch Để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động ta phải quan tâm đến các điều kiệnđặt lên ánh xạ cũng như các điều kiện đặt lên miền xác định của ánh xạ đó Định

lý điểm bất động Banach không những khẳng định sự tồn tại mà còn chỉ ra sự duynhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháp lặp tìm điểm bất động

Từ đánh giá sai số hậu nghiệm, với sai số cho phép, ta có thể xác định được giátrị xấp xỉ của điểm bất động Từ đánh giá sai số tiên nghiệm ta có thể ước lượngđược số lần lặp để đạt được độ chính xác cho trước

Trước tiên ta xét khái niệm về toán tử co như sau:

Định nghĩa 1.8 (Xem [11]) Toán tử T : D ⊆ X → X trên không gian metric(X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1 sao cho

Câu trả lời được thể hiện qua Định lý điểm bất động Banach sau:

Định lý 1.1 (Xem [11]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))

Giả sử

(i) D là tập đóng, khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ (X, d);

(ii) T : D → D là một ánh xạ từ D vào chính nó;

(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co q

Khi đó

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: T có duy nhất một điểm bất động trên D, tức

là phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm x

c) Đánh giá sai số: Với mọi k = 0, 1, 2, ta có đánh giá sai số tiên nghiệm

trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, giải hệ phương trình phi tuyến,giải phương trình tích phân tuyến tính, giải phương trình toán tử tuyến tính, Trong thực tế khi áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải các bài toánbiên phi tuyến, ta thường đưa bài toán đã cho về phương trình điểm bất động

u = T u với u là nghiệm của bài toán đã cho hoặc phương trình ϕ = T ϕ với ϕ

là một hàm trung gian Sau đó để chỉ ra sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất củanghiệm đồng thời đề xuất phương pháp lặp giải bài toán, ta sử dụng Định lý điểmbất động Banach Sự hữu hiệu của phương pháp nêu trên thể hiện rất rõ trong cáckết quả ở Chương 2 của luận văn

Xét bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp

n với các điều kiện biên thuần nhất

ở đây pi(x) với i = 0, 1, 2, , n là các hàm liên tục trên (a, b); p0(x) 6= 0 tại mọiđiểm x thuộc (a, b); các hệ số αki, βki với i = 1, 2, , n và k = 0, 1, 2, , n − 1 là các

số thực

Định nghĩa 1.9 (Xem [8]) Hàm G(x, t) được gọi là hàm Green của bài toán(1.2.1), (1.2.2) nếu xem như hàm của biến x, với mọi t ∈ (a, b), nó thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n

và thỏa mãn phương trình (1.2.1) trong (a, t) và (t, b), tức là:

Xét định lý về sự tồn tại và duy nhất của hàm Green như sau:

Định lý 1.2 (Xem [8]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất với các điều kiệnbiên thuần nhất (1.2.1), (1.2.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại duy nhất hàmGreen của bài toán đó

Xét bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp

n với các điều kiện biên thuần nhất

ở đây hàm vế phải f (x) là hàm liên tục trong (a, b)

Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.2.3),(1.2.4) với bài toán thuần nhất tương ứng và biểu diễn của nghiệm này qua hàmGreen

Định lý 1.3 (Xem [8]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng với bài toán(1.2.3), (1.2.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.2.3), (1.2.4) có nghiệmduy nhất và nghiệm này được biểu diễn dưới dạng

1.3 Đạo hàm số với sai số cấp cao

h = (b − a)/n, là các điểm lưới cách đều nhau Cho giá trị của hàm tại các điểmlưới yi = f (xi) (i = 0, 1, 2, , n) Khi đó ta có thể tính gần đúng đạo hàm cấp một

và cấp hai của hàm tại các điểm lưới với sai số cấp hai và cấp cao hơn nhờ sử dụng

đa thức nội suy Lagrange (xem [1], [7])

+ Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tại ba điểm ta thu được các công thức tính

h2(−yi+ 4yi+1− 5yi+2+ 2yi+3) + O(h2)

+ Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tại năm điểm ta thu được các công thức tínhgần đúng đạo hàm cấp một với sai số cấp bốn và đạo hàm cấp bốn với sai số cấpmột như sau:

Một trong những phương pháp số được sử dụng phổ biến trong xấp xỉ nghiệmcủa các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàmriêng là phương pháp sai phân hữu hạn Bằng cách thay thế các đạo hàm bằng cáccông thức sai phân, bài toán ban đầu được đưa về bài toán sai phân trên một lướiđiểm, từ đó dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số Giải hệ này ta thu được xấp

xỉ của nghiệm của bài toán tại các nút lưới Trong phần này ta xét phương pháptruy đuổi giải hệ phương trình với ma trận các hệ số có dạng ba đường chéo trội.Đây là một biến thể của phương pháp khử Gauss khi áp dụng vào hệ phương trình

có cấu trúc đặc biệt (xem [10])

với các hệ số thực hoặc phức.

Theo ý tưởng của phương pháp Gauss, thực hiện phép khử các ẩn trong (1.4.1)

Từ đó ta có công thức tìm nghiệm như sau

yi = αi+1yi+1+ βi+1, i = N − 1, N − 2, , 0,

trình tiến và công thức (1.4.2) mô tả quá trình lùi Các công thức (1.4.2)-(1.4.4)được gọi chung là công thức truy đuổi từ phải

Các công thức (1.4.2)-(1.4.4) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia, 3N phépcộng và trừ Khi đó tổng số phép toán là Q = 8N + 1, trong đó 3N − 2 phép toán

Tương tự như phương pháp truy đuổi phải ta cũng có công thức truy đuổi tráinhư sau

Kết hợp phương pháp truy đuổi trái và truy đuổi phải ta thu được phương pháptruy đuổi từ hai phía Phương pháp này được áp dụng thích hợp nhất khi muốn

1 ≤ m ≤ N, ta viết các công thức (1.4.2), (1.4.5) tại i = m − 1

ym−1 = αmym + βm, ym = ξmym−1+ ηm

Từ đây ta tìm được

ym = ηm+ ξmβm

1 − ξmαm .

Sử dụng ym vừa tìm được ta lần lượt tìm ym−1, ym−2, , y0 từ (1.4.2) và tìm được

hai phía như sau: Công thức tính các hệ số

yi = αi+1yi+1+ βi+1, i = m − 1, m − 2, , 0,

yi+1= ξi+1yi+ ηi+1, i = m, m + 1, , N − 1,

Bổ đề sau cho ta điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của phương pháptruy đuổi phải

Bổ đề 1.1 (Xem [10]) Giả sử các hệ số của hệ (1.4.1) thỏa mãn các điều kiện

|c0| > 0, |cN| > 0, |ai| > 0, |bi| > 0, i = 1, 2, , N − 1,

trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.4.6) hoặc (1.4.7) là chặt, tức là A

là ma trận chéo trội Khi đó

ci− aiαi 6= 0, |αi| ≤ 1, i = 1, 2, , N

Điều đó có nghĩa là phương pháp truy đuổi phải là khả thi và ổn định

Chú ý 1.1 Các điều kiện của Bổ đề 1.1 cũng đảm bảo tính khả thi của phươngpháp truy đuổi trái và phương pháp truy đuổi từ hai phía Bổ đề 1.1 cũng được ápdụng trong trường hợp các hệ số ai, bi, ci là các số phức.

Chú ý 1.2 Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1 thỏa mãn thì hệ (1.4.1) có nghiệmduy nhất với mọi vế phải