Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ NGUYỄN ĐỖ LINH CHI GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔ HỢPLUẬN VĂN TH
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN ĐỖ LINH CHI GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN ĐỖ LINH CHI GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔ HỢP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Hường THÁI NGUYÊN - 2022 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Cô giáo - Tiến sĩ Nguyễn Thanh Hường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Cô, người đã luôn theo sát, hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình từ khi lựa chọn đề tài đến khi thực hiện và hoàn thiện luận văn Qua đây, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô giáo thuộc Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể các Thầy, Cô giáo của trường Tiểu học và Trung học cơ sở Hợp Minh - Thành Phố Yên Bái - Tỉnh Yên Bái nơi tôi đang công tác, đã động viên và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu R Tập các số thực R+ Tập các số thực không âm C Tập các số phức RK Không gian Euclide K chiều C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] Ck[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục trên [a, b] L2[a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] x Chuẩn của phần tử x x ωh Chuẩn trên lưới ωh của phần tử x ii Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức bổ trợ 5 1.1 Định lý điểm bất động Banach 5 1.2 Hàm Green 8 1.3 Đạo hàm số với sai số cấp cao 11 1.4 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình 12 1.4.1 Phương pháp truy đuổi phải 12 1.4.2 Phương pháp truy đuổi từ hai phía 13 1.4.3 Tính khả thi và ổn định của phương pháp 14 Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp 16 2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 16 2.2 Phương pháp giải 20 2.3 Các ví dụ số 27 Kết luận chung 34 Tài liệu tham khảo 35 iii MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết của luận văn Các bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn luôn thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi chúng là mô hình hóa toán học của nhiều bài toán trong lĩnh vực Vật lý, Cơ học, mà điển hình là các bài toán về dầm trên nền đàn hồi Các điều kiện ràng buộc tại hai đầu của dầm được thể hiện bởi các điều kiện biên khác nhau như: dạng gối - tựa đơn giản, dạng ngàm - tự do, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên tuần hoàn, điều kiện biên phức tạp (phi tuyến, chứa thành phần tích phân), Trong khuôn khổ đề tài luận văn, chúng tôi xét bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn địa phương với điều kiện biên tổ hợp mô tả độ võng của dầm u(4)(x) = f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), 0 < x < 1, (0.0.1) u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0, ở đây a, b, c, d ≥ 0, ρ := ad + bc + ac > 0 và f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục Trong [4], bằng cách sử dụng phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.0.1) trong trường hợp b = c = 0 Trong bài báo này, hàm phi tuyến f (x, u, y, v, z) được giả thiết là hàm tăng theo các biến u, y Ngoài ra nếu giả thiết các hàm α và β ∈ C3[0, 1] ∩ C4(0, 1) là nghiệm trên và nghiệm dưới của bài toán, nghĩa là α(4)(x) ≥ f (x, α(x), α (x), α (x), α (x)), 0 < x < 1, α(0) = 0, α (1) = 0, aα (0) − bα (0) ≤ 0, cα (1) + dα (1) ≤ 0, β(4)(x) ≤ f (x, β(x), β (x), β (x), β (x)), 0 < x < 1, β(0) = 0, β (1) = 0, aβ (0) − bβ (0) ≥ 0, cβ (1) + dβ (1) ≥ 0, thỏa mãn α ≤ β thì hàm f (x, u, y, v, z) phải thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng với α , β , tức là, tồn tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho |f (x, u, y, v, z)| ≤ h(|z|) 1 với mọi (x, u, y, v, z) ∈ [0, 1] × [−M , M ]2 × [α , β ] × R và ∞s ds > max β (x) − min α (x), λ h(s) 0≤x≤1 0≤x≤1 trong đó λ = max{|β (1) − α (0)|, |β (0) − α (1)|} Trong [6], cũng với phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, các tác giả chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.0.1) Trong công trình này, hàm phi tuyến f cũng được giả thiết thỏa mãn điều kiện Nagumo, giảm theo u, y và tăng chặt theo z Các điều kiện chặt chẽ này làm giới hạn lớp các bài toán có nghiệm duy nhất Rõ ràng, trong hai công trình nêu trên, các tác giả giả thiết về sự tồn tại của nghiệm trên và nghiệm dưới mặc dù tìm được chúng như thế nào không phải là việc đơn giản và khi tìm được các nghiệm này rồi cũng rất khó để kiểm tra điều kiện Nagumo đối với hàm f Trong công trình [9], M Pei và S.K Chang đã sử dụng định lý bậc Leray- Schauder chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.0.1) với giả thiết hàm f (x, u, y, v, z) thỏa mãn điều kiện Nagumo, không giảm theo u, không tăng theo y và uf (x, −u, u, u, 0) > 0 với x ∈ [0, 1], |u| > A > 0 Khác với các công trình nêu trên, trong [5], các tác giả thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán (0.0.1) bằng cách sử dụng phương pháp hạch sinh (reproducing kernel) Trong công trình này, các điều kiện ràng buộc đối với hàm f được nới lỏng tuy nhiên phương pháp giải bài toán không được đề cập đến Hoàn toàn khác với các ý tưởng trên, với ý tưởng đưa bài toán (0.0.1) về phương trình toán tử được xây dựng một cách phù hợp dựa trên thành phần phi tuyến f (x, u(x), u (x), u (x), u (x)), xét trong một miền giới nội, các tác giả trong [3] đã chứng minh toán tử này là toán tử co với một số điều kiện dễ kiểm tra đặt lên hàm f , từ đó thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán; nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm ở mức liên tục, đồng thời ở mức rời rạc, các tác giả xây dựng lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn Thêm vào đó, trong công trình nêu trên, một số ví dụ cụ thể trong trường hợp biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng cũng được đưa ra để minh họa cho các kết quả lý thuyết Phải nhấn mạnh rằng trong các ví dụ này, hàm f (x, u, y, v, z) không thỏa mãn các điều kiện trong định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (0.0.1) trong [6] Với mục đích nghiên cứu được toàn diện cả về mặt định tính lẫn định lượng của bài toán (0.0.1) sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lý thuyết, so sánh 2 được kết quả đạt được so với kết quả đã có của một số tác giả khác về một mặt nào đó, trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn "Giải gần đúng bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp" 2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của luận văn Trên cơ sở đọc hiểu tài liệu [3], đối với bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp (0.0.1) là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốn của dầm: - Nghiên cứu định tính (sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm) bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Banach không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, của hàm vế phải; - Nghiên cứu phương pháp lặp giải bài toán ở hai mức liên tục và rời rạc; - Bổ sung thêm một kết quả nhỏ cho [3] là đánh giá được sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm rời rạc trong một trường hợp đặc biệt của hàm vế phải; - Trình bày các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp được trình bày so với phương pháp của một số tác giả khác 3 Phương pháp và nội dung nghiên cứu - Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến của phương trình, sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm; - Nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán ở mức liên tục và rời rạc, chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp; - Trình bày một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm 4 Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm: Định lý điểm bất động Banach; hàm Green đối với một số bài toán; các công thức tính gần đúng đạo hàm với sai số cấp hai và cấp cao hơn; phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình lưới Đây là những kiến thức cơ bản, có vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho 3 Chương 2 của luận văn Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [7], [8], [10], [11] Trong Chương 2, với cách tiếp cận đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với thành phần phi tuyến trong phương trình, luận văn nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, xét tính dương của nghiệm đối với bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn với điều kiện biên tổ hợp Đồng thời, luận văn cũng nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm ở mức liên tục và rời rạc, chứng minh sự hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân của phương pháp lặp Thêm vào đó, trong một trường hợp đặc biệt của hàm vế phải, luận văn đánh giá được sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm rời rạc Luận văn cũng đưa ra các ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng hoặc không biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp Chú ý rằng trong các ví dụ này, một số ví dụ được phân tích để thấy được lợi thế trong phương pháp được trình bày so với phương pháp của một số tác giả khác Nội dung chính của chương được tham khảo từ tài liệu [3] Trong luận văn, các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường MATLAB 4 Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong chương tiếp theo của luận văn Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [7], [8], [10], [11] 1.1 Định lý điểm bất động Banach Định nghĩa 1.1 (Xem [2]) Cho X là một tập hợp khác rỗng Một metric trên X là một ánh xạ d : X × X −→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau: a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, b) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, c) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một metric trên X, (X, d) được gọi là không gian metric Định nghĩa 1.2 (Xem [2]) Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim d(xn, x0) = 0 n→∞ Khi đó, ta viết lim xn = x0 hoặc xn → x0 và x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} n→∞ Định nghĩa 1.3 (Xem [2]) Cho (X, d) là một không gian metric Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu lim d(xn, xm) = 0, n,m→∞ tức là, với ∀ε > 0, ∃n0, ∀n, m ≥ n0 : d(xn, xm) < ε Định nghĩa 1.4 (Xem [2]) Một không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu trong X mọi dãy Cauchy đều hội tụ 5