Luận văn bài toán biến phân và phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC VŨ MẠNH HÙNG BÀI TOÁN BIẾN PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC THANH HĨA-2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC VŨ MẠNH HÙNG BÀI TOÁN BIẾN PHÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Đinh Dũng THANH HÓA-2021 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học theo Quyết định số 966 /QĐ-ĐHHĐ ngày 27 tháng 05 năm 2021 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh Hội đồng TS Hoàng Nam Trường ĐH Hồng Đức Chủ tịch Hội đồng GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học - Viện UV Phản biện HLKHCNVN TS Hoàng Văn Thi Trường ĐH Hồng Đức TS Nguyễn Dương Tồn Trường ĐH Hải Phịng Ủy viên TS Mai Xuân Thảo Trường ĐH Hồng Đức UV Phản biện UV Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 05 tháng 08 năm 2021 (ký ghi rõ họ tên) GS TSKH Đinh Dũng Mục lục Mở đầu Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình vi phân biến 1.1 Dạng yếu toán biên 1.2 Xấp xỉ Ritz - Galerkin 1.3 Đánh giá sai số 1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 1.5 Quan hệ với phương pháp sai phân 10 1.6 Xấp xỉ thích nghi 11 Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biến phân 14 2.1 Khơng gian tích vô hướng 14 2.2 Không gian Hilbert 15 2.3 Dạng toán biến phân đối xứng 17 2.4 Dạng toán biến phân không đối xứng 19 2.5 Định lý Lax-Milgram 20 2.6 Đánh giá xấp xỉ phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát 24 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Vũ Mạnh Hùng iii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Đinh Dũng Trong trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy giảng dạy lớp K12 cao học Tốn giải tích Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ môn Giả tích Phương pháp Dạy học tốn khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Quảng Xương I đồng nghiệp trường THPT Quảng Xương I tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận Xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2021 Tác giả Vũ Mạnh Hùng iv MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN * R: Tập hợp số thực; * C0 [a, b]: Không gian hàm liên tục đoạn [a, b]; * Ck [a, b]: Không gian hàm khả vi, liên tục cấp k đoạn [a, b]; * L p (Ω), ≤ p < ∞: Khơng gian hàm khả tích cấp p Ω; * Wpk (Ω): Khơng gian Sobolev hàm có đạo hàm đến cấp k thuộc L p * V ′ : Không gian đối ngẫu không gian định chuẩn V v MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Rất nhiều phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng mơ tả tượng thực tế khơng có lời giải giải tích Vì thế, việc nghiên cứu phương pháp xấp xỉ phương pháp số tốn biến phân có liên quan để giải phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng vấn đề thời cấp thiết ứng dụng lẫn lý thuyết Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu tốn biến phân phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng elliptic phương pháp phần tử hữu hạn để giải số phương trình Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương trình vi phân miền đường thẳng thực phương trình đạo hàm riêng elliptic mặt phẳng thực Nội dung nghiên cứu (i) Phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biến phân biến: - Dạng yếu toán biên, - Xấp xỉ Galerkin, - Đánh giá sai số, - Phương pháp phần tử hữu hạn, - Quan hệ với phương pháp sai phân - Xấp xỉ thích nghi (ii) Dạng biến phân toán giá trị biên elliptic: - Dạng toán biến phân đối xứng, - Dạng toán biến phân không đối xứng, - Định lý Lax-Milgram, - Đánh giá cho xấp xỉ phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát, Phương pháp nghiên cứu - Phân tích vấn đề cần nghiên cứu nội dung nêu trên, - Tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến tốn biến phân cho phương trình vi phân đạo hàm riêng phương pháp phần tử hữu hạn Cấu trúc nội dung luận văn Mở đầu Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biến phân biến 1.1 Dạng yếu toán biên 1.2 Xấp xỉ Galerkin 1.3 Đánh gia sai số 1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 1.5 Quan hệ với phương pháp sai phân 1.6 Xấp xỉ thích nghi Chương Dạng biến phân toán giá trị biên elliptic 2.1 Khơng gian tích vơ hướng 2.2 Khơng gian Hilbert 2.3 Dạng toán biến phân đối xứng 2.4 Dạng tốn biến phân khơng đối xứng 2.5 Định lý Lax-Milgram 2.6 Đánh giá cho xấp xỉ phương pháp phần tử hữu hạn tổng quát Kết luận kiến nghị Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình vi phân biến Trong chương này, trình bày phương pháp phần tử hữu hạn cho tốn biên phương trình vi phân biến (Xem [1, 2]) 1.1 Dạng yếu toán biên Xét toán biên hai điểm phương trình vi phân bậc hai    − d u = f (0, 1) dx2   u(0) = 0, u′ (1) = (1.1) Nếu u nghiệm ν hàm (đủ quy) cho ν (0) = cách lấy tích phân phần ta có ( f , ν ) := Z1 f (x)ν (x)d(x) = − Z1 u”(x)ν (x) = Z1 u′ (x)ν ′ (x) =: a(u, ν ) (1.2) Chúng ta định nghĩa  V := ν ∈ L2 (0, 1) : a(ν , ν ) < ∞ ν (0) = , Khi nói, nghiệm u toán (1.1) đặc trưng u ∈ V cho a(u, ν ) = ( f , ν ), ∀ν ∈ V (1.3) (1.3) gọi dạng biến phân dạng yếu toán (1.1) Nó gọi dạng biến phân hàm ν thay đổi tùy ý Nó diễn giải cách tự nhiên với cách đặt tốn khơng gian Hilbert, ví dụ khơng gian ν đa thức với i = 1, , n [xi−1 ,xi ] ν (0) = Với i = 1, , n đặt φi hàm thỏa mãn φi (x j ) = δi j với δi j ký hiệu hàm delta Kronecker, φi biểu diễn hình sau xj Bổ đề 1.4.1 {φi , ≤ i ≤ n} sở S Chú ý 1.4.2 {φi } gọi sở nút S {ν (xi )} giá trị nút hàm ν ; điểm xi gọi nút n Chứng minh Tập {φi } độc lập tuyến tính ∑ Ci φi (x j ) kéo theo C j = Để i=1 chứng tỏ {φi } cảm sinh S, ta xét: Định nghĩa 1.4.3 Cho ν ∈ C0 ([0, 1]) nội suy νI ∈ S ν xác định n νI := ∑ v(xi )φi i=1 Tập {φi } cảm sinh S bổ đề sau Bổ đề 1.4.4 ν ∈ S ⇒ ν = νI Thật vậy, ν − νI tuyến tính đoạn [xi−1 , xi ] không đầu mút, phải đồng Chúng ta chứng tỏ định lý xấp xỉ sau cho phép nội suy Định lý 1.4.5 Đặt h = max (xi − xi−1 ) Khi 1≤i≤n ku − uI kE ≤ Chku′′ k với u ∈ V, C số phụ thuộc vào h u Chứng minh Ta cần chứng minh Zx j x j−1 Zx j
(u − uI )′ (x) dx ≤ c(x j − x j−1 )2 u′′ (x)2 dx x j−1 √ sau lấy tổng theo j lấy C = c ta nhận điều phải chứng minh Ký hiệu e = u − ui sai số; uI đa thức tuyến tính đoạn [x j−1 , x j ] nên u′′I = 0, bất đẳng thức tương đương với Zx j x j−1 Zx j
(e)′ (x) dx ≤ c(x j − x j−1 )2 e′′ (x)2 dx x j−1 Bằng phương pháp đổi biến số ánh xạ affine đoạn [x j−1 , x j ] lên đoạn [0, 1] thấy bất đẳng thức tương đương với Zx j x j−1
2 (e) ˜ ′ (x) ˜ d x˜ ≤ c Zx j e˜′′ (x) ˜ d x, ˜ x j−1 x = x j−1 + x(x ˜ j − x j−1 )
e( ˜ x) ˜ = e x j−1 + x(x ˜ j − x j−1 ) , Chú ý có đánh giá tương đương mà khơng phụ thuộc vào kích thước lưới Đặt w = e˜ ta có w′ (y) = Zy ξ w′′ (x)dx Bằng bất đẳng thức Schwarz có y Z ′′ ′ |w (y)| = w (x)dx