Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng elliptic (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ UBND ĐÀOTỈNH TẠOTHANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỖ VĂN HÀO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓ TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỖ VĂN HÀO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN IẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đinh Dũng {THANH HÓA, NĂM 2016 MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng phát sinh mơ hình tốn học nhiều tượng vật lý, tượng hóa học sinh học nhiều lĩnh vực khác động lực học chất lỏng, điện từ trường, khoa học vật liệu, vật lý thiên văn, kinh tế, mơ hình hóa tài chính, Phần lớn phương trình xem xét phức tạp nên việc tìm kiếm nghiệm phương pháp phân tích phương pháp biến đổi Laplace Fourier dạng chuỗi lũy thừa việc khó thực Vì vậy, người ta phải nghỉ đến tìm kiếm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình Luận văn trình bày phương pháp giải gần cho phương trình đạo hàm riêng eliptic: Phương pháp phần tử hữu hạn Luận văn gồm 02 chương, cụ thể sau: Chương1 Giới thiệu không gian hàm không gian hàm liên tục, khơng gian hàm khả tích, khơng gian Sobolev, nghiệm yếu phương trình đạo hàm riêng elliptic Chương Xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng elliptic như: Galerkin trực giao, Bổ đề C’ea Thanh hóa, ngày 26 tháng năm 2016 Tác giả luận văn Đỗ Văn Hào Chương Giới thiệu Chương nhắc lại kiến thức lý thuyết không gian hàm số kết lý thuyết phương trình đạo hàm riêng 1.1 Không gian hàm số Chúng ta thấy rõ chương sau, độ xác xấp xỉ phương pháp phần tử hữu hạn phương trình đạo hàm riêng phụ thuộc nhiều vào độ trơn nghiệm giải tích phương trình xét điều phụ thuộc vào độ trơn nghiệm ban đầu Các giả thiết độ trơn nghiệm điều kiện ban đầu thuận tiện phát biểu cách xem xét lớp hàm có tính khả vi khả tích đặc biệt gọi khơng gian hàm số Trong chương này, trình bày cách tổng quan khái niệm số kết đơn giản lý thuyết không gian hàm Để thuận tiện cho phần sau, xét hàm nhận giá trị thực 1.1.1 Không gian hàm liên tục Trong mục này, mô tả số không gian đơn giản hàm khả vi liên tục Để thuận tiện, đưa khái niệm đa số Cho N tập hợp số nguyên không âm Một véc tơ α = (α1 , , αn ) ∈ Nn gọi đa số Các số nguyên không âm |α| = α1 + α2 + + αn gọi độ dài đa số α = (α1 , , αn ) Khi đa số (0, , 0) có độ dài 0, rõ ràng |0| = Chúng ta định nghĩa toán tử đạo hàm riêng Dα sau: Dα = ( ∂ αn ∂ |α| ∂ α1 ) ( ) = ∂x1 ∂xn ∂xα1 ∂xαnn Ví dụ 1.1.1 Giả sử n = α = (α1 , α2 , α3 ) với αi ∈ N, i = 1, 2, Khi u hàm ba biến α1 , α2 , α3 , ta có Dα u = P |α|=3 + ∂x ∂3u ∂x2 ∂x3 ∂3u ∂x31 + + ∂3u ∂x21 ∂x2 ∂3u ∂x22 ∂x3 + + ∂3u ∂x21 ∂x3 ∂3u ∂x2 ∂x23 + + ∂3u ∂x1 ∂x22 + ∂3u ∂x1 ∂x23 + ∂3u ∂x32 ∂3u ∂x33 Ví dụ 1.1.2 Xét khoảng mở Ω = (0; 1) ⊂ R1 Hàm u(x) = x1 thuộc C k (Ω) với k ≥ 0, Ω = [0; 1] lim u(x) = ∞, rõ ràng u không x→0 liên tục Ω Theo tính chất u ∈ / C k (Ω) với k ≥ Giá hàm u liên tục, xác định tập mở Ω ⊂ Rn định nghĩa bao đóng Ω tập {x ∈ Ω : u(x) 6= 0} Chúng ta ký hiệu supp(u) giá hàm u Ví dụ 1.1.3 Cho w hàm xác định Rn  −1 1−|x|2 , |x| < 1, w(x) = e 0, |x| ≥ |x| = (x21 + x22 + x2n ) Rõ ràng giá w hình cầu đóng {x ∈ Rn : |x| ≤ 1} Ta kí hiệu C0k (Ω) tập hợp tất hàm u thuộc C k (Ω) tập Ω cho giá u tập hợp bị chặn Ω Khi ta có \ C0∞ (Ω) = C0k (Ω) k≥0 Ví dụ 1.1.4 Hàm w ví dụ trước thuộc không gian C0∞ (R) 1.1.2 Không gian hàm khả tích Ta xét lớp khơng gian hàm khả tích theo Lebesgue Cho p số thực, p ≥ Đặt Lp (Ω) tập tất hàm nhận giá trị thực xác định tập mở Ω Rn cho Z Ω |u(x)|p dx < ∞ 4 Với hai hàm khắp nơi Ω (tức tất điểm thuộc Ω, ngoại trừ tập có độ đo khơng) xác định Z kukLp (Ω) = ( |u(x)|p dx) p Ω Chúng ta xét không gian L∞ (Ω), không gian bao gồm hàm xác định Ω cho |u| có cận hữu hạn Ω (cụ thể là, tồn số dương M cho |u(x)| ≤ M với hầu hết x Ω, tức |u(x)| ≤ M với x ∈ Ω\Γ, Γ tập Ω có độ đo Lebesgues viết M = ess sup |u(x)|) Không x∈Ω gian L∞ (Ω) trang bị chuẩn: kukL∞ (Ω) = ess sup |u(x)| x∈Ω Một trường hợp đặc biệt quan trọng tương ứng với p = 2; kukL2 (Ω) Z = ( |u(x)|2 dx) Ω Không gian L2 (Ω) trang bị tích vơ hướng định nghĩa sau : Z (u, v) = u(x)v(x)dx Ω Rõ ràng ta có: kukL2 (Ω) = (u, u) Bổ đề 1.1.5 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với u v thuộc L2 (Ω) uv ∈ L1 (Ω) |(u, v)| ≤ kukL2 (Ω) kvkL2 (Ω) Hệ 1.1.6 (Bất đẳng thức tam giác) Với u v thuộc L2 (Ω) Thì u + v ∈ L2 (Ω) ku + vkL2 (Ω) ≤ kukL2 (Ω) + kvkL2 (Ω) Nhận xét 1.1.7 Không gian Lp (Ω) với p ∈ [1; ∞] không gian Banach Đặc biệt, L2 (Ω) không gian Hilbert, có tích vơ hướng (., ) trang bị chuẩn kukL2 (Ω) = (u, u) nên khơng gian Banach Một kết tương tự Hệ không gian Lp với ≤ p ≤ ∞, cụ thể là: ku + vkLp (Ω) ≤ kukLp (Ω) + kvkLp (Ω) , u, v ∈ Lp (Ω) Tổng quát sau bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, biết đến bất đẳng thức Holders, với hàm u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lp, (Ω) thỏa mãn điều kiện p1 + p1, = 1, thì: Z u(x)v(x)dx ≤ kuk Lp (Ω) kvkLp, (Ω) Ω 1.1.3 Không gian Sobolev Giả sử u hàm trơn u ∈ C k (Ω), với Ω tập mở Rn v ∈ C0∞ (Ω) ta có cơng thức tích phân phần là: Z α |α| Z D u(x).v(x)dx = (−1) Ω u(x).Dα v(x)dx, |α| ≤ k, Ω với v ∈ C0∞ (Ω) Giả sử u hàm khả tích địa phương xác định Ω (tức u ∈ L1 (ω) cho lân cận mở ω, với $ ⊂ Ω ) Giả sử tồn hàm ϕα , khả tích địa phương Ω cho: Z |α| Z ϕα (x).v(x)dx = (−1) Ω u(x).Dα v(x)dx, Ω với v ∈ C0∞ (Ω) Khi ta nói ϕα đạo hàm yếu hàm u với |α| = α1 + α2 + + αn viết ϕα = Dα u Rõ ràng, k u hàm đủ trơn u ∈ C (Ω), đạo hàm yếu Dα u với |α| ≤ k trùng với đạo hàm riêng tương ứng theo ý nghĩa cổ điển điểm ∂ |α| u ∂xα1 ∂xαnn Để đơn giản hóa ký hiệu, sử dụng chữ D để biểu thị đạo hàm yếu Ví dụ 1.1.8 Với Ω = R1 , giả sử muốn xác định đạo hàm yếu bậc hàm u(x) = (1 − |x|)+ xác định Ω Rõ ràng u không khả vi điểm ±1 Tuy nhiên, u khả tích địa phương Ω nên u có đạo hàm yếu Với k số nguyên không âm giả sử p ∈ [1; ∞] Chúng ta định nghĩa không gian Wkp (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ k} (với Dα đạo hàm yếu bậc |α|) không gian Sobolev bậc k Không gian Wkp (Ω) trang bị chuẩn (Sobolev) sau: P kukWkp (Ω) = ( kDα ukpLp (Ω) ) p ≤ p < ∞ |α|≤k kukWk∞ (Ω) = P |α|≤k kDα ukL∞ (Ω) p = ∞ Kí hiệu |u|Wkp (Ω) = ( P |α|=k kDα ukpLp (Ω) ) p với ≤ p < ∞ Chúng ta viết k X kukWkp (Ω) = ( |u|pWj (Ω) ) p p j=0 Tương tự vậy, với |u|Wk∞ (Ω) = X kDα ukL∞ (Ω) , |α|≤k nói rằng: kukWk∞ (Ω) = k X j=1 |u|Wj∞ (Ω) Nhận xét 1.1.9 Khi k ≥ |.|Wkp (Ω) gọi nửa chuẩn Sobolev Wkp (Ω) Trường hợp đặc biệt quan trọng tương ứng với p = 2, không gian Wk2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng là: X (Dα u, Dα v) (u,v)Wk2 (Ω) = |α|≤k Vì lý này, thường viết H k (Ω) thay Wk2 (Ω) Chúng ta thường xuyên đề cập đến không gian Sobolev Hilbert H (Ω) H (Ω) Định nghĩa Wkp (Ω), chuẩn nửa chuẩn, cho trường hợp p = 2, k = 1, sau: o n ∂u ∈ L (Ω), j = 1, , n , H (Ω) = u ∈ L2 (Ω) : ∂x j )1 ( n P ∂u 2 , kukH (Ω) = kukL2 (Ω) + ∂xj L2 (Ω) j=1 ( |u|H (Ω) = )1 n P ∂u ∂xj L2 (Ω) j=1 Tương tự vậy, p = k = 2, n u ∂u H (Ω) = u ∈ L2 (Ω) : ∂x ∈ L2 (Ω), j = 1, , n; ∂x∂i ∂x ∈ L2 (Ω), i, j = 1, , n j j ( )1 n n P P ∂u ∂ u 2 , kukH (Ω) = kukL2 (Ω) + + ∂xj ∂xi ∂xj L2 (Ω) j=1 ( |u|H (Ω) = n P ∂u ∂xi ∂xj j=1 i,j=1 L2 (Ω) )1 L2 (Ω) Không gian Sobolev đặc biệt H01 (Ω) khơng gian đóng C0∞ (Ω) với chuẩn k.kH (Ω) Nói cách khác, H01 (Ω) tập hợp tất u ∈ H (Ω) cho u giới hạn H (Ω) chuỗi {um }∞ m=1 với um ∈ C0∞ (Ω) Nó hiểu là:  H01 (Ω) = u ∈ H (Ω) : u = ∂Ω , với giả định ∂Ω đủ trơn 8 Bổ đề 1.1.10 (Bất đẳng thức Poincar’e-Friedrichs) Giả sử Ω tập mở bị chặn Rn ( với ∂Ω đủ trơn mịn, chẳng hạn miền đa giác R2 đa diện R3 ) u ∈ H01 (Ω) Khi tồn số c∗ (Ω), độc lập với u, thỏa mãn: Z n X ∂u |u(x)| dx ≤ c∗ ∂xi (x) dx i=1 Ω Trường hợp đơn giản như: Ω = (0, 1)2 ⊂ R2 c∗ = 41 ; tương tự vậy, Ω = (0, 1) ⊂ R c∗ = 21 1.2 Nghiệm yếu cho phương trình đạo hàm riêng Xét trường hợp đặc biệt phương trình elliptic phương trình Laplace ∆u = 0, (1.1) phương trình khơng liên quan là, phương trình Poisson ∆u = f, (1.2) sử dụng kí hiệu n X ∂2 ∆= ∂x2i i=1 cho toán tử Laplace Tổng quát hơn, cho Ω tập mở bị chặn Rn xem xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc hai − n P i,j=1 ∂ ∂u ∂xi (aij (x) ∂xi ) + n P i=1 ∂u + c(x)u = f (x), x ∈ Ω, bi (x) ∂x i với hệ số aij , bi ,c thỏa mãn điều kiện sau đây: aij ∈ C (Ω), i, j = 1, , n, bi ∈ C(Ω), i = 1, , n, c ∈ C(Ω), f ∈ C(Ω) (1.3) n X aij (x)ξi ξj ≥ k n X i,j=1 ξi2 , ∀ξ = (ξ1 , ξn ) ∈n , x ∈ Ω, (1.4) i=1 đây, k số dương độc lập x ξ Điều kiện (1.4) thường gọi điều kiện elliptic phương trình (1.3) gọi phương trình elliptic Các vấn đề phát sinh ứng dụng phương trình (1.3) thường bổ sung điều kiện biên sau: Với g hàm xác định ∂Ω ta có, i) u = g ∂Ω (Điều kiện biên Dirichlet); ii) iii) ∂u ∂ν = g ∂Ω, nơi ν biểu thị véc tơ đơn vị ngoại trực giao ∂Ω (điều kiện biên Neumann), ∂u ∂γ + σu = g ∂Ω, nơi σ(x) ≥ ∂Ω (điều kiện biên Robin), iv) Một tổng quát điều kiện biên (ii) (iii) n X aij i,j=1 ∂u cosαj + σ(x)u = g ∂Ω, ∂xi nơi αj góc véc tơ đơn vị ngoại trực giao ∂Ω trục xj (Đạo hàm xiên biên) Trong nhiều tốn vật lý, có nhiều loại điều kiện biên áp dụng ∂Ω Chúng ta bắt đầu toán Dirichlet với biên − n P i,j=1 ∂ ∂u ∂xi (aij ∂xi ) + n P i=1 ∂u + c(x)u = f (x), x ∈ Ω bi (x) ∂x i u=0 ∂Ω (1.5) (1.6) aij , bi , c f (1.4) Một hàm u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) thỏa mãn (1.5) (1.6) gọi 10 nghiệm cổ điển phương trình Xét tốn sau đây: tìm u H01 (Ω) cho n R P i,j=1 Ω n R P ∂u ∂u ∂v dx + bi (x) ∂x vdx aij (x) ∂x i ∂xj i i=1 Ω R R + c(x)uvdx = f (x)v(x)dx,∀v ∈ C10 (Ω) Ω (1.7) Ω Định nghĩa 1.2.1 Với aij ∈ L∞ (Ω), i, j = 1, , n, bi ∈ L∞ (Ω), i = 1, , n, c ∈ L∞ (Ω), f ∈ L2 (Ω) Một hàm u ∈ H01 (Ω) thỏa mãn: n R P i,j=1 Ω n R P ∂u ∂v ∂u aij (x) ∂x dx + bi (x) ∂x vdx i ∂xj i i=1 Ω R R + c(x)uvdx = f (x)v(x)dx, ∀v ∈ H10 (Ω) Ω (1.8) Ω gọi nghiệm yếu (1.5), (1.6) Tất đạo hàm riêng (1.8) hiểu đạo hàm yếu Nhận xét 1.2.2 Rõ ràng u nghiệm cổ điển (1.5), (1.6), nghiệm yếu (1.5), (1.6) Tuy nhiên, điều ngược lại không a(u, v) = n R P i,j=1 Ω + R ∂u ∂v aij (x) ∂x dx + i ∂xj n R P i=1 Ω ∂u bi (x) ∂x vdx i (1.9) c(x)uvdx Ω Z l(v) = f (x)v(x)dx (1.10) Ω Với kí hiệu này, vấn đề (1.8) viết sau: Tìm u ∈ H01 (Ω) cho a(u, v) = l(v), ∀v ∈ H01 (Ω) (1.11) Định lý 1.2.3 (Định lý Lax - Milgram) Giả sử V không gian Hilbert thực trang bị chuẩn k.kV a(., ) hàm tuyến tính 11 V × V cho: a(v, v) ≥ c0 kvk2V , i) ∃c0 > 0, ∀v ∈ V : ii) ∃c0 > 0, ∀v, w ∈ V : |a(w, v)| ≥ c1 kwkV kvkV iii) ∃c2 > ∀v ∈ V : |l(v)| ≤ c2 kvkV , với l(.) hàm tuyến tính V Khi đó, tồn u ∈ V nhất, thỏa mãn: a(u, v) = l(v), ∀v ∈ V Áp dụng Định lý Lax-Milgram bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta suy ra: n R ∂u ∂v P |a(u, v)| ≤ max |aij (x)| ∂xi ∂xj dx i,j=1 x∈Ω Ω n R P ∂u max |bi (x)| bi (x) ∂xi vdx + i=1 x∈Ω Ω R + max |c(x)| w(x)v(x)dx x∈Ω Ω 2 n R P R ∂w ∂v ≤ p ( ∂xi dx) ( ∂x dx) j i,j Ω Ω n R R P 1 R 1 R ∂w +p ( ∂xi dx) ( |v|2 dx) + |w|2 dx) ( |v|2 dx) i Ω Ω Ω ) ( ( Ω ) 2 n R n R R R P P 1 1 ∂w ∂v ≤p |w| dx) + ( ∂xi dx) × |v| dx) + ( ∂xi dx) i,j Ω Ω Ω i,j Ω (1.12)  p = max  max max |aij (x)| , max max |bi (x)| , max |c(x)| 1≤i,j≤n 1≤i≤n x∈Ω x∈Ω x∈Ω Bằng cách tiếp tục đánh giá vế phải (1.12) ta suy rằng: 1 n R P ∂w |a(u, v)| ≤ 2n p |w| dx+ ∂xi dx) i=1 Ω Ω ( )1 n R P R ∂v × |v| dx+ , ∂xj dx)  R Ω j=1 Ω 12 đó, đặt c1 = 2np, ta bất đẳng thức (ii): |a(w, v)| ≤ c1 kwkH (Ω) kvkH (Ω) (1.13) n c(x) − X ∂bi ≥ 0, ∂xi x ∈ Ω (1.14) i=1 Khi đó: n Z X ∂v a(v, v) ≥ k ∂xi dx (1.15) i=1 Ω Theo bất đẳng thức Poincare-Friedrichs Bổ đề 1.1.10, ta có: k a(v, v) ≥ c∗ Z |v|2 dx (1.16) Ω Kết hợp (1.15) (1.16) ta nhận được: Z n Z X a(v, v) ≥ c0 ( |v| dx+ Ω i=1 Ω 2 ∂v dx), ∂x (1.17) k c0 = 1+c , có (i) Sau kiểm tra tất điều kiện ∗ định lý Lax-Milgram, suy tồn hàm u ∈ H01 (Ω) thỏa mãn (1.11) đó, tốn (1.5), (1.6) có nghiệm yếu Định lý 1.2.4 Giả sử aij ∈ L∞ (Ω) i, j = 1, , n, bi ∈ W1∞ (Ω), i = 1, , n ; c ∈ L∞ (Ω), f ∈ L2 (Ω) giả sử ta có (1.4) (1.14) Khi tốn biên (1.5), (1.6) có nghiệm yếu u ∈ H01 (Ω) Ngoài ra: kukH (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) c0 (1.18) Nhận xét 1.2.5 Bây trở lại với ví dụ trước mà (∗) chứng minh khơng có nghiệm cổ điển Tuy nhiên, việc áp dụng 13 định lý với aij (x) ≡ 1, i = j, aij (x) ≡ 0, i 6= j, ≤ i, j ≤ n, bi (x) ≡ 0, c(x) = 0, f (x) = sgn( 21 − |x|) Ω = (−1; 1)n , thấy (1.4) với k = (1.14) thỏa mãn cách hiển nhiên Do (∗) có nghiệm yếu u ∈ H01 (Ω) Định lý 1.2.3 Các kết tương tự trường hợp toán biên Neumann-Robin, số toán hỗn hợp khác Nhận xét 1.2.6 Chúng ta xét toán biên hỗn hợp Dirichlet-Neumann sau −∆u = f Ω, u = Γ1 , ∂u ∂v = g Γ2 với Γ1 tập hợp khác rỗng tập mở tương đối ∂Ω, (Ω), tồn Γ1 ∩ Γ2 = ∂Ω Áp dụng Định lý Lax-Milgram với V = H0,Γ nghiệm cho toán hỗn hợp yếu suy cách dễ dàng Nhận xét 1.2.7 Nếu u1 u2 nghiệm yếu H01 (Ω) (1.5), (1.6) tương ứng với bên vế phải f1 f2 L2 (Ω) u1 − u2 nghiệm yếu H01 (Ω) (1.5), (1.6) tương ứng với vế phải f1 − f2 ∈ L2 (Ω) Như vậy, từ(1.18) ta suy ra: ku1 − u2 kH (Ω) ≤ kf1 − f2 kL2 (Ω) , c0 (1.19) suy phụ thuộc liên tục nghiệm toán biên vào vế phải Nhận xét 1.2.8 Yêu cầu bi ∈ W1∞ (Ω) Định lý 1.2.3 giảm điều kiện bi ∈ L∞ (Ω), i = 1, , n Mặt khác nếu: n 2X c(x) − kbi k2L∞ (Ω) ≥ 0, k i=1 đến bất đẳng thức n X a(v, v) ≥ k Z ∂v ∂xi dx i=1 Ω (1.20) 14 Chương Xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng elliptic 2.1 Trực giao Galerkin Qua mô tả việc xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn, phác thảo cơng cụ để phân tích sai số Chúng ta xét toán biên elliptic sau: − n n X X ∂ ∂u ∂u (aij (x) )+ bi (x) + c(x)u = f (x), x ∈ Ω, ∂xi ∂xi ∂xi (2.1) i=1 i,j=1 u=0 ∂Ω, (2.2) Ω tập mở bị chặn Rn , aij ∈ L∞ (Ω), i, j = 1, , n, bi ∈ W∞ (Ω), i = 1, , n ; c ∈ L∞ (Ω), f ∈ L2 (Ω) giả sử tồn số dương k cho: n X i,j=1 aij (x)ξi ξj ≥ k n X i=1 ξi2 , ∀ξ = (ξ1 , ξn ) ∈ Rn , x ∈ Ω (2.3) 15 Việc xây phương trình cho tốn hỗn hợp yếu (2.1), (2.2) là: Tìm u ∈ H01 (Ω) cho: a(u, v) = l(v), ∀v ∈ H01 (Ω) (2.4) phiếm hàm song tuyến tính a(., ) hàm tuyến tính l(.) định nghĩa bởi: a(u, v) = n Z X i,j=1 Ω Z n Z X ∂u ∂v ∂u aij (x) dx+ vdx+ c(x)uvdx bi (x) ∂xi ∂xj ∂xi i=1 Ω Ω Z l(v) = f (x)v(x)dx Ω Chúng ta vừa n c(x) − X ∂bi ≥ ,x ∈ Ω, ∂xi i=1 (2.4) có nghiệm nghiệm yếu (2.1), (2.2) Hơn nữa, kukH (Ω) ≤ kf kL2 (Ω) , c0 c0 (1.17) Bây giả sử Vh không gian hữu hạn chiều H01 (Ω), Xấp xỉ phần tử hữu hạn (2.4) là: Tìm uh Vh thỏa mãn a(uh , vh ) = l(vh ), ∀vh ∈ Vh (2.5) từ ta suy a(u − uh , vh ) = 0, ∀vh ∈ Vh (2.6) Tính chất (2.6) gọi trực giao Galerkin thấy đóng vai trị quan trọng việc phân tích sai số phương 16 pháp phần tử hữu hạn Từ ta suy ra: ku − uh kH (Ω) ≤ c1 ku − vh kH (Ω) , c0 ∀vh ∈ Vh Do đó, ta có kết sau 2.2 Bổ đề Céa Bổ đề 2.2.1 (Bổ đề Céa) Xấp xỉ phần tử hữu hạn uh u ∈ H01 (Ω) , nghiệm yếu toán (2.1), (2.2), tốt u chuẩn k.kH (Ω) ; nghĩa là, ku − uh kH (Ω) ≤ c1 ku − vh kH (Ω) c0 vh ∈Vh Nhận xét 2.2.2 Người ta chứng minh không gian hữu hạn phần tử Vh cho: ku − uh kH (Ω) ≤ C(u)hs , vh ∈Vh C(u) số dương, phụ thuộc vào độ trơn u, h kích cỡ tham số (đường kính tối đa phần tử phân hoạch chia nhỏ miền tính tốn) s số thực dương, phụ thuộc vào độ trơn u bậc đa thức phần tạo nên không gian Vh Do đó, với trợ giúp Bổ đề Céa, suy ku − uh kH (Ω) ≤ C(u) c1 s h c0 (2.7) đánh giá sai số toàn cục eh = u − uh dựa thông số kích thước h Như vậy, đánh giá sai số toàn cục gọi đánh giá sai số tiền nghiệm (thuật ngữ xuất phát việc đánh giá (2.7) khẳng định trước tính tốn uh ) Nó cho thấy trường hợp đặc biệt h → tinh chỉnh phân hoạch tăng lên, chuỗi nghiệm phần tử hữu hạn {uh }h hội tụ đến u chuẩn H01 (Ω) Trong kết biết đến từ lý thuyết, liên quan đến tính tốn C(u) tham gia vào (2.7) khó định lượng (vì phụ thuộc vào nghiệm giải tích u, u khơng biết) Ví dụ 2.2.3 Trong ví dụ xem xét vấn đề liên 17 quan đến đánh giá sai số tiên nghiệm (2.7) cho tốn elliptic định có tỷ lệ cc10 lớn có kích thước phân hoạch h lấy nhỏ trước giảm kích thước sai số tồn cục quan sát Giả sử Ω tập mở bị chặn Rn Ta xét toán biên sau đây: −ε∆u + b.∇u = f Ω, u = ∂Ω, ε > giả sử div b ≤ hầu khắp nơi Ω Những toán phát sinh mơ hình tốn học tượng bình lưu khuếch tán Khi bình lưu có ưu khuếch tán hơn, số Péclet: n P ( kbi k2L∞ (Ω) ) Pe = i=1 ε lớn ( Pe thuộc khoảng 106 − 108 ) Bằng phép tính đơn giản cho thấy vấn đề c1 = (ε2 + n X kbi k2L∞ (Ω) ) i=1 c0 = Vì ε (1 + c2∗ ) 1 c1 = (1 + c2∗ ) (1 + P e2 ) c0 (2.7) dẫn đến 1 ku − uh kH (Ω) ≤ (1 + c2∗ ) (1 + P e2 ) C(u)hs (2.8) Vì vậy, ε  1, số phía bên vế phải đánh giá sai số lớn số Péclet; thực tế, thứ chí cịn tồi tệ hơn, số không đổi C(u) phụ thuộc vào ε thông qua u (thường C(u)  ε  ) Chúng ta không xét xấp xỉ phần tử hữu hạn cho tốn bình lưu chiếm ưu khuếch tán thêm Điều mà muốn nhấn mạnh đơn cần thận trọng tìm cách rút kết luận thực tế từ kết lý thuyết đánh giá sai số chất lượng nghiệm (2.7) mà ràng buộc (2.8) 18 Pe  1, đơn phản ánh thực tế phương trình bình lưu thống trị khuếch tán, phương pháp phần tử hữu hạn thơng thường khơng có hiệu kích cỡ phân hoạch thơ, lời giải số có sai số phi vật lý lớn mà loại bỏ cách giảm mạnh kích cỡ phân hoạch h Nhận xét 2.2.4 Bây thảo luận trường hợp đặc biệt khác, b ≡ Ω Khi c1 = c0 = ε bổ đề Céa dẫn đến đánh giá sau: ku − uh kH (Ω) ≤ ku − vh kH (Ω) vh ∈Vh Hình 2.1: Sai số u − uh trực giao với Vh từ ta suy (u − uh , vh )a = 0, ∀vh ∈ Vh (2.9) Như vậy, trường hợp tự liên hợp, sai số u − uh nghiệm xác u xấp xỉ phần tử hữu hạn uh trực giao với Vh tích vơ hướng (., ) (xem hình trên) Từ tính chất trực giao (2.11) ta có, ku − uh ka ≤ ku − vh ka vh ∈Vh Từ ta có dạng sau Bổ đề Céa trường hợp tự liên hợp Bổ đề 2.2.5 Xấp xỉ phần tử hữu hạn uh ∈ Vh u ∈ H01 (Ω) tốt từ u từ Vh chuẩn lượng k.ka , có nghĩa ku − uh ka = ku − vh ka vh ∈Vh Chúng ta kết luận Bổ đề Céa chìa khóa để phân tích sai số phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biên elliptic 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Đóng góp luận văn trình bày kiến thức biết sau đây: Trình bày lại tính chất không gian hàm Đưa số ví dụ minh họa cho khái niệm Nghiệm yếu cho phương trình đạo hàm riêng, làm bật điều kiện cần điều kiện đủ để nghiệm yếu trở thành mạnh Giới thiệu bổ đề Céa qua số sai lầm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn thơng thường kích cỡ phân hoạch thơ, lời giải số có sai số phi vật lý lớn Hướng nghiên cứu là: Ứng dụng Bổ đề Céa phân tích sai số phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biên elliptic đưa giải pháp khắc phục hạn chế Nghiên cứu toán biên hỗn hợp nhiều loại điều kiện biên áp dụng, chẳng hạn ∂Ω kết hợp hai tập rời ∂Ω1 ∂Ω2 với điều kiện biên Dirichlet ∂Ω1 điều kiện biên Neumann ∂Ω2