Luận văn phương trình sai phân tuyến tính và áp dụng vào các bài toán về dãy số (tt)

i Mục lục Mở đầu Chương Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.1 Các khái niệm 3 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Khái niệm sai phân Các tính chất Khái niệm phương trình sai phân Nghiệm phương trình sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2.1 Nghiệm tổng quát phương trình với hệ số 1.2.2 Tìm nghiệm riêng với số trường hợp đặc biệt vế phải 1.2.3 Nghiệm tổng quát phương trình khơng 4 6 7 1.3 Nghiệm phương trình sai phân cấp 1.4 Phương trình tuyến tính cấp với hệ số biến thiên 1.4.1 Nghiệm tổng quát phương trình 1.4.2 Nghiệm riêng phương trình khơng 10 10 Chương Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 2.1.1 Nghiệm tổng quát phương trình với hệ số 2.1.2 Tìm nghiệm riêng phương trình khơng có vế phải đặc biệt 12 12 12 13 2.2 Nghiệm phương trình sai phân cấp hai 2.3 Các giá trị đặc trưng toán biên 16 19 Chương Áp dụng giải số toán dãy số 22 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 Mở đầu Phương trình sai phân tương tự phương trình vi phân biến số rời rạc phương trình vi phân, nhiều vấn đề sinh thái, môi trường, kinh tế, khoa học kỹ thuật dẫn đến phương trình sai phân Nói chung khơng thể tìm nghiệm xác phương trình sai phân, để tìm nghiệm gần phương trình người ta thường xấp xỉ chúng lược đồ sai phân khác chúng dẫn đến giải phương trình sai phân tương ứng Ngồi ra, nhiều dạng tốn học bậc phổ thơng cấp số, dãy số, cơng thức truy hồi, phương trình hàm v.v có liên quan mật thiết với vấn đề phương trình sai phân Ngày phương trình phương pháp sai phân lĩnh vực lớn toán học ứng dụng nhiều nhà toán học có uy tín quan tâm Nhiều vấn đề lí thuyết ứng dụng phương trình phương pháp sai phân vấn đề thời tốn học Vì vậy, việc tìm hiểu nghiên cứu sâu thêm phương trình sai phân cần thiết cho công việc học tập, giảng dạy nghiên cứu khoa học Bản luận văn nhằm giới thiệu lí thuyết phương trình sai phân cấp tuyến tính cấp 1, phương trình sai phân tuyến tính cấp số tốn phổ thơng sử dụng phương trình vi phân tuyến tính để giải Bản luận văn phần mở đầu phần kết luận có ba chương nội dung Chương trình bày khái niệm phương trình sai phân phương trình sai phân tuyến tính cấp Đối với phương trình hệ số hằng, trình bày phương pháp tìm nghiệm riêng nghiệm tổng quát Đối với phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên, trình bày cơng thức nghiệm tổng quát phương trình nhất, nghiệm riêng phương trình khơng Chương trình bày vấn đề phương trình sai phân tuyến tính cấp hai, vấn đề tìm nghiệm phương trình với hệ số hằng, giá trị đặc trưng tốn biên cho phương trình sai phân Chương giới thiệu số tốn thi vơ địch quốc gia quốc tế có liên quan đến phương trình sai phân Để hồn thành luận văn này, hướng dẫn tận tình PGS-TS Nguyễn Minh Tuấn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Tôi xin cảm ơn Trường ĐH Hồng Đức, khoa Khoa Học Tự Nhiên thầy cô giáo tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt cho tơi q trình thực luận văn Cảm ơn bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ Thanh Hóa, Ngày 20 tháng 12 năm 2013 Phan Văn Trực Chương Phương trình sai phân tuyến tính cấp Trong chương trình bày kiến thức phương trình sai phân tuyến tính cấp một, phương pháp tìm nghiệm nghiên cứu tính dao động nghiệm Nội dung chu yếu chương hình thành từ tài liệu [1], [2], [4], [6] 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Khái niệm sai phân Định nghĩa 1.1.1 cho hàm số u = u(x) xác định tập số nguyên Z = {0, ±1, ±2, } Ký hiệu S tập khác rỗng Z Với n ∈ S, ký hiệu un = u(n) Ta gọi ∆0 un = un sai phân cấp khơng, cịn ∆un = un+1 − un sai phân cấp một, ∆2 un = ∆(∆un ) = ∆un+1 − ∆un = un+2 − 2un+1 + un sai phân cấp hai hàm số un Tương tự, ta định nghĩa ∆k un = ∆(∆k−1 un) = ∆k−1un+1 − ∆k−1un sai phân cấp k hàm số un 1.1.2 Các tính chất Sai phân có tính chất Mệnh đề 1.1.2 Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số, ∆ un = k k ∑ (−1)iCki un+k−i (1.1) i=0 Mệnh đề 1.1.3 Sai phân cấp hàm số tốn tử tuyến tính, ∆k (Aun + Bvn) = A∆k un + B∆k un , k = 1, 2, (1.2) A, B số tùy ý, n ∈ S Mệnh đề 1.1.4 Sai phân cấp k đa thức bậc n :     Đa thức bậc n − k, k < n Hằng số , k = n   0, k > n Mệnh đề 1.1.5 N ∑ ∆k un = ∆k−1uN+1 − ∆k−1ua, k = 1, 2, (1.3) n=a Đặc biệt k = N ∑ ∆k un = uN+1 − ua (1.4) n=a 1.1.3 Khái niệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.6 Phương trình sai phân hệ thức sai phân cấp: F(un , ∆un , ∆2 un, , ∆k un) = 0, n ∈ S, (1.5) un hiểu sai phân cấp không hàm un , cấp lớn sai phân (cấp k) có mặt phương trình gọi cấp phương trình sai phân Trong trường hợp F hàm tuyến tính theo biến phương trình (1.5) gọi phương trình sai phân tuyến tính Sử dụng (1.1) (1.5) ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.7 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hàm un biểu thức giá trị hàm un điểm khác nhau: Lh un = a0n un+k + a1n un+k−1 + + aknun = fn , a0n.akn 6= 0, n ∈ S, (1.6) Lh ký hiệu tốn tử tuyến tính tác dụng lên hàm un, xác định bước lưới h, a0n , a1n , , akn số hàm số n gọi hệ phương trình sai phân, fn hàm n gọi vế phải, un giá trị cần tìm gọi ẩn hàm Phương trình sai phân (1.6) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng nhất, cịn phương trình Lh un = a0n un+k + a1nun+k−1 + + aknun = 0, a0n akn 6= 0, n∈S (1.7) gọi phương trình sai phân tuyến tính Nếu a0n , a1n , , akn số (không phụ thuộc vào n), phương trình (1.6), (1.7) trở thành phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 1.1.4 Nghiệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.8 Hàm số un biến n thỏa mãn phương trình sai phân (1.6) với n ∈ S gọi nghiệm phương trình sai phân (1.6) Phương trình tuyến tính co tính chất sau đây: Định lý 1.1.9 Nếu u1n , u2n , , ukn nghiệm độc lập phương trình (1.7), nghiệm tổng quát phương trình : ∼ un = C1u1n +C2u2n + +Ck ukn , C1,C2 , ,Ck số tùy ý (1.8) Định lý 1.1.10 Nghiệm tổng qt un hệ phương trình khơng ∼ tổng nghiệm riêng u∗n nghiệm tổng quát un phương trình tương ứng ∼ un = u∗n + un (1.9) Định lý 1.1.11 Phương trình tuyến tính cấp k tập S ⊂ Z có nghiệm cho trước k giá trị liên tiếp khác ẩn hàm un 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Phương trình sai phân tuyến tính cấp có dạng aun+1 + bun = fn, a.b 6= 0, n ∈ S ⊂ Z, (1.10) un ẩn, fn hàm số biết Nhận xét 1.2.1 Cấp số cộng, cấp số nhân trường hợp riêng phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2.1 Nghiệm tổng quát phương trình với hệ số Xét phương trình dạng: aun+1 + bun = 0, a.b 6= 0, Chúng ta tìm nghiệm (1.11) dạng un = qn, ta n ∈ Z (1.11) q 6= Thay vào (1.11), qn (aq + b) = Chia hai vế phương trình cho qn , ta aq + b = (1.12) Phương trình (1.12) gọi phương trình đặc trưng Từ (1.12) suy ∼ −b n q = −b a Do nghiệm tổng quát phương trình (1.11) un = α ( a ) , α số tùy ý 1.2.2 Tìm nghiệm riêng với số trường hợp đặc biệt vế phải Trong mục chúng tơi giới thiệu cách tìm nghiệm riêng phương trình khơng aun+1 + bun = fn , a.b 6= 0, n ∈ Z, với số trường hợp đặc biệt vế phải Phương trình đặc trưng phương trình aq + b = Dễ dàng chứng minh mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.2.2 a) Nếu fn đa thức bậc m n: fn = Pm (n) - Nếu q 6= u∗n = Qm (n), Qm (n) đa thức bậc m - Nếu q = u∗n = nQm (n), Qm (n) đa thức bậc m b) Nếu fn = αβ n (αβ 6= 0), u∗n dạng - Nếu q 6= β , u∗n = Cβ n - Nếu q = β , u∗n = Cnβ n c) Nếu fn = α sin nu + β cos nu, α + β 6= 0, u 6= kπ , k ∈ Z nghiệm riêng có dạng u∗n = A sin nu + B cos nu d) Nếu fn = fn1 + fn2 + + fns ta tìm nghiệm riêng có dạng u∗n dạng u∗n = u∗n1 + u∗n2 + u∗ns , với u∗nk tương ứng nghiệm fnk , k = 1, 2, , s 1.2.3 Nghiệm tổng quát phương trình khơng Chúng ta biết rằng, nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính khơng tổng nghiệm riêng nghiệm tổng quát phương trình ∼ tương ứng un = u∗n + un Trong mục ta xét số ví dụ Ví dụ 1.2.3 Giải phương trình sai phân: 3un − un+1 = n, n ∈ Z, u0 = (1.13) u0 = (1.14) Ví dụ 1.2.4 Giải phương trình sai phân: un − un+1 = n, n ∈ Z, Ví dụ 1.2.5 Giải phương trình sai phân: un+1 − 2un = 5n, n ∈ Z, u0 = (1.15) u0 = 99 (1.16) Ví dụ 1.2.6 Giải phương trình sai phân: un+1 − 5un = 5n+1, n ∈ Z, Ví dụ 1.2.7 Giải phương trình sai phân: 1 nπ un+1 = √ un − √ sin , 2 n ∈ Z, u0 = (1.17) 1.3 Nghiệm phương trình sai phân cấp Ký hiệu δkn symbol Kroneker Xét phương trình sai phân aun + bun+1 = fn (1.18) Định nghĩa 1.3.1 Nghiệm phương trình (1.18) với fn = δkn gọi nghiệm ký hiệu Gn : aGn + bGn+1 = δkn (1.19) Chúng ta mong muốn tìm nghiệm nhóm sau : 1) aGn + bGn+1 = 0, n −1 2) aG0 + bG1 = 3) aGn + bGn+1 = 0, n > Giả sử Gn = n Khi tất phương trình nhóm 1) thỏa mãn Từ 2) suy G1 = 1b Các phương trình nhóm 3) viết lại dạng hồi quy a Gn+1 = − Gn , b G1 = , b dễ dàng có a Gn = − (− )n , a b n > Vậy nghiệm phương trình (1.19) ( 0, Gn = G∗n = − 1a (− ba )n , n 0, n > (1.20) Nếu bổ sung vào (1.20) nghiệm A(− ba )n (A = cosnt) phương trình tương ứng với (1.19), ta có nghiệm tổng quát ( A(− ba )n , n 0, Gn = (1.21) (A − 1a )(− ab )n , n > Điều kiện giới nội nghiệm Từ (1.21) suy 1) Nếu | ba | = 1, với giá trị A, nghiệm giới nội, nghĩa |Gn | C, n → ±∞ 2) Nếu | ab | < 1, lim | − ba |n = +∞, nghiệm Gn không bị chặn, A 6= Nên nghiệm giới nội A = 0, trường hợp nghiệm giới nội cho công thức (1.20) 3) Nếu | ba | > 1, nghiệm giới nội nhận A − a1 = 0, suy A = a1 ( (− ba )n , n 0, a Gn = (1.22) 0, n > 1.4 Phương trình tuyến tính cấp với hệ số biến thiên Xét phương trình tuyến tính cấp với hệ số biến thiên un+1 = qnun + fn, u0 = a, n = 0, 1, 2, (1.23) qn , fn hàm n Nghiệm tổng qt phương trình sai phân khơng (1.23) ∼ ∼ un = un + u∗n, u∗n nghiệm riêng tùy ý (1.23), un nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính tương ứng un+1 = qn un (1.24) 11 Viết lại đẳng thức dạng ∆ u∗n n−1 = fn n ∏ qk ∏ qk ⇔ k=0 k=0 u∗n n−1 = ∆−1 ∏ qk fn n ∏ qk k=0 k=0 Theo cơng thức (1.26), ta có  n−1   n−1  n−1 f fi n u∗n = ∏ qk ∆−1 n = ∏ qk ∑ i i=0 k=0 k=0 ∏ qk ∏ qr k=0 (1.27) r=0 Vậy công thức nghiệm tổng quát ∼ un = un + u∗n  n−1   n−1  n−1 = C ∏ qk + ∏ qk ∑ k=0 k=0 i=0 fi i (1.28) ∏ qr r=0 Ví dụ 1.4.1 Giải phương trình sai phân un+1 − (n + 1)un = (n + 1)!, u0 = 2, Quy ước 0! = n = 0, 1, 2, 3, (1.29) 12 Chương Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Trong chương trình bày kiến thức phương trình sai phân tuyến tính cấp hai, phương pháp tìm nghiệm phương trình với hệ số hằng, nghiên cứu tính cân bằng, ổn định nghiệm, giá trị đặc trưng cho toán biên toán biên đặt tốt Nội dung chủ yếu chương hình thành từ tài liệu [1], [2], [4] 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 2.1.1 Nghiệm tổng quát phương trình với hệ số Xét phương trình aun+2 + bun+1 + cun = (2.1) Phương trình đặc trưng (2.1) aq2 + bq + c = ∼ (2.2) Ký hiệu un nghiệm tổng quát phương trình (2.1) Dễ dàng chứng minh khẳng định sau 1) Nếu phương trình đặc trưng (2.2) có hai nghiệm thực phân biệt q1 , q2 13 nghiệm tổng quát phương trình có dạng ∼ un = α qn1 + β qn2, (2.3) α , β số tùy ý 2) Nếu phương trình đặc trưng (2.2) có nghiệm kép thực q1 = q2 = q, nghiệm tổng quát phương trình có dạng ∼ un = (α + β n)qn, (2.4) α , β số tùy ý 3) Nếu phương trình đặc trưng (2.2) có nghiệm phức q1 = r(cos ϕ + i sin ϕ ), q2 = r(cos ϕ − i sin ϕ ), nghiệm tổng quát phương trình có dạng ∼ un = rn[α cos(nϕ ) + β sin(nϕ )]qn , (2.5) α , β số tùy ý Hoặc un = C1qn1 +C2qn2 = 2arn cos(nϕ + B) = Arn cos(nϕ + B), (2.6) đó, C1 = a(cos B + i sin B), C1 = a(cos B − i sin B) 2.1.2 Tìm nghiệm riêng phương trình khơng có vế phải đặc biệt Xét phương trình sai phân cấp hai không với hệ số aun+2 + bun+1 + cun = fn (2.7) Ký hiệu u∗n nghiệm riêng phương trình (2.7) Có khẳng định sau 1) Trường hợp fn = Pk (n) đa thức bậc k n - Nếu phương trình (2.2) khơng có nghiệm q = nghiệm riêng phương trình (2.7) có dạng u∗n = Qk (n), 14 Qk (n) đa thức bậc k n bậc với đa thức Pk (n) - Nếu phương trình (2.2) có nghiệm đơn q = nghiệm riêng phương trình (2.7) có dạng u∗n = nQk (n) - Nếu phương trình (2.2) có nghiệm kép q = nghiệm riêng phương trình (2.7) có dạng u∗n = n2 Qk (n) 2) Trường hợp fn = Pk (n)β n Pk (n) đa thức bậc k n - Nếu phương trình (2.2) khơng có nghiệm q = β nghiệm riêng phương trình (2.7) có dạng u∗n = Qk (n)β n, Qk (n) đa thức bậc k n bậc với đa thức Pk (n) - Nếu phương trình (2.2) có nghiệm đơn q = β nghiệm riêng phương trình (2.7) có dạng u∗n = nQk (n)β n - Nếu phương trình (2.2) có nghiệm kép q = β nghiệm riêng phương trình (2.7) có dạng u∗n = n2Qk (n)β n 3) Trường hợp fn = Pm(n) cos β n + Ql (n) sin β n, Pm (n) Ql (n) đa thức bậc m l Ký hiệu k = max {m, l} - Nếu α = cos β ±i sin β , với i2 = −1, nghiệm phương trình đặc trưng (2.2) tìm u∗n dạng u∗n = Tk (n) cos β n + Rk (n) sin β n, Tk (n), Rk (n) đa thức bậc k n - Nếu α = cos β ± i sin β , với i2 = −1, nghiệm phương trình đặc trưng (2.2) tìm u∗n dạng u∗n = nTk (n) cos β n + nRk (n) sin β n, 15 Tk (n), Rk (n) đa thức bậc k n 4) Trường hợp fn = fn1 + fn2 + + fns Ta tìm nghiệm riêng dạng u∗n = u∗n1 + u∗n2 + + u∗ns , u∗nk nghiệm riêng tương ứng với fnk với k = 1, 2, , s Điều suy từ tính tuyến tính phương trình sai phân tuyến tính Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình sai phân 2un+2 − 5un+1 + 2un = n2 − 2n + với u0 = 1, u1 = Ví dụ 2.1.2 Giải phương trình sai phân un+2 − 2un+1 + un = với u0 = 1, u1 = Ví dụ 2.1.3 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân un+2 = −4un+1 + 5un + 12n + Ví dụ 2.1.4 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân sau: un+2 − 10un+1 + 25un = (n + 2).5n+1 Ví dụ 2.1.5 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân sau: 2un+2 + 5un+1 + 2un = (35n + 51)3n Ví dụ 2.1.6 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân un+2 − 16un+1 + 64un = 128.8n Ví dụ 2.1.7 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân π π un+2 − cos un+1 + un = n sin 4 Ví dụ 2.1.8 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân un+2 − 3un+1 + 2un = (n − 2) cos nπ nπ + 3(n + 1) sin 2 16 2.2 Nghiệm phương trình sai phân cấp hai Xét phương trình sai phân aun−1 + bun + cun+1 = δ0n, n∈Z (2.8) δ0n kí hiệu Kronecker Nghiệm phương trình (2.8) gọi nghiệm thường kí hiệu Gn Như vậy, ta có aGn−1 + bGn + cGn+1 = δ0n, n∈Z Chúng ta tìm nghiệm bị chặn, nghĩa nghiệm bị chặn nhóm sau đây: aGn−1 +bGn +cGn+1 = 0, n −1, aG−1 +bG0 +cG1 = 1, aGn−1 + bGn + cGn+1 = 0, n > −1 Phương trình đặc trưng phương trình 2.8 cq2 + bq + a = (2.9) Ký hiệu q1, q2 nghiệm phương trình đặc trưng (2.9) xét trường hợp sau nghiệm Trường hợp nghiệm phân biệt: Chúng ta trường hợp nghiệm phân biệt q1 6= q2 Trong trường hợp nghiệm tổng quát phương trình có dạng un = α qn1 + β qn2 Bởi vậy, nghiệm Gn phương trình nhóm 1) nhóm 3) tương ứng có dạng Gn = α ′ qn1 + β ′qn2 , n 0, Gn = α ′′ qn1 + β ′′qn2 , n > Xét trường hợp sau |q1| 6= |q2 |, a) |q1| < 1, |q2 | > 1; b) |q1 | < 1, |q2| < 1; c) |q1| > 1, |q2 | < 1; |q1| 6= 1, |q2 | 6= 1: 17 d) |q1 | > 1, |q2| > a) Từ điều kiện bị chặn Gn n → −∞ suy α ′ = n → +∞ suy β ′′ = Vậy ( β ′qn2 , n Gn = α ′′ qn1 , n > Khi n = 0, công thức cuối phải cho giá trị G0 Suy β ′ = α ′′ Chúng ta chọn β ′ từ việc thỏa mãn phương trình nhóm 2) ′ ′ αβ ′ q−1 + bβ + cβ q1 = 1, β′ = aq−1 + b + cq Mẫu số phân số khác khơng aq2−1 + b + cq1 = aq−1 + b + cq2 + c(q1 − q2 ) = c(q1 − q2 ) 6= Vậy Gn = ( n c(q1 −q2 ) q2 , qn , c(q1 −q2 ) n 0, n > (2.10) b) Từ tính bị chặn Gn n → −∞, suy α ′ = β ′, ( 0, n 0, Gn = α ′′ qn1 + β ′′qn2, n > Từ điều kiện G0 = 0, suy α ′′ = −β ′′ Hệ số α ′′ chọn cho phương trình nhóm 2) thỏa mãn α ′′ = c(q1 − q2) Vậy, nghiệm riêng bị chặn trường hợp b) ( 0, n 0, Gn = n n n > c(q1 −q2 ) (q1 , −q2 ), c) Tương tự trường hợp a), ta có ( Gn = qn1 , c(q2 −q1 ) n q2 c(q2 −q1 ) , n 0, n > (2.11) (2.12) 18 d) Tương tự trường hợp b), ta có   −11 −1 (qn − qn), Gn = a(q1 −q2 ) 0, n n > q2 −q1 q2 −q1 −1 Chú ý a(q−1 − q2 ) = a q1 q2 = a a/c = c(q2 − q1 ) Suy ( n n n c(q2 −q1 ) (q1 , −q2 ), Gn = 0, n > (2.13) Trường hợp nghiệm bội q1 = q2 = q Trong trường hợp nghiệm phương trình có dạng un = (α + β n)qn Bởi vậy, nghiệm Gn phương trình nhóm 1) nhóm 3) tương ứng có dạng Gn = (α ′ + β ′n)qn , n60 Gn = (α ′′ + β ′′n)qn, n > Xét trường hợp |q1| = |q2 | = |q| 6= a) Khi |q| < 1, từ điều kiện bị chặn Gn , n → −∞ ⇒ (α ′ + β ′n) = ( 0, n 0, Gn = (α ′′ + β ′′n)qn , n > Từ nhóm 2) với n = nên G0 = = (α ′′ + β ′′0)q0 suy α ′′ = 0, ta có aG−1 + bG0 + cG1 = ⇔ + + c(α ′′ + β ′′1)q = ⇔ cβ ′′q = ⇔ β ′′ = cq Vậy ( 0, n 0, Gn = n−1 (2.14) q , n > c b) Khi |q| > 1, tương trường hợp a), ta có ( − a1 nqn+1, n 0, Gn = 0, n > Do q2.q2 = q2 = ac , nên ta có ( − 1c nqn−1, Gn = 0, n 0, n > (2.15) 19 Như vậy, xem xét tất khả liên quan đến trường hợp |q1| 6= 1, |q2 | 6= 1, a 6= 0, c 6= thấy nghiệm giới nội tồn Nhận xét 2.2.1 Từ kết nhận trên, ta thấy nghiệm bị chặn có tính chất sau: |Gn | G|n|r ρ |n| , G > 0, < ρ < 1, (2.16) r = phương trình đặc trưng (2.9) có hai nghiệm thực phân biệt, r = phương trình đặc trưng (2.9) có ngghiệm kép Trong trường hợp chọn số ρ số tùy ý thỏa mãn điều kiện   1 ) ρ > max min(|q1 |; ); min(|q2 |, q1 |q2 | 2.3 Các giá trị đặc trưng toán biên Xét phương trình sai phân un+2 − (2 − α )un+1 + un = 0, n = 0, 1, 2, , N − (2.17) điều kiện u0 = 0, uN+1 = 0, (2.18) 4α = const tham số Đặt tốn giá trị biên sau : Tìm tất nghiệm khơng tầm thường tốn (2.17) thỏa mãn điều kiện (2.18), nghiệm tầm thường tốn đồng khơng với giá trị k Định lý nghiệm không tầm thường áp dụng điều kiện ẩn hàm un không cho hai giá trị liên tiếp Do tồn nghiệm khơng tầm thường tốn phát biểu Có thể gọi điều kiện (2.18) điều kiện biên phương trình sai phân (2.17) Xét phương trình đặc trưng q2 − (2 − α )q + = (2.19) = α (α − 4) Do Biệt thức phương trình (2.19) ∆ = (2 − α )2 − p phương trình có nghiệm q1,2 = [(2 − α ) ± α (α − 4)] Xét 20 trường hợp sau biệt thức ∆ / [0, 4] Trong trường hợp phương trình đặc * Trường hợp ∆ > ⇔ α ∈ trưng có hai nghiệm phân biệt q1, q2, nghiệm tổng quát phương trình có dạng un = C1qn1 +C2qn2 Với điều kiện biên thứ : u0 = ⇔ u0 = C1 +C2 = ⇔ C2 = −C1, ta có un = C1(qn1 − qn2) Với điều kiện biên thứ hai : uN+1 = ⇔ uN+1 = C1(q1N+1 − q2N+1) = Giả sử q1N+1 − q2N+1 = suy |q1| = |q2|, mà q1.q2 = ⇔ q1 = q2 = q1 = q2 = −1 Nhưng giả thiết α 6= 0, α 6= nên q1, q2 nghiệm thực phân biệt q1N+1 − q2N+1 6= 0, suy C1 = ta có nghiệm tầm thường *Trường hợp ∆ < ⇔ α = α = Trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép q1 = q2 nên nghiệm tổng quát phương trình có dạng un = (C1 +C2n)qn1 Từ điều kiện biên (2.18) suy C1 = C2 = Do un nghiệm tầm thường * Trường hợp ∆ < ⇔ α ∈ (0, 4) Trong trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp q1 = cos ϕ + i sin ϕ , q2 = cos ϕ − i sin ϕ Từ (2.6) nghiệm tổng quát phương trình sai phân có dạng un = A cos(nϕ + B), A, B số tùy ý xác định điều kiện biên (2.18) Điều kiện biên thứ : u0 = ⇔ u0 = A cos(0ϕ + B) = A cos B = Vì nghiệm nghiệm khơng tầm thường nên A 6= 0, chọn B = π2 , ta có un = A cos(nϕ + π2 ), hay un = −A sin ϕ (2.20) Điều kiện biên thứ hai: uN+1 = ⇔ uN+1 = −A sin(N + 1)ϕ = ⇒ sin(N + kπ 1)ϕ = Ta chọn (N + 1)ϕ = kπ hay ϕ = N+1 , k ∈ N Giá trị k = 0, k = N + phải bỏ qua không lấy đưa đến nghiệm tầm thường Ta định nghĩa ϕ = ϕk = kπ , N +1 k = 1, 2, , N (2.21) 21 Với giá trị k = 1, 2, , N (2.21) Từ (2.20), với A = −1, ta có (k) nghiệm un không tầm thường xác định công thức (k) un = un = sin knπ , N +1 k = 1, 2, , N (2.22) Ta có q1 + q2 = cos ϕ Mặt khác theo công thức Viet, ta lại có q1 + q2 = − α Do − α = cos ϕ ⇒ α = 2(1 − cos ϕ ) = 2.2 sin2 ϕ ϕ ⇔ α = sin2 2 Đặt α = αk tương ứng với ϕ = ϕk , ta có αk = sin2 kπ , 2(N + 1) k = 1, 2, , N (2.23) Giá trị αk xác định công thức (2.23) ứng với nghiệm khơng tầm thường tốn gọi giá trị đặc trưng toán Nghiệm không tầm thường tương ứng gọi hàm đặc trưng Như vậy, nhận kết sau Định lý 2.3.1 Cho phương trình sai phân bậc hai un+2 − (2 − α )un+1 + un = 0, n = 0, 1, 2, , N − 1, điều kiện biên u0 = 0, uN+1 = xác định N giá trị đặc trưng α cho công thức αk = sin2 kπ , 2(N + 1) k = 1, 2, , N Với α = αk hàm đặc trưng tương ứng u(k) cho công thức (k) un = sin knπ , N +1 k = 1, 2, , N 22 Chương Áp dụng giải số toán dãy số Trong chương chúng tơi giới thiệu số tốn dãy số, cấp số, phương trình hàm v.v mà ứng dụng phương trình sai phân để giải Nội dung chủ yếu trang hình thành từ tài liệu [1], [2], [3] Ví dụ 3.1 Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn f ( f (x)) = f (x) − 3x, với ∀x ∈ R (3.1) Ví dụ 3.2 (Dự tuyển IMO 1992) Giả sử a, b hai số thực dương Tìm tất hàm f : [0, +∞ → +∞ thỏa mãn đẳng thức : f ( f (x)) + a f (x) = b(a + b)x (3.2) Ví dụ 3.3 Tìm tất hàm f xác định N thỏa mãn điều kiện sau ( f (n) f (k + n) − f (k − n) = f (n) f (k), (k ≥ n), f (1) = Ví dụ 3.4 (Đề thi vơ địch Quốc tế 1982) f hàm số xác định cặp (x, y) nguyên không âm thỏa mãn tính chất sau : 1) f (0, y) = y + 1, 2) f (x + 1, 0) = f (x, 1), 3) f (x + 1, y + 1) = f (x, f (x + 1, y)) 23 Tìm f (4, 1981) Ví dụ 3.5 (Đề thi học sinh giỏi Việt Nam 1985) Gọi M tập tất hàm số f xác định với số nguyên nhận giá trị thỏa mãn tính chất sau : 1) Với số nguyên x y f (x) f (y) = f (x + y) + f (x − y) 2) f (0) = Tìm tất hàm f thuộc M cho f (1) = 25 Ví dụ 3.6 (Đề thi học sinh giỏi Nga 1990) Cho x1 = 0, xn+1 = Tính x1000 Ví dụ 3.7 Tính tổng sau n (xn + 1), với ∀n ∈ N n+1 (3.3) n 1) S1 = 1.1! + 2.2! + n.n! = ∑ k.k! n k=1 2) S2 = ∑ (k2 + k + 1).k! k=1 n 3) S3 = ∑ sin kx k=1 n 4) S4 = ∑ cos kx k=1 Ví dụ 3.8 (HSG - Anh 1980) Tìm tất dãy số (an ) thỏa mãn an+1 = 2n − 3an an dãy số tăng 24 Kết luận Luận văn giới thiệu kiến thức phương trình sai phân Các kết gồm có : 1) Trình bày sở lý thuyết phương trình sai phân, đặc biệt phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp hai 2) Giới thiệu phương pháp tìm nghiệm phương trình sai phân vế phải phương trình có dạng đặc biệt 3) Trình bày đặc trưng tốn biên 4) Sử dụng phương trình sai phân để giải số đề thi vô địch quốc gia quốc tế 25 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB GD, Hà nội [2] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Phan Văn Hạp (2001) Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB GD Hà Nội [3] Hội nghị khoa học, Ba mươi năm Việt Nam tham dự Olympic toán quốc tế, Hà Nội (2005) [4] S Golberg (1960), Introducetion to Difference Equation, the United states of America [5] M Oguzata (2002), Difference Equation, Cankaya University Department of Mathematics and Computer Siciences [6] N Parhi (2000), Oscillation of first order difference equation, Proc Indian Acad Sci (Math Sci.), Vol 110, No 2, May, pp 147 - 155 [7] S Stevic’ (2004), More On A Rational Recurrence Relation, Applied Mathematics E - Notes, pp 80 - 84