Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch minimax không khả vi và áp dụng

32 Trang 3 Danh mục ký hiệuR trường số thựcR tập số thực suy rộngR+ tập số thực không âmRm+ nón orthant không âm của Rm∅ tập rỗng∀ x với mọi x∃ x tồn tại xM ∩ N giao của hai tập hợp M v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƯƠNG THỊ NGẦN ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH MINIMAX KHÔNG KHẢ VI VÀ ÁP DỤNG Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1 TS DƯƠNG THỊ VIỆT AN 2 TS VŨ THỊ HƯỚNG THÁI NGUYÊN - 2024 Mục lục Mở đầu 4 Lời cảm ơn 7 Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Nón pháp tuyến qua giới hạn 8 1.2 Dưới vi phân qua giới hạn 13 1.3 Một số kết quả bổ trợ 16 1.4 Bài toán tối ưu minimax 18 Chương 2.Điều kiện cần và đủ tối ưu 21 2.1 Điều kiện cần tối ưu 21 2.2 Điều kiện đủ tối ưu 24 2.3 Áp dụng vào bài toán tối ưu đa mục tiêu 28 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 1 Danh mục ký hiệu R trường số thực tập số thực suy rộng R tập số thực không âm R+ nón orthant không âm của Rm Rm tập rỗng với mọi x + tồn tại x giao của hai tập hợp M và N ∅ giá trị tuyệt đối của x ∀x chuẩn của véctơ x ∃x phần trong của tập A M ∩N xk hội tụ đến x¯ và xk > x¯ |x| infimum của tập số thực {f (x) | x ∈ K} ||x|| int A trên đồ thị của hàm f xk ↓ x¯ miền xác định của hàm f inf f (x) đạo hàm Fréchet của f tại x¯ dưới vi phân Fréchet của φ tại x x∈K dưới vi phân qua giới hạn của φ tại x epi f dom f ∇f (x¯) ∂φ(x) ∂φ(x) 2 ⟨x∗, x⟩ giá trị của phiếm hàm x∗ tại x N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x N (x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x Ω◦ nón cực của tập Ω F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y dom F miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị F gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F 3 Mở đầu Các bài toán tối ưu hoá, trong đó cả quá trình tối thiểu hóa và tối đa hóa đều được thực hiện, được biết đến trong lĩnh vực tối ưu toán học là các bài toán quy hoạch minimax Loại bài toán tối ưu này được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết về xấp xỉ tốt nhất của Chebyshev, tối ưu hóa đa mục tiêu, lý thuyết trò chơi Theo như Demyanov và Malozemov trong cuốn sách [4], bài toán quy hoạch minimax có thể được phân thành hai loại cơ bản sau: bài toán minimax rời rạc và bài toán minimax liên tục Phép tính gần đúng tốt nhất theo nghĩa của Chebyshev là một bài toán quy hoạch minimax rời rạc không trơn (xem [4, tr 1]), trong khi đó, trò chơi ma trận dẫn đến một bài toán quy hoạch minimax liên tục (xem [4, tr 3]) Cho X là một không gian định chuẩn, xét bài toán tối ưu tổng quát min{f (x) | x ∈ X}, ở đó f : X → R là hàm khả vi liên tục Để giải bài toán tối ưu này, người ta phải dựa vào điều kiện tối ưu Trong các bài toán tối ưu, điều kiện tối ưu bậc nhất (Quy tắc Fermat) thường đóng vai trò là các điều kiện cần cực trị Quy tắc Fermat cho ta một tiêu chuẩn xác định những điểm có khả năng đạt cực trị của một hàm số Một điểm x thỏa mãn quy tắc Fermat, tức là ∇f (x) = 0, được gọi là một điểm dừng Đối với một bài toán tổng quát (không lồi) thì quy tắc Fermat không đủ để ta nhận biết 4 một điểm dừng có là điểm cực trị của bài toán hay không Khi đó ta cần thêm các thông tin chẳng hạn như điều kiện đủ, điều kiện tối ưu bậc hai hay các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán để đưa ra kết luận Như chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích cổ điển, ngay cả trong R có nhiều hàm f không khả vi tại điểm x nào đó thuộc khoảng (a; b) Khi đó ta không thể dùng các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu như đối với các hàm khả vi Những năm 80 của thế kỷ XX, Mordukhovich đã xây dựng lý thuyết vi phân cho lớp hàm không lồi cùng với các ứng dụng quan trọng của nó trong quy hoạch toán học và điều khiển tối ưu (xem cuốn sách chuyên khảo [5]) Lý thuyết vi phân của ông cho đến nay vẫn đang tiếp tục được phát triển và đưa đến những thành quả mới Cho Ω là một tập con khác rỗng của X, và các tập chỉ số K = {1, , m}, I = {1, , n} ∪ ∅ và J = {1, , l} ∪ ∅ Trong đề án này chúng tôi nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán minimax rời rạc không khả vi có dạng min max{fk(x) | x ∈ C, k ∈ K}, (P) xk ở đó tập C được xác định bởi C := {x ∈ Ω | gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈ J}, và các hàm fk, k ∈ K, gi, i ∈ I, và hj, j ∈ J là các hàm cho trước Mục đích của đề án là nghiên cứu các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán (P) bằng cách sử dụng khái niệm dưới vi phân qua giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) cùng các quy tắc tính toán thích hợp theo nội dung của bài báo [3] trong danh mục tài liệu tham khảo của đề án Đề án gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, và hai chương có nội dung như sau: 5 Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị" trình bày các kiến thức về nón pháp tuyến qua giới hạn, dưới vi phân qua giới hạn, phát biểu bài toán tối ưu minimax và một số kết quả bổ trợ Chương 2 "Điều kiện cần và đủ tối ưu", trong chương này, chúng tôi trình bày có hệ thống các kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu mininmax rời rạc không khả vi Phần cuối của chương trình bày các kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 6 Lời cảm ơn Đề án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Dương Thị Việt An và TS Vũ Thị Hướng Trong quá trình thực hiện đề án cũng như trong quá trình học cao học, em đã nhận được sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tâm của Cô Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô đã hướng dẫn hiệu quả và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình em học tập và hoàn thiện đề án này Ngoài ra, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo, cán bộ, nhân viên của Khoa Toán - Tin nói riêng và Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên nói chung đã tận tình dạy dỗ và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình em học tập ở trường Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến khích và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và quá trình thực hiện đề án này Thái Nguyên, ngày tháng 01 năm 2024 Học viên Dương Thị Ngần 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm nón pháp tuyến qua giới hạn, dưới vi phân qua giới hạn và một số kết quả bổ trợ phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính ở chương sau Phần cuối của chương chúng tôi phát biểu bài toán tối ưu minimax Nội dung của chương được tham khảo trong các cuốn sách [1, Chương 4], [5] và trong bài báo [3] Cho X là không gian Banach, không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X được kí hiệu là X∗ 1.1 Nón pháp tuyến qua giới hạn Cho X và Y là các không gian Banach và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y Đồ thị gph F và miền hữu hiệu dom F của ánh xạ F được xác định bởi các công thức sau gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)} dom F := {x ∈ X | F (x)̸ = ∅}, Được trang bị bởi chuẩn ∥(x, y)∥ := ∥x∥ + ∥y∥, không gian tích X × Y là một không gian Banach 8 Cho X là không gian Banach, X∗ là không gian đối ngẫu của X Với ánh xạ đa trị F : X ⇒ X∗ được cho tùy ý, ta ký hiệu Limsupx→x¯ F (x) := ∗ ∗ ∗ w∗ ∗ x ∈ X | ∃ xk → x¯, xk −→ x , x∗k ∈ F (xk) ∀k = 1, 2, được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski trong tôpô chuẩn của X và tôpô yếu∗ (được ký hiệu bằng chữ w∗) của X∗ Ở đây, ký hiệu x∗k w∗ x∗ được dùng để chỉ sự hội tụ yếu∗ của dãy −→ {x∗k} ⊂ X∗ tới phần tử x∗ ∈ X∗ Ta có x∗k w∗ x∗ khi và chỉ khi −→ lim ⟨x∗k, u⟩ = ⟨x∗, u⟩, ∀u ∈ X k→∞ Ω Với Ω ⊂ X là một tập cho trước, ký hiệu x −→ x¯ có nghĩa là x → x¯ và x ∈ Ω Định nghĩa 1.1 (Xem [5, tr 4 ]) Cho Ω là tập con khác rỗng của X (i) Với x ∈ Ω và ε ≥ 0, tập các véctơ ε-pháp tuyến (ε-normals) của Ω tại x được cho bởi Nε(x; Ω) := x∗ ∈ X∗ | lim sup ⟨x∗, u − x⟩ ≤ ε Ω ||u − x|| u−→x Với ε = 0, tập hợp N (x; Ω) := N0(x; Ω) được gọi là nón pháp tuyến Fréchet (Fréchet normal cone) của Ω tại x Trong trường hợp x̸ ∈ Ω thì ta đặt Nε(x; Ω) = ∅ với mọi ε ≥ 0 (ii) Cho x¯ ∈ Ω Tập hợp N (x¯; Ω) := Limsup Ω Nε(x; Ω), x−→x¯ ε↓0 được gọi là nón pháp tuyến Mordukhovich (Mordukhovich normal cone) hay nón pháp tuyến qua giới hạn (limiting normal cone) của Ω tại x¯ Ta quy ước N (x¯; Ω) = ∅ với x¯̸ ∈ Ω 9 trong đó tập hợp C được xác định bởi C := {x ∈ Ω | gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈ J}, (1.2) ở đó các hàm fk, k ∈ K, gi, i ∈ I, hj, j ∈ J là Lipschitz địa phương trên X Trong toàn bộ đề án, chúng tôi sử dụng ký hiệu f := (f1, , fm), g := (g1, , gn), và h := (h1, , hℓ) Định nghĩa 1.4 Cho φ(x) := max fk(x), x ∈ X Một điểm x¯ ∈ C được k∈K gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x¯ sao cho φ(x¯) ≤ φ(x), ∀x ∈ U ∩ C (1.3) Nếu bất đẳng thức trong (1.3) đúng với mọi x ∈ C, thì x¯ được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục (hay đơn giản là nghiệm tối ưu) của bài toán (P) Với x¯ ∈ Ω, ta đặt I(x¯) := {i ∈ I | gi(x¯) = 0}, J(x¯) := {j ∈ J | hj(x¯) = 0} Định nghĩa 1.5 Ta nói điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x¯ ∈ Ω nếu không tồn tại βi ≥ 0, i ∈ I(x¯), γj ≥ 0, j ∈ J(x¯), sao cho βi + γj̸ = 0 i∈I (x¯) j ∈J (x¯) và 0∈ βi∂gi(x¯) + γj ∂hj(x¯) ∪ ∂(−hj)(x¯) + N (x¯; Ω) (1.4) i∈I (x¯) j ∈J (x¯) Nhận xét 1.5 Nếu ta xét C = {x ∈ X | gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈ J}, 19