Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch minimax không khả vi và áp dụng

32 Trang 3 Danh mục ký hiệuR trường số thựcR tập số thực suy rộngR+ tập số thực không âmRm+ nón orthant không âm của Rm∅ tập rỗng∀ x với mọi x∃ x tồn tại xM ∩ N giao của hai tập hợp M v

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

DƯƠNG THỊ NGẦN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO

BÀI TOÁN QUY HOẠCH MINIMAX KHÔNG KHẢ VI VÀ ÁP DỤNG

Mục lục

Mở đầu 4

Lời cảm ơn 7

Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Nón pháp tuyến qua giới hạn 8

1.2 Dưới vi phân qua giới hạn 13

1.3 Một số kết quả bổ trợ 16

1.4 Bài toán tối ưu minimax 18

Chương 2.Điều kiện cần và đủ tối ưu 21

2.1 Điều kiện cần tối ưu 21

2.2 Điều kiện đủ tối ưu 24

2.3 Áp dụng vào bài toán tối ưu đa mục tiêu 28

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

M ∩ N giao của hai tập hợp M và N

|x| giá trị tuyệt đối của x

||x|| chuẩn của véctơ x

intA phần trong của tập A

xk ↓ ¯x xk hội tụ đến x¯ và xk > ¯x

inf

x∈Kf (x) infimum của tập số thực {f (x) | x ∈ K}epi f trên đồ thị của hàm f

dom f miền xác định của hàm f

∇f (¯x) đạo hàm Fréchet của f tại x¯

b

∂φ(x) dưới vi phân Fréchet của φ tại x

∂φ(x) dưới vi phân qua giới hạn của φ tại x

⟨x∗, x⟩ giá trị của phiếm hàm x∗ tại x

b

N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x

N (x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x

Ω◦ nón cực của tập Ω

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

dom F miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị F

gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F

Mở đầu

Các bài toán tối ưu hoá, trong đó cả quá trình tối thiểu hóa và tối

đa hóa đều được thực hiện, được biết đến trong lĩnh vực tối ưu toán học

là các bài toán quy hoạch minimax Loại bài toán tối ưu này được ứngdụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết về xấp xỉ tốt nhấtcủa Chebyshev, tối ưu hóa đa mục tiêu, lý thuyết trò chơi

Theo như Demyanov và Malozemov trong cuốn sách [4], bài toán quyhoạch minimax có thể được phân thành hai loại cơ bản sau: bài toánminimax rời rạc và bài toán minimax liên tục Phép tính gần đúng tốtnhất theo nghĩa của Chebyshev là một bài toán quy hoạch minimax rờirạc không trơn (xem [4, tr 1]), trong khi đó, trò chơi ma trận dẫn đếnmột bài toán quy hoạch minimax liên tục (xem [4, tr 3])

Cho X là một không gian định chuẩn, xét bài toán tối ưu tổng quát

min{f (x) | x ∈ X},

ở đó f : X → R là hàm khả vi liên tục Để giải bài toán tối ưu này, người

ta phải dựa vào điều kiện tối ưu Trong các bài toán tối ưu, điều kiệntối ưu bậc nhất (Quy tắc Fermat) thường đóng vai trò là các điều kiệncần cực trị Quy tắc Fermat cho ta một tiêu chuẩn xác định những điểm

có khả năng đạt cực trị của một hàm số Một điểm x thỏa mãn quy tắcFermat, tức là ∇f (x) = 0, được gọi là một điểm dừng Đối với một bàitoán tổng quát (không lồi) thì quy tắc Fermat không đủ để ta nhận biết

một điểm dừng có là điểm cực trị của bài toán hay không Khi đó ta cầnthêm các thông tin chẳng hạn như điều kiện đủ, điều kiện tối ưu bậc haihay các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán để đưa ra kết luận.Như chúng ta đã biết trong giáo trình giải tích cổ điển, ngay cả trong R

có nhiều hàm f không khả vi tại điểm x nào đó thuộc khoảng (a; b) Khi

đó ta không thể dùng các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưunhư đối với các hàm khả vi Những năm 80 của thế kỷ XX, Mordukhovich

đã xây dựng lý thuyết vi phân cho lớp hàm không lồi cùng với các ứngdụng quan trọng của nó trong quy hoạch toán học và điều khiển tối ưu(xem cuốn sách chuyên khảo [5]) Lý thuyết vi phân của ông cho đến nayvẫn đang tiếp tục được phát triển và đưa đến những thành quả mới.Cho Ω là một tập con khác rỗng của X, và các tập chỉ số K ={1, , m}, I = {1, , n} ∪ ∅ và J = {1, , l} ∪ ∅ Trong đề án này chúngtôi nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán minimax rời rạc khôngkhả vi có dạng

Đề án gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,

và hai chương có nội dung như sau:

Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị" trình bày các kiến thức về nón pháptuyến qua giới hạn, dưới vi phân qua giới hạn, phát biểu bài toán tối ưuminimax và một số kết quả bổ trợ.

Chương 2 "Điều kiện cần và đủ tối ưu", trong chương này, chúng tôitrình bày có hệ thống các kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho bàitoán tối ưu mininmax rời rạc không khả vi Phần cuối của chương trìnhbày các kết quả về điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán tối ưu đamục tiêu

Cô Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Cô đã hướng dẫn hiệu quả

và truyền cho em những kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình em họctập và hoàn thiện đề án này

Ngoài ra, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo, cán

bộ, nhân viên của Khoa Toán - Tin nói riêng và Trường Đại học Khoahọc, Đại học Thái Nguyên nói chung đã tận tình dạy dỗ và tạo điều kiệnthuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình em học tập ở trường

Nhân dịp này, em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã độngviên, khuyến khích và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập vàquá trình thực hiện đề án này

Thái Nguyên, ngày tháng 01 năm 2024

Học viên

Dương Thị Ngần

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi nhắc lại các khái niệm nón pháp tuyến quagiới hạn, dưới vi phân qua giới hạn và một số kết quả bổ trợ phục vụ choviệc chứng minh các kết quả chính ở chương sau Phần cuối của chươngchúng tôi phát biểu bài toán tối ưu minimax Nội dung của chương đượctham khảo trong các cuốn sách [1, Chương 4], [5] và trong bài báo [3].Cho X là không gian Banach, không gian liên hợp (không gian đốingẫu) của X được kí hiệu là X∗

1.1 Nón pháp tuyến qua giới hạn

Cho X và Y là các không gian Banach và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y

Đồ thị gph F và miền hữu hiệu dom F của ánh xạ F được xác định bởicác công thức sau

gph F := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)}

dom F := {x ∈ X | F (x) ̸= ∅},

Được trang bị bởi chuẩn ∥(x, y)∥ := ∥x∥ + ∥y∥, không gian tích X × Y

là một không gian Banach

Cho X là không gian Banach, X∗ là không gian đối ngẫu của X Vớiánh xạ đa trị F : X ⇒ X∗ được cho tùy ý, ta ký hiệu

k→∞⟨x∗k, u⟩ = ⟨x∗, u⟩, ∀u ∈ X

Với Ω ⊂ X là một tập cho trước, ký hiệu x −→ ¯Ω x có nghĩa là x → ¯x và

x ∈ Ω

Định nghĩa 1.1 (Xem [5, tr 4 ]) Cho Ω là tập con khác rỗng của X

(i) Với x ∈ Ω và ε ≥ 0, tập các véctơ ε-pháp tuyến (ε-normals) của

Ω tại x được cho bởi

Định nghĩa 1.2 (Xem [5, tr 196]) Không gian Banach X được gọi làkhông gian Asplund nếu mọi hàm lồi, liên tục φ : U →R xác định trên

một tập con lồi mở U của X là khả vi Fréchet trên một tập con trù mậtcủa U

Trên đây là định nghĩa của không gian Asplund, tuy nhiên ta hay dùngcác kết quả sau

Nhận xét 1.1 Các tính chất sau nghiệm đúng (xem [5, tr 196]):(i) Mọi không gian Banach phản xạ đều là không gian Asplund

(ii) Mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet tại nhữngđiểm khác 0, đều là không gian Asplund

Từ giờ trở đi, nếu không nói gì thêm thì ta hiểu các không gian đượcxét là các không gian Asplund

Nhận xét 1.2 (Xem [1, Nhận xét 4.2.2]) Nếu X là không gian Asplund

và nếu Ω là tập đóng địa phương trong lân cận điểmx¯ (tức là tồn tại hìnhcầu đóng tâm tại x¯ với bán kính dương có giao với Ω là một tập đóngtrong X), thì

Mệnh đề 1.1 (Xem [5, tr 6]) Cho Ω là tập lồi Khi đó, tập bN (¯x; Ω)

trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi, tức là

b

N (¯x; Ω) = {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, x − ¯x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ Ω}

Mệnh đề 1.2 (Xem [5, tr 7]) Cho Ω là tập con của X và x ∈ Ω¯ Nếu

Ω là lồi địa phương xung quanh x¯, tức là tồn tại một lân cận U của x¯

sao cho Ω ∩ U là lồi thì khi đó tập N (¯x; Ω) trùng với nón pháp tuyếntheo nghĩa giải tích lồi, tức là

Do đó, x∗ ≥ 0 Vậy x∗ = 0 Do tính chất đối xứng của x∗ và y∗ ta cũng

có y∗ = 0 Ngược lại, với (x∗, y∗) = (0, 0) thì (1.1) được thỏa mãn Vậyb

{(a, a) | a ≤ 0} nếu x = −y

Khi đó,

N ((¯x, ¯y); Ω) = Limsup(x,y)→(0,0)N ((x, y); Ω)b

= {(x∗, y∗) ∈R2 | y∗ = −|x∗|}

1.2 Dưới vi phân qua giới hạn

Xét hàm φ : X → R nhận giá trị trong tập số thực suy rộng, ở đó

R := [−∞, +∞] Ta nóiφ là chính thường (proper) nếu nhưφ(x) > −∞

với mọi x ∈ X, và miền hữu hiệu (domain)

Sau đây, ký hiệu x −→ ¯φ x có nghĩa là x → ¯x và φ(x) → φ(¯x)

Định nghĩa 1.3 (Xem [5, tr 82]) Cho hàm số φ : X → R và x ∈ X¯

được gọi là dưới vi phân Fréchet (Fréchet subdifferential) của φ tại x¯

Ta quy ước b∂φ(¯x) := ∅ nếu |φ(¯x)| = ∞

(ii) Tập hợp

∂φ(¯x) := {x∗ ∈ X∗ | (x∗, −1) ∈ N ((¯x, φ(¯x)); epi φ)}

được gọi là dưới vi phân Mordukhovich (Mordukhovich subdifferential)hay dưới vi phân qua giới hạn (limiting subdifferential) của φ tại x¯.Trong trường hợp |φ(¯x)| = ∞, ta quy ước rằng tập ∂φ(¯x) là rỗng.Nhận xét 1.4 (i) (Xem [5, tr 90]) Dưới vi phân Fréchet của φ tại x¯

có thể được biểu diễn dưới dạng

(ii) Bao hàm thức b∂φ(¯x) ⊂ ∂φ(¯x) đúng với mọi Ω ⊂ X và x ∈ Ω.¯

(iii) (Xem [5, tr 95]) Nếu φ là hàm lồi thì

b

∂φ(¯x) = ∂φ(¯x) = {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, x − ¯x⟩ ≤ φ(x) − φ(¯x), ∀x ∈ X},

tức là dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich của φ tại

¯

x trùng với dưới vi phân của φ tại x¯ theo nghĩa Giải tích lồi

Nhắc lại rằng ánh xạ φ : X → Y được gọi là khả vi Fréchet (Fréchetdifferentiable) tại x ∈ X¯ nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục

∇φ(¯x) : X → Y, gọi là đạo hàm Fréchet của φ tại x¯, sao cho

φ(x) − φ(u) − ∇φ(¯x)(x − u)

||x − u|| = 0.

Từ định nghĩa, nếu φ khả vi chặt tại một điểm nào đó, thì φ phải khả

vi Fréchet tại điểm đó Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng, tức là cónhững hàm số khả vi Fréchet mà không khả vi chặt (xem [5, tr 19])

Chú ý rằng mọi ánh xạ khả vi chặt tạix¯là liên tục Lipschitz (Lipschitzcontinuous) xung quanh x¯, hay còn gọi là Lipschitz địa phương (locallyLipschitzian) xung quanh x¯, tức là tồn tại một lân cận U của x¯ và mộthằng số l > 0 sao cho

Ta xét một số ví dụ đơn giản tính toán dưới vi phân Fréchet và dưới

vi phân Mordukhovich sau

Ví dụ 1.3 Cho hàm φ : R → R được xác định bởi φ(x) = |x| Trongtrường hợp này φ là hàm lồi Xét tại x = 0¯ , ta có

Trong phần cuối mục này, chúng ta trình bày mối liên hệ giữa nónpháp tuyến và dưới vi phân thông qua hàm chỉ.

Cho Ω là một tập con khác rỗng của X Hàm nhận giá trị thực suyrộng δ(·; Ω) : X → R với

được gọi là hàm chỉ (indicator function) của tập Ω Ta dễ thấy rằng nếu

Ω là tập lồi (tương ứng, tập đóng) thì hàm chỉ của Ω là hàm lồi (tươngứng, hàm nửa liên tục dưới)

Thêm vào đó ta có với mọi Ω ⊂ X và với mọi x ∈ Ω¯ ,

thì khi đó 0 ∈ ∂φ(¯x)

Ta có quy tắc tính toán dưới vi phân cho tổng hai hàm như sau.Định lý 1.2 (Xem [5, Mệnh đề 1 107]) Cho hàm ψ : X → R là hàm

hữu hạn tại x¯ Khi đó

(i) Với bất kỳ hàm φ : X → R khả vi Fréchet tại x¯, ta có

b

∂(φ + ψ)(¯x) = ∇φ(¯x) +∂ψ(¯b x)

(ii) Với bất kỳ hàm φ : X → R khả vi chặt tại x¯, ta có

Một tập Ω ⊂ X là compact pháp tuyến theo dãy (SNC) tại x ∈ Ω¯

nếu với mọi dãy ϵk ↓ 0, xk → ¯Ω x, và x∗k w

∗

→ 0 với x∗k ∈ Nbϵk(xk; Ω), ta có

∥ x∗k ∥→ 0 khi k → ∞ Ở đây, ϵk có thể được bỏ qua khi Ω đóng địaphương xung quanhx¯ Tính chất này tự động thỏa mãn trong không gianhữu hạn chiều Một trong những khác biệt cơ bản giữa giải tích biến phântrong không gian hữu hạn chiều và giải tích biến phân trong không gian

vô hạn chiều là sự cần thiết phải đặt ra các yêu cầu về tính compact pháptuyến theo dãy

Trong phần tiếp theo, chúng ta cũng cần quy tắc tính nón pháp tuyếnqua giới hạn của giao của hai tập

Bổ đề 1.2 (Xem [5, Hệ quả 3 5]) Giả sử rằng Ω1, Ω2 ⊂ X là các tậpđóng địa phương xung quanh x ∈ Ω¯ 1∩ Ω2 và ít nhất một trong hai tập

{Ω1, Ω2} là SNC tại điểm này Giả sử rằng

N (¯x; Ω1) ∩ (−N (¯x; Ω2)) = {0}

Khi đó ta có

N (¯x; Ω1∩ Ω2) ⊂ N (¯x; Ω1) + N (¯x; Ω2)

Xét hàm max được định nghĩa như sau:

1.4 Bài toán tối ưu minimax

Cho X là không gian Asplund, Ω là tập con đóng địa phương khácrỗng của X, và cho K = {1, , m}, I = {1, , n} ∪ ∅ và J = {1, , ℓ} ∪ ∅

là các tập chỉ số Trong đề án này, Ω luôn được giả thiết là SNC tại điểmđang xét (Giả thiết này tự động được thoả mãn khi X là một không gianhữu hạn chiều.)

Xét bài toán quy hoạch minimax có dạng sau:

min

x∈Cmax

trong đó tập hợp C được xác định bởi

φ(¯x) ≤ φ(x), ∀x ∈ U ∩ C (1.3)Nếu bất đẳng thức trong (1.3) đúng với mọi x ∈ C, thì x¯ được gọi lànghiệm tối ưu toàn cục(hay đơn giản là nghiệm tối ưu) của bài toán (P).Với x ∈ Ω¯ , ta đặt

tức là Ω = X và các hàm gi, hj là các hàm khả vi liên tục Khi đónếu điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz thoả mãn tại x ∈ C¯ thìđiều kiện (CQ) cũng thoả mãn tại x.¯ Nhắc lại rằng điều kiện chính quyMangasarian-Fromovitz thoả mãn tại x ∈ C¯ nếu tồn tại u ∈ X sao cho

⟨∇gi(¯x), u − ¯x⟩ ≤ 0, ∀i ∈ I(¯x),

⟨∇hj(¯x), u − ¯x⟩ = 0, ∀j ∈ J

và hệ {∇hj(¯x} là độc lập tuyến tính

Chương 2

Điều kiện cần và đủ tối ưu

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần và

đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch minimax trong trường hợp hàm mục tiêu

và các hàm mô tả tập ràng buộc là không khả vi Nội dung của chươngđược tham khảo từ bài báo [3]

2.1 Điều kiện cần tối ưu

Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần Karush–Kuhn–Tucker (KKT)cho nghiệm địa phương của bài toán (P)

Định lý 2.1 Giả sử điều kiện (CQ) thoả mãn tại x ∈ Ω¯ Nếu x¯ là mộtnghiệm địa phương của bài toán (P), khi đó tồn tại α := (α1, , αm) ∈

αk fk(¯x) − max

k∈K fk(¯
= 0, k ∈ K,

βigi(¯x) = 0, i ∈ I

(2.1)

Chứng minh Cho x¯ là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P) Khi

đó x¯ là cực tiểu địa phương của bài toán sau

x ∈ C và δ(x; C) = +∞ nếu x /∈ C Áp dụng quy tắc Fermat trong Định

lý 1.1 cho bài toán (2.2), ta có

0 ∈ ∂(φ + δ(·; C))(¯x) (2.3)

Từ giả thiết các hàm fk là các hàm Lipschitz địa phương trên X, ta suy

ra φ cũng Lipschitz địa phương trên X Thêm vào đó, Ω là tập đóng địaphương nên hàm chỉ δ(·; Ω) nửa liên tục dưới xung quanh x¯

Vì hàm φ là liên tục Lipschitz quanh x¯ và hàm δ(.; C) là nửa liên tụcdưới quanh điểm này, nên áp dụng quy tắc tổng trong Bổ đề 1.1 cho (2.3)

ta được

0 ∈ ∂φ(¯x) + ∂δ(¯x; C) = ∂φ(¯x) + N (¯x; C) (2.4)Mặt khác ta sử dụng quy tắc tính dưới vi phân cho hàm max như trong

trong đó K(¯x) := {k ∈ K | fk(¯x) = φ(¯x)} ̸= ∅.

Mặt khác, bằng cách đặt

˜

Ω := {x ∈ X | gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈ J },

ta có C = ˜Ω ∩ Ω Điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x¯ kéo theo không tồn tại

βi ≥ 0, i ∈ I(¯x), và γj ≥ 0, j ∈ J(¯x) = J sao cho P

Ta xét một ví dụ đơn giản sau để thấy vai trò của điều kiện chính quy(CQ) trong Định lý 2.1

Ví dụ 2.1 Cho fk : R → R, k = 1, 2, xác định bởi fk(x) := x + 2,

x ∈ R, k = 1, 2, và các hàm g, h : R → R được cho bởi g(x) := x2,h(x) := 0, x ∈ R Ta xét bài toán (P) với K := {1, 2}, I = J := {1}, và

Ω := (−∞, 0] ⊂ R.

Theo các dữ kiện này, ta có C = {0} và do đó, x := 0¯ là nghiệm tối

ưu của bài toán (P) Vì các hàm fk, g, h là các hàm khả vi liên tục nên

Thêm vào đó, bằng tính toán trực tiếp ta thu được N (¯x; Ω) = [0, +∞)

Khi đó ta luôn tìm được βi, i ∈ I(¯x) và γj, j ∈ J (¯x) sao cho (1.4) thoảmãn Do đó điều kiện chính quy (CQ) không thỏa mãn tại x¯ Hơn nữa,

ta cũng thấy (2.1) không thỏa mãn

2.2 Điều kiện đủ tối ưu

Để có được điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu (nghiệm toàncục) của bài toán (P), chúng tôi nhắc lại khái niệm về kiểu lồi-tuyếntính tổng quát (generalized convexity-affineness-type) cho lớp các hàmLipschitz địa phương từ bài báo [2]

Nhắc lại rằng nón cực của tập Ω ⊂ X được xác định bởi

Ω◦ := {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ Ω}

Định nghĩa 2.1 Ta nói rằng (f, g, h) là L-invex-infine trên Ω tại

¯

x ∈ Ω nếu với mọi x ∈ Ω, zk∗ ∈ ∂fk(¯x), k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi(¯x), i ∈ I và

yj∗ ∈ ∂hj(¯x) ∪ ∂(−hj)(¯x), j ∈ J tồn tại v ∈ N (¯x; Ω)◦ sao cho

fk(x) − fk(¯x) ≥ ⟨zk∗, v⟩, k ∈ K,

gi(x) − gi(¯x) ≥ ⟨x∗i, v⟩, i ∈ I,

hj(x) − hj(¯x) = ωj⟨y∗j, v⟩, j ∈ J,

ở đó ωj = 1 khi y∗j ∈ ∂hj(¯ và ωj = −1 khi yj∗ ∈ ∂(−hj)(¯x)

Theo định nghĩa, rõ ràng ta thấy rằng nếu Ω là tập lồi, fk, k ∈ K,

gi, i ∈ I là các hàm lồi và hj, j ∈ J là các hàm affine, thì khi đó (f, g, h)

là L-invex-infine tại x¯ với v := x − ¯x với mỗi x ∈ Ω Hơn nữa, như đãchỉ ra trong [2, Ví dụ 3.3], lớp các hàm L-invex-infine chứa một số hàmkhông lồi

Ví dụ 2.2 Cho f, h : R → R được định nghĩa bởi f (x) = −|x| và

điều này chứng tỏ (f, h) là L-invex-infine trên Ω tại x¯

Bây giờ ta đi đến một kết quả về điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệmtối ưu (nghiệm toàn cục) của bài toán (P)

Định lý 2.2 Giả sử x ∈ C¯ thỏa mãn điều kiện (2.1) Nếu (f, g, h) làL-invex-infine trên Ω tại x¯, thì x¯ là nghiệm tối ưu toàn cục của bàitoán (P)