(Luận văn) điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy ràng buộc cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỊCH XUÂN LUYẾN lu an n va gh tn to p ie ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỊCH XUÂN LUYẾN lu an n va p ie gh tn to ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY RÀNG BUỘC CHO BÀI TỐN TỐI ƯU VỚI RÀNG BUỘC CÂN BẰNG d oa nl w nf va an lu Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z an Lu THÁI NGUYÊN - 2015 m co l gm @ NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU n va ac th si iii Mục lục Mở đầu 1 Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch toán lu học với ràng buộc cân J.J Ye 1.1 Điều kiện điểm dừng điều kiện điểm quy an va n 1.1.1 Điểm dừng điều kiện quy 1.1.2 Điều kiện dừng đối ngẫu ie gh tn to 1.2 Điều kiện cần đủ tối ưu p Điều kiện tối ưu điều kiện quy cho toán quy oa nl w hoạch toán học với ràng buộc cân C Kanzow A Schwartz 20 d 2.1 Các khái niệm định nghĩa 20 2.2 Điều kiện Fritz John 22 nf va an lu Kết luận lm ul 31 z at nh oi Tài liệu tham khảo 30 z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Lý chọn đề tài Các toán quy hoạch tốn học với ràng buộc cân (hay cịn gọi lu ràng buộc bù) lớp toán tối ưu khó Các điều kiện KuhnTucker cho toán phải thiết lập với điều kiện an n va quy thích hợp với kiểu ràng buộc Nhiều cơng trình nghiên cứu điều kiện Fritz John, điều kiện quy điều kiện ie gh tn to Kuhn-Tucker cho lớp toán J.J Ye ([11], 2005) thiết lập điều kiện Fritz John cho toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân p Các điều kiện quy thích hợp đưa vào [11] để dẫn điều kiện Kuhn-Tucker C Kanzow A Schwartz ([4], 2010) sử dụng cách nl w oa tiếp cận Fritz John để dẫn điều kiện tối ưu cần đủ cho toán d quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu nf va an lu lm ul Chính tác giả chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu điều kiện quy ràng buộc cho toán tối ưu với ràng buộc cân bằng" z at nh oi Mục đích đề tài Luận văn trình bày kết nghiên cứu điều kiện tối ưu z điều kiện quy cho tốn tối ưu khả vi với ràng buộc cân Ye [11] Kanzow - Schwartz [4] đăng tạp chí J Math Anal @ l gm Appl vol 307 (2005) SIAM J Optim vol 20 (2010) Nội dung luận văn co Luận văn bao gồm phần mở đầu hai chương, kết luận danh mục m tài liệu tham khảo Chương 1: Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch toán an Lu n va ac th si học với ràng buộc cân J.J Ye Trình bày kết J.J Ye ([11],2005) loại điểm dừng thích hợp cho toán tối ưu với ràng buộc cân Chương trình bày định lý điều kiện M-dừng kiểu Fritz John, định lý điều kiện M-dừng Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân Điều kiện M-dừng đủ với giả thiết tính lồi suy rộng trình bày chương Chương 2: Điều kiện tối ưu điều kiện quy cho tốn quy hoạch toán học với ràng buộc cân C Kanzow Schwartz Trình bày kết điều kiện tối ưu điều kiện quy lu thích hợp cho tốn quy hoạch tốn học khả vi với ràng buộc cân MPEC Kanzow - Schwartz ([4],2010) Chương trình bày điều an n va kiện cần Fritz John Kanzow- Schwartz điều kiện quy cho MPEC Điều kiện đủ để MPEC M-dừng trình bày với ie gh tn to điều kiện quy thích hợp Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn đến tập thể thầy p cô giáo truyền đạt tri thức quý giá thời gian tác giả oa nl w học tập trường Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu hướng dẫn, giúp đỡ tận tình d đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, trường an lu nf va THPT Yên Ninh, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập z at nh oi lm ul Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015 Học viên z gm @ m co l Địch Xuân Luyến an Lu n va ac th si Chương Điều kiện cần đủ tối ưu cho toán quy hoạch toán học với ràng lu an buộc cân J.J Ye n va p ie gh tn to Chương trình bày kết J.J Ye ([11],2005) loại điểm dừng, điều kiện M-dừng Fritz John, điều kiện M-dừng Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân khả vi Với giả d oa nl w thiết tính suy rộng, điều kiện M- dừng Kuhn-Tucker trở thành điều kiện M-dừng đủ lu Điều kiện điểm dừng điều kiện điểm quy nf va an 1.1 (MPEC) f (z) g(z) ≤ 0, z at nh oi lm ul Xét toán với ràng buộc cân (MPEC): G(z) ≥ 0, (1.1) h(z) = 0, G(z)T H(z) = 0, H(z) = 0, z gm @ f : Rn → R, G : Rn → Rm , H : Rn → Rm , g : Rn → Rp , m co l h : Rn → Rq kí hiệu phép chuyển vị Để nghiên cứu toán (MPEC) người ta nghiên cứu dạng khơng đối xứng tốn tối ưu với ràng an Lu n va ac th si buộc cân bằng(OPCC): (OPPC) f (x, y) g(x, y) ≤ 0, h(x, y) = 0, G(x, y) ≥ 0, y ≥ 0, (1.2) G(x, y)T y = Bài toán trường hợp đặc biệt quan trọng (trong Ω = Rm + ) tốn tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (OPVIC): (OPVIC) f (x, y) g(x, y) ≤ 0, y ∈ Ω, (1.3) h(x, y) = 0, hG(x, y), y − y i ≤ 0, ∀y ∈ Ω, lu an f : Rn+m → R, G : Rn+m → Rm , g : Rn+m → Rp , h : Rn+m → Rq n va gh tn to Ω tập lồi đóng Rm Với vectơ d ∈ Rn tập số I ⊆ {1, 2, , n}, di thành phần thứ i d dI vectơ gồm b p ie thành phần di với i ∈ I.ha, bi aT b tích vơ hướng vectơ a nl w Điểm dừng điều kiện quy d oa 1.1.1 nf va an lu Với vectơ chấp nhận z ∗ MPEC, ta định nghĩa tập sau đây: Ig := {i : gi (z ∗ ) = 0} lm ul α := α(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) > 0}, z at nh oi β := β(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) = 0, Hi (z ∗ ) = 0}, γ := γ(z ∗ ) := {i : Gi (z ∗ ) > 0, Hi (z ∗ ) = 0} Tập β tập suy biến Nếu β tập rỗng, vectơ z ∗ gọi z l gm @ thỏa mãn điều kiện bù chặt Ở ta xét trường hợp β 6= ∅ Ta xác định tập phân hoạch β m co P (β) := {(β1 , β2 ) : β1 ∪ β2 = β, β1 ∩ β2 = ∅} an Lu n va ac th si Mỗi phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) ghép với toán MPEC: (MPEC)(β1 , β2 ) f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, Gi (z) = 0, i ∈ α ∪ β2 , Hi (z) = 0, i ∈ γ ∪ β1 , Gi (z) ≥ 0, i ∈ β1 , Hi (z) ≥ 0, i ∈ β2 (1.4) Rõ ràng z ∗ nghiệm tối ưu địa phương MPEC nghiệm tối ưu M P EC(β1 , β2 ) với phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) Trước hết ta nhắc lại khái niệm nón tiếp tuyến Định nghĩa 1.1 (Nón tuyến tính) lu an Giả sử Z tập chấp nhận MPEC z ∗ ∈ Z Nón tiếp tuyến Z z ∗ nón đóng xác định n va gh tn to T (z ∗ ) := {d ∈ Rn : ∃tn ↓ 0, dn → d cho z ∗ + tn dn ∈ Z, ∀n} (1.5) p ie Khái niệm sau điều kiện điểm dừng MPEC đựa vào [8] Nó khác với điều kiện B-dừng [9] xác định (1.6) oa nl w lin ∗ ∇f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ TM P EC (z ) d lin ∗ TM P EC (z ) nón tuyến tính hóa MPEC định nghĩa nf va an lu Định nghĩa 1.2 (Điểm B-dừng) lm ul z at nh oi Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi điểm dừng Boligand (B-dừng) ∇f (z ∗ )T d ≥ 0, ∀d ∈ T (z ∗ ) gm @ Điều kiện dừng đối ngẫu z 1.1.2 (1.7) Không giống với quy hoạch phi tuyến thông thường có điều l m co kiện dừng đối ngẫu, tức điều kiện Karush-Kuhn-Tucker MPEC, có số khái niệm dừng Bây tóm tắt trình bày mối liên hệ an Lu khái niệm n va ac th si Định nghĩa 1.3 (Điểm W-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi dừng yếu tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho điều kiện sau đúng: ∗ = ∇f (z ) + X ∇λgi gi (z ∗ ) + − λhi ∇hi (z ∗ ) i=1 i∈Ig m X q X (1.8) ∗ H ∗ [λG i ∇Gi (z ) + λi ∇Hi (z )], i=1 λgIg ≥ 0, λG γ = 0, λH α = (1.9) lu Dễ thấy điều kiện W-dừng điều kiện KKT cho toán MPEC chặt sau: an (TMPEC) f (z) va n g(z) ≤ 0, h(z) = 0, to gh tn Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ, p ie Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, i ∈ β nl w Định nghĩa 1.4 (Điểm C-dừng) Điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi điểm dừng Clarke d oa tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: an lu nf va ∀i ∈ β, H λG i λi ≥ (1.10) lm ul Theo [9 Bổ đề 1] điều kiện C-dừng điều kiện KKT không trơn sử dụng grandient suy rộng Clarke [4] cách phát biểu lại MPEC z at nh oi tốn quy hoạch phi tuyến khơng trơn: f (z) z g(z) ≤ 0, h(z) = 0, @ (1.11) l gm Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ, min{Gi (z), Hi (z)} = 0, i ∈ β m co an Lu Định nghĩa 1.5 (Điểm A-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi điểm dừng luân n va ac th si phiên tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: λG i ≥ 0, ∀i ∈ β, λH i ≥ (1.12) Khái niệm điểm A-dừng đưa vào Flegel Kanzow Thực điều kiện A-dừng điều kiện KKT cho M P EC(β1 , β2 ) với phân hoạch (β1 , β2 ) ∈ P (β) Định nghĩa 1.6 (Điểm M-dừng) Điểm chấp nhận z∗ MPEC gọi Mordukhovich-dừng tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều lu kiện sau đúng: an H G H λG i > 0, λi > λi λi = (1.13) n va ∀i ∈ β, gh tn to Định nghĩa 1.7 (Điểm S-dừng) Một điểm chấp nhận z ∗ MPEC gọi dừng mạnh p ie tồn λ = (λg , λh , λG , λH ) ∈ Rp+q+2m cho (1.8) - (1.9) điều kiện sau đúng: λG i ≥ 0, λH i ≥ (1.14) oa nl w ∀i ∈ β, d Điều kiện S-dừng điều kiện KKT cho MPEC nới lỏng: lu nf va an (RMPEC) f (z) g(z) ≤ 0, h(z) = 0, lm ul Gi (z) = 0, i ∈ α, Hi (z) = 0, i ∈ γ, z at nh oi Gi (z) ≥ 0, Hi (z) ≥ 0, i ∈ β z m co l gm @ an Lu n va ac th si 18 cộng lại ta nhận DX q X iλgi 5gi (z ∗ )+ m X iλhi 5hi (z ∗ )− i=1 i∈Ig ∗ H ∗ ∗ iλG i 5Gi (z )+λi 5H(z ), z−z E ≤0 i=1 Do (1.16), bất đẳng thức kéo theo h5f (z ∗ ), z − z ∗ i ≥ Do tính giả lồi f z ∗ , ta có f (z) ≥ f (z ∗ ) cho điểm z chấp nhận Vì z ∗ nghiệm tối ưu toàn cục MPEC − α− ∪ γ − ∪ βG− ∪ βH = ∅ lu − 6= ∅ Với Bây ta xét trường hợp α− ∪ γ − 6= ∅ βG− ∪ βH an n va i ∈ α, Hi (z ∗ ) > 0, Hi (z) > với z đủ gần z ∗ Vì vậy, điều kiện bù, ta có Gi (z) = với z Do đó, với z đủ gần z ∗ ta có to gh tn Gi (z) = Gi (z ∗ ), ∀i ∈ α p ie Do tính tựa lồi tập Gi (i ∈ α− ) z ∗ , ta suy z đủ gần z ∗ (1.22) nl w h5Gi (z ∗ ), z − z ∗ i ≤ 0, ∀i ∈ α− d oa Tương tự, với z đủ gần z ∗ ta có (1.23) nf va an lu h5Hi (z ∗ ), z − z ∗ i ≤ 0, ∀i ∈ γ − Nhân (1.17)-(1.23) với lm ul + + + λgi ≥ (i ∈ Ig ), λhi > (i ∈ J + ), −λhi > 0, (i ∈ J − ), λG i > (i ∈ α ∪βH ∪β ), z at nh oi + + + G − H − λH i > (i ∈ γ ∪ βG ∪ β ), −λi > (i ∈ α ), −λ > 0(i ∈ γ ) (tương ứng) cộng lại, ta suy với z đủ gần z ∗ , z i=1 i=1 l i∈Ig gm @ q m X g X X ∗ h ∗ ∗ H ∗ ∗ h iλi 5gi (z )+ iλi 5hi (z )− [iλG i 5Gi (z )+λi 5H(z )], z−z i ≤ m co Do (1.16), bất đẳng thức kéo theo: với z đủ gần z ∗ , ta có an Lu h5f (z ∗ ), z − z ∗ i ≥ n va ac th si 19 Do tính giả lồi f z ∗ , ta có f (z) ≥ f (z ∗ ) với z đủ gần z ∗ Như z ∗ nghiệm tối ưu địa phương MPEC α− ∪ γ − 6= ∅ − βG− ∪ βH 6= ∅ Bây ta giả sử z ∗ điểm tương đối − Z ∩ {z : Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, i ∈ βG− ∪ βH } Khi đó, với điểm chấp nhận z đủ gần z ∗ , ta có − Hi (z) = 0, ∀βG− ∪ βH Gi (z) = 0, − ) Hi (i ∈ βG− ), ta suy Vì vậy, tính tựa lồi Gi (i ∈ βH lu an − h5Gi (z ∗ ), z − z ∗ i ≤ 0, ∀i ∈ βH , (1.24) h5Hi (z ∗ ), z − z ∗ i ≤ 0, (1.25) ∀i ∈ βG− n va Nhân (1.17)-(1.25) tương ứng với tn to λgi ≥ (i ∈ Ig ), λhi > (i ∈ J + ), −λhi > 0, (i ∈ J − ), p ie gh + + H + + + + λG i > (i ∈ α ∪ βH ∪ β ), λi > (i ∈ γ ∪ βG ∪ β ), H − − − − −λG i > (i ∈ α ∪ βH ), −λi > (i ∈ γ ∪ βG ) oa nl w cộng lại, ta suy với z đủ gần z ∗ , d q m X g X X ∗ h ∗ ∗ H ∗ ∗ h iλi 5gi (z )+ iλi 5hi (z )− iλG i 5Gi (z )+λi 5H(z ), z−z i ≤ lu i=1 i=1 nf va an i∈Ig Do (1.16), bất đẳng thức ta suy với z đủ gần z ∗ , ta có lm ul h5f (z ∗ ), z − z ∗ i ≥ z at nh oi Do tính giả lồi f z ∗ , ta có f (z) ≥ f (z ∗ ) với z đủ gần z ∗ Như z z ∗ nghiệm tối ưu địa phương MPEC z ∗ điểm tương − đối tậpZ ∩ {z : Gi (z) = 0, Hi (z) = 0, ∀βG− ∪ βH } Định lý gm @ chứng minh đầy đủ m co l an Lu n va ac th si 20 Chương Điều kiện tối ưu điều kiện quy cho toán quy hoạch lu an toán học với ràng buộc cân n va p ie gh tn to C Kanzow A Schwartz nl w Chương 2: Trình bày kết điều kiện tối ưu điều kiện quy cho toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân khả d oa vi MPEC C.Kanzow A.Schwartz ([4],2010) Điều kiện cần Fritz John trình bày với điều kiện lu nf va an quy thích hợp với MPEC Với điều kiện quy, điều kiện đủ để 2.1 z at nh oi lm ul nghiệm MPEC M-dừng trình bày chương Các khái niệm định nghĩa z Xét toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân (MPEC): l (2.1) m co h(x) = 0, gm g(x) ≤ 0, @ f (x) an Lu Gi (x) ≥ 0, Hi (x) ≥ 0, Gi (x)Hi (x) = 0, ∀i = 1, , q, n va ac th si 21 với hàm khả vi liên tục f : Rn → R, g : Rn → Rm , h : Rn → Rp G, H : Rn → Rq Kí hiệu k k chuẩn Rn Ta sử dụng lp -chuẩn, l1 -chuẩn n X kxk1 = |xi |, i=1 k.k2 , k.k∞ trongl2 , l∞ (tương ứng) Tập chấp nhận toán MPEC kí hiệu X := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, h(x) = 0, Gi (x) ≥ 0, Hi (x) ≥ 0, Gi (x)Hi (x) = 0, ∀i = 1, , q} Ta định nghĩa tập sau x∗ ∈ X lu an Ig (x∗ ) := {i | gi (x∗ ) = 0}, va n I00 (x∗ ) := {i | Gi (x∗ ) = 0, Hi (x∗ ) = 0}, to (2.2) tn I0+ (x∗ ) := {i | Gi (x∗ ) = 0, Hi (x∗ ) > 0}, p ie gh I+0 (x∗ ) := {i | Gi (x∗ ) > 0, Hi (x∗ ) = 0} Định nghĩa 2.1 nl w Giả sử x∗ điểm chấp nhận (2.1) Khi x∗ gọi d oa M-dừng tồn nhân tử (λ, µ, γ, ν) cho m X ∇f (x ) + ∗ λi ∇gi (x ) + nf va an lu ∗ i=1 i=1 q X ∗ µi ∇hi (x ) − q X γi ∇Gi (x∗ ) i=1 νi ∇Hi (x∗ ) = 0, i=1 z at nh oi lm ul − p X λ ≥ 0, λi = ∀i 6∈ Ig (x∗ ), γi = ∀i ∈ I+0 (x∗ ), νi = ∀i ∈ I0+ (x∗ ), γi νI = γi > 0, νi > ∀i ∈ I00 (x∗ ) z gm @ Ta nhắc lại điều kiện quy sử dụng thỏa mãn m co l Định nghĩa 2.2 Giả sử x∗ điểm chấp nhận tốn (2.1) Khi ta nói x∗ an Lu n va ac th si 22 (1) MPEC -MFCQ vectơ ∇hi (x∗ ), ∀i = 1, , p, ∇Gi (x∗ ), ∀i ∈ I0+ (x∗ ) ∪ I00 (x∗ ), ∇Hi (x∗ ), ∀i ∈ I+0 (x∗ ) ∪ I00 (x∗ ), (2.3) độc lập tuyến tính tồn vectơ d ∈ Rn cho ∇hi (x∗ )T d = 0, ∀i = 1, , p, ∇Gi (x∗ )T d = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ) ∪ I00 (x∗ ), ∗ T ∗ ∇Hi (x ) d = 0, ∇gi (x∗ )T d < 0, (2.4) ∗ ∀i ∈ I+0 (x ) ∪ I00 (x ), ∀i ∈ Ig (x∗ ); lu an (2) Điều kiện quy MPEC-Abadie CQ (MPEC-ACQ) va n TX (x∗ ) = LM P EC (x∗ ), LM P EC (x∗ ) := {d ∈ Rn |∇gi (x∗ )T d ≤ 0, ∀i ∈ Ig (x∗ ) ∇hi (x∗ )T d = 0, ∀i = 1, , p, ∇Gi (x∗ )T d = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ), ∇Hi (x∗ )T d = 0, ∀i ∈ I+0 (x∗ ), p ie gh tn to nón tiếp tuyến MPEC tuyến tính hóa định nghĩa d oa nl w nf va an lu ∇Gi (x∗ )T d ≥ 0, ∇Hi (x∗ )T d ≥ 0, ∀i ∈ I00 (x∗ ), 2.2 z at nh oi lm ul (∇Gi (x∗ )T d)(∇Hi (x∗ )T d) = 0, ∀i ∈ I00 (x∗ )} (2.5) Điều kiện Fritz John z Định lý 2.1 Giả sử x∗ điểm cực tiểu địa phương MPEC Khi tồn m co l gm @ nhân tử (α, λ, γ, υ) cho an Lu n va ac th si 23 (i) ∗ α∇f (x ) + m X ∗ λi ∇gi (x ) − i=1 µi ∇hi (x∗ ) i=1 q X − p X γi ∇Gi (x∗ ) − q X i=1 νi ∇Hi (x∗ ) = 0, i=1 (ii) α ≥ 0, λi ≥ 0, ∀i ∈ Ig (x∗ ), λi = 0, ∀i 6∈ Ig (x∗ ), γi = 0, ∀i ∈ I+0 (x∗ ), νi = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ), γi > 0, νi > γi νi = ∀i ∈ I00 (x∗ ) (iii) λ, µ, γ, ν khơng đồng thời (iv) Nếu λ, µ, γ, ν khơng đồng thời 0, tồn dãy {xk } → x∗ lu cho ∀k ∈ N, an n va f (xk ) < f (x∗ ), tn to λi > (i ∈ {1, , m}), λi gi (xk ) > 0, gh µi 6= (i ∈ {1, , p}), µi hi (xk ) > 0, p ie γi 6= (i ∈ {1, , q}), γi Gi (xk ) < 0, nl w νi 6= (i ∈ {1, , q}), νi Hi (xk ) < 0, oa Chứng minh d Trước hết ta phát biểu toán MPEC dạng tương đương nf va an lu f (x) (x,y,z) h(x) = 0, (2.6) z at nh oi lm ul g(x) ≤ 0, y − G(x) = 0, z − H(x) = 0, z tập l gm @ (x, y, z) ∈ C, m co C := {(x, y, z) ∈ Rn+q+q | yi ≥ 0, Zi ≥ 0, yi zi = 0, ∀i = 1, , q} (2.7) an Lu khác rỗng đóng ta có cực tiểu địa phương (x∗ , y ∗ , z ∗ ) với y ∗ = G(x∗ ), z ∗ = H(x∗ ) Bây ta Mệnh đề 2.1 [2] Chọn ε > cho n va ac th si 24 f (z) ≥ f (z ∗ ), ∀(x, y, z) ∈ S chấp nhận toán MPEC (2.6), S := {(x, y, z) | k(x, y, z) − (x∗ , y ∗ , z ∗ )k2 ≤ ε} Khi xét tốn phạt F (x, y, z) (x, y, z) ∈ S ∩ C x,y,z với p m kX kX Fk (x, y, z) :=f (x) + hi (x)2 max{0, gi (x)} + i=1 i=1 q q lu kX kX + (yi − Gi (x))2 + (zi − Hi (x))2 i=1 i=1 an n va + k(x, y, z) − (x∗ , y ∗ , z ∗ )k22 nghiệm (xk , y k , z k ) ∀k ∈ N Bước ta dãy {xk , y k , z k } hội tụ đến (x∗ , y ∗ , z ∗ ) Để làm điều này, ta ý p ie gh tn to với k ∈ N Bởi S ∩ C compact Fx liên tục, tốn có d oa nl w p m kX kX f (x ) + max{0, gi (xk )}2 + hi (xk )2 i=1 i=1 k nf va an lu q q kX k kX k k + (yi − Gi (x ))2 + (zi − Hi (xk ))2 i=1 i=1 + (xk , y k , z k ) − (x∗ , y ∗ , z ∗ ) 2 = Fk (xk , y k , z k ) ≤ Fk (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = f (x∗ ) z at nh oi lm ul ∀k ∈ N Bởi S ∩ C compact dãy {f (x)k } bị chặn Điều kéo theo z @ k→∞ lim hi (xk ) = 0, ∀i = 1, , p, lim yik − Gi (xk ) = 0, ∀i = 1, , q, lim zik − Hi (xk ) = 0, ∀i = 1, , q, k→∞ an Lu k→∞ m co k→∞ l gm lim max{0, gi (xk )} = 0, ∀i = 1, , m, n va ac th si 25 khơng vế trái bất đẳng thức không bị chặn Như vậy, điểm tụ {(x∗ , y ∗ , z ∗ )} điểm chấp nhận tốn MPEC (2.6) Tính compact S ∩ C đảm bảo tồn điểm tụ Giả sử (x, y, z) điểm tụ dãy Khi đó, tính liên tục ta có f (¯ x) + k(¯ x, y¯, z¯) − (x∗ , y ∗ , z ∗ )k22 ≤ f (x∗ ) Mặt khác, tính chấp nhận (x, y, z) ta có f (x∗ ) ≤ f (¯ x) Điều dẫn đến k (x, y, z) − (x∗ , y ∗ , z ∗ ) k2 = Như dãy (xk , y k , z k ) lu hội tụ đến (x∗ , y ∗ , z ∗ ) an n va Do đó, khơng tính chất tổng qt ta giả sử (xk , y k , z k ) điểm S, ∀k ∈ N Khi đó, điều kiện cần thơng thường −∇Fk (xk , y k , z k ) ∈ NCF (xk , y k , z k ), ie gh tn to nói p ∀k ∈ N, gradient riêng Fk cho     k ∇f (xk ) ∇g (x ) i m   X   k k k k − ∇Fk (x , y , z ) = −   + k max{0, gi (x )}   d oa nl w i=1 an lu nf va     ∇hi (xk ) ∇Gi (xk ) p q X   X   + (xk )   − k(yik − Gi (xk ))  −ei  i=1 i=1 0    k   ∗  ∇Hi (xk ) x x q X    k   ∗  k k − k(zi − Hi (x ))   + y  − y  z at nh oi lm ul i=1 z∗ zk −ei z @ gm Nón pháp tuyến tính Fr’echet C (xk , y k , z k ) cho    ξi = 0, ζ ∈ R, yik >    NCF (xk , y k , z k ) = ξi = 0, ζ ∈ R, zik > ξ  :   ξi ≤ 0, ζ ≤ 0, yik = zik = ζ m co l    an Lu   n va ac th si 26 Điều kéo theo k =∇f (x ) + m X k max{0, gi (xk )}∇gi (xk ) i=1 p X + i=1 q X − k k (x )∇hi (x ) − q X k(yik − Gi (xk ))∇Gi (xk ) i=1 k(zik − Hi (xk ))∇Hi (xk ) + (xk − x∗ ) i=1 ∀k ∈ N k(yik − Gi (xk )) = −(yik − yi∗ ), yik > 0, zik = 0, lu k(zik − Hi (xk )) = −(zik − zi∗ ), yik = 0, zik > 0, an k(yik − Gi (xk )) ≥ −(yik − yi∗ ), yik = zik = 0, va n k(zik − Hi (xk )) ≥ −(zik − zi∗ ), yik = zik = p ie gh tn to Bây ta xác định nhân tử δk := 1+ k p X (k max{0, gi (x )}) + i=1 + d oa nl w q X (khi (xk ))2 i=1 (k(yik − Gi (xk )))2 + q X i=1 ! 12 (k(zik − Hi (xk )))2 i=1 δk k max{0, gi (xk )} , ∀i = 1, , m, δk (xk ) , ∀i = 1, , p, δk k(yik − Gi (xk )) , ∀i = 1, , q, δk k(zik − Hi (xk )) , ∀i = 1, , q δk nf va an lu m X αk := co l gm @ νik := z γik := z at nh oi µki := lm ul λki := m Bởi k (αk , λk , µk , γ k , ν k ) k2 = 1, ∀k ∈ N, khơng tính tổng qt, ta giả sử dãy nhân tử hội tụ đến giới hạn (α, λ, µ, γ, ν) 6= an Lu Bấy ta quan tâm đến vài tính chất giới hạn Do hội n va ac th si 27 tụ αk → α, ta biết dãy {δk } hội tụ đến +∞ giá trị tương đương (≥ 1) Ta sử dụng kiện để nhận thông tin dấu γ ν Do tính liên tục xk → x∗ , ta nhận ∗ α∇f (x ) + − m X i=1 q X ∗ λi ∇gi (x ) + p X γi ∇Gi (x∗ ) − i=1 µi ∇hi (x∗ ) i=1 q X νi ∇Hi (x∗ ) = i=1 Hơn nữa, ta có α ≥ λ ≥ Ta có λi = 0i 6∈ Ig (x∗ ) điều kéo theo gi (xk ) < ∀k ∈ N đủ lớn Bây ta nhớ (y ∗ , z ∗ ) = (G(x∗ ), H(x∗ )) (xk , y k , z k ) ∈ C, ∀k ∈ N Nếu i ∈ (I(+0) (x∗ )), điều lu kéo theo yik > 0, zik = 0, ∀k đủ lớn Như vậy, ta có an n va −(yik − yi∗ ) k(yik − Gi (xk )) = lim = γi = lim k→∞ k→∞ δk δk ie gh tn to ∀i ∈ I+0 (x∗ ) Tương tự, ta chứng minh νi = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ) Với i ∈ I00 (x∗ ) xảy ba trường hợp sau : Nếu p yik > 0, zik = với vơ hạn k, lí luận tương tự ta có γi = oa nl w Một cách tương tự, yik = 0, zik > với vơ hạn k ta nhận νi = Tuy nhiên, yik = zik = với vô hạn k ta nhận d −(yik − yi∗ ) k(yik − Gi (xk )) ≥ lim = 0, γi = lim k→∞ k→∞ δk δk k(zik − Hi (xk )) −(zik − zi∗ ) ≥ lim = νi = lim k→∞ k→∞ δk δk nf va an lu lm ul Vì vậy, với ∀i ∈ I00 (x∗ ), ta có γi > 0, νi > γi νi = Cuối z at nh oi cùng, ta giả sử (λ, µ, γ, ν) 6= Khi (αk , λk , γ, µk , ν k ) 6= 0, ∀k ∈ N đủ z lớn Sử dụng định nghĩa nhân tử này, ta suy (xk , y k , z k ) 6= (x∗ , y ∗ , z ∗ ), ∀k đủ lớn Do đó, ta có f (xk ) < f (xk ) + (xk , y k , z k ) − (x∗ , y ∗ , z ∗ ) 2 ≤ f (x∗ ) l gm @ m co ∀k ∈ N đủ lớn Hơn nữa, ta có suy luận sau ∀i, k đủ lớn µi 6= =⇒ µi µki =⇒ µi hi (xk ) > an Lu λi > =⇒ λki > =⇒ gi (xk ) > =⇒ λi gi (xk ) > 0, n va ac th si 28 Bây giả sử i ∈ {1, , q} số với γi 6= Điều kéo theo γi γik > tương đương γi (yik − Gi (xk )) > (2.8) ∀k đủ lớn Ta chứng minh yik > với vơ hạn k, nhân tử γi Do đó, trường hợp yik = 0, ∀k đủ lớn Do đó, γi Gi (xk ) < với k Ta chứng minh suy luận νi 6= ⇒ νi Hi (xk ) < 0, ∀k đủ lớn cách tương tự lu an Bây giờ, ta định nghĩa cách tương tự MPEC cho điều kiện n va quy đưa vào cho quy hoạch tuyến tính thông thường ie gh tn to Định nghĩa 2.3 Một vectơ x∗ ∈ X gọi thỏa mãn p (a) MPEC - MFCQ suy rộng không tồn nhân tử (λ, µ, γ, ν) 6= (0, 0, 0, 0) cho Pp P ∗ ∗ λ ∇g (x ) + (i) m i i i=1 µi ∇hi (x ) i=1 P P − qi=1 γi ∇Gi (x∗ ) − qi=1 νi ∇Hi (x∗ ) = 0, d oa nl w an lu nf va (ii) λi ≥ 0, ∀i ∈ Ig (x∗ ), λi = z at nh oi lm ul ∀i 6∈ Ig (x∗ ), γi = 0, ∀i ∈ I+0 (x∗ ), νi = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ), γi > 0, νi > γi νi = 0, ∀i ∈ I00 (x∗ ) z (b) MPEC giả chuẩn tắc suy rộng không tồn nhân tử (λ, µ, γ, ν) cho P Pp ∗ ∗ (i) m i=1 λi ∇gi (x ) + i=1 µi ∇hi (x ) P P − qi=1 γi ∇Gi (x∗ ) − qi=1 νi ∇Hi (x∗ ) = 0, gm @ l (ii) λi ≥ 0, ∀i ∈ Ig (x∗ ), λi = 0, ∀i 6∈ Ig (x∗ ), γi = m co ∀i ∈ I+0 (x∗ ), νi = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ) γi > 0, νi > γi νi = 0, ∀i ∈ I00 (x∗ ) an Lu n va ac th si 29 (iii) Tồn dãy {xk } → x∗ cho với k ∈ N ta có m X k λi gi (x ) + i=1 p X k µi hi (x ) − i=1 q X k γi Gi (x ) − i=1 q X νi Hi (xk ) > i=1 (c) MPEC tựa chuẩn tắc suy rộng không tồn nhân tử (λ, µ, γ, ν) cho P Pp ∗ ∗ (i) m λ ∇g (x ) + i i i=1 i=1 µi ∇hi (x ) P P − qi=1 γi ∇Gi (x∗ ) − qi=1 νi ∇Hi (x∗ ) = 0, (ii) λi ≥ 0, ∀i ∈ Ig (x∗ ), λi = 0, ∀i 6∈ Ig (x∗ ), γi = ∀i ∈ I+0 (x∗ ), νi = 0, ∀i ∈ I0+ (x∗ ), γi > 0, νi > γi νi = 0, ∀i ∈ I00 (x∗ ) lu an (iii) (λ, µ, γ, ν) 6= (0, 0, 0, 0) n va (iv) Tồn dãy {xk } → x∗ cho với k ∈ N, ∀λi 6= ta có λi gi (xk ) > 0, ∀µi > ta có µi hi (xk ) > 0, ∀γi 6= ta có tn to ie gh −γi Gi (xk ) > 0, ∀νi 6= ta có −νi Hi (xk ) > p Rõ ràng suy luận sau nl w MPEC-MFCQ suy rộng =⇒ MPEC giả chuẩn tắc suy rộng an lu Định lý 2.2 d oa =⇒ MPEC tựa chuẩn tắc suy rộng nf va Giả sử x∗ cực tiểu địa phương toán (2.1) thỏa mãn điều kiện MPEC tựa chuẩn tắc suy rộng Khi x∗ điểm M-dừng (2.1) z at nh oi lm ul Chứng minh Giả sử x∗ cức tiểu địa phương toán địa phương toán MPEC Khi đó, Định lí 2.1 kéo theo tồn nhân tử z α, λ, γ, ν cho phát biểu (i) → (iv) định lí Giả sử α = Khi đó, điều kiện MPEC tựa chuẩn tắc suy rộng kéo theo gm @ λ = µ = γ = Điều mâu thuẫn với kiện tất nhân tử l m co khơng đồng thời Vì α > Khơng tính tổng qt, ta giả sử x = Do đó, x∗ điểm M-dừng an Lu n va ac th si 30 Kết luận Luận văn trình bày kết J.J Ye (2005) C.Kanzow A.Schwartz (2010) điều kiện quy, điều kiện cần đủ tối ưu cho toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân Nội dung luận văn bao gồm: lu an • Các loại điểm dừng cho toán tối ưu với ràng buộc cân va n MPEC; p ie gh tn to • Các điều kiện cần Frtiz John cho toán MPEC Ye Kanzow - Schwartz; w • Các điều kiện quy cho tốn MPEC; oa nl • Các điều kiện Kuhn-Tucker Ye Kanzow-Schwartz; d • Các điều kiện đủ tối ưu cho MPEC an lu nf va Điều kiện quy điều kiện tối ưu cho toán tối ưu với ràng buộc cần trơn không trơn đề tài nhiều tác giả lm ul quan tâm nghiên cứu phát triển z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (1999),Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội lu an va n Tiếng Anh p ie gh tn to [2] D P Bertsekas, A E Ozdaglar (2002) "Pseudonormality and a Lagrange multiplier theory for constrained optimization", Journal w of Optimization Theory and Applications 114, pp 187-343 oa nl [3] F H Clarke (1983), Opmiziation an Nonsmooth Analysis, Wiley- d Interscience, New York lu nf va an [4] C Kanzow and A Schwartz (2010), "Mathematical programs with equilibrium constraints: Enhandced Fritz John conditions, new con- z at nh oi lm ul straints qualifications, and improved exact penalty results", SIAMJ Optim 20, 2730-2753 [5] Z Q Luo, J S Pang and D Ralph and S Q Wu (1996), " Exact penalization and stationarity conditions for mathematical programs z with equilibrium constraints", Mathematical Programming 75, pp l gm @ 19-76 [6] O L Mangasarian (1994), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, co m New York, 1969 (reprinted by SIAM, Philadephia, PA) an Lu n va ac th si 32 [7] B S Mordukhovich (1980), "Metric approximation and necessary optimality conditions for general classes of housmooth extrernal problemsm", Soviet Math Dokl 22, 526-530 [8] S M Robinson (1981), "Some continuity properties of polyhedral multifuntions", Math Programming Stud 14, 206-214 [9] H Scheel and S Scholtes (2000), "Mathematical programs with complementarity constraints: Stationarity, optimality, and sensitivity", Mathematics of Operations Research 25, pp 1-22 [10] J J Ye (2000), "Constraint qualifications and necessary optimal- lu ity conditions for optimization problems with variational inequality constraints", SIAM Journal on Optimization 10, pp 943–962 an n va [11] J J Ye (2005), "Necessary and sufficient optimality conditions for mathematical programs with equilibrium constraints", Journal of tn to Mathematical Analysis and Applications 307, pp 350-369 p ie gh d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si