Mô hình chung của một bài toán tối ưutổng quát có dạng:minmax φx với x ∈ C,trong đó hàm φ gọi là hàm mục tiêu hay hàm chi phí, tập C là một tậpkhác rỗng và gọi là tập ràng buộc hay miền
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ HƯƠNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC DÙNG DƯỚI VI PHÂN BẬC HAI FRÉCHET Ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS DƯƠNG THỊ VIỆT AN THÁI NGUYÊN - 2024 Mục lục Mở đầu 4 Lời cảm ơn 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Tập tiếp xúc bậc hai 9 1.2 Tập lồi đa diện suy rộng 14 1.3 Nón pháp tuyến Fréchet và Dưới vi phân Fréchet 18 1.4 Đối đạo hàm và Dưới vi phân bậc hai Fréchet 22 1.5 Một số kiến thức bổ trợ 24 Chương 2 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu có ràng buộc 28 2.1 Điều kiện cần tối ưu cho lớp bài toán tối ưu trơn C2 28 2.2 Điều kiện cần tối ưu cho lớp bài toán tối ưu trơn C1 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 1 Danh mục ký hiệu R trường số thực R = R ∪ {±∞} tập số thực suy rộng ∅ tập rỗng ∀x với mọi x ∃x tồn tại x M ⊂N M là tập con của N M ∩N giao của hai tập hợp M và N M ∪N hợp của hai tập hợp M và N |x| giá trị tuyệt đối của x ||x|| chuẩn của véctơ x ⟨x∗, x⟩ giá trị của phiếm hàm x∗ tại x x hội tụ đến x¯ và x ∈ Ω Ω x −→ x¯ N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x N (x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi của Ω tại x dom φ miền hữu dụng của hàm φ ∇φ(x) đạo hàm Fréchet của φ tại x ∂φ(x) dưới vi phân Fréchet của φ tại x 2 ∂φ(x) dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi của φ tại x F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị F đi từ X vào Y dom F miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị F gph F đồ thị của ánh xạ đa trị F D∗F (x¯, y¯)(·) đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ đa trị F tại (x¯, y¯) ∂2φ(x¯)(·) dưới vi phân bậc hai Fréchet của φ tại x¯ 3 Mở đầu Lý thuyết tối ưu là một ngành toán học đang phát triển mạnh, ngày càng có nhiều ứng dụng quan trọng trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ và quản lý hiện đại Mô hình chung của một bài toán tối ưu tổng quát có dạng: min(max) φ(x) với x ∈ C, trong đó hàm φ gọi là hàm mục tiêu hay hàm chi phí, tập C là một tập khác rỗng và gọi là tập ràng buộc hay miền chấp nhận được Để giải bài toán tối ưu người ta thường phải dựa vào các điều kiện tối ưu bậc nhất và bậc hai Các điều kiện tối ưu bậc nhất được phát biểu thông qua đạo hàm bậc nhất của hàm mục tiêu và xấp xỉ tiếp tuyến của tập ràng buộc Sử dụng hàm Lagrange, người ta có thể xử lý các ràng buộc phiếm hàm bằng cách lấy đạo hàm của chúng Trong các bài toán tối ưu, các điều kiện tối ưu bậc nhất thường đóng vai trò là các điều kiện cần cực trị (Quy tắc Fermat) Quy tắc này cho ta một tiêu chuẩn xác định những điểm có khả năng đạt cực trị của một hàm số Một điểm thoả mãn quy tắc Fermat còn được gọi là một điểm dừng Đối với bài toán tổng quát (không lồi) thì quy tắc Fermat không đủ để ta nhận biết một điểm dừng có là điểm cực trị của bài toán hay không, do đó ta cần sử dụng thêm các điều kiện tối ưu bậc hai Các điều kiện tối ưu bậc hai được phát biểu 4 thông qua đạo hàm bậc hai của hàm mục tiêu và tập tiếp xúc bậc hai của tập ràng buộc Các điều kiện tối ưu có vai trò quan trọng trong việc xây dựng các thuật toán tìm nghiệm tối ưu cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của các thuật toán này Để đưa ra các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu với các dữ liệu không trơn, người ta sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng Trong các tài liệu tham khảo, có hai hướng tiếp cận các đạo hàm suy rộng Hướng thứ nhất là tiếp cận trên không gian nền (primal approach), tức là dùng đạo hàm theo hướng để đặc trưng các điều kiện tối ưu và hướng thứ hai là tiếp cận trên không gian đối ngẫu (dual approach), tức là dùng dưới vi phân để mô tả các điều kiện tối ưu Có thể thấy rằng các hàm không trơn xuất hiện một cách tự nhiên và thường xuyên trong lý thuyết các bài toán tối ưu cũng như các ứng dụng của nó Vì vậy, các công cụ của giải tích không trơn hay phép tính vi phân suy rộng đóng một vai trò quan trọng trong hướng nghiên cứu này Mục đích của đề án này là trình bày các kết quả về điều kiện cần tối ưu bậc hai cho lớp bài toán tối ưu có ràng buộc dùng dưới vi phân bậc hai Fréchet Nội dung của đề án được chúng tôi biên dịch, sắp xếp và trình bày lại một cách có hệ thống từ các kết quả trong bài báo [2] Các chứng minh và các ví dụ minh họa được trình bày một cách chi tiết Đề án gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, và hai chương có nội dung như sau: Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” trình bày các kiến thức về tập tiếp xúc bậc hai, tập lồi đa diện suy rộng, nón pháp tuyến Fréchet, dưới vi phân Fréchet, đối đạo hàm và dưới vi phân bậc hai Fréchet Phần cuối của chương chúng tôi tổng hợp một số kết quả bổ trợ nhằm phục vụ cho việc 5 chứng minh các kết quả ở chương sau Chương 2 “Điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu có ràng buộc”, trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cần tối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu có ràng buộc là tập lồi đa diện suy rộng Cụ thể, trong trường hợp hàm mục tiêu là khả vi liên tục cấp hai, điều kiện cần tối ưu bậc hai được trình bày trong Định lý 2.1 Tiếp theo, kết quả về điều kiện cần tối ưu bậc hai cho bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc là tập lồi đa diện được trình bày trong Định lý 2.2 Nếu hàm mục tiêu chỉ khả vi liên tục đến cấp một, bằng cách dùng dưới vi phân bậc hai Fréchet, ta cũng thu được điều kiện cần tối ưu cấp hai tương ứng Đây là nội dung của Định lý 2.3 6 Lời cảm ơn Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề án này Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tình trong việc truyền đạt vốn kiến thức quý báu cũng như giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian em học tập tại trường Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô TS Dương Thị Việt An, người trực tiếp hướng dẫn đề án cho em Cô đã tận tình hướng dẫn, cung cấp nhiều tài liệu khoa học, dành cho em nhiều thời gian, tâm sức, nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa cho em những chi tiết nhỏ trong đề án, giúp đề án của em được hoàn thiện hơn về mặt nội dung và hình thức Ngoài ra, cô cũng đã luôn quan tâm, hỗ trợ và động viên kịp thời để em có thể hoàn thành đề án đúng tiến độ Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn ủng hộ, động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất để em hoàn thành đề án này 7 Lời sau cùng, em xin kính chúc quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin, cùng toàn thể thầy cô đang công tác tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên thật nhiều sức khỏe để có thể đóng góp nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục và đào tạo và gặt hái nhiều thành công lớn trong nghiên cứu khoa học Thái Nguyên, ngày 24 tháng 01 năm 2024 Học viên Nguyễn Thị Hương 8 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Cho X là không gian Banach, không gian liên hợp thứ nhất và không gian liên hợp thứ hai của X được kí hiệu lần lượt là X∗ và X∗∗ 1.1 Tập tiếp xúc bậc hai Trước khi trình bày định nghĩa tập tiếp xúc bậc hai chúng tôi nhắc lại định nghĩa về nón tiếp xúc hay nón tiếp tuyến Nói một cách đơn giản, nón tiếp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp tại một điểm cho trước và đây là một cấu trúc trong không gian nền Định nghĩa 1.1 (xem [10, Định nghĩa 3.11]) Một hướng v được gọi là hướng tiếp xúc (tangent) của C ⊂ X tại x¯ ∈ C nếu tồn tại một dãy điểm xk ∈ C và một dãy số dương τk > 0, k ∈ N, sao cho τk → 0+ và v = lim τk−1(xk − x¯) k→∞ Tập tất cả các hướng tiếp xúc của C tại x¯ ∈ C, ký hiệu là TC(x¯), được gọi là nón tiếp xúc (contingent cone) hay nón tiếp tuyến Bouligand-Severi (Bouligand-Severi tangent cone) của C tại x¯ Từ định nghĩa ta thấy rằng v ∈ TC(x¯) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy {τk} các số dương và một dãy các véc tơ {vk} với τk → 0+ và vk → v khi k → ∞ sao cho xk := x¯ + τkvk thuộc vào tập C với mọi k ∈ N 9