Ác điều kiện tối ưu cho lớp bài toán tối ưu có ràng buộc dùng dười vi phân bậc hai fréchet

Mô hình chung của một bài toán tối ưutổng quát có dạng:minmax φx với x ∈ C,trong đó hàm φ gọi là hàm mục tiêu hay hàm chi phí, tập C là một tậpkhác rỗng và gọi là tập ràng buộc hay miền

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ RÀNG BUỘC DÙNG DƯỚI VI PHÂN BẬC HAI FRÉCHET

Mục lục

Mở đầu 4

Lời cảm ơn 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 9

1.1 Tập tiếp xúc bậc hai 9

1.2 Tập lồi đa diện suy rộng 14

1.3 Nón pháp tuyến Fréchet và Dưới vi phân Fréchet 18

1.4 Đối đạo hàm và Dưới vi phân bậc hai Fréchet 22

1.5 Một số kiến thức bổ trợ 24

Chương 2 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu có ràng buộc 28

2.1 Điều kiện cần tối ưu cho lớp bài toán tối ưu trơn C2 28

2.2 Điều kiện cần tối ưu cho lớp bài toán tối ưu trơn C1 33

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

||x|| chuẩn của véctơ x

b

N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x

N (x; Ω) nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi của Ω tại xdom φ miền hữu dụng của hàm φ

∇φ(x) đạo hàm Fréchet của φ tại x

b

∂φ(x) dưới vi phân Fréchet của φ tại x

∂φ(x) dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi của φ tại x

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị F đi từ X vào Y

dom F miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị F

Mở đầu

Lý thuyết tối ưu là một ngành toán học đang phát triển mạnh, ngàycàng có nhiều ứng dụng quan trọng trong mọi lĩnh vực khoa học, kỹ thuật,công nghệ và quản lý hiện đại Mô hình chung của một bài toán tối ưutổng quát có dạng:

min(max) φ(x) với x ∈ C,

khác rỗng và gọi là tập ràng buộc hay miền chấp nhận được

Để giải bài toán tối ưu người ta thường phải dựa vào các điều kiện tối

ưu bậc nhất và bậc hai Các điều kiện tối ưu bậc nhất được phát biểuthông qua đạo hàm bậc nhất của hàm mục tiêu và xấp xỉ tiếp tuyến củatập ràng buộc Sử dụng hàm Lagrange, người ta có thể xử lý các ràng buộcphiếm hàm bằng cách lấy đạo hàm của chúng Trong các bài toán tối ưu,các điều kiện tối ưu bậc nhất thường đóng vai trò là các điều kiện cần cựctrị (Quy tắc Fermat) Quy tắc này cho ta một tiêu chuẩn xác định nhữngđiểm có khả năng đạt cực trị của một hàm số Một điểm thoả mãn quytắc Fermat còn được gọi là một điểm dừng Đối với bài toán tổng quát(không lồi) thì quy tắc Fermat không đủ để ta nhận biết một điểm dừng

có là điểm cực trị của bài toán hay không, do đó ta cần sử dụng thêmcác điều kiện tối ưu bậc hai Các điều kiện tối ưu bậc hai được phát biểu

thông qua đạo hàm bậc hai của hàm mục tiêu và tập tiếp xúc bậc hai củatập ràng buộc Các điều kiện tối ưu có vai trò quan trọng trong việc xâydựng các thuật toán tìm nghiệm tối ưu cũng như đánh giá tốc độ hội tụcủa các thuật toán này.

Để đưa ra các điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu với các dữ liệukhông trơn, người ta sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng Trong cáctài liệu tham khảo, có hai hướng tiếp cận các đạo hàm suy rộng Hướngthứ nhất là tiếp cận trên không gian nền (primal approach), tức là dùngđạo hàm theo hướng để đặc trưng các điều kiện tối ưu và hướng thứ hai

là tiếp cận trên không gian đối ngẫu (dual approach), tức là dùng dưới viphân để mô tả các điều kiện tối ưu Có thể thấy rằng các hàm không trơnxuất hiện một cách tự nhiên và thường xuyên trong lý thuyết các bài toántối ưu cũng như các ứng dụng của nó Vì vậy, các công cụ của giải tíchkhông trơn hay phép tính vi phân suy rộng đóng một vai trò quan trọngtrong hướng nghiên cứu này

Mục đích của đề án này là trình bày các kết quả về điều kiện cần tối ưubậc hai cho lớp bài toán tối ưu có ràng buộc dùng dưới vi phân bậc haiFréchet Nội dung của đề án được chúng tôi biên dịch, sắp xếp và trìnhbày lại một cách có hệ thống từ các kết quả trong bài báo [2] Các chứngminh và các ví dụ minh họa được trình bày một cách chi tiết

Đề án gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo,

và hai chương có nội dung như sau:

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” trình bày các kiến thức về tập tiếpxúc bậc hai, tập lồi đa diện suy rộng, nón pháp tuyến Fréchet, dưới viphân Fréchet, đối đạo hàm và dưới vi phân bậc hai Fréchet Phần cuối củachương chúng tôi tổng hợp một số kết quả bổ trợ nhằm phục vụ cho việc

chứng minh các kết quả ở chương sau.

Chương 2 “Điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu có ràngbuộc”, trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả về điều kiện cầntối ưu bậc hai cho bài toán tối ưu có ràng buộc là tập lồi đa diện suy rộng

Cụ thể, trong trường hợp hàm mục tiêu là khả vi liên tục cấp hai, điềukiện cần tối ưu bậc hai được trình bày trong Định lý 2.1 Tiếp theo, kếtquả về điều kiện cần tối ưu bậc hai cho bài toán quy hoạch toàn phươngvới ràng buộc là tập lồi đa diện được trình bày trong Định lý 2.2 Nếu hàmmục tiêu chỉ khả vi liên tục đến cấp một, bằng cách dùng dưới vi phânbậc hai Fréchet, ta cũng thu được điều kiện cần tối ưu cấp hai tương ứng.Đây là nội dung của Định lý 2.3

Lời cảm ơn

Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, PhòngĐào tạo trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điềukiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành đề

án này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin,trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã nhiệt tình trong việctruyền đạt vốn kiến thức quý báu cũng như giúp đỡ em rất nhiều trongthời gian em học tập tại trường

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô TS.Dương Thị Việt An, người trực tiếp hướng dẫn đề án cho em Cô đã tậntình hướng dẫn, cung cấp nhiều tài liệu khoa học, dành cho em nhiều thờigian, tâm sức, nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa cho em những chitiết nhỏ trong đề án, giúp đề án của em được hoàn thiện hơn về mặt nộidung và hình thức Ngoài ra, cô cũng đã luôn quan tâm, hỗ trợ và độngviên kịp thời để em có thể hoàn thành đề án đúng tiến độ

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè và đồngnghiệp những người luôn ủng hộ, động viên và tạo mọi điều kiện tốt nhất

để em hoàn thành đề án này

Lời sau cùng, em xin kính chúc quý thầy cô trong Khoa Toán - Tin,cùng toàn thể thầy cô đang công tác tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên thật nhiều sức khỏe để có thể đóng góp nhiều hơn nữacho sự nghiệp giáo dục và đào tạo và gặt hái nhiều thành công lớn trongnghiên cứu khoa học.

Thái Nguyên, ngày 24 tháng 01 năm 2024

Học viên

Nguyễn Thị Hương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Tập tiếp xúc bậc hai

Trước khi trình bày định nghĩa tập tiếp xúc bậc hai chúng tôi nhắc lạiđịnh nghĩa về nón tiếp xúc hay nón tiếp tuyến Nói một cách đơn giản,nón tiếp tuyến là xấp xỉ bậc nhất của tập hợp tại một điểm cho trước vàđây là một cấu trúc trong không gian nền

v = lim

k→∞



τk−1(xk − ¯x)

gọi là nón tiếp xúc (contingent cone) hay nón tiếp tuyến Bouligand-Severi

k → ∞ sao cho xk := ¯x + τkvk thuộc vào tập C với mọi k ∈ N.

Hình 1.1: Nón tiếp xúc của tập lồi.

Hình 1.3: Minh hoạ nón tiếp xúc của tập C trong Ví dụ (1.1) b).

(0, 0)T Thật vậy, xét các điểm chấp nhận được

xk =



1

k2, 1k

Mệnh đề 1.1 (xem [10, tr 115]) Giả sửa rằng X = Rn và tập C đượccho dưới dạng

biểu diễn (1.1)

⟨∇gi(¯x), x0 − ¯x⟩ < 0, i ∈ I0(¯x), ⟨∇hj(¯x), x0 − ¯x⟩ = 0, j = 1, , p,

diễn (1.1)

gi(xs) < 0, i = 1, , m, hj(xs) = 0, j = 1, , p thì ta cũng thu được biểudiễn (1.1) Điều kiện này còn được gọi là điều kiện Slater

Tập tiếp xúc bậc hai của một tập hợp là khái niệm quan trọng, cho phépđạt được bậc xấp xỉ tốt hơn cho một tập hợp tại mỗi điểm được xét ở lâncận một điểm cho trước

điểm x ∈ C¯ theo hướng tiếp xúc v, nếu tồn tại một dãy các số dương

τk > 0 và một dãy các điểm xk ∈ C, k ∈ N sao cho τk → 0+ và

w = lim

k→∞

xk− ¯x − τkv

τ 2 k

2

Chú ý rằng đẳng thức (1.2) có thể được biểu diễn như sau

xk = ¯x + τkv + τ

2 k

2 w + o(τ

2

k)

Vậy, w ∈ TC2(¯x, v) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy các số dương {τk} và

1.2 Tập lồi đa diện suy rộng

được gọi là lồi đa diện suy rộng (generalized polyhedral convex set) nếu

L ⊂ X, sao cho

D = {x ∈ X | x ∈ L, ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, 2, , p} (1.3)

Từ Định nghĩa 1.3 ta thấy rằng mọi tập lồi đa diện suy rộng là một tập

diện suy rộng nếu và chỉ nếu nó lồi đa diện; xem [7, tr 541]

tơ y ∈ Y sao cho L = {x ∈ X | Ax = y} Khi đó,

D = x ∈ X | Ax = y, ⟨x∗i, x⟩ ≤ αi, i = 1, 2, , p (1.4)Trong toàn bộ luận văn này chúng ta sẽ sử dụng biểu diễn (1.4) cho tậplồi đa diện suy rộng

Đặt I = {1, 2, , p} và với mọi x ∈ D, đặt

I(x) := {i ∈ I | ⟨x∗i, x⟩ = αi}

Ta có công thức biểu diễn nón tiếp xúc và tập tiếp xúc bậc hai cho tậplồi đa diện suy rộng như sau

(i) TD(¯x) = {v ∈ X | Av = 0, ⟨x∗i, v⟩ ≤ 0, i ∈ I(¯x)} với mọi x ∈ D¯ ;(ii) TD2(¯x, v) = TTD(¯ (v) với mọi x ∈ D¯ và v ∈ TD(¯

Chứng minh (i) Để chứng minh

TD(¯x) ⊂ {v ∈ X | Av = 0, ⟨x∗i, v⟩ ≤ 0, i ∈ I(¯x)}, (1.5)

⟨x∗i, ¯x + τkvk⟩ ≤ αi với mọi i ∈ I Điều này suy ra

A(τkvk) = 0 và ⟨x∗i, τkvk⟩ ≤ 0 (∀i ∈ I(¯x), ∀k ∈ N) (1.6)

Từ (1.6) ta có

A(vk) = 0 và ⟨x∗i, vk⟩ ≤ 0 (∀i ∈ I(¯x), ∀k ∈ N) (1.7)Cho k → ∞, từ (1.7) ta đượcA(v) = 0 và ⟨x∗i, v⟩ ≤ 0 với bất kỳ i ∈ I(¯x)

⟨x∗i, ¯x⟩ = αi với i ∈ I(¯x), và ⟨x∗i, ¯x⟩ < αi với i ∈ I \ I(¯x) Khi đó, vớimọi t > 0 đủ nhỏ, ta có A(¯x + tv) = y, ⟨x∗i, ¯x + tv⟩ ≤ αi với i ∈ I(¯x) và

⟨x∗i, ¯x + tv⟩ < αi với i ∈ I \ I(¯x) Vậy, x + tv ∈ D¯ với mọi t > 0 đủ nhỏ.

⟨x∗

i, v⟩ ≤ 0 với mọi i ∈ I(¯x) Hơn nữa, vì

TD(¯x) = {u ∈ X | Au = 0, ⟨x∗i, u⟩ ≤ 0, i ∈ I(¯x)}, (1.8)bằng cách áp dụng tương tự, chúng ta có thể tính được tập tiếp xúc của

TTD(¯ (v) = u ∈ X | Au = 0, ⟨x∗i, u⟩ ≤ 0, i ∈ I0(v) , (1.9)

ở đó I0(v) := {i ∈ I(¯x) | ⟨x∗i, v⟩ = 0} Một mặt, với mọi véc tơ cố định

w ∈ TD2(¯x, v), ta có thể tìm được các dãy τk → 0+ và wk → w sao cho

¯

x + τkv + τ

2 k

2 wk



= 0 và x∗i, τ

2 k

2 wk

≤ 0, ∀i ∈ I0(v) (1.10)

Vì τk > 0, (1.10) suy ra A (wk) = 0 và ⟨x∗i, wk⟩ ≤ 0 với mọi i ∈ I0(v)

Cho k → ∞, ta thu được A (w) = 0 và ⟨x∗i, w⟩ ≤ 0 với mọi i ∈ I0(v)

i ∈ I0(v) Theo định nghĩa của I0(v), ta có ⟨x∗

i, v⟩ = 0 với mọi i ∈ I0(v)

và⟨x∗i, v⟩ < 0 với bất kỳ i ∈ I(¯x) \ I0(v) Hơn nữa, vìx ∈ D¯ , nên A¯x = y,

⟨x∗i, ¯x⟩ = αi với i ∈ I(¯x), và ⟨x∗i, ¯x⟩ < αi với i ∈ I \ I(¯x) Vậy, với mọi

t > 0 đủ nhỏ, ta có A(¯x + tv + t22w) = y, ⟨x∗i, ¯x + tv + t22w⟩ ≤ αi với mọi

i ∈ I0(v) và ⟨x∗i, ¯x + tv + t22w⟩ < αi với mọi i ∈ I \ I0(v) Điều này suy ra

x + tv +t2w ∈ D với mọi t > 0 đủ nhỏ Vì vậy, w ∈ TD2(¯x, v) Như vậy ta

¯

x ∈ D và v ∈ TD(¯ , ta có TD(¯x) ⊂ TD2(¯x, v) Thật vậy, ta biểu diễn D

dưới dạng (1.4) và áp dụng các công thức được thiết lập như trong chứng

TD2(¯x, v) = TTD(¯ (v), ta kết luận TD(¯x) ⊂ TD2(¯x, v) Chú ý rằng bao hàmthức này có thể chặt Ta xét ví dụ sau

TD(¯x) =u = (u1, u2) ∈R2 | u1 ≥ 0, u2 ≥ 0

Hình 1.4: Minh hoạ tập D.

1.3 Nón pháp tuyến Fréchet và Dưới vi phân Fréchet

Cho φ : X → R := R∪ {±∞} là hàm số nhận giá trị trong tập số thực

φ(x) > −∞ với mọi x ∈ X

b

∂φ(¯x) = ∂φ(¯x) = {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, x − ¯x⟩ ≤ φ(x) − φ(¯x), ∀x ∈ X},

theo nghĩa giải tích lồi

Mệnh đề 1.6 (xem [8, tr 90]) Cho φ : X → R với |φ(¯x)| < ∞ Khi

Ta xét các ví dụ minh hoạ sau đây cho việc tính toán dưới vi phânFréchet

phân theo nghĩa giải tích lồi Khi đó, bằng tính toán đơn giản ta thu đượcb

∂φ(¯x) = [−1, 1]

2|x| và

¯

x = 0 Ta thấy φ không phải là hàm lồi Ta sẽ dùng định nghĩa để tính

nếu x < 0,ˆ



−12

nếu x > 0.ˆ

N (¯x; Ω) = {(x1, x2) ∈R2 | x1 ≤ 0, x2 ≤ 0}

1.4 Đối đạo hàm và Dưới vi phân bậc hai Fréchet

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach Miền

tương ứng như sau:

domF = {x ∈ X | F (x) ̸= ∅},

gphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x), x ∈ domF },rge F = {y ∈ Y | ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Nhờ khái niệm nón pháp tuyến Fréchet đã được xét ở trên, ta có thểđịnh nghĩa đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ đa trị như sau

Định nghĩa 1.7 (xem [8, tr 40]) Đối đạo hàm Fréchet (Fréchet

cho bởi công thức

b

D∗F (¯x, ¯y)(y∗):=nx∗ ∈ X∗ | (x∗, −y∗) ∈N ((¯b x, ¯y); gph F )o, ∀y∗ ∈ Y∗

Nếu(¯x, ¯y) /∈ gph F thì ta quy ước rằng tập bD∗F (¯x, ¯y)(y∗) là rỗng, với mọi

y∗ ∈ Y∗

b

∂2φ(¯x, ¯y)(u) = (Db∗∂φ)(¯b x, ¯y)(u) (u ∈ X∗∗)

được gọi là dưới vi phân bậc hai Fréchet (Fréchet second-order

Nếu φ khả vi liên tục đến cấp hai, khi đó

b

∂2φ(¯x)(u) = {(∇2φ(¯x))∗u}, ∀u ∈ X∗,

Tính toán trực tiếp ta thu được

x nếu x > 0

¯

x = 0,hàmφkhông khả vi cấp hai, ta đi tính dưới vi phân bậc hai b∂2φ(¯x)

ở đó conv Ω là bao lồi của tập Ω.

K∗ := {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, x⟩ ≤ 0, ∀x ∈ K}

đó A, y, x∗i, và αi với i = 1, , p được xác định như ở trong (1.4), là một

tập lồi đa diện suy rộng Với bất kỳ v ∈ TC(¯ mà −v ∈ TC(¯ , ta có

TC2(¯x, −v) = TC2(¯x, v) (1.18)

TTC(¯ (−v) Hơn nữa, ta có TTC(¯ (v) = [NTC(¯ (v)]∗ và TTC(¯ (−v) =[NTC(¯ (−v)]∗ Vì vậy,

TC2(¯x, v) = [NTC(¯ (v)]∗ và TC2(¯x, −v) = [NTC(¯ (−v)]∗ (1.19)Theo [7, Mệnh đề 4.2], ta có

NC(¯x) = conex∗i | i ∈ I(¯x) + (ker A)⊺,

ở đó I(¯x) = {i ∈ I | ⟨x∗i, ¯x⟩ = αi} và

(ker A)⊺ = {x∗ ∈ X∗ | ⟨x∗, x⟩ = 0, ∀x ∈ ker A}

Mặt khác theo Mệnh đề 1.4,

TC(¯x) = {v ∈ X | Av = 0, ⟨x∗i, v⟩ ≤ 0, i ∈ I(¯x)}

và ⟨x∗i, −v⟩ ≤ 0 với mọi i ∈ I(¯x) Điều này có nghĩa rằng Av = 0 và

⟨x∗i, v⟩ = 0 với mọi i ∈ I(¯x) Đặt I0(u) = {i ∈ I(¯x) | ⟨x∗i, u⟩ = 0} vớimọi u ∈ TC(¯x), ta suy ra I0(v) = I(¯x) = I0(−v) Vì vậy, theo [7, Mệnh

Xét bài toán tối ưu có ràng buộc

của bài toán (P) thì khi đó

⟨∇f (¯x), v⟩ ≥ 0 với mọi v ∈ TC(¯x) (1.20)

⟨∇f (¯x), w⟩ + ⟨∇2f (¯x)v, v⟩ ≥ 0 với mọi w ∈ TC2(¯x, v) (1.21)

dùng trong chứng minh ở Chương 2

⟨∇f (¯x), w⟩ ≥ 0 với mọi w ∈ TC2(¯x, v) (1.22)

lồi đa diện suy rộng, theo như khẳng định trong [7, Mệnh đề 2.22] Vậy,

2.1 Điều kiện cần tối ưu cho lớp bài toán tối ưu trơn C2

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán tối ưu có ràng buộc (P) với giả thiết

và ⟨∇2f (¯x)v, v⟩ ≥ 0 được thoả mãn thì ⟨∇f (¯x), w⟩ + ⟨∇2f (¯x)v, v⟩ ≥ 0

trong (1.21) cũng được thoả mãn

một phiên bản về điều kiện cần tối ưu như sau

đúng và các điều kiện sau cũng thoả mãn:

(c1) ⟨∇f (¯x), w⟩ ≥ 0 với mọi w ∈ TC2(¯x, v), ở đó v ∈ TC(¯ sao cho

⟨∇f (¯x), v⟩ = 0 (tức là, v là hướng chấp nhận được),

(c2) ⟨∇2f (¯x)v, v⟩ ≥ 0 với mọi v ∈ TC(¯ thoả mãn ⟨∇f (¯x), v⟩ = 0

ở đó v ∈ TC(¯ và ⟨∇f (¯x), v⟩ = 0 Theo Bổ đề 1.2, ta có ⟨∇f (¯x), w⟩ ≥ 0

Nếu v = 0, khi đó bất đẳng thức⟨∇2f (¯x)v, v⟩ ≥ 0 là hiển nhiên Bây giờ,

2 ⟨∇2f (¯x)v, v⟩ + o(λ2) ≥ 0 với mọi λ ∈ (0, ¯λ]

⟨∇2f (¯x)v, v⟩ ≥ 0 □

hàm thức có thể chặt (xem Nhận xét 1.2), nên trong phát biểu của Định

u ∈ TC(¯ trong (1.20)

Bây giờ ta cụ thể hoá Định lý 2.1 cho bài toán quy hoạch toàn phươngtrong không gian Banach Nhắc lại rằng bài toán (P) được gọi là bài toán

đó M : X → X∗ là toán tử tuyến tính bị chặn, q ∈ X∗, và α ∈ R Ta giả

Vì ∇f (x) = M x + q và ∇2f (x)v = M v với mọi x, v ∈ X, từ Định lý 2.1

ta có điều kiện cần tối ưu cho bài toán quy hoạch toàn phương như sau.Định lý 2.2 Giả sử bài toán (P) là bài toán quy hoạch toàn phương với

ta có

(c0) ⟨M ¯x + q, v⟩ ≥ 0 với mọi v ∈ TC(¯ ;

⟨M ¯x + q, v⟩ = 0,

các khẳng định trong Định lý 2.1 không còn đúng nữa Hay nói cách khác,trong trường hợp tổng quát cặp điều kiện (c1) và (c2) là mạnh hơn điềukiện (1.21)

f (x) = −2x21 − x2

C = x = (x1, x2) | g(x) = 2x21 + 3x22 − 6 ≤ 0

toán (P) thì

0 ∈ ∇f (¯x) +N (¯b x; C) (2.1)

b

N (¯x; C) trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi củaC tạix¯ Khi

3, 0)T, x¯3 = (0, −√

2)T, x¯4 = (0,√

năm x¯5 = (0, 0)T So sánh các giá trị của hàm f tại năm điểm này ta kết

3, 0)T và x¯2 = (−√

3, 0)T là nghiệm cực tiểu toàn cục

Điều này có nghĩa rằng điều kiện chính quy Slater được thoả mãn Vì vậy,theo Mệnh đề 1.1, ta có

TC(¯x1) = {v ∈ R2 | ⟨∇g(¯x1), v⟩ ≤ 0}

= {v = (v1, v2) ∈ R2 | v1 ≤ 0, v2 ∈ R}