Luận văn phương trình heperbolic mạnh trong trụ với đáy là miền chứa điểm góc

PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học gắn liền với thực tiễn, ngày phát triển Toán học đánh đấu ứng dụng Toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực Toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Từ đời phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung Tốn học nói riêng Đặc biệt phương trình loại Hyperbolic có ứng dụng lớn khoa học thực tiễn Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng đại, thường việc chứng minh tồn tại, nghiệm suy rộng không gian Sobolev, sau nhờ cơng cụ giải tích hàm, ta làm cho nghiệm suy rộng dần đến đòi hỏi nghiệm thông thường [2, 3, 4, 5] Tong năm chín mươi kỉ XX - GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng xét toán biên hệ phương trình Hyperbolic mạnh trụ hữu hạn với đáy miền biên không trơn nhận định lí tồn nghiệm suy rộng tính trơn theo biến thời gian Được hướng dẫn tận tình GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng, với u thích mơn học mạnh dạn lựa chon đề tài: “ Phương trình Hyperbolic mạnh cấp hai trụ với đáy miền chứa điểm góc” Mục đích luận văn làm rõ tồn tại, tính nghiệm tốn biên ban đầu phương trình Hyperbolic mạnh cấp hai trụ với đáy miền chứa điểm góc Nội dung luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Chúng tơi trình bày kiến thức kí hiệu, số khơng gian hàm Điều giúp cho bạn đọc thuận tiện dễ dàng việc tìm hiểu luận văn Chương 2: Nội dung chương nêu định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh tồn tại, tính Phương trình Hyperbolic mạnh cấp hai trụ với đáy miền chứa điểm góc Chương 3: Nội dung chương nghiệm suy rộng hàm trơn theo biến thời gian t vế phải phương trình hệ số hàm trơn theo t Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải tốn biên ban đầu thứ hai phương trình Hyperbolic mạnh cấp hai trụ với đáy miền chứa điểm góc, sau nghiên cứu tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn toán biên ban đầu thứ hai, tồn nghiệm tính trơn nghiệm suy rộng theo biến thời gian Phạm vi nghiên cứu tốn biên ban đầu thứ hai phương trình hyperbolic mạnh cấp hai trụ với đáy miền chứa điểm góc Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Galerkin phương pháp lượng CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các kí hiệu +  n không gian Euclide n - chiều , x   x1 , , xn    n Cho hai điểm x, y   n , x   x1 , , xn  , y   y1 , , yn  , tích vơ hướng xác định công thức n xy   xi yi i 1 khoảng cách chúng xác định công thức n x  y     xi  yi    i 1  +  miền  n , tức tập mở liên thông, với biên       Giả sử  T   Kí hiệu: QT     0, T    x, t  : x , t   0, T  trụ  n1 Mặt xung quanh ST    0,T    x, t  : x , t   0,T  + Trong trường hợp u  x, t   QT , để đạo hàm suy rộng cấp theo biến t ta viết k k   ut t k t k k + Giá hàm bao đóng tập hợp tất điểm mà hàm khác khơng kí hiệu supp Kí hiệu C k    tập hợp tất hàm có đạo hàm riêng liên tục đến cấp k miền  ,  k  , C0     C    o o o C k     C     C k    , C    tập hợp tất hàm liên tục  có giá compact thuộc  + L2  QT  không gian với chuẩn u L2  QT  T  u 0  dt  L    2 1.2 Một số không gian hàm 1.2.1 Không gian L2    Định nghĩa 1.1 Cho  miền  n Khi L2    không gian bao gồm tất hàm u  x  khả tổng cấp hai theo Lebesgue  , tức : u dx    Không gian L2    không gian Banach với chuẩn u L2    L2     2    u dx    khơng gian Hilbert với tích vô hướng  u, v    uvdx ,  u, v  L    1.2.2 Khơng gian Sobolev  Trung bình hóa o Giả sử   x  hàm không âm thuộc C    n  cho  x   x ,   x   x     x   Hàm   x  gọi nhân trung bình hóa n Để ví dụ, ta lấy hàm sau:    C exp   , x     x    x    x 1   x   0, Với hàng số C chọn thích hợp Nếu u  L2    , hàm  x y uh  x   h  n     u  y  dy  h   Định lí 1.1 [1] Giả sử hàm u  L2    Khi Lim uh  u h 0 L2    0 Chứng minh : Đặt u  x   x   n \  Khi đó, x y uh  h  n     u  y  dy     z  u  x  hz  dz  h    n Bởi vậy, uh  x   u  x      z  u  x  hz   u  x   dz, n uh  x   u  x   C  u  x  hz   u  x  dz z 1 Sau lấy tích phân bất đẳng thức theo x đổi thứ tự lấy tích phân nhờ Định lí Fubini ta nhận  u  x  u  x  h dx  C dz  u  x  hz   u  x  dx  z 1  Do tính liên tục tồn cục hàm thuộc khơng gian L2    , tích phân sau dần đến khơng h  Định lí chứng minh Định lí 1.2 [1] Nếu f , g  L1    ,  f  x g  x dx   f  x g  x dx  h  h Chứng minh Theo định nghĩa trung bình hóa, ta có    f  x  g  x  dx  h      n  h   x y   f  y  dy  g  x  dx h    yx  h  n  f  y  dy     g  x  dx   f  x  g h  x  dx h      Định lí chứng minh  Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.2 Giả sử  miền không gian  n Một hàm   L1    gọi có đạo hàm suy rộng cấp  hàm u  L1    nếu:    u  x  D   x  dx   1   x   x  dx  với   C   o   ,    , ,   ,    n 1  + n Định lí 1.3 [1] Giả sử  miền không gian  n ,  ' miền  , cho khoảng cách  '  d  Khi đó,  h  d x   ' , ta có  D u   x   D u  x    h h Chứng minh  x  y  o Do  h  d x   ' , hàm    C   x   ' , nên  h  sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng, ta nhận x y D uh  x   Dx h  n     u  y  dy h    n  x y  h  n   1 Dy    u  y  dy  h   x y    h n    Dy u  y  dy   D u h  x   h   Định lí chứng minh Bây ta xét trường hợp n = mối liên hệ đạo hàm suy rộng, đạo hàm thơng thường tính liên tục tuyệt đối hàm khoảng hữu hạn  a, b  Ta nhớ lại rằng, hàm f  x  liên tục tuyệt đối  a, b  tồn hàm khả tổng g  x  đoạn này, cho x f  x    g  t  dt const , x   a, b  a Định lí 1.4 [1] Giả sử f  x  liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn  a, b  Khi tồn đạo hàm thơng thường f '  x  hầu khắp  a, b  Hơn nữa, f '  x  hàm khả tổng  a, b  x f  x   f  a    f '  t  dt a Định lí 1.5 [1] Nếu hàm f  z  liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn  a, b  , có đạo hàm suy rộng khoảng o Chứng minh Giả sử   C     Khi f  hàm liên tục ttuyệt đối khoảng  a, b  Theo Định lí 1.4 hàm f f  có đạo hàm thơng thường hầu khắp  a, b  b  a b b a a f '  t   t  dt    f  t   t   ' dt   f  t  '  t  dt b    f  t  '  t  dt a Do đó, f '  x  đạo hàm suy rộng f  x   a, b  Định lí chứng minh Định lí 1.6 [1] Giả sử f  x  có đạo hàm suy rộng khoảng hữu hạn  a, b  Khi f  x  hàm liên tục tuyệt đối khoảng  a, b  hầu khắp  a, b  có đạo hàm theo nghĩa thơng thường f ' x  Chứng minh Giả sử f có đạo hàm suy rộng f1 khoảng o f1  L1  a, b  Giả sử g  C  b  a, b   g  t  dt  a Đặt x   x   f  x    f1  t  dt  C , a C số chọn cho : b    t  g  t  dt  a  a, b  Khi o Khi với hàm   x   C   a, b  ta có b b b x a a a a b b a a    t  '  t  dt   f  t  '  t  dt    f  t  dt '  x  dx   f  t  '  t  dt   f1  t   t  dt  b b o Đặt   x     x   g  x    t  dt Ta có   x   C   a, b     t  dt  Ta a a nhận x o 1  x      t  dt  C   a, b  , a b b b a a a    x   x  dx     x   x  dx     x   x   ' x o với   x   C   a, b  Do   x   f  x    f1  t  dt  C , a C = const, tức la f hàm liên tục tuyệt đối f '  x   f1  x  hầu khắp  a, b  Định lí chứng minh  Khơng gian W21    + W21    không gian bao gồm tất hàm u  x   L2    , cho  u  x   L2    có chuẩn xác định cơng thức i u o W21     n 2      u dx   i 1   i o + W21    bao đóng C     chuẩn W21    + W21,1  QT  không gian bao gồm tất hàm u  x, t   L2  QT  , cho tồn đạo hàm suy rộng theo x thuộc L2  QT  theo t thuộc L2  QT  với chuẩn sau : u W21,1  QT   n 2 u      iu dxdt   dxdt   t i 1 Q Q   T T o + W21,1  QT  bao đóng khơng gian W21,1  QT  tập hợp tất u  x, t   C   QT  hàm  x, t   Q T cho u  x, t     x, t   QT : dist  x, t  , ST     ,  số dương đủ bé L2  QT  CHƯƠNG II: BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU THỨ HAI ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC MẠNH CẤP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN CHỨA ĐIỂM GĨC 2.1 Thiết lập tốn Ta nghiên cứu phương trình Hyperbolic tuyến tính cấp hai Xét trụ QT     0, T  , T  cont  ,  miền bị chặn  chứa hình hộp n    x   : a  x  b , i  1, , n n i i i với cạnh d1 giả sử đường kính  d ,  miền tâm hình hộp  Kí hiệu n n L( x, t , D)    aij  x, t    bi ( x, t )  c( x, t ), i j (2.1) i i , j 1 i 1 aij , bi , c hàm giá trị phức bị chặn trụ đóng QT , aij   1 a ji với i, j = 1, , n aij liên tục QT Xét trụ QT i j phương trình  2u L( x, t , D)u   f ( x, t ); t u  x,0   u  x,0   0; t n N (u ) S   aij T i , j 1 (2.2)  2.3 u cos  v, xi   x j  2.4  v pháp vectơ mặt ST Phương trình (2.2) gọi phương trình Hyperbolic mạnh cấp hai miền QT thỏa mãn điều kiện n  a  x, t   i , j 1 ij i j    ,   const  0, 10 (2.5) n     C1    x, b    vi  x, b  dxdt i 1 Q  t  (2.16) b Kí hiệu n   2 y b      x, b    vi  x, b   dx i 1   t  b Khi từ (2.16) suy    dy  Cy  b  , b  0,  , db  2C2  C số không phụ thuộc vào b Từ Bổ đề (3.1) chương    III [1] suy u  x, t   đoạn 0,  Lặp lại lí luận  2C2         t   ,  , ta có u  x, t   đoạn 0,  Như vậy, sau số hữu  C2   2C2 C2  hạn bước ta nhận u  x, t    0, T  , tức u  QT Định lí chứng minh 2.4 Định lí tồn nghiệm suy rộng Xét phương trình (2.2) với giả thiết f  L2  QT  Ta có định lí sau Định lí 2.2 [1] Giả sử điều kiện Định lí 2.1 thực f  L2  QT  Khi đó, tốn (2.2), (2.3), (2.4) có nghiệm suy rộng u  x, t  không gian W21,1  QT  Hơn có bất đẳng thức u W21,1 C f Q  T L2  QT   2.17  , C=const  Chứng minh: Ta sử dụng phương pháp Galerkin Giả sử k  x  hệ hàm o o W    , cho bao đóng bao tuyến tính W21    hệ trực chuẩn L2    Xét dãy hàm dạng 16 N u N  x, t    CkN  t  k  x  , k 1 CkN  t  , k=1, , N, nghiệm phương trình vi phân thường cấp hai sau n   2u N    aij u N  l dx   t l i , j 1   j   b  u n i i 1 i   2.18  c1u N l dx    f l dx, N i CkN    0,  d N Ck    0, dt  2.19  l  1, , N; k= 1, , N, a00 c1 hệ số chứng minh Định lí 2.1 Đây phương trình vi phân thường tuyến tính giải d 2CkN , số hạng tự thuộc L2  0, T  Hệ có nghiệm với điều dt dCiN d 2CkN  L2  0,T  Nhân (2.18) với kiện ban đầu (2.19) Hơn nữa, , sau dt dt lấy tổng theo l từ đến N, ta nhận N n   2u N u N u N N u N aiu    t  a00u t   t i 1   t i n   a j u N j j 1 n u N u N    aij u N   dx t i , j 1 t  j i N N  n  u N N u N u     bi  u  c1u dx dx    f t t  t   i 1  i Lấy tích phân đẳng thức theo t từ đến t : N n   2u N u N u N N u N aiu    t  a00u t   t i 1 Q  t i t n   a j u N j 1 j n u N u N    aij u N   dxdt t i , j 1 t  j 17 i N N  n  u N N u N u dxdt     bi  u  c1u dxdt    f t t  t   i 1  i  2.20  Do ta có a  a ij u N  u N  ij  j u N  u N t t  j  i i u N u N N N ,  aij  u  aij j u  t t j i i nên cộng (2.20) với liên hợp phức sử dụng giả thiết aij   1 a ji Kết nhận i j   u N  x, t  dx  B1  u N , u N   t  t N N  n  N u N u 2Re    bi  u  c1u dxdt t t  Q  i 1 i t n  a a  Re    00 u N u N dxdt    i u N  u N dxdt i 1 Q t  Q t i t t n   a j j 1 Qt t   2 Re  f  Qt n  u u dxdt    N N j i , j 1 Qt aij   u N  u N dxdt  t  j i u N dxdt t  2.21 Đặt  y  t     u N  x,  W   N t 1,1 u N   x,    T  d  L    2 Khi đó, từ (2.20) sử dụng bất đẳng thức Caucy suy  dy N  C y N t   f dt L2  QT   , t  0;T  Từ Bổ đề 3.1 chương III [1] ta nhận uN W21,1  C1 f Q  T 18 L2  QT  , C1 số khơng phụ thuộc vào N Do đó, tồn dãy dãy u N N 1 hội tụ yếu đến hàm u  x, t  không gian W21,1  QT   theo t   0, T  L2    Do u N  x,0   o u N  W21,1  QT  , nên o u N  W21  QT  , nên u  W21  QT  , u  x,0   Ta phải chứng minh u  x, t  thỏa mãn đồng thức tích phân (2.10) Nhân (2.18) với d l  t   M N , M N có bổ đề 3.2 chương III[1], sau lấy tổng đẳng thức nhận theo l thừ đến N lấy tích phân theo t thừ đến Sau lấy tích phân phần Kết nhận n u N  dxdt    a00u N     aiu N    t t i 1 Q Q  i T i T n n   a j u N    aij u N    dxdt j 1 i , j 1  j j i n     bi  u N   c1u N   dxdt    f dxdt ,  Q  i 1 Q i T T N    d l  t  l  x   M N l 1 Từ suy n  n  N aij u  i   bi  iu N  dxdt Q  i , j 1 i 1  j T  u N     cu dxdt     dxdt   f dxdt Q Q  t  t Q  2.22  N T T T Khi cố định   M N , sau cho N  , ta nhận (2.10) i cho hàm u  x, t  vừa tìm Do u  M N phần tử nên i (2.10) cho   M N Mặt khác, theo Bổ đề 3.2 chương III [1], i M  N 1 M N trù mật o 1,1 W2,0  QT  , nên (2.10) cho o 1,1   W2,0  QT  Như u  x, t  nghiệm suy rộng toán (2.2), (2.3), 19 (2.4) Bất đẳng thức (2.17) nhận từ (2.21) chuyển qua giới hạn N   sử dụng kết biết : u W21,1  Lim u N Q  T W21,1 C f Q  T Định lí chứng minh 20 L2  QT  , C=const 