Các định lý hội tụ của dãy số, dãy hàm và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ CÔNG HUÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY Số, DÃY HÀM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Đinh - Năm 2020 VÕ CÔNG HUÂN CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA DÃY Số, DÃY HÀM VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương Pháp Toán sơ CẤP Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN NGỌC QUốC THƯƠNG Muc luc Mở đầu Dãy số dãy hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết dãy số, dãm hàm người ta ln quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các đinh lý hội tụ dãy số, dãy hàm ứng dụng quan trọng chúng Ngoài luận văn giới thiệu số toán nâng cao dãy số, dãy hàm phù hợp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Luận văn chia thành ba chương Chương trình bày số khái niệm kết quan trọng dãy số dãy hàm Chương trình bày cách chi tiết có hệ thống đinh lý liên quan đến hội tụ dãy số hội tụ điểm, hội tụ dãy hàm Cuối chương giới thiệu số ứng dụng dãy cấp số cộng, dãy cấp số nhân số toán nâng cao phù hợp với chương trình tốn bậc phổ thơng Luận văn hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn tất thầy cô Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt suốt năm học đại học năm học thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Võ Công Huân Chương Đại cương dãy số dãy hàm Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm dãy số, dãy hàm, ví dụ tính chất dãy số, dãy hàm 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N —> R cho n a(n) := a Dãy số thường ký hiệu {an}, (an), a , a , , a , Trong luận văn ta dùng ký hiệu (an) Số hạng a gọi số hạng tổng quát dãy (an) n n n Dãy số thường cho công thức số hạng tổng quát cho công thức truy hồi (hay quy nạp) Ta xét số ví dụ sau Ví dụ 1.2 Cho dãy số (an) xác đinh n , a = n + sin —, n n Với cách đinh nghĩa ta hoàn toàn xác đinh số hạng dãy, chẳng hạn cho n = 100 số hạng thứ 100 dãy •n aioo = 100 + sin 100 n Ví dụ 1.3 Cho trước hai số thực q, d với q Xét dãy (an) xác đinh a,n+1 = qan + d, nĩz Nếu ta xét hàm số bậc f(x) = qx + d dãy viết lại a n+1 = f(an) , n Ĩĩ- 1- Dãy đinh nghĩa gọi dãy truy hồi tuyến tính cấp Ta xét hai trường hợp đặc biệt sau • Cho q = 1, dãy (an) có dạng an+1 = an -Ị- d, n^- Dãy (an) gọi dãy cấp số cộng (hay gọi tắt cấp số cộng) với cơng sai d • Cho d = 0, dãy (an) có dạng an+1 = qa , n^ n Dãy (an) gọi dãy cấp số nhân (hay gọi tắt cấp số nhân) với công bội q Định nghĩa 1.4 Dãy số (an) gọi • bị chặn tồn số thực M (không phụ thuộc vào n) cho an < M Mne N; • bị chặn tồn số thực L (không phụ thuộc vào n) cho a L 'in e N; n • bị chặn bi chặn bi chặn dưới, hay tồn số thực P (không phụ thuộc vào n) cho |a | P Vne N n Định nghĩa 1.5 Dãy số (an) gọi • tăng (giảm) a < a^+ (a • tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) a < a (a > a ) với ne N n n an+ ) với ne N; n n+1 n n+1 Ta gọi chung dãy tăng, tăng nghiêm ngặt, giảm giảm nghiêm ngặt dãy đơn điệu Định nghĩa 1.6 Cho dãy số (an) (mn) dãy tăng nghiêm ngặt số tự nhiên Khi dãy (a n) gọi dãy dãy (an) Ta viết (am ) cz (an) Ví dụ 1.7 m (a ) dãy dãy (an) 2n Dãy (an) dãy n Dãy Dãy a , a , a , a , a , không dãy dãy (an) 1 Nhận xét 1.8 3 Nếu (a ) cz (an) mn n với n mn Nếu (am J (akj (ajc (an) thì(amkJ k M Định nghĩa 1.9 ([3]) Ta gọi số thực L giới hạn dãy (an), kí hiệu liman = L a —> L, với > 0, tồn N e N cho với n N ta có n |an — L| < Khi ta nói dãy (an) hội tụ Trong trường hợp ngược lại ta nói dãy {an} phân kỳ Định nghĩa 1.10 ([3]) Ta nói dãy (an) phân kỳ đến + 00, kí hiệu lima = +oo a —> + 00, với M > 0, tồn N e N cho với nỷ.\ ta có n n a > M n Ta nói dãy (an) phân kỳ đến —00, kí hiệu lim a = — 00 a M < 0, tồn Ne N cho với n N ta có n n — 00, với a < M n Định lý 1.1 ([3]) Mỗi dãy số có nhiều giới hạn Chứng minh Giả sử phản chứng tồn dãy (an) có hai giới hạn L L Đặt L L 1— £ ~ Vì dãy (an) hội tụ đến L nên tồn N^ e N cho n :ỷ ,'N =- |an — L1 < Vì dãy (an) hội tụ đến L nên tồn N e N cho 2 n < ,V2 = |a — L2\ < n Đặt N = max {N1, N2} giả sử n L — L2 = - (L1 — an) — L2 N Khi + (an — L2)| < an — L1| + an < + = 26 Điều vô lý Vậy dãy có nhiều giới hạn □ Định nghĩa 1.11 (Dãy Cauchy, [3]) Dãy số (an) gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với £ > 0, tồn N = N(ể) e N cho với m n N ta có I a m an I < £• Định lý 1.2 (Tính chất dãy Cauchy) Cho (an) dãy Cauchy Khi Nếu (a n) cz (an) lim a n = a lim a = a; m n m n^x,- n—>00 Dãy (an) bị chặn Chứng minh Cố đinh £ > Vì lim a = a nên tồn n1 = e) e N cho mn \amn — a| < E/2 Mn> n1 Vì {an} dãy Cauchy nên tồn n = n2{e) e N cho |am — a | < e/2 Mm, n^ n2 n Khi đó, mn^ n nên với n n = max{n , n2}, ta có I an a I I an am.n | l I amn a I < £ Vậy dãy {an} hội tụ đến a Vì {an} dãy Cauchy nên với ố = tồn số tự nhiên n cố đinh cho I an an0 I 0, tồn N = N(x, e N cho với n N ta có |f4x~ f(x)| < Ký hiệu: f x)->f(x), xeA 10 Ví dụ 1.15 Xét dãy hàm fn(x) = xn, xe R Ta có {0 , |x| < 1, ĩ x = Với x ị (—1,1] dãy hàm {fn(x)} khơng có giới hạn Vậy miền hội tụ dãy hàm { fn(x)} (-11 Định nghĩa 1.16 (Hội tụ đều, [3]) Dãy hàm {fn(x}} xác đinh A ' R gọi hổi tụ đến hàm số f (x) A với £ > 0, tồn N = N(ể) e N cho với IINE N x e A ta có |fn( x }~ f(x)\ < £■ Ký hiệu: f n( x =^f (x), xeA Nhận xét 1.17 Từ hai đinh nghĩa trên, ta dễ dàng suy nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy hàm {fn(x)} hội tụ đến hàm số f (x) A {f n(x)} hội tụ điểm đến hàm số f (x) A Ví dụ 1.18 ([3]) Chứng minh dãy hàm fn(x = j-Ị——2 hội tụ R Lời giải Chia tử mẫu cho n ta x3 fn(x) = T±-2 1+x n Nếu x X lim fn(x) = x n—>00 Nếu x = lim fn(0) = = x n—>00 Do f(x) := x giới hạn dãy hàm {fn} Tiếp theo ta chứng minh hội tụ f n( x)- |x| + nx nx - x + nx , f x () 2 R Thật vậy, ta có đánh giá Ta cần chọn Ne N cho '42 < £ với Nĩ N Ta có 1+ nx2 |x| + nx • |x| 2| x\ựn 2VP Bằng cách chọn N = [1/(2e)2] + 1, với n^ N ta có | n( ) - f(x)\ < 2/n < £ f x Vậy dãy hàm {fn(x)} hội tụ đến hàm số f (x) = x R Mặt khác 2005 = 70 + 9.215 = aH- md + 215(m — 2n + k)d = a1 + (216m — 430^ + 215k)d = + Id, với l = 216m — 430^ + 215k, le Z Vậy 2005 hạng tử dãy cho □ Ta xét ứng dụng cấp số cộng ví dụ thực tế sau: Ví dụ 3.8 ([2]) Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với kỹ sư tuyển dụng Công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là: Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng quí Nếu bạn người lao động bạn chọn phương án nào? Lời giải Vấn đề đặt ra: Chọn hai phương án để nhận lương Ta thấy việc người lao động chọn hai phương án nhận lương phải vào số tiền mà họ đuợc nhận 10 năm Phương án giải quyết: Ta nhận thấy hai phương án số tiền nhận sau năm (một quí) tuân theo quy luật đinh : Phương án 1: cấp số cộng với số hạng đầu u = 36 triệu công sai d = triệu Phương án 2: cấp số cộng với số hạng đầu u1 = triệu công sai d = 0, triệu Vậy theo phương án 1: tổng số tiền người lao động nhận là: S10 = (72 + 9.3).5 = 195(triệu) Theo phương án 2: tổng số tiền mà người lao động nhận là: S10 = (1U 39.0,5.20 = 670 (triệu) Vậy nguời lao động chọn phương án để nhận lương sau 10 năm số tiền lương cao □ 3.2 Dãy cấp số nhân số ứng dụng thực tế Xét tốn phổ thơng có ứng dụng cấp số nhân Ví dụ 3.9 ([2]) Viết lại số thập phân vơ hạn tuần hồn sau thành phân số: a) 0.3333 ; b) 0.7777 ; c) 0.454545 ; d) 1.227027027 Lời giải Mỗi số thập phân vơ hạn tuần hồn viết dạng tổng nhiều số thập phân viết dạng cấp số nhân □ Ví dụ 3.10 ([2]) Dãy {an} cấp số cộng với số hạng thứ 1, thứ 20 thứ 58 số hạng liên tiếp cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân Lời giải Giả sử a , a , a số hạng cấp số cộng với a số hạng d công sai Khi ta có a=a 20 58 i i a20 = + 19d a58 = + 57d Vì a , a , a hạng tử liên tiếp cấp số nhân nên ta có cơng bội 20 58 a20 a58 + 19d a20 ai + 57d + 19d Suy (ai + 19d) = ai(ai + 57d) Biến đổi rút gọn ta thu kết quả: 19d(ai — 19d) = Vì a 7^ a i 20 7^ a d nên 58 a = 19d i + 19d a 19^ + 19d 19d i Từ kêt vừa thu ta có Vậy công bội cấp số nhân q = Ví dụ 3.11 ([2], ASHME) Cho dãy số thực a , a ,a với a = a^+ = 99ỏn với n Tìm a i i i i00 Lời giải Vì _ 99a a u n+ i nên ' i = a n Do dãy số thực cho cấp số nhân với công bội q = #99 số hạng a = Vậy aioo = 1.(#99) = 99 □ i 99 33 Ví dụ 3.12 ([2], Rivkin) Các nghiệm phương trình x3 — 7x2 + 14x + a = hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng Tính nghiệm Lời giải Vì x , x , x nghiệm phương trình cho, nên theo đinh lý Viet ta có x x x = —a 3 xH" x2 + x3 = x x + x x + x x = 14 2 3 Vì nghiệm hạng tử liên tiếp cấp số nhân tăng nên Chia vế theo vế (3.3) cho (3.2) ta x =— r Thay x = vào (3.3) ta có 2r2 — 5r + = Phương trình có nghiệm r = r = Vì dãy cần tìm dãy tăng nên chọn r = 2, X1 = 1, x = 2, x = Và a = —x3r3 = —8 □ Ví dụ 3.13 Các số 100, 101 102 có phải số hạng (không cần liên tiếp) cấp số nhân? Lời giải Giả sử 100,101,102 số hạng cấp số nhân Khi đó: a = 100 = a1ri~ i aj = 101 = a r j1 a = 102 = a-]_rk~ k Do 100 = rj-i 100 101 = rk-j 101 1 100 101 Suy f101Ak-j _ r(j-j)(k-j) _ /102\j-i k ; i00 Rút gọn biểu thức ta thu kết 4or 101k_i = 102 100 j_i k_j Vì ỉ< j < k nên vế trái số lẻ vế phải số chẵn Do biểu thức vơ lí Vậy 100, 101, 102 khơng phải hạng tử cấp số nhân □ Ví dụ 3.14 ([2]) Đồng vi phóng xạ Iot, I, sử dụng y học hạt nhân cho thủ tục chẩn đoán để xác đinh rối loạn tuyến giáp xạ hình Tốc độ phân rã khơng đổi k I 9, 93.10“ s~ Phương trình phân rã 131 131 I Xe + e131 Tình chu kì bán rã ngày Tính thời gian cần thiết để chất phóng xạ I giảm 30% lượng phóng xạ ban đầu 131 131 Ta tìm hiểu ứng dụng cấp số nhân thơng qua ví dụ thực tế tốn phóng xạ tốn lãi suất Lời giải Gọi x lượng chất phóng xạ ban đầu, x lượng chất phóng xạ cịn lại sau thời gian t, k số phóng xạ —kt X = xe (3.4) Ta có phương trình phân rã sau Nếu X = xo t = 11 ta rút cơng thức sau: ln ln 11 11 (3.5) 22 Thay (3.5) vào (3.4) ta thu công thức 1t t _kt _ /_ln X 11 _ / X 11 x = Xoe == Xo{e ) = XQ(2 Theo giả thiết tốn cơng thức (3.5) chu kì bán rã 11 = 120-7 = 698033, 41 (giây) 99 (3.6) * 079(ngày) Sử dụng công thức (3.4), thay X = 0, 3x ta phương trình 0, = e~kt với k = 9, 93.106 —7s“ Khi ln t= 93 10_7 - 1212460(giây> 14(ngày) Vậy chu kì bán rã ngày thời gian để lượng phóng xạ cịn lại 30% 14 ngày □ 10 Ta tìm hiểu cách tính giá tri lãi tương lai cho khoản tiền cố đinh Tiền gửi vào tài khoản trả lãi, cộng gộp theo đinh kỳ Nhưng khơng nhiều người gửi khoản tiền lớn tiền thời điểm tài khoản Hầu hết người tiết kiệm đầu tư tiền cách gửi tiền số lượng nhỏ thời điểm khác Hãy xét ví dụ sau: Ví dụ 3.15 ([2]) Giả sử 100 triệu (Việt Nam đồng) số tiền gửi vào ngân hàng vào ngày tháng năm từ 2015 đến 2020, với lãi suất năm 5% Tính giá tri tài khoản sau năm sau lần gửi cuối Lời giải Ta kiểm tra tài khoản vào ngày tháng năm 2021 Vào ngày tháng năm 2015, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100( + 0.05)6 = 134 triệu Tuy nhiên, ta gửi thêm 100 triệu vào môi ngày tháng năm, nên ta tình riêng khoản gửi thêm Vào ngày tháng năm 2016, ta gửi 100 triệu vào tài khoản, đến ngày tháng năm 2021, sau năm, ta thu khoảng tiền gốc lẫn lãi 100(1 + 0.05) triệu Tương tự khoản vào năm 2017, 2018, 2019 2020 100(1 + 0.05) 100(1 + 0.05) 100(1 + 0.05) 100(1 + 0.05) Vậy tổng số tiền gốc lẫn lãi vào ngày tháng năm 2021 là: s = 100(1 + 0.05) + 100(1 + 0.05) + 100(1 + 0.05) + 100(1 + 0.05) + 100(1 + 0.05) + 100(1 + 0.05) = 105 + 105.1, 05 + 105.1, 052 + 105.1,05 + 105.1,054 + 105.1, 05 Ta nhận xét số hạng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u = 105 công bội q = 1, 05 Suy 10X1.05 — 042 1,05-1 Vậy vào ngày tháng năm 2021, ta có số tiền 714 triệu tài khoản hiển nhiên số tiền lớn tổng 600 triệu không gửi ngân hàng □ 6 3.3 Một số toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi Ta xét toán nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi có ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân Ví dụ 3.16 ([2]) Cho số a, b, c z Ba số hạng đầu lập thành cấp số cộng, ba số hạng cuối lập thành cấp số nhân Tổng số hạng bên 4, tổng số hạng bên Tìm số Lời giải Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên theo tính chất trung bình cộng ta có 1a+c nl b === ^— => a + c = 2b Mặt khác ta có a+z=4 b + c = Suy a + b + c + z = (3.7) Thay a + c = 2b vào (3.7) ta 3b + z = ===> z = — 3b Vì b, c, z lập thành cấp số nhân nên theo tính chất trung bình nhân ta có c = bz Thay c = — b vào phương trình ta có (2 — b2 = b(6-3bỵ Rút gọn phương trình ta 2b2 — 5b + = Phương trình có nghiệm b = b = 0, Với nghiệm b khác nhau, ta nhận trường hợp giá tri a, b, c, z 1) b = z = — 3b = a = 3b=4 c=2 —b=0 2) b = 0,5 z = 4, a = —0, c = 1,5 Vậy (a, b, c, z) = {(4, 2,0, 0, (-0, 5; 0,5;1, 5; 4,5} □ Ví dụ 3.17 ([2]) Dãy a ,a ,a có a = 19, a = 99 với n 3, a trung bình cộng n — số hạng đàu tiên Tìm a n Lời giải Ta xét số hạng thứ n + a2 + + an—2 a n— = ~Z n—2 Suy + a2 + + an-2 = (n — 2) an-1 • Xét số hạng thứ n + a^h + an—2 a n= \ an—1 n—1 => an(n - 1) = (n - 2) an-1 + an-1 => an(n - 1) = (n - 1) an-1 —7* an — an—1, Vn 5'' Vậy từ số hạng thứ trở đi, tất số hạng dãy a = 99 Tức a = 99 Áp dụng tính chất trung bình cộng cấp số cộng ta có a1 + a2 _ nn _ 19 + a9 " => a2 = 2.99 - = 179 Vậy a2 = 179 Ví dụ 3.18 ([2], MGU Entrance exam 2008) Các số nguyên x, y, z số hạng cấp só nhân 7x — 3,y , 5z — số hạng cấp số cộng Tìm x,y,z Lời giải Theo giả thiết tốn ta có y = xz 7x — + 5z — 2 „ °5, x~ (-2Z- 7) 10z - 18 2x = + (-2Z- Vì 17 số nguyên tố nên 2x số nguyên (2z — ước 17 Do (2z — nhận giá tri: ±1; ±17 1) (2z — 7) = => z = 4; x 5.4-9 (2.4 — 7) 11; y = Ạ/11.4 = V44 (vô nghiệm) Lần lượt xét trường hợp 2) (2z — 7) = —1^> z = 3; x = —6; xz = —18 < (vô nghiệm) 3) (2z — 7) = 17 => z = 12; x = 3; y = y = —6 (vô nghiệm) 4) (2z — 7) = —17 => z = —5; x = 2; xz = — < (vô nghiệm) Vậy (x; y; z) = {(3;6;12), (3;-6; 12)} □ Ví dụ 3.19 ([2]) Có cặp thứ tự (x, y) số nguyên không âm để trung bình cộng x y lớn trung bình nhân x y đơn vi Lời giải x + y n _ xy = + v => x + y = + 2ựxỹ => (x + y — 42 = 4xy x — 2xy + y = 8(x + y — 2) (x — y)(x — y) = 2.2.2 (x + y — 2) Vì x; y số ngun khơng âm nên ta chia trường hợp sau 1) 2) x—y x-y x—y x-y 2^x + y- 2) r xx — — yy = 12 4) y 3) 'x-y2 8.(x + y — 2) I x — y = 4.(x + y — 2) 16 y X 16 ( 25 Trường hợp nghiệm không số nguyên nên loại Vậy ta có cặp nghiệm (x; y) = {(9;1), (4;0)} □ Ví dụ 3.20 ([2]) Tính giới hạn sau xn+1 - lim —n — 1x — Lời giải Giới hạn khơng thể tính trực tiếp x = mẫu số Ta sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân cho tử mẫu T n+1 _1 Vậy xn+1 — n + z-> xn — n □ Ví dụ 3.21 ([2], Rivkin) Cho a e R số tự nhiên n, k thoả mãn + a2 + + an = (1 + a(1 + a2)(1 + a4) (1 + a2*) Tìm mối liên hệ n k Lời giải + a + a2 + + an = (1 + a (1 + a2) (1 + a4) (1 + a2k) =>~ = (1 + a(1 + a2(1 + a4) (1 + a2k) => an+1 - = (a - 1)(1 + a(1 + a2)(1 + a4) (1 + a2k) => an+ = ■ x- Vì a # 0; ±1 nên n + = 2k+ Vậy n = 2k+1 — 1 Ví dụ 3.22 ([2]) Có tồn hay khơng cấp số cộng gồm số nguyên dương mà khơng có số hạng từ dãy biểu diễn dạng tổng hiệu số nguyên tố? Nếu có, cấp số cộng Lời giải Ta xét vài dãy với số hạng tổng quát sau 1) 6; 10; 14; 18; ;4n + 2; 2) 11;19;27;35; ;8n + 3; 3) 47;89;131;173; ;42n + 5; Dãy số thứ bao gồm số chẵn, nhiều hạng tử tổng hiệu số nguyên tố Ví dụ 10 = + 14 = 17 — Bất kì số chẵn tổng hiệu số chẵn số lẻ, mà đa phần số nguyên tố số lẻ (trừ số 2), tồn nhiều số chẵn viết dạng tổng hiệu số nguyên tố Vì ta dãy gồm số lẻ Dãy số thứ gồm số hạng lẻ, ta dễ dàng 19 = + 17 27 = 19 — Vậy để tồn dãy yêu cầu tón tất hạng tử dãy phải số lẻ Và số hạng dãy viết tổng hiệu số nguyên tố hai số nguyên tố phải số nguyên tố chẵn Xét dãy thứ 3, giả sử hạng tử dãy viết dạng tổng số nguyên tố p ,p : 42^ + = p + p => 42^ + = 2+ p2 42n + = p p2 = 3(14n + 1) Suy p số nguyên tố (mâu thuẫn với điều ta giả sử) Tương tự ta xét hạng tử dãy viết dạng hiệu số nguyên tố p ,p : 42^ + = ,p1 — p2 => 42n + = p — 2 42n + = p => p1 = 7(6n + 1) Do p khơng phải số ngun tố Vậy khơng có hạng tử dãy cấp số cộng a = 42^ + phân tích thành tổng hiệu số nguyên tố □ n Ví dụ 3.23 ([2]) Tìm tất tam giác vng mà độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Lời giải Giả sử tồn tam giác thỏa yêu cầu, gọi độ dài cạnh a; a + d; a + 2d, với de N Theo đinh lí Pythagoras ta có: a2 + (a + d)2 — (a + 2d)2 => a2 — 3ad — d2 = + — a a d= -d = -d (.2 d) 2d -2d = a =d a = -d Vì a độ dài cạnh d > nên ta nhận nghiệm a = d Suy b = 4d; c = 5d, d e N Do có vơ số các giác vng thỏa u cầu tốn Ví dụ tam giác có có độ dài cạnh là: (3; 4; 5, (6; 8; 10, (9; 12; 15 □ Ví dụ 3.24 ([2]) Cho dãy số với u = 2, u = 8, u = 30, , u = 4u(n — 1) — 11:11 — 2, n = 3, 4,5, n Chứng minh un — U(n + 1) 11:11 — 1) = Lời giải Theo tính chất giao hốn với phép tốn nhân ta có: => u u u un(un + un-u2).4— n-1).4u u n— 1( n+1 + u n n— n— n u u u u u => un + n n—2 = n— n+1 + n— u u n u u u n— n+1 = un— n n—2 u =« — u u —2 n n—3 n uu = — 30.2 = □ Kết luận Luận văn đưa điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm Trong luận văn này, tác giả đạt số kết sau: • Đọc, hiểu, tổng hợp trình bày lại cách có hệ thống điều kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm • Chứng minh chi tiết số ví dụ, tốn áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân trình bày vắn tắt tài liệu tham khảo tiếng Anh • Chỉ số ứng dụng thực tế cấp số cộng, cấp số nhân vào sống Sưu kì tầmthi học đưa sinh lời giỏi, giảiolympic chi tiết toán chohọc, số toán Tài liêu tham khảo [1] Thái Thuần Quang (chủ biên), Nguyễn Dư Vi Nhân, Mai Thành Tấn, Nguyễn Ngọc Quốc Thương, Giải tích - Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB ĐHQG Hà Nội (2020) [2] E Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhauser (2016) [3] J S Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, Taylor & Francis (2014) [4] J Stewart, Calculus, Cengage Learning (2016) Dãy (anbn) hội tụ lim (a b ) = lim a limbn n—>X2 Nếu giả thiết thêm b / với ne N b / dãy a lim an n n n n Ji 2^F = K = n^o b lim b n n—tcc n n b Chứng minh Vì dãy (an) hội tụ nên bi chặn, tồn M > cho an| < M Vne N Lấy £ > a ... kiện hội tụ dãy số, dãy hàm áp dụng việc chứng minh hội tụ dãy số, dãy hàm Trong luận văn này, tác giả đạt số kết sau: • Đọc, hiểu, tổng hợp trình bày lại cách có hệ thống điều kiện hội tụ dãy số,. .. {fn(x0)} hội tụ (tương ứng, phân kỳ) điểm x gọi điểm hội tụ (tương ứng, điểm phân kỳ) dãy hàm ơn(x) } Tập A gồm điểm hội tụ dãy hàm {/4x)} gọi miền hội tụ dãy hàm Tập A = AAo gồm điểm phân kỳ dãy hàm. .. bày phân biệt khái niệm hội tụ điểm hội tụ dãy hàm 2.1 Các định lý hội tụ dãy số Định lý 2.1 ([3]) Nếu (an) hội tụ (an) bị chặn Chứng minh Giả sử dãy (an) hội tụ đến a Khi với ố = tồn số tự nhiên