Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 DOI:10.22144/ctu.jvn.2022.009 VI PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CĨ THAM SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC Nguyễn Thành Quí1* Đào Duy Phúc2 Bộ mơn Tốn học, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Lớp cao học Toán Giải tích K26, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ *Người chịu trách nhiệm viết: Nguyễn Thành Quí (email: ntqui@ctu.edu.vn) Thông tin chung: Ngày nhận bài: 07/09/2021 Ngày nhận sửa: 24/10/2021 Ngày duyệt đăng: 26/02/2022 Title: Generalized differentiation of marginal functions in parametric optimal control governed by elliptic partial differential equations Từ khóa: Marginal function, objective function, optimal control, regular subdifferential (Fréchet subdifferential), solution map Keywords: Ánh xạ nghiệm, vi phân chính quy (dưới vi phân Fréchet), điều khiển tối ưu, hàm giá trị tối ưu, hàm mục tiêu ABSTRACT This work belongs to the research direction of differential stability for parametric optimal control problems governed by semilinear elliptic partial differential equations The article obtains new results in this research direction consisting of differentiability formulas of the solution map of semilinear elliptic partial differential equations and the objective function of parametric optimal control problems, then a formula for computing the regular subdifferential (the Fréchet subdifferential) of parametric optimal control problems is established TĨM TẮT Cơng trình thuộc hướng nghiên cứu ổn định vi phân tốn điều khiển tối ưu có tham số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính Bài báo thu kết theo hướng nghiên cứu bao gồm việc thiết lập công thức vi phân ánh xạ nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính hàm mục tiêu toán điều khiển tối ưu có tham số Qua đó, cơng thức tính toán vi phân chính quy (dưới vi phân Fréchet) xây dựng cho hàm giá trị tối ưu tốn điều khiển tối ưu có tham số xét GIỚI THIỆU 𝐴𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑢 + 𝑒𝑌 Ω { 𝑦=0 Γ Trong báo này, ổn định vi phân tốn điều khiển tối ưu có tham số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính 𝑃(𝑒) sau nghiên cứu: ràng buộc điều khiển (𝛼 + 𝑒𝛼 )(𝑥) ≤ 𝑢(𝑥) ≤ (𝛽 + 𝑒𝛽 )(𝑥) 𝐽(𝑢, 𝑒) = ∫Ω 𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 (𝑥), (𝑢 + 𝑒𝑌 )(𝑥)) 𝑑𝑥 + ∫Ω 𝑒𝐽 (𝑥)𝑦𝑢+𝑒𝑌 (𝑥)𝑑𝑥 (1.2) với h.h 𝑥 ∈ Ω (1.1) (1.3) Trong toán 𝑃(𝑒) nêu trên, Ω ⊂ ℝ𝑁 , Γ biên Ω, 𝐴(∙) toán tử vi phân elliptic bậc hai định nghĩa thỏa điều kiện 𝑦𝑢+𝑒𝑌 nghiệm yếu phương trình 87 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 𝑁 𝑁 𝜕 𝜕 (𝑎𝑖𝑗 (𝑥) 𝑦(𝑥)) 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝐴𝑦(𝑥) = − ∑ ∑ 𝑖=1 𝑗=1 Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 𝑒 = (𝑒𝑌 , 𝑒𝐽 , 𝑒𝛼 , 𝑒𝛽 ) ∈ 𝐸 tham số toán 𝑃(𝑒), 𝐸 khơng gian tham số định nghĩa ∞ với hàm hệ số 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐿 (Ω) thỏa mãn 𝑁 𝜆𝐴 ‖𝛾‖2 𝐸 = 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) 𝑁 ≤ ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑥)𝛾𝑖 𝛾𝑗 , ∀𝛾 (1.7) với chuẩn (1.5) 𝑖=1 𝑗=1 (1.6) (1.4) = (𝛾1 , … , 𝛾𝑁 ) ∈ ℝ𝑁 với h.h 𝑥 ∈ Ω, ‖𝑒‖ = ‖𝑒𝑌 ‖𝐿∞(Ω) + ‖𝑒𝐽 ‖ 𝐿∞ (Ω) + ‖𝑒𝛼 ‖𝐿∞(Ω) + ‖𝑒𝛽 ‖ ∞(Ω) 𝜆𝐴 > 0, hàm 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐿∞ (Ω) với 𝛼 ≤ 𝛽 h.h Ω 𝛼 ≠ 𝛽 h.h Ω Ký hiệu (1.8) 𝐿 Ký hiệu tập điều khiển khả thi 𝑈𝑎𝑑 (𝑒) = {𝑢 ∈ 𝐿∞ (Ω)|(𝛼 + 𝑒𝛼 )(𝑥) ≤ 𝑢(𝑥) ≤ (𝛽 + 𝑒𝛽 )(𝑥) với h.h 𝑥 ∈ Ω} ∞ khảo sát mơ hình tốn điều khiển tối ưu mà hàm dấu tích phân hàm mục tiêu trường hợp riêng 𝐿(⋅,⋅,⋅) Khi biến điều khiển 𝑢 khơng xuất hàm 𝐿(⋅,⋅,⋅) toán 𝑃(𝑒) gọi toán điều khiển tối ưu bang-bang; xem Casas (2012), Qui and Wachsmuth (2018), Qui (2020) Qui and Wachsmuth (2020) để có nhiều thơng tin tốn điều khiển tối ưu bang-bang Từ (1.9), ta có ánh xạ đa trị 𝑈𝑎𝑑 : 𝐸 → 2𝐿 (Ω) , với 𝑈𝑎𝑑 (𝑒) tập điều khiển khả thi tương ứng với 𝑒 ∈ 𝐸 Ứng với tốn điều khiển tối ưu có tham số 𝑃(𝑒) phát biểu (1.1)–(1.3), hàm giá trị tối ưu (hàm marginal) toán 𝑃(𝑒) hàm ̅ xác định 𝜇: 𝐸 → ℝ 𝜇(𝑒) = inf 𝑢∈𝑈𝑎𝑑 (𝑒) 𝐽(𝑢, 𝑒), (1.10) ánh xạ nghiệm toán 𝑃(𝑒) hàm ∞ 𝑆: 𝐸 → 2𝐿 (Ω) xác định 𝑆(𝑒) = {𝑢 ∈ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒)|𝜇(𝑒) = 𝐽(𝑢, 𝑒)} (1.9) Cần nhấn mạnh việc xét mơ hình tốn báo (tổng qt mơ hình xét trước đây) có ý nghĩa khoa học Chẳng hạn như, mơ hình Casas (2012), Qui and Wachsmuth (2018) Qui (2020) , biến điều khiển 𝑢 không xuất hàm mục tiêu tốn Những mơ đặc thù, chúng dùng để khảo sát toán điều khiển tối ưu bang-bang Chú ý tính chất Legendre dạng tồn phương quan trọng, đảm bảo cho dãy hội tụ yếu trở thành dãy hội tụ mạnh Tuy nhiên, việc chứng minh đạo hàm cấp hai hàm mục tiêu toán điều khiển tối ưu theo biến điều khiển dạng Legendre lại cần xuất dạng toàn phương biến điều khiển hàm mục tiêu mà mô hình tốn bang-bang khơng đáp ứng điều (Lemma 4.6 Qui and Wachsmuth, 2019) Cần bàn luận thêm mơ hình tốn xét Qui and Wachsmuth (2019) Qui and Wachsmuth (2020), biến điều khiển có xuất hàm mục tiêu xuất dạng toàn phương (khá hạn chế) Điều đảm bảo cho tính chất đặc biệt (như tính Legendre) tốn thỏa mãn Như vậy, mơ hình tốn vừa nêu đặc thù, (1.11) Bài báo đạt kết bao gồm việc thiết lập công thức vi phân ánh xạ nghiệm yếu, ký hiệu 𝐺(∙), phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính (1.2) hàm mục tiêu 𝐽(∙,∙) tốn điều khiển tối ưu có tham số 𝑃(𝑒), qua xây dựng cơng thức tính tốn vi phân quy (dưới vi phân Fréchet) cho hàm giá trị tối ưu 𝜇(∙) tốn 𝑃(𝑒) Trong mơ hình tốn điều khiển tối ưu có tham số 𝑃(𝑒), hàm 𝐿(⋅,⋅,⋅) dấu tích phân hàm mục tiêu 𝐽(∙,∙) tổng quát so với hàm dấu tích phân hàm mục tiêu tương ứng khảo sát báo Qui and Wachsmuth (2020) Qui (2020) Vì vậy, mơ hình tốn điều khiển tối ưu có tham số khảo sát báo tổng qt mơ hình tốn điều khiển tối ưu có tham số khảo sát Qui and Wachsmuth (2020) Qui (2020) Ở khía cạnh khác, q trình nghiên cứu ổn định nghiệm toán điều khiển tối ưu có tham số, Qui and Wachsmuth (2018) Qui and Wachsmuth (2019) 88 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực phong phú đa dạng ứng dụng Do đó, việc mở rộng mơ hình tốn báo xu tất yếu có ý nghĩa khoa học để khảo sát nhiều mơ hình ứng dụng với h.h 𝑥∈Ω |𝑦|, |𝑦1 |, |𝑦2 |, |𝑢|, |𝑢1 |, |𝑢2 | ≤ 𝑀, 𝐷(𝑦,𝑢) 𝐿 ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai 𝐿 tương ứng với biến (𝑦, 𝑢) Dựa hệ thống giả thiết nêu, tồn nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) tồn nghiệm toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) thiết lập Hơn nữa, hệ thống giả thiết đảm bảo cho khả vi ánh xạ nghiệm yếu 𝐺(∙) phương trình trạng thái (1.2) hàm mục tiêu 𝐽(∙,∙) toán 𝑃(𝑒) HỆ THỐNG GIẢ THIẾT CHO BÀI TOÁN 𝑷(𝒆) Mục trình bày hệ thống giả thiết cần thiết cho toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) Đây giả thiết thường sử dụng lý thuyết điều khiển tối ưu Hệ thống giả thiết bao gồm: SỰ KHẢ VI CỦA HÀM MỤC TIÊU Mục trình bày kết tồn nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) tồn nghiệm toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) kết khả vi ánh xạ nghiệm yếu 𝐺(∙) (1.2) hàm mục tiêu 𝐽(∙,∙) toán 𝑃(𝑒) (A1) Tập Ω ⊂ ℝ𝑁 miền mở bị chặn ℝ𝑁 với biên Lipschitz Γ (A2) Hàm 𝑓: Ω × ℝ → ℝ hàm Carathéodory (tức là, 𝑓(⋅, 𝑦) đo với 𝑦 ∈ ℝ 𝑓(𝑥,⋅) liên tục với h.h 𝑥 ∈ Ω) thuộc lớp hàm 𝐶 biến thứ hai thỏa mãn 𝑓(∙ ,0) ∈ 𝐿2 (Ω) , Một điều khiển 𝑢̅ ∈ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ ) gọi điều khiển tối ưu (hay nghiệm) toán 𝑃(𝑒̅) ứng với ̅ ) trạng thái tối ưu 𝑦̅ = 𝐺(𝑢̅) ∈ 𝐻1 (Ω) ∩ 𝐶(Ω ∂𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ với h.h 𝑥 (2.1) ∂𝑦 ∈ Ω, 𝐽(𝑢̅, 𝑒̅ ) ≤ 𝐽(𝑢, 𝑒̅), ∀𝑢 ∈ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅) với M > tồn C𝑓,𝑀 > cho Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, phương trình trạng thái (1.2) ln có nghiệm yếu Nếu hàm 𝐿(∙) lồi theo biến thứ ba tốn 𝑃(𝑒) ln có nghiệm với 𝑒 ∈ 𝐸 cho tập 𝑈𝑎𝑑 (𝑒) khác rỗng ∂𝑓 ∂2 𝑓 (𝑥, 𝑦)| + | (𝑥, 𝑦)| ∂𝑦 ∂𝑦 (2.2) ≤ C𝑓,𝑀 với h.h 𝑥 ∈ Ω |y| ≤ M, 2 ∂ 𝑓 ∂ 𝑓 (𝑥, 𝑦1 )| | (𝑥, 𝑦2 ) − ∂𝑦 ∂𝑦 (2.3) ≤ C𝑓,𝑀 |𝑦2 − 𝑦1 | với h.h 𝑥 ∈ Ω |y1 |, |𝑦2 | ≤ M (A3) Hàm 𝐿: Ω × ℝ × ℝ → ℝ hàm Carathéodory thuộc lớp 𝐶 biến thứ hai thứ ba Hơn nữa, 𝐿(∙ ,0,0) ∈ 𝐿1 (Ω) với M > tồn C𝐿,𝑀 > 𝜓𝑀 ∈ 𝐿2 (Ω) cho ∂𝐿 ∂𝐿 (𝑥, 𝑦, 𝑢)| + | (𝑥, 𝑦, 𝑢)| ≤ 𝜓𝑀 (𝑥), (2.4) | ∂𝑢 ∂y | ‖𝐷(𝑦,𝑢) 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑢)‖ ≤ C𝐿,𝑀 , (2.5) 2 ‖𝐷(𝑦,𝑢) 𝐿(𝑥, 𝑦2 , 𝑢2 ) − 𝐷(𝑦,𝑢) 𝐿(𝑥, 𝑦1 , 𝑢1 )‖ ≤ C𝐿,𝑀 (|𝑦2 − 𝑦1 | + |𝑢2 − 𝑢1 |), (2.6) (3.1) Chứng minh Sự tồn nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) chứng minh tương tự chứng minh Tröltzsch (2010) (Theorem 4.4) Với 𝑒 ∈ 𝐸, toán 𝑃(𝑒) quy toán (𝑃) khảo sát Casas et al (2008) Theo Casas et al (2008) (Theorem 2.2), tốn (𝑃) ln có nghiệm Suy tốn 𝑃(𝑒) ln có nghiệm giả thiết cho Định lý 3.2 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, ánh xạ nghiệm (1.2), ký hiệu ̅ ) với 𝐺(𝑤) = 𝑦𝑤 , 𝐺: 𝐿2 (Ω) → 𝐻01 (Ω) ∩ C(Ω thuộc lớp 𝐶 Hơn nữa, với 𝑢, 𝑣, 𝑒𝑌 ∈ 𝐿∞ (Ω), 𝑧𝑢+𝑒𝑌,𝑣 = 𝐺 ′ (𝑢 + 𝑒𝑌 )𝑣 nghiệm 89 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ { 𝐴𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 + Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 = 𝑣 Ω 𝜕𝑦 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 = Γ (3.2) Với 𝑢, 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑒𝑌 ∈ 𝐿∞ (Ω), 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1𝑣2 = 𝐺 ′′ (𝑢 + 𝑒𝑌 )𝑣1 𝑣2 nghiệm { 𝐴𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1𝑣2 + 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝑧𝑢+𝑒𝑌,𝑣1 𝑣2 + (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1 𝑧𝑢+𝑒𝑌,𝑣2 = Ω 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1𝑣2 = Γ, lớp 𝐶 Hơn nữa, với 𝑢, 𝑣, 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝐿∞ (Ω), đạo hàm riêng 𝐽𝑢′ (𝑢, 𝑒) xác định 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1 = 𝐺 ′ (𝑢 + 𝑒𝑌 )𝑣1 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣2 = ′ (𝑢 𝐺 + 𝑒𝑌 )𝑣2 𝜕𝐿 𝐽𝑢′ (𝑢, 𝑒)𝑣 = ∫ ( (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 , 𝑢 + 𝑒𝑌 ) 𝜕𝑢 Ω Chứng minh Các kết phát biểu định lý suy từ Casas et al (2008) (Theorem 2.4) Một số kết có liên quan đến định lý trình bày Casas and Mateos (2002) 𝐴∗ 𝜑 + 𝑦𝑢+𝑒𝑌 = 𝐺(𝑢 + 𝑒𝑌 ) 𝜑𝑢,𝑒 nghiệm yếu phương trình 𝜕𝑓 𝜕𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝜑 = (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 , 𝑢 + 𝑒𝑌 ) + 𝑒𝐽 Ω 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜑=0 Γ với 𝐴∗ toán tử liên hợp 𝐴 xác định 𝑁 𝐽(𝑢, 𝑒) = 𝐽1 (𝑢, 𝑒) + 𝐽2 (𝑢, 𝑒) 𝑁 𝜕 𝜕 𝐴 𝜑(𝑥) = − ∑ ∑ (𝑎 (𝑥) 𝜑(𝑥)) (3.6) 𝜕𝑥𝑗 𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑖=1 𝑗=1 𝐽1 (𝑢, 𝑒) = ∫Ω 𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 (𝑥), (𝑢 + { 𝐴∗ 𝜑 + (3.7) 𝑦𝑢+𝑒𝑌 = 𝐺(𝑢 + 𝑒𝑌 ) 𝜑𝑢+𝑒𝑌 nghiệm yếu phương trình (3.8) 𝜕𝑓 𝜕𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝜑 = (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 , 𝑢 + 𝑒𝑌 ) Ω 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜑=0 Γ Tương tự vậy, (𝐽2 )′𝑢 (𝑢, 𝑒)𝑣 = ∫ 𝜑𝑒𝐽 𝑣𝑑𝑥 Ω (3.9) Từ công thức (2.4) Casas et al (2008) (Theorem 2.6) suy 𝜕𝐿 (𝐽1 )′𝑢 (𝑢, 𝑒)𝑣 = ∫ ( (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 , 𝑢 + 𝑒𝑌 ) Ω 𝜕𝑢 (3.10) + 𝜑𝑢+𝑒𝑌 ) 𝑣𝑑𝑥 Chứng minh Bằng cách đặt 𝐽2 (𝑢, 𝑒) = ∫Ω 𝑒𝐽 (𝑥)𝑦𝑢+𝑒𝑌 (𝑥)𝑑𝑥 , (3.5) ∗ 𝑒𝑌 )(𝑥)) 𝑑𝑥, (3.4) + 𝜑𝑢,𝑒 ) 𝑣𝑑𝑥 Định lý 3.3 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, ánh xạ 𝐽(∙, 𝑒): 𝐿∞ (Ω) → ℝ thuộc { (3.3) 𝜕𝑓 𝐴∗ 𝜑 + (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝜑 = 𝑒𝐽 Ω { 𝜕𝑦 𝜑 = Γ (3.12) (3.11) (3.13) Chú ý 𝜑𝑢+𝑒𝑌 + 𝜑𝑒𝐽 nghiệm yếu phương trình (3.5) 𝜑𝑒𝐽 nghiệm yếu phương trình 90 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 𝐽𝑢′ (𝑢, 𝑒)𝑣 = (𝐽1 )′𝑢 (𝑢, 𝑒)𝑣 + =∫( Ω DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU (𝐽2 )′𝑢 (𝑢, 𝑒)𝑣 Hàm giá trị tối ưu toán tối ưu có tham số thường khơng khả vi, chí lớp hàm thường không khả vi trường hợp liệu toán xét khả vi Vì vậy, việc khảo sát tính chất vi phân lớp hàm giá trị tối ưu theo nghĩa suy rộng điều tất yếu Mục thiết lập cơng thức tính tốn vi phân quy/dưới vi phân Fréchet cho hàm giá trị tối ưu 𝜇(⋅) toán 𝑃(𝑒) 𝜕𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 , 𝑢 + 𝑒𝑌 ) 𝜕𝑢 + 𝜑𝑢+𝑒𝑌 + 𝜑𝑒𝐽 ) 𝑣𝑑𝑥 (3.14) 𝜕𝐿 = ∫ ( (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 , 𝑢 + 𝑒𝑌 ) 𝜕𝑢 Ω + 𝜑𝑢,𝑒 ) 𝑣𝑑𝑥, Các khái niệm vi phân suy rộng trình bày tham khảo sách chuyên khảo Mordukhovich (2006) (Vol I and II) (xem thêm Mordukhovich, 2018) Cho không gian Banach 𝑋, ∗ hàm đa trị 𝐹: 𝑋 → 2𝑋 hàm thực mở rộng 𝜎: 𝑋 → ̅ Giới hạn theo dãy theo nghĩa Painlevé – ℝ Kuratowski 𝐹 𝑢 → 𝑢̅ xác định 𝜑𝑢,𝑒 : = 𝜑𝑢+𝑒𝑌 + 𝜑𝑒𝐽 nghiệm yếu phương trình (3.5) Nhiều mơ hình tốn điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng elliptic tìm thấy Trưltzsch (2010) (Chapter 4) Trong đó, tác giả trình bày kiến thức tảng điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng elliptic Limsup 𝐹(𝑢) = {𝑢 ∗ ∈ 𝑋 ∗ |tồn 𝑢𝑛 → 𝑢̅ 𝐹(𝑢𝑛 ) ∋ 𝑢𝑛∗ → 𝑢∗ theo tôpô 𝑤 ∗ } (4.1) ̅ 𝑢→𝑢 Với 𝜖 ≥ 0, tập 𝜖-dưới gradient 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 ≔ {𝑢 ∈ 𝑋|𝜎(𝑢) < ∞} cho 𝜎(𝑢) − 𝜎(𝑢̅) − 〈𝑢∗ , 𝑢 − 𝑢̅〉 𝜕̂𝜖 𝜎(𝑢̅) = {𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ |liminf ≥ −𝜖} ‖𝑢 − 𝑢̅‖ ̅ 𝑢→𝑢 𝜎 Dưới vi phân quy (dưới vi phân Fréchet) hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 định nghĩa 𝜕̂ 𝜎(𝑢̅) ≔ 𝜕̂0 𝜎(𝑢̅ ) ký hiệu 𝑢 → 𝑢̅ có nghĩa 𝑢 → 𝑢̅ 𝜎(𝑢) → 𝜎(𝑢̅) Cho không gian Banach 𝑋 𝑊, đối đạo hàm quy (đối đạo hàm Fréchet) đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ đa trị 𝐹: 𝑋 → 2𝑊 điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) ∈ gph𝐹 ánh xạ đa trị ̂ ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ ): 𝑊 ∗ → 2𝑋 ∗ xác định 𝐷 ̂ ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(𝑣 ∗ ) 𝐷 ̂ ((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹)}, (4.7) = {𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ |(𝑢∗ , −𝑣 ∗ ) ∈ 𝑁 (4.3) Dưới vi phân quy (dưới vi phân Fréchet trên) hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 xác định 𝜕̂ + 𝜎(𝑢̅) ≔ −𝜕̂ (−𝜎)(𝑢̅) (4.4) Dưới vi phân Mordukhovich hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 định nghĩa 𝜕𝜎(𝑢̅) ≔ Limsup 𝜕̂𝜖 𝜎(𝑢) (4.5) 𝜎 ∗ ánh xạ đa trị 𝐷 ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ ): 𝑊 ∗ → 2𝑋 xác định 𝐷 ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(𝑣 ∗ ) ̅,𝜖↓0 𝑢→𝑢 = {𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ |(𝑢∗ , −𝑣 ∗ ) ∈ 𝑁((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹)}, vi phân qua giới hạn suy biến hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 cho 𝜕 ∞ 𝜎(𝑢̅) ≔ Limsup 𝜆𝜕̂𝜖 𝜎(𝑢), 𝜎 ̅,𝜖↓0,𝜆↓0 𝑢→𝑢 (4.2) (4.8) ̂ ((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) gph𝐹 đồ thị 𝐹, 𝑁 nón pháp tuyến quy (nón pháp tuyến Fréchet) gph𝐹 điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) định nghĩa (4.6) ̂ ((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) = 𝜕̂ 𝛿((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹), 𝑁 91 (4.9) Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 𝜕̂ + 𝐽(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) = {𝐽′(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )} 𝑁((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) nón pháp tuyến Mordukhovich gph𝐹 điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) định nghĩa 𝑁((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) = 𝜕𝛿((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) = {(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅), 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅))} Do đó, 𝜕̂ 𝜇(𝑒̅) (4.10) Vì khơng gian tham số 𝐸 xét dạng 𝐸 = 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) (4.11) ∞ Nếu ánh xạ nghiệm 𝑆: dom 𝑈𝑎𝑑 → 2𝐿 (Ω) có lát cắt Lipschitz địa phương (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ ) (xem định nghĩa lát cắt Lipschitz địa phương Mordukhovich et al (2009)) theo Mordukhovich et al (2009) (Theorem 2), đẳng thức sau thỏa mãn 𝜕̂ 𝜇(𝑒̅) ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)), (4.19) = 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) + 𝐷 (4.12) Khi đó, phần tử 𝐸 ∗ bao gồm thành phần hàm độ đo khơng gian 𝐿∞ (Ω)∗ bao gồm hàm độ đo Trong báo này, phạm vi xét phần tử vi phân hàm giá trị tối ưu không gian 𝐸1∗ (chỉ bao gồm hàm) 𝐸1∗ = 𝐿1 (Ω) × 𝐿1 (Ω) × 𝐿1 (Ω) × 𝐿1 (Ω) ⊂ 𝐸∗ định lý chứng minh Chú ý không gian chứa vi phân (là hàm) dạng 𝐸1∗ (4.13) xét Qui and Wachsmuth (2020) Cụ thể hơn, Qui and Wachsmuth (2020), tác giả xét khơng gian 𝐿2 (Ω) × 𝐿2 (Ω) × 𝐿1 (Ω) × 𝐿1 (Ω), tính chất không gian Hilbert 𝐿2 (Ω) hai không gian thành phần cần thiết Như vậy, không gian 𝐸1∗ (4.13) xét báo khác so với không gian tương ứng xét Qui and Wachsmuth (2020) Hơn nữa, Qui and Wachsmuth (2020) xét không gian dạng 𝐸1∗ cho mô hình tốn bang-bang, báo không gian 𝐸1∗ (4.13) xét cho mô hình tốn tổng qt (4.13) Định lý 4.1 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Xét 𝑒̅ ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑆 𝑢̅𝑒̅ ∈ 𝑆(𝑒̅) cho 𝜕̂ + 𝐽(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) ≠ ∅ Khi đó, 𝜕̂𝜇(𝑒̅) ⊂ 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + (4.14) ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)), 𝐷 ∞ 𝑈𝑎𝑑 : 𝐸 → 2𝐿 (Ω) ánh xạ đa trị xác định (1.9) Hơn nữa, ánh xạ nghiệm ∞ 𝑆: 𝑑𝑜𝑚 𝑈𝑎𝑑 → 2𝐿 (Ω) có lát cắt Lipschitz địa phương (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ ) 𝜕̂ 𝜇(𝑒̅) ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)) (4.15) = 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) + 𝐷 Với (𝑒, 𝑢) ∈ 𝐸 × 𝐿∞ (Ω) với 𝑢 ∈ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒), tập Ω1 (𝑒, 𝑢), Ω2 (𝑒, 𝑢), Ω3 (𝑒, 𝑢) tập Ω định nghĩa sau: Ω1 (𝑒, 𝑢) = {𝑥 ∈ Ω|𝑢(𝑥) = 𝛼(𝑥) + 𝑒𝛼 (𝑥)}, ⋂ ̂ +𝐽(𝑢 ̅𝑒̅ ,𝑒̅ ) (𝑢∗ ,𝑒 ∗ )∈𝜕 ̂∗ (4.20) Ω2 (𝑒, 𝑢) = Chứng minh Từ Mordukhovich et al (2009) (Theorem 1) suy 𝜕̂𝜇(𝑒̅) ⊂ (4.18) ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)) ⊂ 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) + 𝐷 nên không gian liên hợp 𝐸 ∗ 𝐸 𝐸 ∗ = 𝐿∞ (Ω)∗ × 𝐿∞ (Ω)∗ × 𝐿∞ (Ω)∗ × 𝐿∞ (Ω)∗ (4.17) (𝑒 ∗ (4.16) {𝑥 ∈ Ω|𝛼(𝑥) + 𝑒𝛼 (𝑥) < 𝑢(𝑥) < 𝛽(𝑥) + 𝑒𝛽 (𝑥)}, (4.21) Ω3 (𝑒, 𝑢) = {𝑥 ∈ Ω|𝑢(𝑥) = 𝛽(𝑥) + 𝑒𝛽 (𝑥)} (4.22) Định lý 4.2 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn 𝑢̅𝑒̅ ∈ 𝑆(𝑒̅) Công thức sau thiết lập + 𝐷 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ )) Chú ý giả thiết nêu hàm 𝐽(∙,∙): 𝐿∞ (Ω) × 𝐸 → ℝ khả vi Fréchet (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) Điều suy 92 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 𝑒 ∗ = (0,0, 𝑒𝛼∗ , 𝑒𝛽∗ ), 𝑢∗ = 𝑒𝛼∗ + 𝑒𝛽∗ , ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) ∩ 𝐸1∗ = {𝑒 ∗ ∈ 𝐸1∗ |𝑒𝛼∗ |Ω1(𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) ≥ 0, 𝑒𝛼∗ |Ω\Ω1 (𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) = 0} 𝐷 𝑒𝛽∗ |Ω3(𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) ≤ 0, 𝑒𝛽∗ |Ω\Ω3(𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) = ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) 𝑒 ∗ − 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) ∈ 𝐷 với 𝑢∗ ∈ 𝐿∞ (Ω)∗ ∩ 𝐿1 (Ω) Vì hàm 𝐽(𝑢, 𝑒) phụ thuộc 𝑒𝑌 𝑒𝐽 nên 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) (4.27) Chứng minh Áp dụng Qui and Wachsmuth (2020) (Lemma 3.1 and Proposition 3.2) suy cơng thức định lý có dạng 𝜕𝐿 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) = ( (𝑥, 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) 𝜕𝑢 Định lý 4.3 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn 𝑢̅𝑒̅ ∈ 𝑆(𝑒̅) Khi đó, điều kiện cần để 𝑒 ∗ = (𝑒̂𝑌∗ , 𝑒̂𝐽∗ , 𝑒̂𝛼∗ , 𝑒̂𝛽∗ ) ∈ 𝜕̂𝜇(𝑒̅) ∩ 𝐸1∗ + 𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ , 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 0,0) 𝜕𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) + 𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ 𝜕𝑢 ∗ 𝑒̂𝐽 = 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 𝑒̂𝛼∗ |Ω1 (𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) ≥ 0, 𝑒̂𝛼∗ |Ω\Ω1 (𝑒̅,𝑢̅𝑒̅) = (4.24) 𝑒̂𝛽∗ |Ω3 (𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) ≤ 0, 𝑒̂𝛽∗ |Ω\Ω3 (𝑒̅,𝑢̅𝑒̅) = 𝜕𝐿 ∗ ∗ {𝑒̂𝛼 + 𝑒̂𝛽 = 𝜕𝑢 (𝑥, 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) + 𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ 𝑒̂𝑌∗ = Hơn nữa, ánh xạ nghiệm 𝑆: dom 𝑈𝑎𝑑 → có lát cắt Lipschitz địa phương (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ ) điều kiện cần điều kiện đủ để 𝑒 ∗ = (𝑒̂𝑌∗ , 𝑒̂𝐽∗ , 𝑒̂𝛼∗ , 𝑒̂𝛽∗ ) ∈ 𝜕̂𝜇(𝑒̅) ∩ 𝐸1∗ 𝐿∞ (Ω) = {(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅), 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅))} (4.25) Theo Định lý 4.1 suy 𝜕̂ 𝜇(𝑒̅) Lấy 𝑒 = Khi đó, 𝑒 ∗ ∈ 𝐸1∗ (𝑒̂𝑌∗ , 𝑒̂𝐽∗ , 𝑒̂𝛼∗ , 𝑒̂𝛽∗ ) (4.26) ∈ 𝜕̂ 𝜇(𝑒̅) ∩ 𝜕𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢̅̅𝑒+𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) − 𝜑𝑢̅̅𝑒,𝑒̅ = 𝜕𝑢 ∗ 𝑒̂𝐽 − 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 = 𝑒̂𝛼∗ |Ω1(𝑒̅,𝑢̅̅𝑒) ≥ 0, 𝑒̂𝛼∗ |Ω\Ω1 (𝑒̅,𝑢̅̅𝑒) = 𝑒̂𝛽∗ |Ω3(𝑒̅,𝑢̅𝑒̅) ≤ 0, 𝑒̂𝛽∗ |Ω\Ω3 (𝑒̅,𝑢̅𝑒̅) = 𝜕𝐿 ∗ ∗ { 𝑒̂𝛼 + 𝑒̂𝛽 = 𝜕𝑢 (𝑥, 𝑦𝑢̅𝑒̅ +𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) + 𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ 𝑒̂𝑌∗ − (4.29) Hơn nữa, ánh xạ nghiệm 𝑆: dom 𝑈𝑎𝑑 → ∞ 2𝐿 (Ω) có lát cắt Lipschitz địa phương (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ ) Định lý 4.1 khẳng định 𝜕̂ 𝜇(𝑒̅) ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)) (4.31) = 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) + 𝐷 ≠ ∅ ̂ ∗ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)) ⊂ 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) + 𝐷 (4.28) Kết hợp điều với kết Định lý 4.2 suy Tức là, 𝜕𝐿 𝑒̂𝑌∗ = (𝑥, 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) + 𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ 𝜕𝑢 𝑒̂𝐽∗ = 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 𝑒̂𝛼∗ |Ω1 (𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) ≥ 0, 𝑒̂𝛼∗ |Ω\Ω1 (𝑒̅,𝑢̅𝑒̅) = (4.30) 𝑒̂𝛽∗ |Ω3 (𝑒̅ ,𝑢̅𝑒̅) ≤ 0, 𝑒̂𝛽∗ |Ω\Ω3 (𝑒̅,𝑢̅𝑒̅) = 𝜕𝐿 ∗ ∗ {𝑒̂𝛼 + 𝑒̂𝛽 = 𝜕𝑢 (𝑥, 𝑦𝑢̅𝑒̅ +𝑒̅𝑌 , 𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ) + 𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ Chứng minh Dưới giả thiết cho hàm 𝐽(∙,∙): 𝐿∞ (Ω) × 𝐸 → ℝ khả vi Fréchet điểm (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) Do đó, vi phân Fréchet tính theo cơng thức 𝜕̂ + 𝐽(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅) = {𝐽′(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅)} ∗ (4.23) Sử dụng đẳng thức lập luận ta suy điều kiện cần định lý điều kiện đủ để 𝑒 ∗ = (𝑒̂𝑌∗ , 𝑒̂𝐽∗ , 𝑒̂𝛼∗ , 𝑒̂𝛽∗ ) ∈ 𝜕̂𝜇(𝑒̅) ∩ 𝐸1∗ 𝐸1∗ 93 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số 1A (2022): 87-94 Nhận xét 4.1 Các cơng thức tính tốn vi phân Mordukhovich vi phân qua giới hạn ̅ suy biến hàm thực mở rộng 𝜎: 𝑋 → ℝ (4.5) (4.6) đơn giản 𝑋 không gian Asplund (Mordukhovich, 2006 (Vol I)) Tuy nhiên, ̅ báo hàm giá trị tối ưu 𝜇: 𝐸 → ℝ xét không gian tham số 𝐸, 𝐸 = 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) × 𝐿∞ (Ω) khơng khơng gian Asplund Vì vậy, việc tính tốn vi phân Mordukhovich 𝜕𝜇(⋅) vi phân qua giới hạn suy biến 𝜕 ∞ 𝜇(⋅) hàm giá trị tối ưu 𝜇(⋅) tốn khó đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính bao gồm cơng thức vi phân ánh xạ nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính hàm mục tiêu tốn điều khiển tối ưu có tham số cơng thức tính tốn vi phân quy (dưới vi phân Fréchet) cho hàm giá trị tối ưu tốn điều khiển tối ưu có tham số xét Vì hàm giá trị tối ưu báo xét không gian tham số khơng gian Asplund nên việc tính tốn vi phân Mordukhovich vi phân qua giới hạn suy biến hàm giá trị tối ưu tốn khó Đây chủ đề nghiên cứu cịn mở, việc tiếp tục nghiên cứu chủ đề thú vị ý nghĩa KẾT LUẬN Bài báo thu kết theo hướng nghiên cứu ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu có tham số cho phương trình vi phân LỜI CẢM TẠ Bài báo tài trợ đề tài cấp sở với mã số T2021-34 Trường Đại học Cần Thơ TÀI LIỆU THAM KHẢO Casas, E (2012) Second order analysis for bangbang control problems of PDEs SIAM Journal on Control and Optimization, 50(4), 2355–2372 https://doi.org/10.1137/120862892 Casas, E., & Mateos, M (2002) Second order optimality conditions for semilinear elliptic control problems with finitely many state constraints SIAM Journal on Control and Optimization, 40(5), 1431–1454 https://doi.org/10.1137/S0363012900382011 Casas, E., de los Reyes, J C., & Tröltzsch, F (2008) Sufficient second-order optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints SIAM Journal on Optimization, 19(2), 616–643 https://doi.org/10.1137/07068240X Mordukhovich, B S (2006) Variational analysis and generalized differentiation I Basic theory Springer-Verlag, Berlin https://doi.org/10.1007/3-540-31247-1 Mordukhovich, B S (2006) Variational analysis and generalized differentiation II Applications Springer-Verlag, Berlin https://doi.org/10.1007/3-540-31247-1 Mordukhovich, B S (2018) Variational analysis and applications Springer Monographs in Mathematics Springer, Cham https://doi.org/10.1007/978-3-319-92775-6 Mordukhovich, B S., Nam, N M., & Yen, N D (2009) Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming Mathematical Programming, 116(1-2), Ser B, 369–396 https://doi.org/10.1007/s10107-0070120-x Qui, N T (2020) Subdifferentials of marginal functions of parametric bang–bang control problems Nonlinear Analysis, 195, 111743, 13pp https://doi.org/10.1016/j.na.2020.111743 Qui, N T., & Wachsmuth, D (2018) Stability for bang-bang control problems of partial differential equations Optimization, 67(12), 2157–2177 https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1522634 Qui, N T., & Wachsmuth, D (2019) Full stability for a class of control problems of semilinear elliptic partial differential equations SIAM Journal on Control and Optimization, 57(4), 3021–3045 https://doi.org/10.1137/17M1153224 Qui, N T., & Wachsmuth, D (2020) Subgradients of marginal functions in parametric control problems of partial differential equations SIAM Journal on Optimization, 30(2), 1724–1755 https://doi.org/10.1137/18M1200956 Tröltzsch, F (2010) Optimal control of partial differential equations Theory, methods and applications American Mathematical Society, Providence, RI https://doi.org/10.1090/gsm/112 94