BÀI ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ThS Nguyễn Hải Dương – ThS Phạm Hồng Nhật Khoa Toán Kinh tế

BÀI ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ ThS Nguyễn Hải Dương – ThS Phạm Hồng Nhật Khoa Toán Kinh tế Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014109216 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Với tình giảng số 5, có số liệu chi tiêu 100 khách hàng cho bảng số liệu sau (đơn vị: nghìn đồng) Giả thiết chi tiêu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95% Chi tiêu Số người 60–100 100–140 140–180 180–220 220–260 25 29 21 260–300 300–340 Quản lý muốn ước lượng mức chi tiêu trung bình tất khách hàng Người quản lý muốn đánh giá mức độ dao động mức chi tiêu khách hàng Nếu khách hàng chiêu từ 260 nghìn trở lên khách hàng quan trọng tỷ lệ khách hàng loại chiếm phần trăm tổng thể khách hàng v1.0014109216 MỤC TIÊU • Hiểu khái niệm ước lượng; • Tìm ước lượng khơng chệch, hiệu số ước lượng cho; • Với số liệu mẫu, ước lượng tham số tổng thể suy luận từ v1.0014109216 HƯỚNG DẪN HỌC • Học lịch trình mơn học theo tuần; • Theo dõi chi tiết ví dụ giảng, tự làm tập luyện tập; • Sử dụng máy tính bấm tay để tính ví dụ, tự tính kết đối chiếu với đáp số giảng; • Tự nghiên cứu trao đổi với bạn học cần thiết; • Trao đổi với giảng viên qua phương tiện cung cấp v1.0014109216 NỘI DUNG Lý thuyết ước lượng Ước lượng trung bình tổng thể Ước lượng phương sai tổng thể Ước lượng tỷ lệ tổng thể v1.0014109216 LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG 1.1 Khái niệm ước lượng 1.2 Khái niệm ước lượng điểm 1.3 Tiêu chuẩn lựa chọn ước lượng điểm 1.4 Khái niệm ước lượng khoảng 1.5 Phương pháp tìm ước lượng khoảng v1.0014109216 1.1 KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG • Khái niệm: Ước lượng tham số tính tốn cách gần giá trị tham số chưa biết tổng thể dựa thơng tin từ mẫu • Có nhiều tham số tổng thể, trước đề cập đến ba tham số chính, ta tập trung vào ba tham số này, ta có ba tốn:  Ước lượng trung bình tổng thể: μ  Ước lượng phương sai tổng thể: 2  Ước lượng tỷ lệ tổng thể: p • Thay phải viết với ba tham số μ, 2, p riêng biệt, tạm thời dùng ký hiệu chung tham số  • Khi ước lượng cho tham số  dựa thơng tin từ mẫu, có hai loại ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng v1.0014109216 1.2 KHÁI NIỆM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Khái niệm: Ước lượng tham số giá trị tính toán mẫu gọi ước lượng điểm cho tham số Với mẫu ngẫu nhiên giá trị thống kê ngẫu nhiên, với mẫu cụ thể giá trị số  Ký hiệu ước lượng điểm tham số   ˆ2  m 2X1  X2 = f(x1, x2,…, xn) Với ước mẫu ngẫu nhiên, W = (X1, X2,…, Xn) thống kê có dạng:    f(X1, X2 ,, Xn ) hàm số mẫu   Với mẫu cụ thể, w = (x1, x2,…, xn) thống kê có dạng: qs  f(x1,x ,,x n ) số Chữ qs viết tắt quan sát Giá trị tính mẫu cụ thể gọi giá trị quan sát v1.0014109216 1.3 TIÊU CHUẨN LỰA CHỌN ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Tính khơng chệch Định nghĩa – Tính khơng chệch: Thống kê ˆ mẫu gọi ước lượng không chệch tham số  tổng thể kỳ vọng giá trị tham số Vậy ˆ ước lượng khơng chệch  thì: E( )   Nếu E( )   ˆ gọi ước lượng chệch  Ước lượng chệch dẫn đến sai lệch mang tính hệ thống, ước lượng cao thấp giá trị cần ước lượng Nếu ước lượng chệch dùng ước lượng tham số khác nữa, kết nghiêm trọng v1.0014109216 1.3 TIÊU CHUẨN LỰA CHỌN ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Tính hiệu • Giả sử ˆ , ˆ ước lượng không chệch θ, V(ˆ )  V(ˆ ) ước lượng ˆ gọi hiệu ước lượng ˆ Ước lượng không chệch ˆ * gọi hiệu có phương sai nhỏ số tất ước lượng không chệch xây dựng mẫu, tức V(ˆ * )  V(ˆ ) với ˆ ước lượng khơng chệch • Định nghĩa – Tính hiệu quả: Thống kê ˆ mẫu gọi ước lượng hiệu tham số  tổng thể ˆ ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ số ước lượng không chệch  Như ước lượng hiệu trước tiên phải ước lượng không chệch Ước lượng không chệch hiệu gọi ước lượng tốt v1.0014109216 10 ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ 3.1 Ước lượng điểm 3.2 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể phân phối Chuẩn v1.0014109216 22 3.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Phương sai tổng thể V(X) =  Ước lượng không chệch cho phương sai tổng thể mẫu ngẫu nhiên phương sai mẫu S2, E(S 2) =  v1.0014109216 23 3.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ PHÂN PHỐI CHUẨN • Khi X phân phối chuẩn, phương sai tổng thể  cần ước lượng, với độ tin cậy (1 – ), dựa quy luật thống kê phân phối Khi – bình phương bậc tự (n – 1) Công thức ước lượng khoảng, hay khoảng tin cậy phương sai tổng thể: (n  1)S2 (n  1)S2   1) 1)  2(n 12(n  /2  /2 Với mẫu cụ thể, thay S2 s2 tính từ mẫu, nên khoảng tin cậy là: (n  1)s2 (n  1)s2   1) 1) 2(n 12(n  /2  /2 • Ví dụ 6.2 (tiếp): Với mẫu 20 cửa hàng khảo sát có trung bình mẫu 135,8 nghìn phương sai mẫu 23,3 nghìn2 Giả thiết giá phân phối Chuẩn d Với độ tin cậy 95% ước lượng độ dao động giá bán thị trường, đo phương sai độ lệch chuẩn e Với độ tin cậy 90%, tìm khoảng tin cậy cho độ phân tán giá bán v1.0014109216 24 VÍ DỤ 6.2 (tiếp theo) Giải: d Cơng thức ước lượng là: (n  1)s2 (n  1)s2   1) 1) 2(n 12(n  /2  /2 Cần có hai giá trị tới hạn mẫu 2( 20 1) 2(19 )  2(n/21)  0,05/2  0,025  32,85 1) 20 1) 2(19 ) 12(n  12(0,05/2  0,975  8,907  /2 Thay số vào công thức ta (20  1)23,3 (20  1)23,3  2  32,85 8,907 13,476  2  49,702 Vậy với độ tin cậy 95%, ước lượng độ dao động giá bán thị trường, đo phương sai (13,476 ; 49,702) nghìn2, đo độ lệch chuẩn (3,67; 7,05) nghìn e Đáp số: 3,832 <  < 6,614 (đo độ lệch chuẩn) v1.0014109216 25 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Có số liệu chi tiêu 100 khách hàng cho bảng số liệu sau (đơn vị: nghìn đồng) Giả thiết chi tiêu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95% Chi tiêu Số người 60–100 100–140 140–180 180–220 220–260 260–300 300–340 25 29 21 a Ước lượng điểm khoảng cho chi tiêu trung bình tất khách hàng b Muốn sai số câu (a) cịn nửa cần điều tra hóa đơn khách hàng? c Ước lượng cho độ dao động chi tiêu, đo độ lệch chuẩn Giải: Đặt chi tiêu X, theo giả thiết X phân phối Chuẩn: X ~ N(μ, 2) Từ số liệu đề bài, thực tính, ta thơng tin từ mẫu cụ thể này: n = 100, x = 200,4 (nghìn đồng), s2 = 3086,71 (nghìn đồng)2, s = 55,558 (nghìn đồng) v1.0014109216 26 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG a Ước lượng điểm cho chi tiêu trung bình tất khách hàng trung bình mẫu, 200,4 nghìn đồng s (n1) s (n1) Ước lượng khoảng theo công thức: x  t  /2    x  t  /2 n n Độ tin cậy 95% nghĩa α = 0,05 1) 99 ) Giá trị tới hạn t (n /21)  t (100  t (0,025  1,96 0,05/2 55,558 55,558 Thay số vào ta có: 200,4   1,96    200,4   1,96 100 100 189,51 < μ < 211,29 Vậy với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho chi tiêu trung bình tất khách hàng khoảng (189,51; 211,29) nghìn đồng 10,89 b Muốn sai số câu (a) nửa, tức   5,445 Từ   v1.0014109216 s n t  /2 (n 1)  55,558  s  suy n   t (n /21)  ta có n    1,96   400    5,445  27 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG c Ước lượng cho độ dao động đo độ lệch chuẩn phải tính qua cơng thức ước lượng phương sai (n  1)s2 (n  1)s2   Công thức ước lượng là: 1) 2(n/21) 12(n  /2 Giá trị tới hạn 2( 99 ) 2(100 )  2(n/21)  0,025  0,025  129,6 1) 2( 99 ) 2(100 ) 12(n  0,975  0,975  74,22  /2 Thay số ta có (100  1)  3086,71 (20  1)  3086,71  2  129,6 74,22 48,558    64,166 Vậy ước lượng cho độ lệch chuẩn chi tiêu khoảng (48,558; 64,166) nghìn đồng v1.0014109216 28 ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ TỔNG THỂ 4.1 Ước lượng điểm tỷ lệ tổng thể 4.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể v1.0014109216 29 4.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM TỶ LỆ TỔNG THỂ • M Với tổng thể kích thước N, có M phần tử chứa dấu hiệu A, p  tỷ lệ tổng N thể, hay tần suất tổng thể dấu hiệu A Nếu coi việc xuất dấu hiệu A biến cố, p xác suất biến cố • Với mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu hay tần suất mẫu f, chứng minh f ước lượng điểm không chệch hiệu p v1.0014109216 30 4.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TỶ LỆ TỔNG THỂ Với mẫu kích thước n, tần suất mẫu f, độ tin cậy (1– ) Ta có cơng thức khoảng tin cậy đối xứng tỷ lệ tổng thể p sau: f f(1  f ) n u /2  p  f  f(1  f ) n u /2 Ước lượng khoảng viết dạng: f pf  Trong ε gọi sai số,  f(1  f ) u /2 n Do muốn sai số ước lượng không vượt giá trị 0 cho trước kích thước mẫu tối thiểu là: n'  v1.0014109216 f(1  f ) u /2 02 31 VÍ DỤ 6.3 Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm nhà máy sản xuất, thấy có 92 sản phẩm đạt chất lượng loại I Với độ tin cậy 95% a Tỉ lệ sản phẩm loại I nhà máy nằm khoảng nào? b Nếu muốn sai số khơng q 4%, cần kiểm tra sản phẩm? c Hãy ước lượng số sản phẩm loại I số 40 nghìn sản phẩm? Giải: Đặt p tỉ lệ sản phẩm loại I nhà máy, p chưa biết Với mẫu, n = 400; số sản phẩm loại I, k = 92, đặt f tỉ lệ sản phẩm loại I mẫu, ta có: k 92 f   0,23 n 400 a Ước lượng cho p với độ tin cậy 95% hay α = 0,05 Công thức: f f(1  f ) n u /2  p  f  Giá trị tới hạn: u /2  u0,025  1,96 Thay số ta có 0,23  0,23  (1  0,23) 400 f(1  f ) n u /2  1,96  p  0,23  0,23  (1  0,23) 400  1,96 0,1888 < p < 0,2712 v1.0014109216 32 VÍ DỤ 6.3 b Nếu muốn sai số khơng vượt 4% hay muốn ε ≤ 0,04 thì: n'  0,23  (1  0,23)  1,962 0,04 Vậy n’ ≥ 425; cần kiểm tra 425 sản phẩm c Khi sản xuất 40000 sản phẩm, muốn ước lượng số sản phẩm loại I đơn giản nhân giá trị tỷ lệ với số 40000 Nếu đặt số sản phẩm loại I số 40000 sản phẩm M thì: p M hay M = 40000p 40000 Do từ kết ước lượng p câu (a), có 0,1888 < p < 0,2712 0,1888  40000 < 40000p < 0,2772  40000 7552 < M < 10848 Vậy với độ tin cậy 95% có khoảng (7552; 10848) sản phẩm loại I v1.0014109216 33 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Khi ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể, điều sau chắn làm sai số ước lượng giảm đi? A Giảm kích thước mẫu giảm độ tin cậy B Giảm kích thước mẫu tăng độ tin cậy C Tăng kích thước mẫu giảm độ tin cậy D Tăng kích thước mẫu tăng độ tin cậy Trả lời: Đáp án là: C Tăng kích thước mẫu giảm độ tin cậy v1.0014109216 34 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Tổng thể phân phối Chuẩn, với mẫu kích thước 10, trung bình mẫu 20, độ lệch chuẩn mẫu 3, độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể kết là: A (17,85; 22,15) B (18,26; 21,74) C (13,56; 26,44) D (17,96; 22,04) Trả lời: Đáp án là: A (17,85; 22,15) v1.0014109216 35 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Ước lượng tham số tính tốn gần giá trị tham số chưa biết tổng thể, gồm tham số: μ, 2, p, dựa thông tin từ mẫu Có hai loại ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng • Ước lượng điểm gọi khơng chệch kỳ vọng tham số, gọi hiệu ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ • Ước lượng khoảng tìm khoảng cho xác suất mức cho trước, mức gọi độ tin cậy Khoảng tìm gọi khoảng tin cậy, khoảng có độ dài ngắn coi tốt • Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể tỷ lệ tổng thể có dạng đối xứng, sai số ước lượng phản ánh độ xác Muốn sai số giảm tăng kích thước mẫu giảm độ tin cậy • Từ ước lượng khoảng cho phương sai tổng thể tính ước lượng khoảng cho độ lệch chuẩn tổng thể v1.0014109216 36 ... CUỐI BÀI • Ước lượng tham số tính tốn gần giá trị tham số chưa biết tổng thể, gồm tham số: μ, 2, p, dựa thông tin từ mẫu Có hai loại ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng • Ước lượng điểm... ˆ ước lượng khơng chệch • Định nghĩa – Tính hiệu quả: Thống kê ˆ mẫu gọi ước lượng hiệu tham số  tổng thể ˆ ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ số ước lượng không chệch  Như ước lượng. .. phải viết với ba tham số μ, 2, p riêng biệt, tạm thời dùng ký hiệu chung tham số  • Khi ước lượng cho tham số  dựa thông tin từ mẫu, có hai loại ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng v1.0014109216