VI PHÂN SUY RỘNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ VỚI RÀNG BUỘC BIÊN TRƠN

Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 DOI:10.22144/ctu.jvn.2022.108 VI PHÂN SUY RỘNG TRONG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÓ THAM SỐ VỚI RÀNG BUỘC BIÊN TRƠN Nguyễn Thành Quí1*, Võ Thị Thúy Duy2, Mạc Lê Chí Đạo3 Đào Duy Phúc4 Bộ mơn Tốn học, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Lớp cao học Toán Giải tích K27, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Lớp cao học Toán Giải tích K28, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ Lớp cao học Toán Giải tích K26, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Cần Thơ *Người chịu trách nhiệm viết: Nguyễn Thành Quí (email: ntqui@ctu.edu.vn) Thông tin chung: ABSTRACT Ngày nhận bài: 21/05/2022 Ngày nhận sửa: 16/06/2022 Ngày duyệt đăng: 20/06/2022 The article obtains some new results in the research direction of differential stability for the parametric optimal control problem governed by semilinear elliptic partial differential equations with smooth boundary constraints The new results of the article consist of exact formulas for computing the Fréchet coderivative and the Mordukhovich coderivative of the constraint operator with perturbed smooth boundary constraint set, and a formula for computing/estimating the Fréchet subdifferential (the regular subdifferential) of the marginal function of the parametric optimal control problem with a smooth boundary constraint set Title: Generalized differentiation in parametric optimal control with smooth boundary constraints Từ khóa: Dưới vi phân suy rộng, điều khiển tối ưu, đối đạo hàm, hàm giá trị tối ưu, phương trình đạo hàm riêng Keywords: Coderivative, generalized subdifferential, marginal function, partial differential equation, optimal control TÓM TẮT Hướng nghiên cứu viết ổn định vi phân tốn điều khiển tối ưu có tham số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc biên trơn Các kết báo bao gồm cơng thức tính tốn chính xác đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich toán tử ràng buộc với tập ràng buộc biên trơn có nhiễu, cơng thức tính tốn/ đánh giá vi phân Fréchet (dưới vi phân chính quy) hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu có tham số với ràng buộc biên trơn thường ánh xạ đa trị, khái niệm vi phân cổ điển áp dụng cho đối tượng để khảo sát toán tối ưu có tham số Điều dẫn đến việc sử dụng khái niệm vi phân theo nghĩa suy rộng cho hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm tốn tối ưu có tham số yêu cầu tất yếu Trong báo này, tính chất vi phân suy rộng cho hàm giá trị tối ưu toán 𝑃(𝑒) khảo sát điều khiển tối ưu có tham số cho phương GIỚI THIỆU Hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm toán tối ưu phụ thuộc tham số đóng vai trị quan trọng giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu, điều khiển tối ưu nên thu hút nhiều chuyên gia quan tâm nghiên cứu như: Mordukhovich (2006a, 2006b), Mordukhovich et al (2009), Mordukhovich (2018), Qui (2020), Qui and Wachsmuth (2020), Quí Phúc (2022) Trong trường hợp tổng quát, hàm giá trị tối ưu không khả vi ánh xạ nghiệm 138 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 trình đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với tập ràng buộc biên trơn Một số mơ hình tốn điều khiển tối ưu cho phương trình đạo hàm riêng elliptic có liên quan đến tốn 𝑃(𝑒) có ràng buộc điểm khảo sát Casas et al (2002), Casas et al (2008), Casas (2012), Qui and Wachsmuth (2018, 2019, 2020), Qui (2020), Quí Phúc (2022), sách chun khảo Trưltzsch (2010) Hiện nay, chưa có báo khảo sát tính chất vi phân suy rộng hàm giá trị tối ưu tốn điều khiển tối ưu có tham số cho phương trình đạo hàm riêng với ràng buộc biên trơn Đây báo nghiên cứu tính chất vi phân suy rộng hàm giá trị tối ưu toán 𝑃(𝑒) với ràng buộc biên trơn Bài toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) yêu cầu tìm hàm mục tiêu 𝐽: 𝐿2 (Ω) × 𝐸 → ℝ xác định không gian tham số 𝑒 = (𝑒𝑌 , 𝑒𝐽 , 𝑒𝑃 ) ∈ 𝐸 tham số toán 𝑃(𝑒), chuẩn tham số 𝑒 ∈ 𝐸 định nghĩa ‖𝑒‖𝐸 = ‖𝑒‖𝐿2(Ω) + ‖𝑒‖𝐿2(Ω) + ‖𝑒‖𝐿𝑝(Ω) Ký hiệu 𝒢𝑎𝑑 (𝑒) tập điều khiển chấp nhận toán 𝑃(𝑒) Như vậy, toán tử ràng buộc toán 𝑃(𝑒) toán tử đa trị 𝒢𝑎𝑑 : 𝐸 → 2𝐿 (Ω) xác định 𝒢𝑎𝑑 (𝑒) = {𝑢 ∈ 𝐿2 (Ω)| 𝜓(𝑢, 𝑒𝑃 ) ≤ 0} Hàm giá trị tối ưu (hàm marginal) toán ̅ xác định 𝑃(𝑒) hàm 𝜇: 𝐸 → ℝ 𝜇(𝑒) = ∫ 𝜁(𝑥)(𝑢 + 𝑒𝑌 )2 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝐽 (𝑥)𝑦𝑢+𝑒𝑌 (𝑥)𝑑𝑥 Ω (1.1) 𝑦𝑢+𝑒𝑌 nghiệm yếu tốn Dirichlet (phương trình trạng thái) (1.2) đây, 𝐴 toán tử vi phân elliptic bậc hai có dạng 𝑁 𝐴𝑦(𝑥) = − ∑ ∑ 𝑖=1 𝑗=1 𝜕 𝜕 (𝑎 (𝑥) 𝑦(𝑥)), 𝜕𝑥𝑗 𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 với hàm hệ số 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐿∞ (Ω) thỏa mãn 𝑁 ∞ (Ω) toán Cho tham số 𝑒̅ ∈ 𝐸, điều khiển chấp nhận 𝑢̅ ∈ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ ) gọi điều khiển tối ưu (hay nghiệm) toán 𝑃(𝑒̅ ) ứng với trạng thái tối ưu ̅ ) 𝑦̅ = 𝐺(𝑢̅) ∈ 𝐻1 (Ω) ∩ 𝐶(Ω 𝐽(𝑢̅, 𝑒̅ ) ≤ 𝐽(𝑢, 𝑒̅ ), ∀𝑢 ∈ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅) Để khảo sát tồn nghiệm toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) vấn đề có liên quan ta cần đến giả thiết sau đây: (A1) Tập Ω ⊂ ℝ𝑁 (với 𝑁 = 1, 2, 3) miền mở bị chặn ℝ𝑁 với biên Lipschitz Γ Tập 𝒢𝑎𝑑 (𝑒) lồi bị chặn với 𝑒 ∈ 𝐸 (A2) Hàm 𝑓: Ω × ℝ → ℝ hàm Carathéodory (tức là, 𝑓(⋅, 𝑦) đo với 𝑦 ∈ ℝ 𝑓(𝑥,⋅) liên tục với h.h 𝑥 ∈ Ω) thuộc lớp hàm 𝐶 biến thứ hai thỏa mãn ∂𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ với h.h 𝑥 ∈ Ω, 𝑓(∙ ,0) ∈ 𝐿2 (Ω), ∂𝑦 thỏa điều kiện ràng buộc biên trơn sau: 𝑁 (1.4) Ở Mục 2, kết nghiên cứu tồn nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) tồn nghiệm toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) Nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) định nghĩa Tröltzsch (2010) Ω 𝐴𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑢 + 𝑒𝑌 Ω { 𝑦=0 Γ, 𝐽(𝑢, 𝑒), (1.5) 𝑆(𝑒) = {𝑢 ∈ 𝑈𝑎𝑑 (𝑒)|𝜇(𝑒) = 𝐽(𝑢, 𝑒)} TỒN TẠI NGHIỆM, TÍNH KHẢ VI Ω 𝑢 ∈ 𝐿2 (Ω), 𝜓(𝑢, 𝑒𝑃 ) ≤ 0, inf 𝑢∈𝒢𝑎𝑑 (𝑒) ánh xạ nghiệm 𝑆: 𝐸 → 2𝐿 𝑃(𝑒) xác định 𝐽(𝑢, 𝑒) = ∫ 𝐿 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 (𝑥)) 𝑑𝑥 + (1.3) 𝑁 𝜆𝐴 ‖𝛾‖2 ≤ ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑥)𝛾𝑖 𝛾𝑗 , 𝑖=1 𝑗=1 với M > tồn C𝑓,𝑀 > cho với 𝛾 = (𝛾1 , … , 𝛾𝑁 ) ∈ ℝ𝑁 , với h.h 𝑥 ∈ Ω, với số 𝜆𝐴 > 0, 𝜓: 𝐿2 (Ω) × 𝐿𝑝 (Ω) → ℝ hàm thuộc lớp 𝐶 với 𝑝 ∈ (1, +∞) 𝜁(⋅) hàm cho trước Ký hiệu | ∂𝑓 ∂2 𝑓 (𝑥, 𝑦)| + | (𝑥, 𝑦)| ≤ C𝑓,𝑀 ∂𝑦 ∂𝑦 với h.h 𝑥 ∈ Ω |y| ≤ M, 𝐸 = 𝐿2 (Ω) × 𝐿2 (Ω) × 𝐿𝑝 (Ω) 139 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 lớp hàm 𝐶 Hơn nữa, với mọi 𝑢, 𝑣, 𝑒𝑌 ∈ 𝐿2 (Ω), 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 = 𝐺 ′ (𝑢 + 𝑒𝑌 )𝑣 nghiệm yếu ∂2 𝑓 ∂2 𝑓 (𝑥, 𝑦1 )| ≤ C𝑓,𝑀 |𝑦2 − 𝑦1 | | (𝑥, 𝑦2 ) − ∂𝑦 ∂𝑦 𝜕𝑓 𝐴𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 + (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 = 𝑣 Ω { 𝜕𝑦 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣 = Γ với h.h 𝑥 ∈ Ω |y1 |, |𝑦2 | ≤ M (A3) Hàm 𝐿: Ω × ℝ → ℝ hàm Carathéodory thuộc lớp 𝐶 biến thứ hai Hơn nữa, ta có 𝐿(∙ ,0) ∈ 𝐿1 (Ω) với M > tồn số C𝐿,𝑀 > 𝜓𝑀 ∈ 𝐿2 (Ω) cho | Với 𝑢, 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑒𝑌 ∈ 𝐿2 (Ω), ta có 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1𝑣2 = 𝐺 ′′ (𝑢 + 𝑒𝑌 )𝑣1 𝑣2 nghiệm yếu ∂𝐿 ∂2 𝐿 (𝑥, 𝑦)| ≤ 𝜓𝑀 (x), | (𝑥, 𝑦)| ≤ 𝐶𝐿,𝑀 , ∂𝑢 ∂y 𝐴𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1𝑣2 + với h.h 𝑥 ∈ Ω |𝑦| ≤ 𝑀, + | ∂2 𝐿 ∂2 𝐿 (𝑥, 𝑦1 ) − (𝑥, 𝑦2 )| ≤ 𝐶𝐿,𝑀 |𝑦2 − 𝑦1 | ∂y ∂y { 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1 𝑣2 𝜕𝑦 𝜕2𝑓 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣2 = Ω 𝜕𝑦 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣1𝑣2 = Γ, 𝑧𝑢+𝑒𝑌 ,𝑣𝑖 = 𝐺 ′ (𝑢 + 𝑒𝑌 )𝑣𝑖 với 𝑖 = 1, với h.h 𝑥 ∈ Ω |y1 |, |𝑦2 | ≤ M Chứng minh Các kết phát biểu định lý suy từ Casas et al (2008) (Theorem 2.4); Quí Phúc (2022) (Định lý 3.2); Casas and Mateos (2002)  Các giả thiết nêu giả thiết thường sử dụng lý thuyết điều khiển tối ưu Dựa hệ thống giả thiết này, tồn nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) tồn nghiệm toán điều khiển tối ưu 𝑃(𝑒) thiết lập Định lý 2.4 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, ánh xạ 𝐽(∙, 𝑒): 𝐿2 (Ω) → ℝ thuộc lớp 𝐶 Hơn nữa, với 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐿2 (Ω), đạo hàm riêng 𝐽𝑢′ (𝑢, 𝑒) xác định Định lý 2.1 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, phương trình trạng thái (1.2) ln có nghiệm yếu 𝐽𝑢′ (𝑢 + 𝑒𝑌 , 𝑒)𝑣 = ∫ (𝜁(𝑢 + 𝑒𝑌 ) + 𝜑𝑢,𝑒 )𝑣𝑑𝑥 Ω Chứng minh Việc chứng minh tồn nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) lập luận tương tự chứng minh Tröltzsch (2010) (Theorem 4.4)  𝜑𝑢,𝑒 nghiệm yếu phương trình 𝐴∗ 𝜑 + Định lý 2.2 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, với 𝑒 ∈ 𝐸 cho tập 𝒢𝑎𝑑 (𝑒) khác rỗng, tốn 𝑃(𝑒) ln có nghiệm Chứng minh Sự tồn nghiệm (điều khiển tối ưu) toán 𝑃(𝑒) lập luận tương tự chứng minh Tröltzsch (2010) (Theorem 4.15)  { 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 )𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝐿 = (𝑥, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 ) + 𝑒𝐽 Ω 𝜕𝑦 𝜑=0 Γ, 𝑦𝑢+𝑒𝑌 = 𝐺(𝑢 + 𝑒𝑌 ) 𝐴∗ toán tử liên hợp 𝐴 xác định Hệ thống giả thiết (A1)–(A3) sử dụng Định lý 2.1 Định lý 2.2 đảm bảo cho tính khả vi ánh xạ nghiệm yếu phương trình trạng thái (1.2) hàm mục tiêu toán 𝑃(𝑒) Ký hiệu 𝐺(∙) ánh xạ nghiệm yếu (1.2) Tính khả vi 𝐺(∙) hàm mục tiêu 𝐽(∙,∙) toán 𝑃(𝑒) khảo sát sau 𝑁 𝑁 ∗ 𝐴 𝜑(𝑥) = − ∑ ∑ 𝑖=1 𝑗=1 𝜕 𝜕 (𝑎𝑖𝑗 (𝑥) 𝜑(𝑥)) 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖 Chứng minh Bằng cách thay 𝑢 𝑢 + 𝑒𝑌 Qui and Wachsmuth (2019) (Theorem 2.3) ta suy kết phát biểu định lý  Định lý 2.3 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Khi đó, ánh xạ nghiệm yếu (1.2), ̅ ) với 𝐺(𝑤) = 𝑦𝑤 , thuộc 𝐺: 𝐿2 (Ω) → 𝐻01 (Ω) ∩ C(Ω 𝟐 (𝛀) ĐỐI ĐẠO HÀM CỦA 𝓖𝒂𝒅 : 𝑬 → 𝟐𝑳 Ở mục 3, mục tiêu nghiên cứu thiết lập cơng thức tính tốn đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich toán tử ràng buộc 140 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 ∗ 𝒢𝑎𝑑 (⋅) Các cơng thức tính tốn đối đạo hàm đóng vai trị quan trọng việc thiết lập cơng thức tính tốn vi phân suy rộng hàm giá trị tối ưu 𝜇(⋅) toán 𝑃(𝑒) ánh xạ đa trị 𝐷 ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ ): 𝑊 ∗ → 2𝑋 xác định 𝐷 ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(𝑣 ∗ ) = {𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ |(𝑢∗ , −𝑣 ∗ ) ∈ 𝑁((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹)}, ̂ ((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) gph𝐹 đồ thị 𝐹, 𝑁 nón pháp tuyến Fréchet (nón pháp tuyến quy) gph𝐹 điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) định nghĩa ̂ ((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) = 𝜕̂𝛿((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹), 𝑁 Các khái niệm vi phân suy rộng trình bày đây, bao gồm: đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich (2006a, 2006b, 2018) Cho không ∗ gian Banach 𝑋, hàm đa trị 𝐹: 𝑋 → 2𝑋 hàm thực ̅ Giới hạn theo dãy theo mở rộng 𝜎: 𝑋 → ℝ nghĩa Painlevé – Kuratowski 𝐹 𝑢 → 𝑢̅ xác định Limsup 𝐹(𝑢) 𝑁((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) nón pháp tuyến Mordukhovich gph𝐹 điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) định nghĩa 𝑁((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) = 𝜕𝛿((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹) Trong trường hợp tổng quát, ta có ̂ ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(⋅) ≠ 𝐷 ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(⋅), 𝐷 ̅ 𝑢→𝑢 tồn 𝑢𝑛 → 𝑢̅ = {𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ | } 𝐹(𝑢𝑛 ) ∋ 𝑢𝑛∗ → 𝑢∗ theo tôpô 𝑤 ∗ Với 𝜖 ≥ 0, tập 𝜖-dưới gradient hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 ≔ {𝑢 ∈ 𝑋|𝜎(𝑢) < ∞} cho 𝜕̂𝜖 𝜎(𝑢̅) 𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ thỏa mãn 𝜎(𝑢) − 𝜎(𝑢̅) − 〈𝑢∗ , 𝑢 − 𝑢̅〉 = { 𝑢∗ | } liminf ≥ −𝜖 ‖𝑢 − 𝑢̅‖ ̅ 𝑢→𝑢 số trường hợp đặc biệt (chẳng hạn lớp hàm quy pháp tuyến) hai đối đạo hàm Ánh xạ đa trị 𝐹: 𝑋 → 2𝑊 gọi chính quy pháp tuyến điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) ∈ gph𝐹 ̂ ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(𝑣 ∗ ) = 𝐷 ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(𝑣 ∗ ), ∀𝑣 ∗ ∈ 𝑊 ∗ 𝐷 Định lý thiết lập cơng thức tính tốn đối đạo hàm Fréchet Mordukhovich toán tử ràng buộc 𝒢𝑎𝑑 (⋅) Đây kết kết mục Định lý 3.1 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn Cho (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) ∈ gph 𝒢𝑎𝑑 Khi đó, ta có đẳng thức ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) = 𝐷 ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) 𝐷 = {(0,0, 𝜂𝛻𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} Dưới vi phân Fréchet (dưới vi phân quy) hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 định nghĩa 𝜕̂𝜎(𝑢̅) ≔ 𝜕̂0 𝜎(𝑢̅) Dưới vi phân Fréchet (dưới vi phân quy trên) hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 xác định 𝜕̂ + 𝜎(𝑢̅) ≔ −𝜕̂(−𝜎)(𝑢̅) Dưới vi phân Mordukhovich (dưới vi phân qua giới hạn) hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 định nghĩa 𝜕𝜎(𝑢̅) ≔ Limsup 𝜕̂𝜖 𝜎(𝑢) 𝑢∗ = −𝜂𝛻𝑢 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ) 𝜂 ∈ ℝ+ , ngược lại ta có đẳng thức sau ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) = 𝐷 ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) = ∅ 𝐷 𝜎 ̅,𝜖↓0 𝑢→𝑢 Chứng minh Đặt Θ = (−∞, 0] xét hàm 𝑔(𝑒, 𝑢) = 𝑔(𝑒𝑌 , 𝑒𝐽 , 𝑒𝑃 , 𝑢) ≔ 𝜓(𝑢, 𝑒𝑃 ) Khi đó, đồ thị 𝒢𝑎𝑑 biểu diễn sau gph 𝒢𝑎𝑑 = {(𝑒, 𝑢)|𝜓(𝑢, 𝑒𝑃 ) ≤ 0}, vi phân qua giới hạn suy biến hàm 𝜎 𝑢̅ ∈ dom 𝜎 cho 𝜕 ∞ 𝜎(𝑢̅) ≔ Limsup 𝜆𝜕̂𝜖 𝜎(𝑢), 𝜎 ̅,𝜖↓0,𝜆↓0 𝑢→𝑢 𝜎 Tức là, ký hiệu 𝑢 → 𝑢̅ có nghĩa 𝑢 → 𝑢̅ 𝜎(𝑢) → 𝜎(𝑢̅) gph 𝒢𝑎𝑑 = 𝑔−1 (Θ) Cho không gian Banach 𝑋 𝑊, đối đạo hàm Fréchet (đối đạo hàm quy) đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ đa trị 𝐹: 𝑋 → 2𝑊 điểm (𝑢̅, 𝑣̅ ) ∈ gph𝐹 ánh xạ đa trị ̂ ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ ): 𝑊 ∗ → 2𝑋 ∗ xác định 𝐷 ̂ ∗ 𝐹(𝑢̅, 𝑣̅ )(𝑣 ∗ ) 𝐷 ̂ ((𝑢̅, 𝑣̅ ); gph𝐹)}, = {𝑢∗ ∈ 𝑋 ∗ |(𝑢∗ , −𝑣 ∗ ) ∈ 𝑁 Theo Mordukhovich (2006a) (Corollary 1.15), ta thu cơng thức biểu diễn nón pháp tuyến Fréchet gph 𝒢𝑎𝑑 điểm (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) sau ̂ ((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); gph 𝒢𝑎𝑑 ) = 𝑁 ̂ ((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); 𝑔−1 (Θ)) 𝑁 ∗ ̂ = ∇𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) 𝑁(𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); Θ) 141 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 Áp dụng theo Mordukhovich (2006a) (Theorem 1.17) ta có cơng thức biểu diễn nón pháp tuyến qua giới hạn gph 𝒢𝑎𝑑 điểm (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) sau ánh xạ nghiệm ∞ (Ω) 𝑆: dom 𝑈𝑎𝑑 → 2𝐿 Quí Phúc (2022) (Định lý 4.1) thay toán tử ràng buộc 𝑁((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); gph 𝒢𝑎𝑑 ) = 𝑁((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); 𝑔−1 (Θ)) = ∇𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )∗ 𝑁(𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); Θ) (Ω) 𝒢𝑎𝑑 : 𝐸 → 2𝐿 Từ ̂ (𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); Θ) = 𝑁(𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); Θ) 𝑁 ℝ , 𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) = 0, ={ + {0}, 𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) < 0, ánh xạ nghiệm (Ω) 𝑆: dom 𝒢𝑎𝑑 → 2𝐿 toán 𝑃(𝑒) Theo Mordukhovich et al (2009) (Theorem 1) ta có nên ta có ̂ ((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); gph 𝒢𝑎𝑑 ) = 𝑁((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); 𝑔−1 (Θ)) 𝑁 ℝ ∇𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ), 𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) = 0, ={ + {0}, 𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) < 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) ⊂ ⋂ ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ )) (𝑒 ∗ + 𝐷 ̂ + 𝐽(𝑢 ̅𝑒̅ ,𝑒̅ ) (𝑢∗ ,𝑒 ∗ )∈𝜕 Các giả thiết (A1)–(A3) đảm bảo cho hàm mục tiêu 𝐽(∙,∙): 𝐿2 (Ω) × 𝐸 → ℝ khả vi Fréchet (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) Do đó, ta có 𝜕̂ + 𝐽(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) = {𝐽′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )} = {(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ), 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ))} Từ suy ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) = 𝐷 ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝑢∗ ) 𝐷 biểu diễn {𝑒 ∗ ∈ 𝐸 ∗ |(𝑒 ∗ , −𝑢∗ ) ∈ 𝑁((𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ); gph 𝒢𝑎𝑑 )} Suy ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) ⊂ 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + 𝐷 Tập có giá trị {(0,0, 𝜂𝛻𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} Nếu 𝑆: dom 𝒢𝑎𝑑 → 2𝐿 (Ω) có lát cắt Lipschitz địa phương (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) theo Mordukhovich et al (2009) (Theorem 2) ta có ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + 𝐷 ∗ 𝑢 = −𝜂𝛻𝑢 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ) 𝜂 ∈ ℝ+ , có giá trị ∅ ngược lại Chú ý ∇𝑔(𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) = (∇𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ), ∇𝑢 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 )) Định lý chứng minh  cách định nghĩa hàm 𝑔  DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG CỦA 𝝁(⋅) Trong phát biểu chứng minh Định lý 4.1 có đề cập đến lát cắt Lipschitz địa phương Khái niệm lát cắt Lipschitz địa phương trình bày nghiên cứu Mordukhovich et al (2009) Định lý 4.2 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn xét 𝑒̅ = (𝑒̅𝑌 , 𝑒̅𝐽 , 𝑒̅𝑃 ) ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑆 𝑢̅𝑒̅ ∈ 𝑆(𝑒̅ ) Khi đó, 𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) = −𝜂∇𝑢 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ) 𝑣ớ𝑖 𝜂 ≥ 0, Dựa vào cơng thức tính đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich toán tử ràng buộc 𝒢𝑎𝑑 (⋅) thiết lập mục trước, mục thiết lập cơng thức tính/đánh giá vi phân Fréchet hàm giá trị tối ưu 𝜇(⋅) toán 𝑃(𝑒) Định lý 4.1 Giả sử giả thiết (A1)–(A3) thỏa mãn xét 𝑒̅ ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑆 𝑢̅𝑒̅ ∈ 𝑆(𝑒̅ ) Khi đó, ta có ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) ⊂ 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + 𝐷 ta có ̂ 𝜕𝜇(𝑒̅ ) ⊂ 𝒢𝑎𝑑 : 𝐸 → 2𝐿 (Ω) toán tử ràng buộc toán 𝑃(𝑒) Hơn nữa, ánh xạ nghiệm 𝑆: dom 𝒢𝑎𝑑 → 2𝐿 (Ω) có lát cắt Lipschitz địa phương (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + 𝐷 {(𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝜂∇𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} , ngược lại ta có 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = ∅ Hơn nữa, ánh xạ nghiệm 𝑆: dom 𝒢𝑎𝑑 → có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) Chứng minh Phương pháp chứng minh định lý tương tự phương pháp chứng minh Quí et al (2022) (Định lý 4.1), nhiên toán tử ràng buộc 𝐿2 (Ω) ∞ (Ω) 𝑈𝑎𝑑 : 𝐸 → 2𝐿 142 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = Hơn nữa, 𝑆: dom 𝒢𝑎𝑑 → 2𝐿 (Ω) có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ ) theo Định lý 4.1 ta có ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + 𝐷 {(𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝜂∇𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} Chứng minh Dựa vào cấu trúc tính chất vi phân hàm mục tiêu 𝐽(⋅,⋅) nêu Mục ta thấy với 𝑒̂ = (𝑒̂𝑌 , 𝑒̂𝐽 , 𝑒̂𝑃 ) ∈ 𝐸 ta có 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )𝑒̂ = (𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑒̂𝑌 ) 2(Ω) + (𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝑒̂𝐽 ) 2(Ω) 𝐿 Sử dụng đẳng thức lập luận ta thu cơng thức tính tốn 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = 𝐿 {(𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝜂∇𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} = 〈(𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 0), (𝑒̂𝑌 , 𝑒̂𝐽 , 𝑒̂𝑃 )〉 Định lý chứng minh  KẾT LUẬN Suy 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) = (𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 0) Kết thực mở hướng nghiên cứu liên quan đến ổn định vi phân toán điều khiển tối ưu có tham số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc biên trơn Kết ban đầu thu được: (1) cơng thức tính xác đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich toán tử ràng buộc với tập ràng buộc biên trơn có nhiễu, (2) cơng thức tính/đánh giá vi phân Fréchet hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu có tham số với ràng buộc biên trơn Hướng phát triển báo tính tốn vi phân Mordukhovich, vi phân qua giới hạn suy biến, mở rộng mơ hình tốn với cấu trúc ràng buộc biên trơn phức tạp Đây chủ đề nghiên cứu nhiều vấn đề mở mang nhiều ý nghĩa khoa học Theo Định lý 4.1 ta có ̂ ̂ ∗ 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅ , 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )), 𝜕𝜇(𝑒̅ ) ⊂ 𝐽𝑒′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) + 𝐷 theo Định lý 3.1 ̂∗ 𝐷 𝒢𝑎𝑑 (𝑒̅, 𝑢̅𝑒̅ )(𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ )) = {(0,0, 𝜂𝛻𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} Như vậy, ta thu 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) ⊂ {(𝜑𝑢̅𝑒̅,𝑒̅ + 𝜁(𝑢̅𝑒̅ + 𝑒̅𝑌 ), 𝑦𝑢̅𝑒̅+𝑒̅𝑌 , 𝜂∇𝑒𝑃 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ))} Nếu điều sau không thỏa mãn 𝐽𝑢′ (𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅ ) = −𝜂∇𝑢 𝜓(𝑢̅𝑒̅ , 𝑒̅𝑃 ) 𝑣ớ𝑖 𝜂 ≥ 0, theo Định lý 3.1 ta suy 𝜕̂𝜇(𝑒̅ ) = ∅ TÀI LIỆU THAM KHẢO Casas, E (2012) Second order analysis for bangbang control problems of PDEs SIAM Journal on Control and Optimization, 50(4), 2355–2372 https://doi.org/10.1137/120862892 Casas, E., & Mateos, M (2002) Second order optimality conditions for semilinear elliptic control problems with finitely many state constraints SIAM Journal on Control and Optimization, 40(5), 1431–1454 https://doi.org/10.1137/S0363012900382011 Casas, E., de los Reyes, J C., & Tröltzsch, F (2008) Sufficient second-order optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints SIAM Journal on optimization, 19(2), 616–643 https://doi.org/10.1137/07068240X Mordukhovich, B S (2006a) Variational analysis and generalized differentiation I Basic theory Springer-Verlag, Berlin Mordukhovich, B S (2006b) Variational analysis and generalized differentiation II Applications Springer-Verlag, Berlin https://doi.org/10.1007/3-540-31246-3 Mordukhovich, B S (2018) Variational analysis and applications Springer Monographs in Mathematics Springer, Cham https://doi.org/10.1007/978-3-319-92775-6 Mordukhovich, B S., Nam, N M., & Yen, N D (2009) Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming Mathematical Programming, 116(1-2), Ser B, 369–396 https://doi.org/10.1007/s10107-0070120-x Qui, N T (2020) Subdifferentials of marginal functions of parametric bang–bang control problems Nonlinear Analysis, 195, 111743, 13pp https://doi.org/10.1016/j.na.2020.111743 Qui, N T., & Wachsmuth, D (2018) Stability for bang-bang control problems of partial differential equations Optimization, 67(12), 2157–2177 https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1522634 Qui, N T., & Wachsmuth, D (2019) Full stability for a class of control problems of semilinear elliptic partial differential equations SIAM Journal on Control and Optimization, 57(4), 143 Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ Tập 58, Số chuyên đề: Khoa học tự nhiên (2022)(1): 138-144 tham số cho phương trình đạo hàm riêng elliptic Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, 58(1A), 87-94 https://doi.org/10.22144/ctu.jvn.2022.009 Tröltzsch, F (2010) Optimal control of partial differential equations Theory, methods and applications American Mathematical Society, Providence, RI https://doi.org/10.1090/gsm/112 3021–3045 https://doi.org/10.1137/17M1153224 Qui, N T., & Wachsmuth, D (2020) Subgradients of marginal functions in parametric control problems of partial differential equations SIAM Journal on Optimization, 30(2), 1724–1755 https://doi.org/10.1137/18M1200956 Quí, N T., & Phúc, Đ D (2022) Vi phân suy rộng hàm giá trị tối ưu điều khiển tối ưu có 144