Luận văn phương trình sai phân suy biến

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án công bố Người cam đoan (Ký ghi rõ họ tên) Nguyễn Bá Long ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn tận tình, nghiêm túc TS Trần Đình Kế, Trường ĐHSP Hà Nội Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Trần Đình Kế, người bảo cho tơi nhận xét q báu để tơi hoàn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Bộ mơn Giải tích, khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tơi hồn thành luận văn cách thuận lợi Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người đồng nghiệp, tập thể lớp Cao học K4 - Tốn Giải tích khích lệ, động viên tơi nhiều suốt q trình học tập, làm việc hồn thành luận văn Thanh Hóa, tháng 10 năm 2014 Tác giả iii Mục lục Mở đầu 1 Tính giải tồn nghiệm phân rã 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Giải tích bậc phân số 1.1.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ nén 1.2 Tồn nghiệm 1.3 Kết ổn định 17 Áp dụng 24 2.1 Phương trình vi phân bậc phân số 24 2.2 Phương trình đạo hàm riêng bậc phân số 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Xét toán sau không gian Banach X C D0α u(t) = Au(t) + f (t, u(t), ut ), t 6= tk , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (1) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (2) u(s) + g(u)(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (3) C D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A tốn tử tuyến tính đóng X sinh nửa nhóm liên tục mạnh W (·), Λ ⊂ N, f , g Ik hàm để cập cụ thể chương Trong này, ut hàm trễ, tức ut (s) = u(t + s), s ∈ [−h, 0] Dễ thấy rằng, toán (1)-(3) chứa nhiều lớp quan trọng tốn Cauchy phương trình vi phân Trường hợp α = 1, toán với điều kiện khơng cục có xung nghiên cứu nhiều Như biết, điều kiện không cục mơ tả mơ hình thực tế tốt so với điều kiện ban đầu cổ điển Ví dụ, ta xét kiểu điều kiện không cục dạng u(s) + M X ci u(τi , s) = ϕ(s) i=1 cho phép thêm vào kiện ban đầu số kiện khác Kết có ý nghĩa vật lý tốn khơng cục kể đến [6] Từ tốn khơng cục thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Trong luận văn trích dẫn số kết đáng ý tính giải được, [7, 13, 18, 19, 30] Ở khía cạnh khác, điều kiện xung sử dụng để mơ tả hệ động lực có thay đổi đột ngột Một số tài liệu đầy đủ phương trình vi phân có xung sách chuyên khảo [3, 15] Nhờ phát triển giải tích bậc phân số ứng dụng đạo hàm bậc phân số (có thể xem [2, 14, 21, 23]), nhiều hệ vi phân bậc nguyên mở rộng thành mơ hình bậc phân số Cách phát triển này, ta tìm thấy nghiên cứu [10, 22, 28, 29] Có thực tế rằng, tính giải cho hệ vi phân (1)-(3) nhận nhiều quan tâm, nhiên việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm lại gần chưa có kết đáng kể Để nghiên cứu tính ổn định toán, cách tiếp cận sử dụng phương pháp điểm bất động đề xuất Burton Furumochi cho phương trình vi phân/phương trình vi phân hàm (trong [4, 5]) Ý tưởng phương pháp xây dựng tập bất biến, mà tốn tử nghiệm có điểm bất động Với cách tiếp cận này, chứng minh nghiệm tầm thường hệ (1)-(3) BI-ổn định tiệm cận, tức u(t) → t → +∞ với điều kiện ban đầu bị chặn ϕ Luận văn trình bày sau: Chương chứng minh tồn nghiệm toán Kết mở rộng kết gần [8, 10, 22, 27, 28] cho trường hợp khơng có trễ Cũng Chương 1, chúng tơi chứng minh tính ổn định nghiệm với điều kiện Lipschitz thành phần phi tuyến Trong chương 2, minh họa kết tổng quát chương hai ví dụ, cho phương trình vi phân cho phương trình đạo hàm riêng bậc phân số Chương Tính giải tồn nghiệm phân rã 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Giải tích bậc phân số Ta xét L1 ([0, T ]; X) không gian hàm khả tích đoạn [0, T ], theo nghĩa Bochner Định nghĩa 1.1.1 Tích phân bậc α > hàm số f ∈ L1 ([0, T ]; X) xác định I0α f (t) = Γ(α) t Z (t − s)α−1 f (s)ds, Γ hàm Gamma Định nghĩa 1.1.2 Xét hàm f ∈ C N ([0, T ]; X), đạo hàm bậc α ∈ (N − 1, N ) xác định C D0α f (t) = Γ(N − α) Z t (t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds Chú ý rằng, có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số khác nhau, hai định nghĩa Riemann-Liouville Caputo sử dụng rộng rãi Rất nhiều toán ứng dụng, biểu diễn phương trình vi phân bậc phân số, yêu cầu điều kiện ban đầu liên quan đến u(0), u0 (0), , đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo thỏa mãn yêu cầu Với u ∈ C N ([0, T ]; X), ta có C D0α I0α u(t) = u(t), I0α C D0α u(t) = u(t) − N −1 X k=0 u(k) (0) k t k! Bây giờ, ta xét toán (1)-(3) Đặt η(t) = f (t, u(t), ut ) Với α ∈ (0, 1), sử dụng biến đổi Laplace cho phương trình (1), ta thu L[(·)−α ∗ u0 ](λ) = AL[u](λ) + L[η](λ), Γ(1 − α) (·)−α ∗ u0 , L biến đổi Laplace cho hàm Γ(1 − α) giá trị véc tơ Do C Dα u = X Γ(1 − α) (λL[u](λ) − e−λtk Ik − u(0)) = AL[u](λ) + L[η](λ) 1−α Γ(1 − α) λ k∈Λ Vậy L[u](λ) = λα−1 (λα I − A)−1 [ϕ(0) − g(u)(0)] X + λα−1 (λα I − A)−1 e−λtk Ik + (λα I − A)−1 L[η](λ) (1.1) k∈Λ Đặt Sα (t) Pα (t), t ∈ R+ , toán tử thỏa mãn L[Sα ](λ) = λα−1 (λα I − A)−1 , L[(·)α−1 Pα ](λ) = (λα I − A)−1 Thay vào (1.1) ta có L[u](λ) = L[Sα ](λ)[ϕ(0) − g(u)(0)] X + L[Sα ](λ)(e−λtk Ik ) + L[(·)α−1 Pα ](λ)L[η](λ) k≥1 (1.2) Áp dụng tính chất biến đổi Laplace ngược, ta thu u(t) = Sα (t)[ϕ(0) − g(u)(0)] + X Sα (t − tk )Ik (u(tk )) 0 0, Sα (t) Pα (t) liên tục theo chuẩn Chứng minh Chứng minh tương tự [25] Xét Φ(t, s) họ tốn tử tuyến tính bị chặn X với t, s ∈ [0, T ], s ≤ t Kết sau chứng minh [24, Bổ đề 1] Bổ đề 1.1.2 Giả sử Φ thỏa mãn điều kiện: (Φ1) tồn hàm ρ ∈ Lq (J), q ≥ cho kΦ(t, s)k ≤ ρ(t − s) với t, s ∈ [0, T ], s ≤ t; (Φ2) kΦ(t, s) − Φ(r, s)k ≤  với ≤ s ≤ r − , r < t = r + h ≤ T  = (h) → h → 0 Khi tốn tử S : Lq (0, T ; X) → C([0, T ]; X) xác định Z t (Sg)(t) := Φ(t, s)g(s)ds biến tập bị chặn thành tập liên tục đồng bậc, q số mũ liên hợp q (q = +∞ q = 1) Ký hiệu Qα : Lp ([0, T ]; X) → C([0, T ]; X), Z t Qα (f )(t) = (t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds (1.5) Áp dụng hai bổ đề trên, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1.3 Cho {W (t)}t≥0 C0 -nửa nhóm sinh A Khi đó, với tập bị chặn Ω ⊂ Lp ([0, T ]; X), Qα (Ω) tập liên tục đồng bậc C([0, T ]; X), W (t) liên tục theo chuẩn với t > Chứng minh Từ giả thiết W (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, Pα (t) liên tục theo chuẩn (theo bổ đề 1.1.1) Do Φ(t, s) = (t − s)α−1 Pα (t − s) thỏa mãn điều kiện (Φ1) − (Φ2) bổ đề 1.1.2 Từ đó, ta có điều phải chứng minh 1.1.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ nén Xét E không gian Banach Ký hiệu B(E) họ tập khác rỗng bị chặn E Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.3 Hàm β : B(E) → R+ gọi độ đo không compact (MNC) E β(co Ω) = β(Ω) với Ω ∈ B(E), co Ω bao lồi đóng Ω Độ đo β gọi i) đơn điệu Ω0 , Ω1 ∈ B(E), Ω0 ⊂ Ω1 kéo theo β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ); ii) không suy biến β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với a ∈ E, Ω ∈ B(E); iii) bất biến với phép hợp với tập compact β(K ∪ Ω) = β(Ω) với tập compact tương đối K ⊂ E Ω ∈ B(E); iv) nửa cộng tính đại số β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với Ω0 , Ω1 ∈ B(E); v) quy β(Ω) = tương đương với tính compact tương đối Ω Một ví dụ quan trọng độ đo không compact độ đo Hausdorff χ(·), định nghĩa sau χ(Ω) = inf{ε : Ω có ε lưới hữu hạn} Ngồi tính chất nêu trên, độ đo Hausdorff có thêm tính chất sau: • nửa nhất: χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với Ω ∈ B(E) t ∈ R; • E không gian Banach tách được, χ(Ω) = lim sup d(x, Em ), m→∞ x∈Ω {Em } dãy không gian hữu hạn chiều E mà ∞ [ Em ⊂ Em+1 , m = 1, 2, Em = E m=1 19 Mặt khác, có mở rộng tiệm cận sau cho Eα,β z → ∞ (xem [9]): ( Eα,β (z) = (1−β)/α exp z 1/α αz + εα,β (z) εα,β | arg z| ≤ 21 πα, | arg(−z)| ≤ (1 − 21 α)π, εα,β (z) = − N −1 X z −n + O(|z|−N ), as z → ∞ Γ(β − αn) n=1 Do đó, ||Sα (t)|| ≤ M Eα,1 (−atα ) = M εα,1 (−atα ), ||Pα (t)|| ≤ M Eα,α (−atα ) = M εα,α (−atα ) Từ hai bất đẳng thức này, ta có ||Sα (t)|| ||Pα (t)|| tiến t → +∞ Mệnh đề chứng minh Định lý 1.3.2 Giả sử (A), (Fa), (Ga), (Ia) (R) thỏa mãn Khi (1)-(3) có nghiệm u ∈ PC , với điều kiện Z t  X  ∞ η+ µk Sα + sup (t − s)α−1 kPα (t − s)kk(s)ds < 1, t≥0 k∈Λ (1.14) Sα∞ = sup kSα (t)k t≥0 Chứng minh Để chứng minh định lí này, sử dụng nguyên lí ánh xạ co Banach Đầu tiên, ta chứng minh F giữ bất động PC Ở đây, ta nhắc lại F(u)(t) = Sα (t)[ϕ(0) − g(u)(0)] + X Sα (t − tk )Ik (u(tk )) 0 Ta chứng minh F(u) ∈ PC , tức là, F(u)(t) → 0, t → +∞ Với  > cho trước, tồn T1 > mà ||u(t)|| ≤ , ∀t > T1 , (1.15) ||ut ||Ch = sup ||u(t + τ )|| ≤ , ∀t > T1 + h (1.16) τ ∈[−h,0] Mặt khác, từ giả thiết P µk < +∞, tồn N0 ∈ N thỏa mãn k∈Λ X µk ≤  k>N0 Do đó, với t > 0, ||F(u)(t)|| ≤ ||Sα (t)||(||ϕ||Ch + ||g(u)||Ch ) X X + ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk ))|| + ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk ))|| k≤N0 Z t k>N0 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| ||f (s, u(s))||ds + ≤ ||Sα (t)||(||ϕ||Ch + ηR) X X ∞ +R ||Sα (t − tk )|| µk + RSα µk Z + k≤N0 t k>N0 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||Ch )ds = E1 (t) + E2 (t) + E3 (t) E1 (t) = ||Sα (t)||(||ϕ||Ch + ηR), X X E2 (t) = R ||Sα (t − tk )|| µk + RSα∞ µk , k≤N0 t Z k>N0 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||Ch )ds E3 (t) = 21 Từ giả thiết (R), tồn T2 > thỏa mãn ||Sα (t)|| ≤ , ||Pα (t)|| ≤ , ∀t > T2 , Vì E1 (t) ≤ (1 + η)R, ∀t > T2 (1.17) X (1.18) Ngồi ra, ta có E2 (t) ≤ µk + Sα∞  R, ∀t > T2 + tN0 k≤N0 Bây giờ, ta xét E3 (t), với t > T1 + h ta có  Z T1 +h Z t  E3 (t) = (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||Ch )ds + T +h Z T1 +h ≤ 2R (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds Z t + 2 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds T1 +h Vì vậy, Z T1 +h E3 (t) ≤ 2R (t − s)α−1 k(s)ds Z t + 2 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds T1 +h với t > T2 + T1 + h Khi ú, ỏp dng bt ng thc Hăolder, ta cú 1/p  Z T1 +h 1/p0  Z T1 +h (α−1)p0 p E3 (t) ≤ 2R (t − s) ds (k(s)) ds Z0 t + 2 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds T1 +h   ≤ 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) +  (1.19) với t > T2 + T1 + h, p0 = Cα (t) = n p , p−1 h io1/p0 (α−1)p0 +1 (α−1)p0 +1 t − (t − T1 − h) , (α − 1)p0 + 22 đến đây, ta sử dụng tính chất Z t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)|| k(s)ds < T1 +h từ (1.14) Kết hợp (1.17), (1.18) (1.19) cho ta ||F(u)(t)|| ≤ C với t > max{T2 + T1 + h, T2 + tN0 },  X ∞ µk + Sα R + 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + C = (1 + η)R + k≤N ≤ (1 + η)R +  X0 µk + Sα∞  R + 2RCα (t) ||k||Lp (R+ ) + k∈Λ 1 ,p < , ta thấy < (α − 1)p0 + < Từ α 1−α h  T1 + h (α−1)p0 +1 i (α−1)p0 +1 (α−1)p0 +1 (α−1)p0 +1 t − (t − T1 − h) =t 1− 1− t 0 ∼ [(α − 1)p + 1](T1 + h)t(α−1)p as t → ∞ Với Cα (t), từ p > Do Cα (t) bị chặn, C bị chặn Từ suy F(PC ) ⊂ PC Nhiệm vụ lại chứng minh F ánh xạ co Với u, v ∈ PC , ta có ||F(u)(t) − F(v)(t)|| ≤ ||Sα (t)|| ||g(u) − g(v)||Ch X + ||Sα (t − tk )|| ||Ik (u(tk )) − Ik (v(tk ))|| 0 0, k(t) = n hX i,j=1 i 21 kij2 (t) , µk =  max i=1, ,n µ2ik  12 ,η = n X i,j=1 c2ij  12 , 26 || · || chuẩn Euclid Rn Từ giả thiết trên, ta có W (t) = etA ổn định mũ, Sα (t) Pα (t) ổn định tiệm cận (R) thỏa mãn Theo định lí 1.3.2, giả thiết (1.14) thỏa mãn, hệ (2.1)-(2.3) có nghiệm tích phân phân rã vơ 2.2 Phương trình đạo hàm riêng bậc phân số Ta xét hệ phương trình đạo hàm riêng bậc phân số sau đây: ∂tγ u(x, t) = p(Dx )u(x, t) + k(t)f˜(x, u(x, t), u(x, t − h)), (2.4) x ∈ RN , t ∈ R+ \{tk : k ∈ N} ˜ u(x, t+ k ) = u(x, tk ) + Ik (x, u(x, tk )), u(x, s) + M X ci u(x, τi + s) = ϕ(x, s), s ∈ [−h, 0], (2.5) (2.6) i=1 ∂tγ đạo hàm Caputo bậc γ ∈ (0, 1) theo biến t, p(Dx ) = X aα Dxα , aα ∈ R, |α|≤n toán tử đạo hàm riêng, α = (α1 , α2 , αN ) đa số, |α| độ lớn đa số,  ∂ α1  ∂ α2  ∂ αN α Dx = ∂x1 ∂x2 ∂xN Đặt A = p(Dx ), D(A) = {f ∈ L2 (RN ) : p(Dx )f ∈ L2 (RN )} P Đặt X = L2 (RN ) với chuẩn || · ||, p(ξ) = |α|≤n i|α| aα ξ α , biểu trưng αN p(Dx ), ξ α = ξ1α1 ξ2α2 ξN Ta sử dụng kết sau [16] cho trường hợp B = I, El = X, Cr,l = I: 27 Định lý 2.2.1 Giả sử ω = sup Re p(ξ) < ∞ ξ∈RN Khi đó, tốn tử A sinh C0 -nửa nhóm {W (t)}t≥0 thỏa mãn ||W (t)|| ≤ Ceωt , t ≥ Với hệ (2.4)-(2.5), ta giả thiết k ∈ L γ +δ (R+ ), δ > 0, f˜ : RN × R2 → R, |f˜(x, v1 , z1 ) − f˜(x, v2 , z2 )| ≤ κ(x)(|v1 − v2 | + |z1 − z2 |), (2.7) ∀x ∈ RN , v1 , v2 , z1 , z2 ∈ R, I˜k :RN × R → R, |I˜k (x, z1 ) − I˜k (x, z1 )| ≤ `k (x)|z1 − z2 |, ∀x ∈ RN , z1 , z2 ∈ R, (2.8) κ, `k ∈ L2 (RN ) Đặt f : R+ × X × Ch → X thỏa mãn f (t, v, w)(x) = k(t)f˜(x, v(x), w(x, −h)) Khi ||f (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )|| ≤ 2k(t)||κ|| (||v1 − v2 || + ||w1 − w2 ||Ch ), theo (2.7) Đặt Ik (v)(x) = I˜k (x, v(x)), với v ∈ X, từ (2.8) ta thu Ik hàm Lipschitz với hệ số Lipschitz µk = ||`k || P Bây giờ, đặt g(u)(s)(x) = M i=1 ci u(x, τi + s), ||g(u1 ) − g(u2 )||Ch M X  ≤ ci ||u1 − u2 ||PC i=1 Với cách xác lập trên, có kết 28 Định lý 2.2.2 Giả thiết ω = supξ∈RN Re p(ξ) < Khi đó, tốn (2.4)-(2.6) có nghiệm tích phân phân rã vô cùng, với điều kiện M X i=1 ci + ∞ X Z t  ||`k || Sα∞ + 4||κ|| sup (t − s)α−1 kPα (t − s)kk(s)ds < t≥0 k=1 Chứng minh Từ giả thiết ω < 0, Mệnh đề 1.3.1 cho ta Sα (t), Pα (t) → t → +∞ Khi đó, định lí 1.3.2 cho ta khẳng định định lí Cuối cùng, ta xét trường hợp p(Dx ) mà ω < Lấy N X ∂2 p(Dx ) = aij − a0 I, ∂x ∂x i j i,j=1 cho a0 > 0, N X aij ξi ξj ≥ θ|ξ|2 , ∀ξ ∈ RN , i,j=1 với θ > Khi p(ξ) = − N X i,j=1 Từ ta có ω = −a0 < aij ξi ξj − a0 ≤ −a0 , ∀ξ ∈ RN 29 Kết luận Luận văn nghiên tính giải tồn cục tồn nghiệm phân rã tốn Cauchy với phương trình vi phân bậc phân số nửa tuyến tính khơng gian Banach tổng qt có hiệu ứng xung điều kiện không cục Áp dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén giải tích bậc phân số, chúng tơi thu kết sau: Tính giải đoạn hữu hạn; Sự tồn nghiệm phân rã nửa trục dương theo thang thời gian; Ứng dụng vào hai lớp toán cụ thể cho hệ phương trình vi phân thường bậc phân số phương trình đạo hàm riêng bậc phân số Cách tiếp cận cho phép chúng tơi nghiên cứu toán tổng quát thay hàm phi tuyến hàm đa trị hay xét trường hợp tốn chứa trễ vơ hạn 30 Tài liệu tham khảo [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [2] E.G Bajlekova, Fractional Evolution Equations in Banach Spaces, PhD Thesis, Eindhoven University of Technology, 2001 [3] M Benchohra, J Henderson, S Ntouyas, Impulsive Differential Equations and Inclusions, In: Contemporary Mathematics and its Applications, Vol Hindawi, New York, 2006 [4] T.A Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York, 2006 [5] T.A Burton, T Furumochi, Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn Sys Appl 10 (2001), 89-116 [6] L Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J Math Anal Appl 162 (1991), 494-505 [7] N.M Chuong, T.D Ke, Generalized Cauchy problems involving nonlocal and impulsive conditions, J Evol Equ 12 (2012), no 2, 367-392 31 [8] X.W Dong, J.Z Wang, Y Zhou, On nonlocal problems for fractional differential equations in Banach spaces, Opuscula Mathematica 31 (2011), 341-357 [9] H.J Haubold, A.M Mathai, R.K Saxena, Mittag-Leffler functions and their applications, J Appl Math Vol 2011, Art ID 298628, 51 pages [10] L Hu, Y Ren, R Sakthivel, Existence and uniqueness of mild solutions for semilinear integro-differential equations of fractional order with nonlocal conditions, Semigroup Forum 79 (2009), 507-514 [11] S Ji, S Wen, Nonlocal Cauchy Problem for Impulsive Differential Equations in Banach Spaces, Int J Nonlinear Sci 10 (2010), 88–95 [12] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [13] T.D Ke, V Obukhovskii, N.-C Wong, J.-C Yao, On semilinear integro-differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Abstract and Applied Analysis, Volume 2012 (2012), Article ID 137576, 26 pages [14] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006 [15] V Lakshmikantham, D.D Bainov, P S Simeonov, Theory of impulsive differential equations, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ, 1989 32 [16] J Liang, T.J Xiao, Abstract degenerate Cauchy problems in locally convex spaces, J Math Anal Appl 259 (2001) 398-412 [17] F Li, J Liang, H.-K Xu, Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions, J Math Anal, Appl 391 (2012) 510-525 [18] J.H Liu, A remark on the mild solutions of non-local evolution equations, Semigroup Forum 66 (2003), 63-67 [19] H Liu, J.-C Chang, Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009), 30763083 [20] C Lizama, R Ponce, Periodic of degenerate differential equations in vector-valued function spaces, Stud Math 202 (2011) 49-63 [21] K S Miller, B Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993 [22] G.M N’Guérékata, A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009), 1873-1876 [23] I Podlubny, Fractional Differential Equations An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering 198 Sandiego, CA: Academic Press, 1999 33 [24] T.I Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (5) (1987), 1173-1191 [25] R.-N Wang, D.-H Chena, T.-J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Differential Equations 252 (2012), 202-235 [26] T J Xiao and J Liang, The Cauchy Problem for Higher Order Abstract Differential Equations, Lecture Notes in Math., Vol 1701, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1998 [27] Z Zhang, B Liu, Existence of mild solutions for fractional evolution equations, J Frac Calc Appl (2012), 1-10 [28] Y Zhou, F Jiao, Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations, Nonlinear Anal.: RWA 11 (2010), 4465-4475 [29] Y Zhou, F Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp Math Appl 59 (2010), 1063-1077 [30] T Zhu, C Song, G Li, Existence of mild solutions for abstract semilinear evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Anal 75 (2012), 177-181