Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————–o0o——————–VŨ HUYỀN THƯƠNGVẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦANGHIỆM PHÂN HÌNH PHƯƠNGTRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNHLUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Trang 2 ĐẠI
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– VŨ HUYỀN THƯƠNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM PHÂN HÌNH PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– VŨ HUYỀN THƯƠNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM PHÂN HÌNH PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên, năm 2023 Lời cam đoan Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương đồng 28% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2023 Học viên Vũ Huyền Thương i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS TS Hà Trần Phương – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường đại học Sư Phạm – Đại học Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo, các đồng nghiệp và đọc giả, để luận văn này được hoàn thiện Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2023 Người viết luận văn Vũ Huyền Thương ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna 3 1.2 Một số bổ đề chuẩn bị 8 2 Vấn đề duy nhất của nghiệm phương trình sai phân 17 2.1 Phương trình dạng R1(z)f (z + 1) + R2(z)f (z) = R3(z) 17 2.1.1 Các kết quả chính về vấn đề duy nhất 17 2.1.2 Một số ví dụ 26 2.2 Phương trình dạng A1(z)f (z + 1) + A0(z)f (z) = F (z)eα(z) 27 2.2.1 Các kết quả chính về vấn đề duy nhất 27 2.2.2 Một số ví dụ 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iii Mở đầu Vấn đề nghiên cứu sự xác định duy nhất một hàm phân hình luôn là một chủ đề thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước và thu được nhiều kết quả quan trọng Một trong những nghiên cứu đầu tiên là Định lý 5 điểm và Định lý 4 điểm, về sau rất nhiều tác giả đã mở rộng các công trình này theo những hướng nghiên cứu khác nhau Cho a là một giá trị phức hoặc vô cùng, ta kí hiệu: Ef (a) = f −1(a) = {z ∈ C : f (z) = a}, Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : ordf−a(z) = n > 0} Với một tập con S của mặt phẳng phức mở rộng, ta kí hiệu: Ef (S) = Ef (a); Ef (S) = Ef (a) a∈S a∈S Ta nói hai hàm phân hình f và g chung nhau giá trị a kể cả bội (không kể bội) nếu Ef (a) = Eg(a) (tương ứng Ef (a) = Eg(a)) Ta nói hai hàm phân hình f và g chung nhau một tập S kể cả bội (không kể bội) nếu Ef (S) = Eg(S) (tương ứng Ef (S) = Eg(S)) Một trong những nghiên cứu đầu tiên là Định lý 5 điểm và Định lý 4 điểm như sau: Cho f (z) và g(z) là hai hàm phân hình khác hằng Nếu f (z) và g(z) chung nhau 5 giá trị không kể bội (4 giá trị kể cả bội) thì f (z) = g(z) (f (z) = T (g(z)), trong đó T là phép biến đổi Mo¨bius) Trong những năm tiếp theo các nhà toán học đã có nhiều nghiên cứu để tổng quát các kết quả trên theo các hướng giảm số lượng các giá trị 1 hoặc nới lỏng các điều kiện IM, CM Gần đây có một số tác giả phát triển kết quả trên theo hướng: 1 Xem xét trường hợp g(z) là đạo hàm hoặc sai phân của f (z); 2 f (z) thỏa mãn một số phương trình sai phân hoặc vi phân Theo hướng nghiên cứu thứ hai, Heittokanga đã chứng minh một định lý duy nhất cho hàm phân hình và hàm sai phân của nó khi chúng chung nhau ba hàm tuần hoàn Năm 2016, N Cui, Z Z Chen [3] đã chứng minh một kết quả về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình khi hai hàm chung nhau ba giá trị 0, 1, ∞ CM và một trong hai hàm là hàm siêu việt có bậc hữu hạn và thỏa một phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Kết quả này sau đó được tiếp tục mở rộng bởi N Cui, Z Z Chen [4] cho trường hợp phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số là các đa thức, bởi B Q Chen và S Li cho trường hợp phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số là các hàm hữu tỷ Năm 2019, B Q Chen và S Li [8] xem xét vấn đề tương tự cho trường hợp phương trình sai phân phi tuyến dạng w(z + 1)w(z − 1) = h(z)wm(z) Năm 2022, J F Chen và S Q Lin [1] chứng minh một định lý duy nhất cho nghiệm một phương trình sai phân tuyến tính dạng A1(z)f (z + 1) + A0(z)f (z) = F (z)eα(z) Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số kết quả gần đây của N Cui, Z Z Chen, B Q Chen, S Li, J F Chen và S Q Lin trong thời gian gần đây về vấn đề duy nhất cho nghiệm phân hình của một phương trình vi phân tuyến tính 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết Nevan- linna Đặt C = C ∪ {∞} là hình cầu Riemann Khi đó, ta coi hàm phân hình f là một hàm f : C → C, với f (z0) = ∞ có nghĩa z0 là cực điểm Ta cũng có thể coi hàm nguyên f là một hàm phân hình f : C → C với f (z)̸ = ∞ với mọi z ∈ C Với a ∈ C và r > 0 bất kỳ, đặt D(a, r) := {z ∈ C : |z − a| < r} Với A ⊂ C, ký hiệu A là bao đóng của A Khi đó D(a, r) = D(a, z) = {z ∈ C : |z − a| ≤ r} Định nghĩa 1.1.1 ([5]) Cho r > 0 và hàm f phân hình trong D(0, r) Với 0 ≤ t ≤ r, ký hiệu n(t, f ) là số cực điểm của f trong D(0, t) tính cả bội Khi đó N (r, f ) = r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r 0 t được gọi là hàm đếm cực điểm của f, ở đây n(0, f ) = lim inf n(t, f ) t→0 Nhận xét 1.1.1 (i) Các không điểm của f là các cực điểm của 1/f Với a ∈ C, các không điểm của f − a được gọi là các a–điểm của f Chúng là các cực điểm 3 của 1/(f − a) Do đó n(r, 1/(f − a)) và N (r, 1/(f − a)) đếm các a–điểm của f (ii) Nếu f (0)̸ = ∞ thì n(0, f ) = 0 và N (r, f ) = r n(t, f ) dt 0t Định nghĩa hàm log+ : R → R bởi log+ x = log x, x ≥ 1, 0, x ≤ 1 Định nghĩa 1.1.2 ([5]) Cho r > 0 và f là hàm phân hình trong D(0, r) Khi đó m(r, f ) = 1 2π log+ |f (reiθ)|dθ 2π 0 được gọi là hàm xấp xỉ và T (r, f ) = N (r, f ) + m(r, f ) được gọi là hàm đặc trưng (Nevanlinna) của f Định lý 1.1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất, [5]) Cho r > 0, f phân hình trong D(0, r) và a ∈ C Gọi c(a) là hệ số khác không đầu tiên trong khai triển chuỗi Laurent của f − a tại điểm 0 Khi đó T r, 1 = T (r, f ) − log |c(a)| + φ(r, a), f −a trong đó |φ(r, a)| ≤ log+ |a| + log 2 Chú ý 1.1.1 Điểm mấu chốt của định lý đó là chênh lệch giữa T (r, f ) và T (r, 1/(f − a)) bị chặn bởi một hằng số độc lập với r Định lý cơ bản thứ nhất nói rằng N r, 1 +m r, 1 = T r, 1 = T (r, f )+O(1) khi r → ∞ f −a f −a f −a Giải thích của công thức trên như sau: 4 N r, 1 lớn nếu f có nhiều a–điểm f −a lớn nếu f gần với a trên ∂D(0, r) m r, 1 f −a Nếu T (r, f ) lớn thì xảy ra một trong hai khả năng trên Ví dụ 1.1.1 Xét f (z) = ez Vì f là hàm nguyên, N (r, f ) = 0 Thêm vào đó 1 2π log+ ereiθ dθ = 1 2π m(r, f ) = 2π 0 log+ er cos θ dθ 2π 1 0 = 2π 2π 1 π/2 r max{0, r cos θ}dθ = 2π −π/2 r cos θdθ = π 0 Do đó r Tương tự, ta có T (r, f ) = m(r, f ) = π 1 1r N r, = 0 và m r, = f fπ Ví dụ 1.1.2 Cho f là một hàm hữu tỷ có dạng f (z) = p(z)/q(z), trong đó p và q là hai đa thức không có không điểm chung Giả sử p(z) = aℓzℓ + · · · + a0, q(z) = bmzm + · · · + b0, với aℓ̸ = 0 và bm̸ = 0 Theo định lý cơ bản của đại số, q có m không điểm Kéo theo f có m cực điểm, vì vậy tồn tại r0 > 0 sao cho n(r, f ) = m với r ≥ r0 Do đó r dt r0 N (r, f ) = N (r0, f ) + m t = m log r + C với C là hằng số Ta cũng có |p(z)| ∼ |aℓ| · |zℓ| và |q(z)| ∼ |bm| · |zm| 5