Vấn đề duy nhất cho l hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức sai phân vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM VÀ HÀM PHÂN HÌNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC SAI PHÂN - VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM VÀ HÀM PHÂN HÌNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐA THỨC SAI PHÂN - VI PHÂN Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ QUANG NINH THÁI NGUYÊN - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự chính xác, tuân thủ các quy định về quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, ngày tháng năm 2023 Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Tác giả luận văn TS Lê Quang Ninh Nguyễn Thị Bích Ngọc i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Lê Quang Ninh đã trực tiếp hướng dẫn và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã giảng dạy lớp cao học Toán K29, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023 Tác giả Nguyễn Thị Bích Ngọc ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Hàm phân hình chia sẻ các giá trị 4 1.2 Giới thiệu một số kết quả về vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức vi phân 10 Chương 2 Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức sai phân - vi phân 14 2.1 Vấn đề duy nhất của đa thức sai phân - vi phân Ln d µj (k) j=1 L (z + wj) nd µj (k) và f j=1 f (z + wj) 14 2.2 Vấn đề duy nhất của đa thức sai phân - vi phân Ln (αLm + β)s j=1 d L (z + và d µj (k) 21 f n (αf m + β)s j=1 f (z + wj) Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 iii Mở đầu Chúng ta biết rằng, thác triển các L-hàm lên mặt phẳng phức C cho ta một hàm phân hình Vì thế có thể xem L-hàm là một lớp đặc biệt các hàm phân hình và những phương pháp của lý thuyết xác định duy nhất các hàm phân hình cho công cụ mạnh để nghiên cứu L-hàm Trong những năm gần đây, vấn đề duy nhất của hàm phân hình và L-hàm khi chúng chia sẻ các giá trị, chia sẻ các tập hay với điều kiện đa thức vi phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả Hiện nay, việc thay thế điều kiện đa thức vi phân bởi đa thức sai phân - vi phân đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự Dựa vào Lý thuyết phân bố giá trị của Nevanlinna và một số thuộc tính của các L-hàm trong lớp Selberg mở rộng, luận văn: “Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức sai phân - vi phân” trình bày một số kết quả của N Mandal, N K Datta [6] và Nagarjun V, T.V Karnakumar, Girish Sharma [7] về tính duy nhất các L-hàm liên quan đến chia sẻ có trọng số của đa thức sai phân-vi phân Luận văn gồm phần "Mở đầu", hai chương nội dung, "Kết luận" và "Tài liệu tham khảo" Chương 1: Trình bày một số vấn đề cơ bản các hàm Nevanlinna và một số kết quả về xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình Chương 2: Trình bày vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức sai phân - vi phân 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm phân hình chia sẻ các giá trị Cho f là một hàm phân hình trên DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} và một số thực r > 0, trong đó 0 < R ≤ ∞ và 0 < r < R Với mỗi số thực dương x, kí hiệu log+ x = log x nếu x ≤ 1 0 nếu 0 < x < 1 Định nghĩa 1.1 Hàm 2π 1 log+ |f (reiφ)|dφ, m(r, f ) = 2π 0 được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f Với n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực điểm phân biệt (không kể bội) của hàm f trong Dr ta nhắc lại các định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Hàm N (r, f ) = N (r, ∞; f ) = r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r, 0 t được gọi là hàm đếm kể cả bội của hàm f (còn được gọi là hàm đếm tại các cực điểm) Định nghĩa 1.3 Hàm N (r, f ) = N (r, ∞; f ) = r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r 0 t 4 được gọi là hàm đếm không kể bội Trong đó n(0, f ) = lim n(t, f ); n(0, f ) = lim n(t, f ) t→0 t→0 Định nghĩa 1.4 Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gọi là hàm đặc trưng của hàm f Định nghĩa 1.5 Hàm r n t, 1 − n 0, 1 N r, 1 = f f dt + n 0, 1 log r f t f 0 được gọi là hàm đếm tại các không điểm của hàm f Cho a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu 2π 1 1 log |f (reiφ + 1) − a|dφ m r, = f −a 2π 0 1 r n t, 1 1 f −a − n 0, f − a dt N (r, 0; f ) = N r, f −a = t 0 + n 0, 1 log r, f −a 1 r n t, 1 1 f −a − n 0, f − a dt N (r, 0; f ) = N r, f −a = t 0 + n 0, 1 log r, f −a trong đó, n r, 1 là số các không điểm kể cả bội và n 1, 1 f −a f −a 5 là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr T r, 1 = m r, 1 + N r, 1 f −a f −a f −a Định lý 1.1 (Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1, a2, , aq là các số phức phân biệt Khi đó, ta có bất đẳng thức q 1 + N (r, f ) − N1(r, f ) + S(r, f ), r, (q − 1)T (r, f ) ≤ N f − ai i=1 đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, trong đó N1(r, f ) = N r, f ′1 + 2N (r, f ) − N (r, f ′), S(r, f ) = O(T (r, f )) Bổ đề 1.1 ([11]) Cho f là hàm phân hình khác hằng, đa thức P (f ) = a0 + a1f + + anf n, với a0, , an là các hằng số phức và an̸ = 0 Khi đó T (r, P (f )) = nT (r, f ) + S(r, f ) Định nghĩa 1.6 Siêu bậc của f ký hiệu và xác định bởi ρ2(f ) = lim log log T (r, f ) r→∞ log r Bổ đề 1.2 ([9]) Cho f là hàm phân hình siêu việt có siêu bậc ρ2(f ) < 1 Khi đó, với mỗi α ∈ C − {0} ta có T (r, f (z + α)) = T (r, f ) + S(r, f ), N (r, ∞; f (z + α)) = N (r, ∞; f ) + S(r, f ), N (r, 0; f (z + α)) = N (r, 0; f ) + S(r, f ) Bổ đề 1.3 ([7]) Cho f là hàm phân hình siêu việt có siêu bậc ρ2(f ) < 1 và hàm d F (z) = f n (αf m + β)s f (z + ωj)µj , j=1 6 với các hằng số ωj ∈ C − {0}; µj (j = 1, 2, , d), n, m, d, s, là các số nguyên không âm và α, β là các hằng số khác không sao cho |α|+|β|̸ = 0; λ = j=1 d µj Khi đó (n + ms − λ)T (r, f ) + S(r, f ) ≤ T (r, F ) ≤ (n + ms + λ)T (r, f ) + S(r, f ) Chứng minh Từ f là các hàm phân hình siêu việt có siêu bậc ρ2(f ) < 1, áp dụng Bổ đề 1.1 và Bổ đề 1.2 ta có T (r, F ) ≤ T (r, f n) + T (r, (αf m + β)s) + T d (1.1) ≤ (n + ms + λ)T (r, f ) + S(r, f ) r, f (z + ωj)µj j=1 Mặt khác, từ (1.1) và Bổ đề 1.2 suy ra (n + ms + λ)T (r, f ) ≤ T r, f nf msf λ + S(r, f ) ≤ m r, f nf msf λ + N r, f nf msf λ + S(r, f ) ≤ m r, F (z)f λ j=1 d f (z + ωj)µj F (z)f λ j=1 + N r, d f (z + ωj)µj + S(r, f ) ≤ T (r, F ) + 2λT (r, f ) + S(r, f ) Tức là (n + ms + λ)T (r, f ) ≤ T (r, F ) + 2λT (r, f ) + S(r, f ) (1.2) Từ (1.1) và (1.2) ta có (n + ms − λ)T (r, f ) + S(r, f ) ≤ T (r, F ) ≤ (n + ms + λ)T (r, f ) + S(r, f ) Bổ đề 1.4 ([5]) Cho ξ là hàm phân hình siêu việt có siêu bậc ρ2(ξ) < 1 và ϕ(z) = j=1 η ξ (z + ωj)µj , trong đó n, η, µj(j = 1, 2, , η), λ = j=1 η sj 7