Vấn đề duy nhất cho l hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức sai phân vi phân

Giới thiệu một số kết quả về vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức vi phân.. Trong những năm gần đây, vấn đề duy nhất của hàm phân hình vàL-hàm khi chúng chia

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM

VÀ HÀM PHÂN HÌNH VỚI ĐIỀU KIỆN

ĐA THỨC SAI PHÂN - VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM

VÀ HÀM PHÂN HÌNH VỚI ĐIỀU KIỆN

ĐA THỨC SAI PHÂN - VI PHÂN

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ QUANG NINH

THÁI NGUYÊN - 2023

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực vàkhông trùng lặp với đề tài khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảmbảo sự chính xác, tuân thủ các quy định về quyền sở hữu trí tuệ

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2023Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Tác giả luận văn

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Lê Quang Ninh đãtrực tiếp hướng dẫn và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừaqua

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã giảng dạylớp cao học Toán K29, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuậnlợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giảcũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyếnkhích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này.Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô

và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023

Tác giảNguyễn Thị Bích Ngọc

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Hàm phân hình chia sẻ các giá trị 4

1.2 Giới thiệu một số kết quả về vấn đề duy nhất cho L-hàm

và hàm phân hình với điều kiện đa thức vi phân 10

Chương 2 Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình

với điều kiện đa thức sai phân - vi phân 14

2.1 Vấn đề duy nhất của đa thức sai phân - vi phân

h

LnQd j=1L (z + wj)µji(k)

và hfnQd

j=1f (z + wj)µji(k)

142.2 Vấn đề duy nhất của đa thức sai phân - vi phân

Mở đầu

Chúng ta biết rằng, thác triển các L-hàm lên mặt phẳng phức C cho

ta một hàm phân hình Vì thế có thể xem L-hàm là một lớp đặc biệt cáchàm phân hình và những phương pháp của lý thuyết xác định duy nhấtcác hàm phân hình cho công cụ mạnh để nghiên cứu L-hàm

Trong những năm gần đây, vấn đề duy nhất của hàm phân hình vàL-hàm khi chúng chia sẻ các giá trị, chia sẻ các tập hay với điều kiện đathức vi phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thuđược nhiều kết quả Hiện nay, việc thay thế điều kiện đa thức vi phânbởi đa thức sai phân - vi phân đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự.Dựa vào Lý thuyết phân bố giá trị của Nevanlinna và một số thuộctính của các L-hàm trong lớp Selberg mở rộng, luận văn: “Vấn đề duynhất cho L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức saiphân - vi phân ” trình bày một số kết quả của N Mandal, N K Datta[6] và Nagarjun V, T.V Karnakumar, Girish Sharma [7] về tính duy nhấtcác L-hàm liên quan đến chia sẻ có trọng số của đa thức sai phân-vi phân.Luận văn gồm phần "Mở đầu", hai chương nội dung, "Kết luận" và

"Tài liệu tham khảo"

Chương 1: Trình bày một số vấn đề cơ bản các hàm Nevanlinna vàmột số kết quả về xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình

Chương 2: Trình bày vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hìnhvới điều kiện đa thức sai phân - vi phân

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Cho f là một hàm phân hình trên DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} và một sốthực r > 0, trong đó 0 < R ≤ ∞ và 0 < r < R Với mỗi số thực dương

log+|f (reiφ)|dφ,

được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f

Với n(r, f ) là số cực điểm kể cả bội, n(r, f ) là số cực điểm phân biệt(không kể bội) của hàm f trong Dr ta nhắc lại các định nghĩa sau.Định nghĩa 1.2 Hàm

được gọi là hàm đếm không kể bội Trong đó

Định nghĩa 1.5 Hàm

N



r, 1f



− n



0, 1f



t dt + n



0, 1f

log r

được gọi là hàm đếm tại các không điểm của hàm f

là số các không điểm phân biệt của f − a trong Dr.



r, 1

f − a



Định lý 1.1 (Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình kháchằng trên C và a1, a2, , aq là các số phức phân biệt Khi đó, ta có bấtđẳng thức

đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữuhạn, trong đó

Bổ đề 1.1 ([11]) Cho f là hàm phân hình khác hằng, đa thức P (f ) =

a0+ a1f + + anfn, với a0, , an là các hằng số phức và an ̸= 0 Khiđó

Bổ đề 1.2 ([9]) Cho f là hàm phân hình siêu việt có siêu bậc ρ2(f ) < 1.Khi đó, với mỗi α ∈ C − {0} ta có

với các hằng số ωj ∈ C − {0}; µj (j = 1, 2, , d), n, m, d, s, là các sốnguyên không âm và α, β là các hằng số khác không sao cho |α| + |β| ̸= 0;

λ =Pd

j=1µj Khi đó

(n + ms − λ)T (r, f ) + S(r, f ) ≤ T (r, F )

≤ (n + ms + λ)T (r, f ) + S(r, f ).Chứng minh Từ f là các hàm phân hình siêu việt có siêu bậc ρ2(f ) < 1,

!

+ N r, F (z)f

λ

Qd j=1f (z + ωj)µj

!+ S(r, f )

là các số nguyên dương và cj ∈ C −{0} (j = 1, 2, , η) là các hằng sốphân biệt Khi đó

N (r, α; f |≤ n) là hàm đếm các α-điểm của f với bội nhỏ hơn hoặc bằng

n Định nghĩa tương tự ta có N (r, α; f |≤ n) trong trường hợp khôngtính bội Ký hiệu N (r, α; f |≥ n) là hàm đếm các α-điểm của f với bộilớn hơn hoặc bằng n và định nghĩa tương tự N (r, α; f |≥ n) trong trườnghợp không kể bội

Bổ đề 1.5 ([11]) Cho F là hàm phân hình khác hằng và k, p là hai sốnguyên dương Khi đó

quá l được ký hiệu là El)(α, f ) với l là một số nguyên dương.

Định nghĩa tương tự ta có El)(α, f ) trong trường hợp không tính bội

số của các α-điểm

Định nghĩa 1.10 Hàm phân hình f và g được gọi là chia sẻ α CM nếuchúng có cùng tập hợp các điểm α với cùng bội số và nếu không xem xétbội số thì ta nói rằng f và g chia sẻ α IM

Định nghĩa 1.11 ([13]) Cho f và g là hai hàm phân hình xác địnhtrên mặt phẳng phức và n là số nguyên không âm hoặc vô cùng Ký hiệu

En(α; f ) là tập tất cả các không điểm của f − α với α ∈ C ∪ {∞} và mộtkhông điểm có bội được tính k lần nếu k ≤ n và n + 1 lần nếu k > n.Hàm f và g được gọi là chia sẻ α với trọng n nếu En(α; f ) = En(α; g)

Ta nói rằng, f và g chia sẻ (α, n) nghĩa là f và g chia sẻ α với trọngn

Hiển nhiên, f và g chia sẻ α IM hoặc CM nếu và chỉ nếu f và g chia

sẻ (α, 0) hoặc (α, ∞), tương ứng

Định nghĩa 1.12 ([5]) Cho f là một hàm phân hình xác định trongmặt phẳng phức và p(z) là một hàm hữu tỉ hoặc một hàm nhỏ của f Kýhiệu Em)(p; f ), Em)(p; f ) và Em(p; f ) tương ứng là các tập Em)(0; f − p),

Em)(0; f − p) và Em(0; f − p) Hàm f và g được gọi là chia sẻ (p, n) nếu

f − p và g − p chia sẻ giá trị 0 với trọng n

Hiển nhiên, nếu f và g chia sẻ (p, n) thì f và g chia sẻ (p, m) với mọi

số nguyên m thoả mãn 0 ≤ m < n Ngoài ra, ta nói rằng f và g chia sẻ p

IM hoặc CM nếu và chỉ nếu f và g chia sẻ (p, 0) hoặc (p, ∞) tương ứng.Định nghĩa 1.13 ([14]) Cho f và g là hai hàm phân hình chia sẻ mộtgiá trị α IM Ký hiệu N∗(r, α; f, g) là hàm đếm các α-điểm của f và gvới bội khác nhau, trong đó mỗi α-điểm được tính một lần

Định nghĩa 1.14 ([6]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng chia

sẻ giá trị α IM Ký hiệu N (r, α; f |> g) là hàm đếm các α-điểm của f

và g với bội bởi f lớn hơn bội bởi g, trong đó mỗi α-điểm được tính mộtlần

Định nghĩa 1.15 ([6]) Cho f và g là hai hàm phân hình chia sẻ giá trị

α IM Ký hiệu NE(r, α; f, g |> m) là hàm đếm các α-điểm của f và gvới bội lớn hơn m và bội bởi f bằng bội bởi g, trong đó mỗi α-điểm đượctính một lần

Cho H được xác định như sau

Bổ đề 1.6 ([10]) Cho F và G là hai hàm phân hình khác hằng chia sẻ(1, 1) và (∞, 0) Nếu H ̸≡ 0 thì

T (r, F ) ≤ N2(r, 0; F ) + N2(r, 0; G) + 3

2N (r, F ) + N (r, G)+ N∗(r, F, G) + 1

T (r, G) ≤ N2(r, 0; F ) + N2(r, 0; G) + 3N (r, G) + 2N (r, F )

+ N∗(r, F, G) + 2N (r, 0; G) + N (r, 0; F )+ S(r, F ) + S(r, G)

L-hàm và hàm phân hình với điều kiện đa thức vi phân

(2) Tồn tại một số nguyên k ≥ 0 sao cho (z − 1)kL(z) là hàm nguyên

có bậc hữu hạn

(3) Mọi hàm L đều thỏa mãn phương trình hàm

λL(z) = ωλL(1 − ¯z),trong đó

N (r, ∞; f ) = S(r, L) = O(log r)

Chứng minh Vì f và L chia sẻ (∞, 0) nên theo Bổ đề 1.9 ta có

N (r, ∞; f ) = N (r, ∞; L) = S(r, L) = O(log r)

Điều này hoàn thành chứng minh

Năm 1997, Lahiri đã đưa ra câu hỏi sau: hai hàm f và g quan hệ vớinhau như thế nào khi hai đa thức vi phân được tạo ra bởi f và g cóchung các giá trị hữu hạn khác không?

Theo hướng này, năm 2002, Fang đã đưa ra điều kiện đủ để xácđịnh duy nhất hai hàm nguyên f và g với điều kiện đa thức vi phân[fn(f − 1)](k) và [gn(g − 1)](k) chia sẻ 1 CM

Sau đó, năm 2017, Liu-Li-Yi [1] đã xét trường hợp L-hàm và hàmphân hình với điều kiện đa thức vi phân chia sẻ một giá trị hữu hạn kháckhông và thu được hai kết quả sau

Định lý 1.2 ([1]) Cho j ≥ 1 và k ≥ 1 là các số nguyên sao cho j >3k + 6; L là một L-hàm và f là một hàm phân hình khác hằng Nếu

fj
(k) và Lj
(k) chia sẻ (1, ∞) thì f ≡ αL, với α là hằng số khác hằngthoả mãn αj = l

Định lý 1.3 ([1]) Cho j ≥ 1 và k ≥ 1 là các số nguyên sao cho j >3k + 6; L là một L-hàm và f là một hàm phân hình khác hằng Nếu

fj
(k) và Lj
(k) chia sẻ (z, ∞) thì f ≡ αL với hằng số khác hằng αthoả mãn αj = l

Năm 2018, W J Hao và J F Chen [2] đã đưa ra các kết quả duynhất về hàm phân hình và L-hàm với điều kiện đa thức vi phân tương

tự như của Fang nhưng tổng quát hơn

Định lý 1.4 ([2]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng và L là mộtL-hàm thoả mãn [fn(f − 1)m](k) và [Ln(L − 1)m](k) chia sẻ (1, ∞) với

n, m, k là các số nguyên dương Nếu n > m + 3k + 6 và k ≥ 2 thì f ≡ Lhoặc fn(f − 1)m = Ln(L − 1)m

Định lý 1.5 ([2]) Cho f là một hàm phân hình và L là một L-hàmthoả mãn [fn(f − 1)m](k) và [Ln(L − 1)m](k) chia sẻ (1, 0) với n, m, k là

các số nguyên dương Nếu n > 4m + 7k + 11 và k ≥ 2 thì f ≡ L hoặc

ρ; (Lm)(k)

, E2)(ρ; L) =

Chương 2 Vấn đề duy nhất cho

L-hàm và hàm phân hình với điều

kiện đa thức sai phân - vi phân

Chương này nghiên cứu sự phân bố giá trị của các đa thức sai phân

- vi phân của các L-hàm Liên quan đến chia sẻ các hàm nhỏ và hữu tỷ,chúng tôi trình bày chứng minh các định lý về tính duy nhất trên các đathức vi phân khác nhau của L-hàm

Pη

j=1µj là các số nguyên dương thoả mãn n > λ + η(2τ + 4) + 4

Khi đó, ta có các kết quả sau

Ψ(z) = (L(z)

nψ(z))(τ )ρ(z) .Khi đó Φ, Ψ chia sẻ (1, l) và Φ, Ψ chia sẻ (∞, 0) trừ ra các không điểm

≤ T r, (ξnϕ)(τ )− T (r, ξnϕ) + N2+τ (r, 0; ξnϕ) + S(r, ξ)

≤ T r,(ξ

nϕ)(τ )ρ(z)

!

− (n − λ)T (r, ξ) + N2+τ (r, 0; ξnϕ)

+ S(r, ξ)

(2.1)Suy ra

(n − λ)T (r, ξ) ≤ T (r, Φ) − N2(r, 0; Φ)

+ N2+τ (r, 0; ξnϕ) + S(r, ξ) (2.2)Tương tự, ta có

(n − λ)T (r, L) ≤ T (r, Ψ) − N2(r, 0; Ψ)

+ N2+τ (r, 0; Lnψ) + S(r, L) (2.3)Bây giờ chúng ta xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1 Cho Ω ̸≡ 0

Trường hợp 1.1 Cho l = 0 Từ Bổ đề 1.9, Bổ đề 1.10, Bổ đề 1.7 và

từ (2.2) thu được

(n − λ)T (r, ξ) ≤ N2(r, 0; Φ) + N2(r, 0; Ψ) + 3N (r, ∞; Φ)

+ 2N (r, ∞; Ψ) + N∗(r, ∞; Φ, Ψ) + 2N (r, 0; Φ)+ N (r, 0; Ψ) − N2(r, 0; Φ) + N2+τ (r, 0; ξnϕ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

≤ N2(r, 0; Φ) + N2(r, 0; Ψ) + 2 ¯N (r, 0; Φ) + N (r, 0; Ψ)

− N2(r, 0; Φ) + N2+τ (r, 0; ξnϕ) + S(r, ξ) + S(r, L)

≤ N2r, 0; (ξnϕ)(τ )+ N2r, 0; (Lnψ)(τ )+ 2 ¯N



r, 0; (Lnψ)(τ )

+ N2+τ (r, 0; ξnϕ) + S(r, ξ) + S(r, L)

≤ N2+τ (r, 0; Lnψ) + 2N1+τ (r, 0; ξnϕ) + N1+τ (r, 0; Lnψ)+ N2+τ (r, 0; ξnϕ) + S(r, ξ) + S(r, L)

≤ (2 + τ )(1 + η)T (r, L) + 2(τ + 1)(η + 1)T (r, ξ)+ (τ + 1)(η + 1)T (r, L) + (2 + τ )(1 + η)T (r, ξ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

≤ (3 + 2τ )(1 + η)T (r, L) + (3τ + 4)(η + 1)T (r, ξ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

Tức là

(n − λ)T (r, ξ) ≤ (3 + 2τ )(1 + η)T (r, L)

+ (3τ + 4)(η + 1)T (r, ξ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

(2.4)

Tương tự, áp dụng Bổ đề 1.9 và Bổ đề 1.10, Bổ đề 1.7 và (2.3) thu

(n − λ)T (r, L) ≤ (3 + 2τ )(1 + η)T (r, ξ)

+ (3τ + 4)(η + 1)T (r, L)+ S(r, ξ) + S(r, L)

(2.5)

Từ (2.4) và (2.5) nhận được

(n − λ){T (r, L) + T (r, ξ)} ≤ (7 + 5τ )(1 + η){T (r, L) + T (r, ξ)}

+ S(r, ξ) + S(r, L) (2.6)Suy ra điều trái giả thiết từ n > λ + (7 + 5τ )(1 + η)

Trường hợp 1.2 Cho l = 1

Từ Bổ đề 1.9 và Bổ đề 1.10, Bổ đề 1.6 và (2.2) ta thu được

(n − λ)T (r, ξ) ≤ N2(r, 0; Ψ) + 3

2N (r, ∞; Φ) + ¯¯ N (r, ∞; Ψ)+ ¯N∗(r, ∞; Φ, Ψ) + 1

2

¯

N (r, 0; Φ) + N2+τ (r, 0; ξnϕ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

≤ N2



r, 0; (Lnψ)(τ )

+ 1

2Nτ +1(r, 0; ξ

nϕ)+ ¯N r, 0; (Lnψ)(τ )+ N2+τ (r, 0; ξnϕ) + S(r, ξ) + S(r, L)

≤ (2 + τ )(1 + η)T (r, L) + 1

2(τ + 1)(η + 1)T (r, ξ)+ (2 + τ )(1 + η)T (r, ξ) + S(r, ξ) + S(r, L)

≤ (2 + τ )(1 + η)T (r, L) + 1

2(3τ + 5)(η + 1)T (r, ξ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

Nghĩa là

(n − λ)T (r, ξ) ≤ (2 + τ )(1 + η)T (r, L)

+ 1

2(3τ + 5)(η + 1)T (r, ξ)+ S(r, ξ) + S(r, L)

(2.7)

Tương tự, áp dụng Bổ đề 1.9, Bổ đề 1.10, Bổ đề 1.6 và (2.3) ta thu

(n − λ)T (r, L) ≤ (2 + τ )(1 + η)T (r, ξ)

+ 1

2(3τ + 5)(η + 1)T (r, L)+ S(r, ξ) + S(r, L)

Bây giờ, ta xét các trường hợp sau

Trường hợp 2.1 Cho c = 0 Từ (2.10) suy ra

≤ N r, 0; (ξnϕ)(τ )+ N r, 0; (Lnψ)(τ )+ Nτ +2(r, 0; Lnψ) + S(r, L)

≤ Nτ +1(r, 0; ξnϕ) + Nτ +1(r, 0; Lnψ)+ Nτ +2(r, 0; Lnψ) + S(r, L)

≤ (τ + 1)(η + 1)T (r, L) + (τ + 1)(η + 1)T (r, ξ)+ (τ + 2)(η + 1)T (r, L) + S(r, L)

≤ (2τ + 3)(η + 1)T (r, L) + (τ + 1)(η + 1)T (r, ξ)+ S(r, L) + S(r, ξ)

Tức là

(n − λ)T (r, L) ≤ (2τ + 3)(η + 1)T (r, L)

+ (τ + 1)(η + 1)T (r, ξ)+ S(r, L) + S(r, ξ)

(2.13)

Tương tự, từ (2.2) suy ra

(n − λ)T (r, ξ) ≤ (2τ + 3)(η + 1)T (r, ξ)

+ (τ + 1)(η + 1)T (r, L)+ S(r, L) + S(r, ξ)

L(z)nQη

j=1L (z + ωj)µji

(τ )hξ(z)nQη

j=1ξ (z + ωj)µji

(τ )

≡ R(z)2.Chứng minh Do ξ và L là hàm phân hình siêu việt và R(z) là một hàmhữu tỷ nên R(z) là một hàm nhỏ của ξ và L

Vì vậy, áp dụng Định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh

h

và h

(k)

Cho L-hàm L khác hằng và f là một hàm phân hình siêu việt có

ρ2(L) < 1, ρ2(f ) < 1; f và L chia sẻ (∞, 0) Cho các hằng số phân biệt

ωj ∈ C − {0} (với j = 1, 2, , d); k, n, d, s, m, µj (j = 1, 2, , d), λ =

Pd

j=1µj là các số nguyên không âm thoả mãn n + ms > λ + d(2k + 4) + 4;

α và β là hai hằng số khác không sao cho |α| + |β| ̸= 0

Khi đó, chúng ta có các kết quả sau

fn(αfm+ β)sQd

j=1f (z + wj)µji(k)

chia sẻ (ρ(z), l), trong đó ρ(z) là

hàm nhỏ của f và L Nếu l = 0 và n + ms > λ + (5k + 7)(1 + ms + d)

hoặc l = 1 và n + ms > λ + 1

2(5k + 9)(1 + ms + d) thì một trong cácmệnh đề sau đúng

Khi đó F, L chia sẻ (1, l) và (∞, 0) trừ ra các không điểm và cực điểm

của ρ(z) Theo Bổ đề 1.8, L là một hàm phân hình siêu việt Từ Bổ đề

Tương tự, ta có

(n + ms − λ)T (r, L) ≤ T (r, L) − N2(r, 0; L)

+ Nk+2(r, 0; L1) + S(r, f ) (2.19)Xét hai trường hợp sau

≤ N2(r, 0; F ) + N2(r, 0; L) + 2N (r, 0; F ) + N (r, 0; L)

− N2(r, 0; F ) + Nk+2(r, 0; F1) + S(r, f ) + S(r, L)

≤ N2r, 0; F1(k)+ N2r, 0; L(k)1 + 2N r, 0; F1(k)+ N

≤ N2r, 0; L(k)1 + 2N r, 0; F1(k)+ N r, 0; L(k)1 + Nk+2(r, 0; F1) + S(r, f ) + S(r, L)

≤ Nk+2(r, 0; L1) + 2Nk+1(r, 0; F1) + Nk+1(r, 0; L1)+ Nk+2(r, 0; F1) + S(r, f ) + S(r, L)

≤ (3 + 2k)(1 + ms + d)T (r, L)+ (3k + 4)(1 + ms + d)T (r, f ) + S(r, f ) + S(r, L)

Do đó

(n + ms − λ)T (r, f ) ≤ (3 + 2k)(1 + ms + d)T (r, L)

+ (3k + 4)(1 + ms + d)T (r, f )+ S(r, f ) + S(r, L)

(2.20)

Tương tự, ta có

(n + ms − λ)T (r, L) ≤ (3 + 2k)(1 + ms + d)T (r, f )

+ (3k + 4)(1 + ms + d)T (r, L)+ S(r, f ) + S(r, L)

Trường hợp 1.2 Từ Bổ đề 1.9, Bổ đề 1.10, Bổ đề 1.6 và (2.18) ta có

(n + ms − λ)T (r, f ) ≤ N2(r, 0; L) + 3

2N (r, F ) + N (r, L) + N∗(r, ∞; F, L)+ 1

≤ (k + 2)(1 + ms + d)T (r, L)+ 1

2(3k + 5)(1 + ms + d)T (r, f ) + S(r, f ) + S(r, L).Suy ra

(n + ms − λ)T (r, f ) ≤ (k + 2)(1 + ms + d)T (r, L)

+ 1

2(3k + 5)(1 + ms + d)T (r, f )+ S(r, f ) + S(r, L)

(2.24)