Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– BÙI HỒNG SINH VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM VỚI HÀM PHÂN HÌNH HỮU HẠN CỰC ĐIỂM CHUNG NHAU HAI TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ
Một số định nghĩa và kết quả về hàm phân hình
Cho f là một hàm phân hình trên D R = {z ∈ C: |z| ≤ R} và một số thực r > 0, trong đó 0 < R ≤ ∞ và 0 < r < R.
Với n(r, f), n(r, f) tương ứng là số cực điểm kể cả bội, không kể bội của hàm f trong Dr; n(0, f) = lim t→0n(t, f), n(0, f) = lim t→0n(t, f) ta nhắc lại các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1 Hàm m(r, f) = 1
0 log + |f(re iφ )|dφ, được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f.
Trong đó, với mỗi số thực dương x, kí hiệu log + x logx nếu x ≤ 1
N(r, f) =N(r,∞;f) Z r 0 n(t, f)−n(0, f) t dt+n(0, f) logr, được gọi là hàm đếm kể cả bội của hàm f (còn được gọi là hàm đếm tại các cực điểm). Định nghĩa 1.3 Hàm
N(r, f) = N(r,∞;f) Z r 0 n(t, f)−n(0, f) t dt+n(0, f) logr được gọi là hàm đếm không kể bội. Định nghĩa 1.4 Hàm
T(r, f) =m(r, f) +N(r, f) gọi là hàm đặc trưng của hàm f. Định nghĩa 1.5 Hàm
0, 1 f logr được gọi là hàm đếm tại các không điểm của hàm f.
.Định lý 1.1 (Định lý cơ bản thứ hai [7]) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1, a2, , aq là các số phức phân biệt Khi đó, ta có bất đẳng thức
+N(r, f)−N 1 (r, f) +S(r, f), đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, trong đó
Bổ đề 1.1 ([7]) Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng và F Pp k=0akf k
Pq j=0bjf j là hàm hữu tỷ bất khả quy trong f với các hệ số hằng {a k } và {b j }, trong đó ap ̸= 0 và bq ̸= 0 Khi đó
Bổ đề 1.2 ([9]) Cho g, h : (0,+∞) → C là một hàm đơn điệu tăng thoả mãn g(r) ≤ h(r) bên ngoài tập M có độ đo hữu hạn Khi đó, với mỗi à > 1 tồn tại r 0 > 0 sao cho g(r)≤ h(àr) với mọi r > r 0
Hàm phân hình nhận chung các giá trị
Định nghĩa 1.6 Cho hàm phân hình khác hằng f và a ∈ C, ta định nghĩa
Chúng ta nói rằng f, g nhận chung giá trị a CM (hoặc IM) nếu Ef(a) Eg(a) (hoặc Ef(a) = Eg(a)).
Với a = ∞, ta định nghĩa Ef(∞) := E 1/f (0) (tương tự , Ef(∞) :E 1/f (0)). Định nghĩa 1.7 Cho hàm phân hình khác hằng f và S ⊂ C, ta định nghĩa
Ta nói f, g nhận chung tập S CM (hoặc IM) nếu Ef(S) = Eg(S) (hoặc E f (S) =E g (S)). Định nghĩa 1.8 [4] Cho a ∈ C∪ {∞}, ký hiệu N(r, a;f |= 1) là hàm đếm cáca-điểm đơn củaf Cho số nguyên dươngs,ký hiệuN(r, a;f |≤ s) (N(r, a;f |≥ s)) là hàm đếm cáca-điểm củaf có bội không lớn hơn (nhỏ hơn) s, trong đó mỗi a-điểm được tính theo bội của nó.
N(r, a;f |≤ s) (N(r, a;f |≥ s)) được định nghĩa tương tự, trong đó các a-điểm được tính một lần.
N 2 (r, a;f) = N(r, a;f) +N(r, a;f |≥ 2). Định nghĩa 1.9 [2] Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng và cho a ∈ C∪ {∞}, f, g nhận chung a IM Cho z0 là một a-điểm của f và g có bội tương ứng là p và q Ký hiệu NL(r, a;f) NL(r, a;g) là hàm đếm rút gọn các a-điểm của f và g với p > q(q > p), N E 1) (r, a;f) là hàm đếm các a-điểm của f và g với p =q = 1. Định nghĩa 1.10 [3] Cho f, g nhận chung a IM Ký hiệu N ∗ (r, a;f, g) là hàm đếm các a-điểm của f có bội khác với bội a-điểm của g, với mỗi a-điểm được tính một lần.
Cho hai hàm phân hình F và G trên C, hàm H được xác định như sau.
Bổ đề 1.3 ([11]) Cho F và G nhận chung 1 IM và H ̸≡ 0 Khi đó
Bổ đề 1.4 ([4]) Nếu hai hàm phân hình F và G nhận chung 1 IM and
+N(r,∞;F |≥ 2) +N(r,∞;G |≥ 2) +N 0 (r,0;F ′ ) +N 0 (r,0;G ′ ), trong đó N 0 (r,0;F ′ ) là hàm đếm rút gọn các không điểm của F ′ mà không phải là các không điểm của F(F −1).
N 0 (r,0;G ′ ) được định nghĩa tương tự.
Bổ đề 1.5 ([2]) Nêu F và G nhận chung 1 IM thì
Bổ đề 1.6 Nếu F và G nhận chung 1 IM thì
Chứng minh Rõ ràng F và G nhận chung 1 IM Áp dụng Định lý cơ bản thứ hai và sử dụng Bổ đề 1.3, Bổ đề 1.4, Bổ đề 1.5 ta có
Cho m là một số nguyên dương và S 1 = {a 1 , a 2 , , a m } là một tập trong C Cho đa thức
Bổ đề 1.7 ([1]) Cho tập S1 xác định bởi (1.1) với ai ̸= 0, i = 1, , m và Ef (S1,0) =Eg(S1,0); Cho F = P(f), G= P(g) Khi đó
Tương tự, ta có bất đẳng thức đúng đối với G.
Chứng minh Từ E f (S 1 ,0) = E g (S 1 ,0) suy raF vàG chia sẻ (1,0) Hiển nhiên phương trình P(z) = 1 không có không điểm bội, ta có
≤ N(r,∞;f) +N(r,0;f)−No(r,0;f ′ ) +S(r, f), trong đóNo(r,0;f ′ ) = N (r,0;f ′ | f ̸= 0, a1, a2, , am)với a1, a2, , am là các không điểm của phương trình P(z) = 1.
Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm 14 2.1 Xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình
L-hàm và hàm phân hình nhận chung hai tập
Trong mặt phẳng phức C, cho đa thức P(z) và tập S 1 được xác định ở (1.1), tập S 2 = {b 1 , b 2 } Gọi m 1 và m 2 lần lượt là số các không điểm đơn và không điểm bội của P(z) Ta có các kết quả sau.
Bổ đề 2.7 ([9]) Cho f là một hàm phân hình có hữu hạn cực điểm trong mặt phẳng phức và a i (i = 1,2, , m), b 1 , b 2 ∈ C là m+ 2 giá trị phân biệt Nếu f và L-hàm L khác hằng nhận chung S 1 IM và S 2 IM thì ρ(f) =ρ(L) = 1.
Chứng minh Chú ý rằng f chỉ có hữu hạn cực điểm Do đó, chúng ta có
Sau đó, sử dụng Định lý cơ bản thứ hai và xem xét tập nhận chung của f và L, ta thu được
Trong đó M là một tập hợp có thể có của độ đo Lebesgue hữu hạn. Tuy nhiên, để chính xác, chúng ta cần ước tính T(r, f) cho mọi r lớn mà không có tập ngoại lệ nào Khi đó, từ (2.4) và Bổ đề 1.2, ta thấy rằng với mọi à > 1 tồn tại một số r0 > 0 sao cho
T(r, f) ≤ m+ 2 m+ 1T(r,L) +O(logà+ logr+ logT(àr, f)), (2.5) với r ≥ r0.
Theo (2.5) và định nghĩa bậc của hàm phân hình, ta có ρ(f) ≤ ρ(L). Hoán đổi vai trò của f và L ở trên, ta suy ra ρ(L) ≤ ρ(f) Do đó, với điều này và sử dụng Bổ đề 2.1, chúng ta thu được ρ(f) = ρ(L) = 1.
Bổ đề 2.8 ([1]) Cho f là một hàm phân hình có hữu hạn cực điểm trong
C Nếu f và L-hàm L khác hằng nhận chung các tập S 1 và S 2 IM và m 1 +m 2 > 1 thì
Chứng minh Giả sử ngược lại
Từ Bổ đề 1.1 ta có
Từ Bổ đề 2.7 suy ra ρ(f) = ρ(L) = 1.
Rõ ràng mọi không điểm của P(f) là các cực điểm của P(L) và L Do L có nhiều nhất một cực điểm, sử dụng Định lý cơ bản thứ hai và (2.6) ta có điều trái giả thiết.
Bây giờ, giả sử S1, S2 thoả mãn S1 ∩S2 = ∅ và
(2.7) Khi đó, chúng ta có các kết quả sau. Định lý 2.2 [9] Cho f là một hàm phân hình trên C có hữu hạn cực điểm vàm ≥ 3 Giả sửS1,S2 thoả mãn (2.7) Nếuf và L-hàm khác hằng
L nhận chung S 1 CM và S 2 IM thì L = f.
(f −a1) (f −a2)ã ã ã(f −am) ,với G là hàm hữu tỷ sao cho U không có cực điểm cũng như không có không điểm trong C Rõ ràng là hàm G như vậy tồn tại vì f có hữu hạn số cực điểm và chỉ có thể có cực điểm của L tại s = 1, không điểm hoặc cực điểm của (L −a1) (L −a2)ã ã ã(L −am)
(f −a 1 ) (f −a 2 )ã ã ã(f −a m ) chỉ cú thể đến từ cực điểm của f hoặc L Suy ra f và L nhận chung tập S 1 CM.
Từ Bổ đề 2.7 ta biết rằng ρ(U)≤ max{ρ(L), ρ(f)} = 1 Do đó U phải có dạng
(f −a1) (f −a2)ã ã ã(f −am) =e h , (2.8) với h là đa thức biến s thoả mãn deg(h) ≤ ρ(U) ≤ 1 Cho h = d0s+d1, trong đó d0, d1 ∈ C Khi đó, với G hữu tỷ và T(r, G) = O(logr) ta có
Ngoài ra, vì f và L nhận chung tập hợp S2 IM, từ (2.8) ta thấy không điểm của (L −b 1 ) (L −b 2 ) là không điểm của e h 1
(b 1 −a 1 ) (b 1 −a 2 )ã ã ã(b 1 −a m ) Hiển nhiờn, β được xỏc định khi (b i −a j ) ̸= 0 (i = 1,2;j = 1,2, , m) Ta có một trong các điều kiện sau đúng:
(f −a1) (f −a2)ã ã ã(f −am) ≡ 1 β. Giả sử không để điều kiện nào trong số (1)-(3) đúng Tức là:
Từ việc L chỉ có thể có cực điểm tại s= 1 suy ra
Sử dụng (2.9) và Định lý cơ bản thứ hai ta thu được
= O(r). Điều này mâu thuẫn với (2.1).
Bây giờ chúng ta kiểm tra lần lượt các điều kiện (1)-(3).
Trường hợp 1.1 Giả sử (i) đúng Khi đó, xét điều kiện f và L nhận chung S 2 IM và giả thuyết rằng
(b1 −a1) 2 (b1 −a2) 2 ã ã ã(b1−am) 2 ̸= (b2 −a1) 2 (b2− a2) 2 ã ã ã(b2 −am) 2 , ta suy ra mọi không điểm củaL−b i đều là không điểm củaf−b i (i = 1,2) và ngược lại Do đó, f và L nhận chung b 1 và b 2 IM.
Giả sử s0 là một không điểm chung của f −b1 và L −b1 với bội lần lượt là p0 và q0 Cho P(s) = (s−a1) (s−a2)ã ã ã(s−am) Khi đú, cả
P(f)−P (b1)và P(L)−P (b1) có không điểm tại s0 với bội lần lượt là p0 và q0 Từ điều kiện (1) suy ra p0 = q0 Do đó, f và L nhận chung b1, b2
CM và chúng cũng nhận chung ∞ CM Theo Bổ đề 2.4 ta có L = f.Trường hợp 1.2 Giả sử (2) đúng Nếu s 1 là không điểm của L −b 2 với điều kiện
(b1 −a1) 2 (b1 −a2) 2 ã ã ã(b1−am) 2 ̸= (b2 −a1) 2 (b2 −a2) 2 ã ã ã(b2 −am) 2 , ta suy ra s 1 là không điểm của f −b 1 tức là E(b 2 ,L) =E(b 1 , f).
Do f và L nhận chung S 2 IM nên E(b 1 ,L) = E(b 2 , f).
Tuy nhiên, từ Bổ đề 2.2, chúng ta biết rằng L không có giá trị ngoại lệ Picard Do đó, tồn tại một số s2 ∈ C sao cho L(s2) =b1 và f(s2) = b2. Khi đó, theo (2), ta thu được điều mâu thuẫn với giả thuyết.
Trường hợp 1.3 Giả sử (3) xảy ra Trường hợp này hoàn toàn giống với Trường hợp 1.2 bằng cách hoán vịb1vàb2 nên dẫn đến mâu thuẫn. Định lý 2.3 [9] Cho f là một hàm phân hình trên C có hữu hạn cực điểm vàm ≥ 3 Giả sửS 1 ,S 2 thoả mãn (2.7) Nếuf và L-hàm khác hằng
L nhận chung S 1 IM và S 2 CM thì L = f.
Vì f và L nhận chung tập S 1 IM nên P và Q nhận chung 0 IM Vì f và
L nhận chung S2 CM nên P và Q nhận chung tập {ω1, ω2} CM, trong đó ω1 = (b1 −a1) (b1−a2)ã ã ã(b1 −am) và ω 2 = (b 2 −a 1 ) (b 2 −a 2 )ã ã ã(b 2 −a m ).
Rõ ràng, ωi ̸= 0 (i = 1,2) và ω 1 2 ̸= ω 2 2 theo giả thiết của định lý. Lưu ý rằng P không có giá trị ngoại lệ Picard trong C vì L không có như vậy trong Bổ đề 2.2 Khi đó, ta thấy rằng P có không điểm Vì vậy
Bây giờ chúng ta xét hai trường hợp sau đây.
Trường hợp 2.1 Giả sử P ̸≡ Q Xét về thực tế là P và Q nhận chung {ω 1 , ω 2 } CM, f có hữu hạn cực điểm và L có thể có một cực điểm tại s = 1, lưu ý rằng (P −ω1) (P −ω2)
(Q−ω 1 ) (Q−ω 2 ) chỉ có hữu hạn không điểm và cực điểm từ cực điểm của f và L.
Do đó, tồn tại một hàm hữu tỉ H sao cho V = H(P −ω1) (P −ω2)
(Q−ω 1 ) (Q−ω 2 ) không có không điểm và không có cực điểm trong C Khi đó, tương tự như trong Định lý 2.2 ta nhận được một đa thức u sao cho deg(u) ≤ 1 và
Chúng ta xét các hàm sau Cho
Vì (2.10) và giả thiết P ̸≡ Q nên Ψ̸≡ 0.
Trước tiên, ta khẳng định (4) W1 ̸≡ 0 và (5) W2 ̸≡ 0.
Ngược lại, giả sử W1 ≡ 0 Khi đó, sử dụng Ψ ̸≡ 0, từ (2.13) ta có ω1(ω1 −ω2)P ′
Vì P không có giá trị ngoại lệ Picard trong C nên ta có thể giả sử P −ω 2 có không điểm tại s1 ∈ C với bội p Vì P và Q nhận chung {ω1, ω2} CM nên s1 là không điểm của Q−ω1 hoặc Q−ω2 với bội p Nếu s1 là không điểm chung của P −ω2 và Q−ω1 với bội p thì ta có
Q−ω 1 = d p (s−s 1 ) p +d p+1 (s−s 1 ) p+1 ϕ 2 , trong đó ϕ1, ϕ2 không có cực điểm tại s1.
Dễ thấy, phần dư của ω1(ω1 −ω2)P ′
Q(Q−ω 1 ) (Q−ω 2 ) là −ω2 ω 1 p. Điều này suy ra mâu thuẫn với ω 2 1 ̸= ω 2 2 Vì vậy s 1 phải là không điểm chung của P −ω 2 và Q−ω 2 với bội p.
Sau đó, mở rộng P −ω 2 và Q−ω 2 như trên ta thu được phần dư của ω 1 (ω 1 −ω 2 )P ′
Do đó ta có điều mâu thuẫn với ω 1 2 = ω 2 2 Điều này chứng minh rõ ràng (4) Tương tự, khẳng định (5) được chứng minh.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng W 3 ≡ 0 Thật vậy, giả sử W 3 ̸≡ 0 Bây giờ, ta chỉ ra các cực điểm có thể có của W 3 chỉ đến từ các cực điểm của P và Q Giả sử s 2 là cực điểm của W 3 và không phải là cực điểm của P và Q Do đó, nó là không điểm của cả P và Q hoặc là không điểm của(P −ω1) (P −ω2), tức là không điểm của (Q−ω1) (Q−ω2).
Nếu s 2 là không điểm của P, tức là không điểm của Q thì
Q(Q−ω1) (Q−ω2) có cực điểm đơn hoặc không có cực điểm tại s 2
Một lần nữa, s 2 là không điểm của P −Q Khi đó, từ (2.15), s 2 không phải là cực điểm của W 3 Nếu s 2 là không điểm của P − ω 1 thì khi xét tập hợp nhận chung của P và Q ta có thể thấy rằng
Q(Q−ω 1 ) (Q−ω 2 ) có một cực điểm đơn hoặc không có cực điểm nào tại s 2 Kết hợp điều này với thực tế là Ψ có không điểm tại s 2 , chúng ta thu được s 2 không thể là cực điểm của W3 Tương tự, nếu s2 là không điểm của P −ω2 thì s2 không phải là cực điểm củaW3 Do đó, các cực điểm có thể có của W3 phải thuộc tập hợp hữu hạn các cực điểm của L và f, điều này suy ra
N (r, W 3 ) = O(logr) (2.17) Theo cách tương tự, ta có
Tiếp theo, coi s 3 là không điểm của P −ω 1 với bội q Nếu s 3 là một không điểm chung của P − ω 1 và Q − ω 1 có bội q thì s 3 là một không điểm của P − Q với bội q và W 3 Ψ không có cực điểm tại s 3 và mỗi W 1 Ψ ,