Vấn đề duy nhất của l hàm với hàm phân hình hữu hạn cực điểm chung nhau hai tập

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– BÙI HỒNG SINH VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM VỚI HÀM PHÂN HÌNH HỮU HẠN CỰC ĐIỂM CHUNG NHAU HAI TẬP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– BÙI HỒNG SINH VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA L-HÀM VỚI HÀM PHÂN HÌNH HỮU HẠN CỰC ĐIỂM CHUNG NHAU HAI TẬP Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ QUANG NINH THÁI NGUYÊN - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo sự trung thực và chính xác, tuân thủ các quy định về quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, ngày tháng năm 2023 Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Tác giả luận văn TS Lê Quang Ninh Bùi Hồng Sinh i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Lê Quang Ninh đã trực tiếp hướng dẫn tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 7 năm 2023 Tác giả Bùi Hồng Sinh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số định nghĩa và kết quả về hàm phân hình 4 1.2 Hàm phân hình nhận chung các giá trị 6 Chương 2 Vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm 14 2.1 Xác định duy nhất L-hàm và hàm phân hình 14 2.2 L-hàm và hàm phân hình nhận chung hai tập 18 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii Mở đầu Năm 2007, Steuding [8] đã chứng minh một kết về xác định duy nhất hai L-hàm khi chúng nhận chung một giá trị phức hữu hạn Đó là một kết quả quan trọng vì nó cho thấy rằng không giống như trường hợp tính duy nhất của hàm phân hình, số lượng giá trị được nhận chung có thể giảm đáng kể Như chúng ta đã biết các L-hàm có thể thác triển thành hàm phân hình, sẽ rất thú vị khi xác định số lượng giá trị được nhận chung để xác định duy nhất L-hàm và một hàm phân hình Theo hướng này, vào năm 2010, Li [5] đã tạo ra một bước đột phá khi quan sát thấy rằng kết quả của Steuding [8] không còn đúng đối với L-hàm và hàm phân hình Gross [3] đã đặt ra một vấn đề nổi tiếng trong lý thuyết tính duy nhất của các hàm phân hình là các bài toán nhận chung các giá trị truyền thống của các hàm phân hình được chuyển sang nhận chung các tập hợp Trong vài thập kỷ qua, rất nhiều nghiên cứu đã được thực hiện bởi các nhà toán học liên quan đến vấn đề đặt ra bởi Gross trong trường hợp hàm phân hình Theo đó, một cách tự nhiên sẽ là khám phá vấn đề tương tự cho hàm phân hình f và một L-hàm L Về vấn đề này, Yuan-Li-Yi [12] đề xuất câu hỏi sau: Có thể nói gì về mối quan hệ giữa hàm phân hình f và L-hàm L nếu f và L nhận chung một hoặc hai tập hợp hữu hạn? Vấn đề này đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đưa ra nhiều kết quả Luận văn: “Vấn đề duy nhất của L-hàm với hàm phân hình hữu hạn cực điểm chung nhau hai tập” sẽ trình bày các kết quả của Arpita Kindu, Abhijit Banerjee [1] và Pulak Sahoo, Samar Halder [9] 1 nghiên cứu vấn đề tính duy nhất của một L-hàm trong lớp Selberg với một hàm phân hình có các cực điểm hữu hạn nhận chung hai tập hợp Các kết quả chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1: Trình bày một số kết quả bổ trợ về hàm phân hình và một số vấn đề về hai hàm phân hình nhận chung giá trị 1 Chương 2: Trình bày một số vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình sau đó trình bày kết quả chính của luận văn về vấn đề duy nhất cho L-hàm và hàm phân hình có hữu hạn cực điểm nhận chung hai tập 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa và kết quả về hàm phân hình Cho f là một hàm phân hình trên DR = {z ∈ C : |z| ≤ R} và một số thực r > 0, trong đó 0 < R ≤ ∞ và 0 < r < R Với n(r, f ), n(r, f ) tương ứng là số cực điểm kể cả bội, không kể bội của hàm f trong Dr; n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ) ta nhắc t→0 t→0 lại các định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Hàm 2π 1 log+ |f (reiφ)|dφ, m(r, f ) = 2π 0 được gọi là hàm xấp xỉ của hàm f Trong đó, với mỗi số thực dương x, kí hiệu log+ x = log x nếu x ≤ 1 0 nếu 0 < x < 1 Định nghĩa 1.2 Hàm N (r, f ) = N (r, ∞; f ) = r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r, 0 t được gọi là hàm đếm kể cả bội của hàm f (còn được gọi là hàm đếm tại các cực điểm) Định nghĩa 1.3 Hàm N (r, f ) = N (r, ∞; f ) = r n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r 0 t 4 được gọi là hàm đếm không kể bội Định nghĩa 1.4 Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gọi là hàm đặc trưng của hàm f Định nghĩa 1.5 Hàm r n t, 1 − n 0, 1 N r, 1 = f f dt + n 0, 1 log r f t f 0 được gọi là hàm đếm tại các không điểm của hàm f Cho a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu 2π 1 1 log |f (reiφ + 1) − a|dφ, m r, = f −a 2π 0 1 r n t, 1 1 f −a − n 0, f − a dt N (r, 0; f ) = N r, f −a = t 0 + n 0, 1 log r, f −a 1 r n t, 1 1 f −a − n 0, f − a dt N (r, 0; f ) = N r, f −a = t 0 + n 0, 1 log r, f −a T r, 1 = m r, 1 + N r, 1 f −a f −a f −a Định lý 1.1 (Định lý cơ bản thứ hai [7]) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a1, a2, , aq là các số phức phân biệt Khi đó, ta có bất 5 đẳng thức 1 + N (r, f ) − N1(r, f ) + S(r, f ), r, q f − ai (q − 1)T (r, f ) ≤ N i=1 đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn, trong đó N1(r, f ) = N r, f ′1 + 2N (r, f ) − N (r, f ′), S(r, f ) = O(T (r, f )) Bổ đề 1.1 ([7]) Cho f là hàm phân hình khác hàm hằng và F = k=0 p akf k q j là hàm hữu tỷ bất khả quy trong f với các hệ số hằng {ak} j=0 bjf và {bj}, trong đó ap̸ = 0 và bq̸ = 0 Khi đó T (r, F ) = dT (r, f ) + S(r, f ), với d = max{p, q} Bổ đề 1.2 ([9]) Cho g, h : (0, +∞) → C là một hàm đơn điệu tăng thoả mãn g(r) ≤ h(r) bên ngoài tập M có độ đo hữu hạn Khi đó, với mỗi µ > 1 tồn tại r0 > 0 sao cho g(r) ≤ h(µr) với mọi r > r0 1.2 Hàm phân hình nhận chung các giá trị Định nghĩa 1.6 Cho hàm phân hình khác hằng f và a ∈ C, ta định nghĩa Ef (a) = {(z, p) ∈ C × N : f (z) = a với bội p}, Ef (a) = {(z, 1) ∈ C × N : f (z) = a} Chúng ta nói rằng f, g nhận chung giá trị a CM (hoặc IM ) nếu Ef (a) = Eg(a) (hoặc Ef (a) = Eg(a)) Với a = ∞, ta định nghĩa Ef (∞) := E1/f (0) (tương tự , Ef (∞) := E1/f (0)) 6