(Luận văn) vấn đề duy nhất của hàm phân hình khi đạo hàm của đa thức chung nhau một hàm nhỏ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG lu an n va p ie gh tn to VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ d oa nl w nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC CƯỜNG lu an n va p ie gh tn to VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC CHUNG NHAU MỘT HÀM NHỎ d oa nl w Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trình bày luận văn trung thực, khách quan không trùng lặp với đề tài khác công bố Việt Nam Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2018 lu Tác giả luận văn an n va gh tn to p ie Nguyễn Quốc Cường d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si LỜI CẢM ƠN Với tình cảm chân thành lịng biết ơn sâu sắc, tơi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Hà Trần Phương trực tiếp hướng dẫn khoa học tận tình giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm Lãnh đạo phòng đào tạo, đặc biệt thầy cô trực tiếp quản lý đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K24 (20162018) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho hồn thành khố học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến đồng nghiệp, bạn bè toàn lu an thể gia đình, người thân động viên thời gian nghiên cứu đề tài va n Thái Nguyên, tháng năm 2018 to p ie gh tn Tác giả luận văn d oa nl w nf va an lu Nguyễn Quốc Cường z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ii ac th si Möc löc M Ưu CĂc kián thực cỡ s lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr lu 1.1 CĂc h m Nevanlinna 1.2 Hai nh lỵ cỡ bÊn 10 an n va 12 2.1 Mët sè ki¸n thùc bê sung 12 2.2 V§n · nh§t cho h m phƠn hẳnh 23 2.3 Chùng minh c¡c ành lỵ tứ 2.9 án 2.13 33 p ie gh tn to VĐn à nhĐt cho hm phƠn hẳnh 49 50 d oa nl w K˜T LUŠN T i li»u tham kh£o nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mð ¦u lu an n va p ie gh tn to V§n · nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa cĂc hm Ănh xÔ phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn thu hút ữủc sỹ quan tƠm nghiản cựu cừa cĂc nh toĂn hồc v ngoi nữợc G Polia, R Nevanlinna, F.Gross, v  thu ÷đc nhi·u kát quÊ quan trồng Nôm 1926, R Nevanlinna  chựng minh náu hai hm phƠn hẳnh f, g chung nôm giĂ tr phƠn biằt thẳ trũng Kát quÊ ny cừa Nevanlinna cho thĐy mởt hm phƠn hẳnh phực ữủc xĂc nh mởt cĂch nhĐt Ănh xÔ ngữủc, khổng k bởi, cừa nôm giĂ tr phƠn biằt Cổng trẳnh ny cừa ữủc xem l nguỗn cho cĂc nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa hai hm Ănh xÔ phƠn hẳnh Và sau, vĐn à nghiản cựu sỹ xĂc nh nhĐt cừa hai Ănh xÔ phƠn hẳnh thổng qua Ênh ngữủc cừa mởt têp hỳu hÔn thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc v ngoi nữợc Mởt vĐn à ữủc ữa bi F Gross õ l : Tỗn tÔi hay khổng mởt têp hỳu hÔn S , iÃu kiằn E (S, f ) = E (S, g) k²o theo f = g? Trong thỹc tá cƠu họi cừa F Gross cõ th ữủc phĂt biu nhữ sau: Tỗn tÔi hay khổng a thực P cho vợi bĐt kẳ côp phƠn hẳnh khĂc hơng f v g ta cõ f = g n¸u P (f ) v  P (g) chung gi¡ trà kº c£ bëi? V§n · n y  ữủc nghiản cựu mởt cĂch liản tửc mÔnh m vợi nhỳng kát quÊ cừa M L Fang v W L Hong, W C Lin v  H X Yi thới gian gƯn Ơy cõ mởt số tĂc giÊ nghiản cựu vĐn à nhĐt cho cĂc hm phƠn hẳnh hai trữớng hủp phực v padic Ôo hm cừa hai a thực cừa cĂc hm phƠn hẳnh chung mët h m nhä (xem [2],[3],[11]) Mưc ½ch cõa · ti luên vôn l trẳnh by mởt số kát quÊ mợi cừa cĂc tĂc giÊ  cổng bố thới gian gƯn Ơy và cĂc hm phƠn hẳnh trản trữớng sè phùc v  p−adic, hai a thùc f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung mët h m nhä ÷đc cỉng bè bði ba t¡c gi£ A Escassut, K.Boussaf, J Ojeda d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si lu Luên vôn chia thnh hai chữỡng, Chữỡng giợi thiằu và mởt số vĐn à cỡ bÊn lỵ thuyát phƠn bố giĂ tr bao gỗm hai nh lỵ cỡ bÊn lỵ thuyát Nevanlinna trữớng hủp phực v trữớng hủp padic mởt số kát quÊ chuân b Trong Chữỡng 2, trẳnh by vĐn à nh§t f P (f ) v  g P (g) chung mët h m nhä Trữợc trẳnh by nởi dung chẵnh cừa luên vôn, Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi PGS.TS H TrƯn Phữỡng, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn  tổi cõ th hon thnh khõa luên ny Tổi cụng xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh tợi ton th cĂc thƯy cổ giĂo khoa ToĂn, Ôi hồc Sữ phÔm ThĂi Nguyản, Ôi hồc ThĂi Nguyản  dÔy bÊo tổi tên tẳnh suốt quĂ trẳnh hồc têp tÔi khoa NhƠn dp ny Tổi cụng xin ữủc gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh tợi gia ẳnh, bÔn b,  luổn tổi, cờ vụ, ởng viản, giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn tốt nghiằp an n va tn to p ie gh Th¡i Nguy¶n, ng y 19 th¡ng 08 nôm 2017 TĂc GiÊ oa nl w d Nguyạn Qc C÷íng nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Ch÷ìng C¡c kián thực cỡ s lỵ thuyát phƠn bố giĂ trà lu 1.1 C¡c h m Nevanlinna an n va Vỵi méi sè thüc x > 0, k½ hi»u: log+ x = max{log x, 0} Khi â ie gh tn to Tr÷íng hđp phùc p log x = log+ x − log+ (1/x) d oa nl w B¥y gií ta nh nghắa hm ám, hm xĐp x, hm c trững cừa mởt hm phƠn hẳnh Cho f l mởt hm phƠn hẳnh trản DR v mởt số thỹc r > 0, â < R ≤ ∞, r < R Dạ thĐy Z2 log+ L, tứ ¥y max(Z(r, g), Z(r, h)) = max(Z(r, g − bh), Z(r, h)) = Z(r, h)) + O(1), t÷ìng ùng T (r, f ) = T (r, f − b) + O(1) L nh lỵ 2.3 ([11]) Cho f M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−))) v  a1 , , aq ∈ Cp l  ph¥n bi»t Khi â (q − 1)T (r, f ) ≤ q X Z(r, f − aj ) + O(1) j=1 lu Chùng minh Gi£ sû ph£n chùng Tùc l  f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ an n va M(d(0, R− ))) v  a1, a2, , aq cho to gh tn (q − 1)T (r, f ) − q X Z(r, f − aj ) j=1 p ie dƯn tợi + Vẳ vêy, tỗn tÔi mởt dÂy khoÊng cĂch Js = [s, ys] cho ωs < ys < ωs+1 , lim ωs = +∞ (t÷ìng ùng lim ωs = R) v  s→+∞ s→+∞ oa nl w d lim ( inf (q − 1)T (r, f ) − lu s→+∞ r∈Js q X (2.1) Z(r, f − aj )) = +∞ an j=1 nf va Gi£ sû M = ∪∞s=0Js èi vỵi méi j = 1, , q, ta câ lm ul Z(r, f − ) ≤ T (r, f ) + O(1) z at nh oi R+ v  v¼ vêy (2.1) ch rơng tỗn tÔi mởt ch số t v  a d¢y kho£ng c¡ch In = [un, vn] M , cho un < < un+1, n→+∞ lim un = +∞ (t÷ìng ùng n→+∞ lim un = R) v  z @ gm (2.2) lim ( inf (T (r, f ) − Z(r, f − at )) = +∞ l n→+∞ r∈In m co Gi£ sû L = ∪∞n=1In Khi â bði Bê · 2.3, L ta câ an Lu Z(r, g − ak h) = T (r, f ) + O(1), ∀k 6= t n va ac th 17 si Do â q X Z(r, f − aj ) > (q − 1)T (r, f ) + O(1) j=1 L, mƠu thuăn vợi (2.1) Do õ nh lỵ úng Chú ỵ 2.2 ([11]) nh lỵ 2.3 l ỡn giÊn ối vợi cĂc hm giÊi tẵch, thêt vêy vợi hm f A(Cp) hay A(d(0, R−)) ta câ T (r, f ) = Z(r, f ) Mt khĂc nh lỵ ny khổng Ăp dửng cho cĂc hm phƠn hẳnh C Thêt vêy, xt mởt hm phƠn hẳnh f trản C bọ hai giĂ trà a v  b Ta câ Z(r, f − a) + Z(r, f − b) = Bê · 2.4 ([11]) Gi£ sû Q ∈ Cp[x] (t÷ìng ùng Q ∈ C[x]), câ bªc n v  lu gi£ sû f ∈ M(Cp), (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R−)), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) l  si¶u vi»t Khi â an n va nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 2)T (r, f ) − log r + O(1), gh tn to N (r, f ) = N (r, f ) + N (r, f ), Z(r, f ) ≤ Z(r, f ) + N (r, f ) + O(1), p ie (t÷ìng ùng d oa t÷ìng ùng nl w nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 2)T (r, f ) + O(1), lu ) ≤ (n + 2)T (r, f ) + Sf (r)) f0 lm ul °c bi»t, n¸u nf va an nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) + m(r, (t÷ìng ùng z at nh oi f ∈ A(Cp ) z f ∈ A(d(0, R− ))), gm @ â co l nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) − log r + O(1), m (t÷ìng ùng an Lu nT (r, f ) ≤ T (r, f Q(f )) ≤ (n + 1)T (r, f ) + O(1)) n va ac th 18 si Bê · 2.5 ([11]) Cho Q ∈ Cp[x] v  f, g ∈ A(Cp ) (t÷ìng ch°n Khi â f = g Au (d(0, R− ))) ùng f, g ∈ lu an n va p ie gh tn to cho Q(f ) − Q(g) bà Chùng minh a thùc Q(X) − Q(Y ) ữủc biu diạn dữợi dÔng (X Y )F (X, Y ) vỵi F (X, Y ) ∈ Cp [X, Y ] V¼ Q(f ) − Q(g) bà chn, vẳ vêy cÊ hai yáu tố ny Ãu l nỷa chuân |.|(r) vợi php nhƠn trản A(Cp) (tữỡng ựng Au(d(0, R−))) Do â f − g l  mët h¬ng sè c (t÷ìng ùng l  mët h m bà ch°n u ∈ Ab(d(0, R−))) Do â F (f, g) = F (f, f + c) (t÷ìng ùng F (f, g) = F (f, f + u)) Gi£ sû n = deg(Q) Khi â chóng ta câ thº kiºm tra r¬ng F (X, X + c) l  a thùc X bªc n − Do â n¸u f ∈ A(Cp), F (X, X + c) l hm nguyản khĂc hơng v â khỉng x¡c ành Cp T÷ìng tü, f ∈ (0, R−)), F (X, X + u) l  mởt a thực X bêc n vợi c¡c h» sè A(d(0, R−) v  â F (f, f + u) l  khæng x¡c ành d(0, R), iÃu phÊi chựng minh nh lỵ 2.4 ([11]) GiÊ sû P, Q ∈ Cp[x] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X X ki > s − m + 3), ki > s − m + (t÷ìng ùng ∈F qj > (t÷ìng nl w X ùng bj ∈F 00 ∈F ” X qj > 3) oa bi ∈F ” d N¸u hai hm phƠn hẳnh f, g M(Cp) (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(a, R−))) thäa m¢n P (f (x)) = Q(g(x)), x ∈ Cp (t÷ìng ùng x ∈ d(a, R−)) thẳ cÊ f v g l hơng số (tữỡng ựng thuởc Mb(d(a, R))) nh lỵ 2.5 ([1]) GiÊ sỷ P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: nf va an lu kj > s − m + 3, X bj qi > 3, ∈F 00 z ∈F z at nh oi lm ul X m co l gm @ v  n¸u a thùc P (X) − Q(Y ) khỉng câ nh¥n tû chung bêc 1, õ khổng tỗn tÔi cĂc hm khĂc h¬ng f, g ∈ M(C) cho P (f (x)) Q(g(x)) = 0, x C Tứ nh lỵ 2.5 ta cõ th rút nh lỵ 2.6 an Lu n va ac th 19 si nh lỵ 2.6 ([11]) Gi£ sû P, Q ∈ C[X] thäa m¢n mët hai i·u ki»n sau: X ki > s − m + 3, ∈F X qj > bj F 00 Khi õ khổng tỗn tÔi cĂc hm kh¡c h¬ng f, g ∈ M(C) cho P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x ∈ C Chùng minh Gi£ sû F (X, Y ) = P (X) − Q(Y ) Vẳ C l mởt ng cĐu lu an Ôi số vợi mởt trữớng siảu metric giống Cp (vợi p bĐt kẳ khổng nguyản tố), m khổng mĐt tẵnh têng qu¡t chóng ta câ thº chuyºn b i to¡n l¶n trữớng Cp Vẳ vêy, Ênh cừa a thực F Cp [X, Y ] l  a thùc F˜ (X, Y ) Nhữ vêy, giÊ thiát P ki > s m + văn giỳ Cp v tữỡng tỹ, vợi a F P P giÊ thiát qj > Gi£ sû ki > s − m + Theo nh lỵ 2.5, khổng a F b F tỗn tÔi cĂc hm khĂc hơng f, g M(C) cho P (f (x))−Q(g(x)) = Cö thº F˜ (X, Y ) khổng nhên cĂc nhƠn tỷ chung bêc Cp[X, Y ] Nh÷ng â, F (X, Y ) khổng nhên cĂc nhƠn tỷ chung bêc C[X, Y ], hoc vẳ cĂc nhƠn tỷ ữủc bÊo ton bơng chuyn giao BƠy giớ, cõ th Ăp dửng nh lỵ 2.5 chựng minh rơng hai h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) − Q(g(x)) = 0, ∀x ∈ C, th¼ chóng l  hơng số nh nghắa 2.7 ([11]) GiÊ sỷ f M(C) cho f (0) 6= 0, ∞ Chóng ta biu th bi Z[2](r, f ) l hm ám tÔi cĂc khổng im bêc chn bi tực l tÔi mội khổng im, náu nhọ hỡn hoc bơng thẳ ám bơng số õ, náu lợn hỡn tẵnh bơng CĂc vĐn à sau Ơy Ăp dửng cho hai hm phực v hm phƠn hẳnh Mởt chựng minh ữủc ữa [2] vợi cĂc hm phƠn hẳnh p-adic v [3] ối vợi cĂc hm phƠn hẳnh phực n va i 00 i p ie gh tn to j d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z @ l i ∈ E[x] (ai 6= aj , i 6= l gm Q nh lỵ 2.7 ([11]) Cho P (x) = (x−ai)n i=2 (x−ai )k l m co v  vỵi l > v  n > max{k2, , kl } v  k = P ki, gi£ sû f, g ∈ M(E) i=2 câ gi¡ trà si¶u vi»t (t÷ìng ùng f, g ∈ M (d(a, R−))) v  θ = P (f )f ∩ P (g)g Náu Mf (E) Mg (E), (tữỡng ùng n¸u θ ∈ Mf (d(a, R− )) ∩ j) an Lu n va ac th 20 si Mg (d(a, R− ))) th¼ ta câ nhúng i·u sau : (a) náu l = thẳ n {k, k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1} k (b) náu l = thẳ n { , k + 1, 2k, 2k + 1, 3k2 − k, 3k3 k}, (c) náu l > thẳ n = k + Hìn núa, n¸u f, g ∈ M(Cp) v náu l hơng số thẳ n = k + Hìn núa n¸u f, g ∈ A(E), th¼ θ 6∈ Af (E) Bê · 2.6 ([11]) Gi£ sû f ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f ∈ M(d0(0, R−)), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) Khi â T (r, f ) − Z(r, f ) ≤ T (r, f ) − Z(r, f ) + 0(1) lu an n va g P (g) v  G = α °t p ie gh tn to f P (f ) º ìn gi£n, ta câ thº gi£ sû a1 = °t F = α Rã r ng F v  G chung mët gi¡ trà kº c£ Vẳ f ,g l siảu viằt, þ ¸n F v  G w ΨF,G F” 2F G” 2G0 = − − + F F −1 G G−1 d oa nl Ta s³ chùng minh rơng theo cĂc giÊ thiát cừa cĂc nh lỵ, F,G l ỗng nhĐt khổng Bờ à 2.7 ([11]) GiÊ sû f, g ∈ M(C) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(Cp)), chung mët gi¡ trà kº c£ bëi N¸u Ψf,g l khổng ỗng nhĐt khổng, õ nf va an lu lm ul max(T (r, f ), T (r, g)) ≤N[2] (r, f ) + Z[2] (r, f ) + N[2] (r, g) + Z[2] (r, g) z at nh oi + Sf (r) + Sg (r), (t÷ìng ùng z @ gm max(T (r, f ), T (r, g)) ≤ N[2] (r, f )+Z[2] (r, f )+N[2] (r, g)+Z[2] (r, g)−6 log r) l Bê · 2.8 ([11]) Gi£ sỷ f, g M(Cp) l siảu viằt (tữỡng ựng f, g ∈ t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) Gi£ sû P (x) = xn+1Q(x) l  mët a thùc cho n > deg(Q) + (t÷ìng ùng n > deg(Q) + ) N¸u P (f )f = P (g)g th¼ P (f ) = P (g) m co Mu (d(0, R− )), an Lu n va ac th 21 si Bê · 2.9 ([11]) Cho f, g ∈ M(E) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(0, R−))) l  khæng êi v  chung gi¡ trà kº c£ bëi Gi£ sû Ψf,g = v  Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) max(T (r, f ), T (r, g)) lim r→+∞ ! < 1, (t÷ìng ùng lim− r→R Z(r, f ) + Z(r, g) + N (r, f ) + N (r, g) max(T (r, f ), T (r, g)) ! < 1) lu an n va p ie gh tn to Khi â ho°c f = g ho°c f g = M»nh · 2.1 ([11]) Cho P Cp[X] thọa mÂn giÊ thiát (G) v n > (tữỡng ựng n > 3) Náu hm phƠn hẳnh f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R− ))) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x))+C (C ∈ C∗p ), ∀x ∈ Cp (t÷ìng ùng ∀x d(a, R)), thẳ cÊ f v g l hơng sè (t÷ìng ùng f v  g thc v o Mb (d(a, R− ))) Chùng minh Gi£ sû r¬ng hai h m f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R− ))) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + C(C ∈ Cp ), ∀x ∈ Cp (t÷ìng ùng ∀x ∈ d(a, R−)) Chóng ta câ thº ¡p dưng ành lỵ 2.4 bơng cĂch t Q(X) = P (X) + C Vẳ vêy, cõ h = l v  bi = , i = 1, , l GiÊ sỷ l ữớng cong cừa phữỡng trẳnh P (X) − P (Y ) = C Theo gi£ thiát cõ n > 2, vẳ vêy l bêc > Do õ náu khổng cõ iºm k¼ dà, nâ câ gièng > v  õ, bơng nh lỵ Picard-Berkovich, kát luên l lêp tùc Do â chóng ta câ thº gi£ ành r¬ng Γ l  câ mët iºm ìn (α, β) Nh÷ng sau â P 0(α) = P 0(β) = v  õ (, ) l cõ dÔng (ah, ak ) Do â, C = P (ah) − P (ak ) v  v¼ C 6= 0, chóng ta câ h 6= k Chóng ta s³ chùng minh r¬ng ho°c a1 ∈ F ho°c a1 ∈ F ” Gi£ sû a1 ∈/ F ∪ F ” Tø a1 ∈/ F 0, tỗn tÔi i {2, , l} cho P (a1) = P (ai ) + C B¥y giớ tứ / F , tỗn tÔi j ∈ {2, , l} cho P (a1 ) + C = P (ai ) Những vẳ C = P (ai ), chóng ta câ P (aj ) = −P (ai ), â P (aj ) + P (ai) = Vẳ P thọa mÂn (G), cõ i = j , vẳ vêy P (ai ) = Những õ C = 0, mƠu thuăn Vẳ vêy, chựng minh rơng a1 F F BƠy giớ theo nh lỵ 2.4, f v g l hơng số (tữỡng ựng f, g Mb (d(a, R− ))) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 22 si M»nh · 2.2 ([11]) Cho P C[X] thọa mÂn giÊ thiát (G) v n > Náu hm phƠn hẳnh f, g M(C) thọa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + c, (c ∈ C∗), ∀x ∈ C, th¼ c£ f v  g l  h¬ng sè Chùng minh Gi£ sû hai h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x))+ C , (C ∈ C , ∀x ∈ C Chúng ta s Ăp dửng nh lỵ 2.6 bơng cĂch °t Q(X) = P (X) + C Do n > 3, ta câ deg(P ) > v  õ cõ bêc Do õ, náu khổng cõ im c trững, nõ cõ bêc > v õ, theo nh lỵ Picard's, khổng tỗn tÔi cĂc h m f, g ∈ M(C) thäa m¢n P (f (x)) = P (g(x)) + C , ∀x ∈ C Do â, chóng ta câ thº gi£ sû Γ thøa nhªn mët iºm chung nh§t (ah, ak ) Chùng minh t÷ìng tü nh÷ cõa M»nh · 2.1 lu an n va 2.2 VĐn à nhĐt cho hm phƠn hẳnh gh tn to Trữớng hủp p-adic p ie Nôm 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda,  chựng minh nh lỵ sau: nh lỵ 2.8 ([11]) Cho P (X) Cp[X] l mởt a thực nhĐt cừa A(Cp) (tữỡng ựng Au(d(a, R))), °t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k Gåi f, g A(K) l hm số siảu viằt (tữỡng ựng f, g ∈ Au(d(a, R−))) cho f 0P 0(f ) v  g P (g) mët h m nhä α ∈ Af (Cp ) ∩ Ag (Cp ) (t÷ìng ùng α ∈ Af (d(, R− )) ∩ l P Ag (d(a, R−))) kº c£ bëi N¸u ki > 2l + thẳ f = g Hỡn nỳa, náu w d oa nl i nf va an lu l l  mët h¬ng sè v  P ki > 2l + th¼ f = g lm ul f ,g ∈ A(Cp ), α i=1 z at nh oi i=1 Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, cõ thº gi£ sû b = °t z l Y F =f (f − aj )kj an Lu j=1 m l Y G=g (g − aj )kj co l v  gm j=1 @ n va ac th 23 si Do f, g ∈ A(Cp) v  v¼ F v  G chung α kº c£ bëi, th¼ (F )/(G ) l hm phƠn hẳnh khổng cõ khỉng iºm v  khỉng câ cüc iºm Cp (t÷ìng ùng d(0, R−)), â nâ l  mët h¬ng sè u Cp −0 (t÷ìng ùng nâ l  mët h m nghàch £o ÷đc u ∈ A(d(0, R−))) Gi£ sû u 6= Th¼ F = uG + α(1 − u) (2.3) Cho r > Tø â α(1−u) ∈ Af (Cp) (tữỡng ựng (1u) Af (d(0, R))) Vẳ vêy Ăp dửng nh lỵ 2.2 cho F , ta ÷đc T (r, F ) ≤Z(r, F ) + Z(r, F − α(1 − u)) + SF (r) = Z(r, F ) + Z(G) + SF (r) lu = l X k an Z(r, (f − aj ) ) + Z(r, f ) + l X Z(r, (g − aj )k ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 j=1 n va ≤l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) gh tn to Chóng ta nhên thĐy rơng náu f, g A(Cp) v n¸u α ∈ Cp, ta câ p ie T (r, F ) ≤ Z(r, F ) + Z(r, F − α(1 − u)) − log r + O(1) nl w v  â, ta câ oa T (r, F ) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) log r + O(1) d BƠy giớ, tr lÔi trữớng hủp tờng quĂt Vẳ f l nguyản, theo Bờ · 2.4 ta câ nf va an lu kj )T (r, f ) + Z(r, f ) + O(1) lm ul T (r, F ) = ( l X j=1 z at nh oi Do â, z l X ( kj )T (r, f ) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, g ) + Sf (r) @ j=1 gm l T÷ìng tü, m co l X ( kj )T (r, g) ≤ l(T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Sf (r) an Lu j=1 n va ac th 24 si Vẳ vêy l X ( kj )(T (r, f ) + T (r, g) ≤2l((T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 ≤(2l + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) + Sf (r) Vêy nản, l X kj 2l + j=1 Do â, v¼ l X lu an n va l X j=1 kj (T (r, f ) + T (r, g)) ≤ 2l((T (r, f ) + T (r, g)) + Z(r, f ) + Z(r, g ) + Sf (r) j=1 p ie gh tn to chóng ta câ u = N¸u α ∈ Cp, chóng ta câ kj > 2l + 1, ≤ (2l + 1)(T (r, f ) + T (r, g)) − log r + O(1), oa nl w v¼ d T (r, f ) ≤ T (r, f ) − log r + O(1), l l P P kj 2l mƠu thuăn giÊ thiát u 6= kj > 2l j=1 nf va j=1 an lu vẳ vêy Do õ, trữớng hủp têng qu¡t, kj > 2l + 1, ta câ u = j=1 0 0 v  â f P (f ) = g P (g) â P (f ) − P (g) l  mët h¬ng sè D Nh÷ng theo Bê · 2.5 , ta câ P (f ) = P (g) V  v¼ P l  mởt a thực nhĐt vợi A(Cp ) (tữỡng ựng A(d(0, R ))), cõ th kát luên f = g Tữỡng tỹ, náu f, g A(Cp) v náu l hơng số hoc bơng bơng 0, ta câ u = l P kj > 2l ta cõ kát luên tữỡng tỹ z at nh oi lm ul l P z gm @ l j=1 co H» qu£ 2.1 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ v  P 0(X) = Gi£ sû f, g ∈ A(Cp) l  h m sè si¶u vi»t cho f 0P 0(f ) l P 0 v  g P (g) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp)∩Ag (Cp) kº c£ bëi N¸u ki > m bΠli=1 (X − )ki an Lu n va ac th 25 i=1 si l P th¼ f = g Hỡn nỳa, náu l mởt hơng số v náu ki > 2l + thẳ i=1 f = g V½ dư 2.1 ([11]) Cho c ∈ Cp l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ôi số : 2l + X 11 ( 1 1 1 1 − ) − X ( − ) + X( − ) − + = 11 10 10 11 °t lu an n va H» qu£ 2.2 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ 3, °t P 0(X) = gh tn to X 11 cX 10 X cX P (X) = − − + 11 10 Ta câ thº kiºm tra r¬ng P (X) = X 7(X − 1)(X + 1)(X − c), P (1) = 1 P (c) 6= v  P (1) 6= 0, P (−1) 6= 0, P (1) + P (−1) = c( − ) v  P (−1) − 1 P (1) = 2( − ), â P (−1) 6= P (c) 11 Do â, chóng ta câ thº ¡p dưng Hằ quÊ 2.1 v ch rơng náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp) ∩ Ag (Cp) th¼ f = g p ie bΠli=1 (X −ai )ki Gåi f, g ∈ Au (d(a, R− )) cho f P (f ) v  g P (g) chung l mët h m nhä α ∈ Af (d(a, R−))∩Ag (d(a, R−)) kº c£ bëi N¸u P ki > 2l+2 w oa nl th¼ f = g i=1 d H» qu£ 2.3 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ (t÷ìng ùng lu nf va an Φ(P ) ≥ 3), °t P (X) = bX n Πli=2 (X − )ki vỵi l > 3, gåi f, g ∈ A(Cp ) (t÷ìng ùng f, g ∈ Au (d(a, R− )) cho f P (f ) v  g P (g)) chung mët h m nhä α ∈ Af (Cp) ∩ Ag (Cp) (t÷ìng ùng α ∈ Af (d(a, R−)) ∩ Ag (d(a, R− ))) kº c£ bëi N¸u n > l + thẳ f = g Hỡn nỳa, náu f, g ∈ A(Cp ), α l  h¬ng sè v  n ≥ l + th¼ f = g z at nh oi lm ul z N«m 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda,  chựng minh cĂc nh lỵ 2.92.13 cho hm phƠn hẳnh phực v p-adic cử th cĂc nh lỵ nhữ sau: nh lỵ 2.9 ([11]) Cho P l mởt a thực nhĐt cho M(Cp), (tữỡng ựng cho M(d(0, R−))) vỵi l > 2, °t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k vỵi b ∈ C∗p, l P ki > ki+1 , ≤ i ≤ l − 1, °t k = ki , gåi u5 l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho i=2 ki > v s5 = max(0, u5 − 3), vỵi méi m ∈ N, um l lợn nhĐt cho l gm @ i m co an Lu n va ac th 26 si ki > m v  sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + (t÷ìng ùng k1 > k + 3) ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), (3) náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, k (4) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k1 6= k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (5) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) (t÷ìng ùng f, g ∈ M(d(a, R−))) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp) ∩ Mg (Cp) (t÷ìng ùng α ∈ Mf (d(a, R−) ∩ Mg (d(a, R− )))) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g ∞ Chú ỵ 2.3 ([11]) Tờng P sm l hin nhiản l hỳu hÔn (2) lu an n va Hằ quÊ 2.4 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] thäa m¢n Φ(P ) ≥ v  thäa m¢n gh tn to m=5 gi£ thi¸t (G), °t P 0(X) = bΠli=1(X − ai)k vỵi b ∈ C∗p, l > 3, ki > ki+1, l P ≤ i ≤ l−1, k = ki , vỵi méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ số i lợn nhĐt cho i=2 ki > 4, s5 = max(0, u5 − 3) v  vỵi måi m > 6, °t sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: p ie i d oa nl w an lu nf va (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 lm ul z at nh oi k (2) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (3) n¸u l > 4, th¼ k1 6= k + z Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp) ∩ Mg (Cp) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, thẳ f = g Vẵ dử 2.2 ([11]) Cho co l gm @ m X 20 X 19 4X 18 4X 17 6X 16 6X 15 4X 14 4X 13 X 12 X 11 P (X) = − − + + − − + + − 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 an Lu ac th 27 n va Chóng ta câ thº kiºm tra P 0(X) = X 10(X − 1)5(X + 1)4 v  si P 1 − ), 10 + 2j + 2j j=0 P 1 C4j ( P (−1) = − + ) 10 + 2j + 2j j=0 Do â, chóng ta câ Φ(P ) = v  chóng ta kiºm tra gi£ thi¸t (G) l thọa mÂn BƠy giớ giÊ sỷ f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  gi£ sû α ∈ Mf (Cp ) ∩ Mg (Cp ) l  khæng ỗng nhĐt khổng Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g P (0) = 0, P (1) = C4j (1)j ( nh lỵ 2.10 ([11]) Cho P l  a thùc nh§t cho M(Cp), P 0(X) = l Q l vỵi b ∈ C∗p, l > 2, ki > ki+1, ≤ i ≤ l −1, °t k = P ki, vỵi i=2 i=1 méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau : b (X −ai )ki lu an n va max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, n¸u l = 3, th¼ k1 6= k2 , k + 1, 2k1, 3ki − k, ∀i = 2, (2) d oa (4) nl w (3) p ie gh tn to (1) k1 > + max(0, − k2 ) + l X nf va an lu Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  h m Moebius N¸u f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.5 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ v  P 0(X) = l P ki , vỵi bΠli=1 (X −ai )k vỵi b ∈ C∗p , l > 3, ki > ki+1 , ≤ i ≤ l−1, °t k = i=2 méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ sè i lỵn nh§t cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau : z at nh oi lm ul i z gm @ max(0, − ki ) − min(2l − 1, l (1) k1 > + max(0, − k2 ) + l X i=3 m an Lu (3) ho°c k1 > k + ho°c P thäa mÂn giÊ thiát (G), náu l = 3, thẳ k1 6= k2 , k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, sm ), m=5 co (2) ∞ X n va ac th 28 si Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  mët h m Moebius N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g Tứ nh lỵ 2.9 cõ Hằ quÊ 2.6 H» qu£ 2.6 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho P 0(X) = b(x−a1)n(x−a2)k vỵi k ≤ n, min(k, n) > v  vỵi b ∈ C∗p Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) n > + max(0, − k), (2) ho°c n>k+2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G) (3) n 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k − lu an n va i p ie gh tn to Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l  mët h m Moebius N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g nh lỵ 2.11 ([11]) Cho P (X) l a thực nh§t cõa M(Cp) v  P (X) = bΠli=1 (X − )k vỵi b ∈ C∗p , l > 2, ki > ki + 1, ≤ i ≤ l − 1, l °t k = P ki, vỵi méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho ki > 4, i=2 s5 = max(0, u5 − 4), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 3) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (1) ho°c k1 > k + hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), d oa nl w an lu max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ), m=5 i=3 lm ul (3) k1 6= k + nf va (2) k1 > + max(0, − k2 ) + l X z at nh oi Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  α l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.7 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho Φ(P ) ≥ 3, P 0(X) = l P bΠli=1 (x − )k vỵi b ∈ C∗p , l > 3, ki > ki+1 , ≤ i ≤ l − 1, k = ki , vỵi i=2 méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n z @ i m co l gm an Lu n va ac th 29 si sau: (1) k1 > k + ho°c P thäa m¢n gi£ thi¸t (G), (2) k1 > + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l − 1, ∞ X sm ) m=5 i=3 Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.8 ([11]) Cho P (X) ∈ Cp[X] cho P 0(X) cõ dÔng b(x a1 )n (x − a2 )k vỵi min(k, n) > v  vỵi b ∈ C∗p Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: lu (1) n > + max(0, − k), an (2) va ho°c n>k+2 hoc P thọa mÂn giÊ thiát (G), n (3) n 6= k + p ie gh tn to Gi£ sû f, g ∈ M(Cp) l  h m si¶u vi»t v  l mởt hơng số khĂc Náu f P (f ) v  g P (g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g V½ dư 2.3 ([11]) Cho w d oa nl X 24 10X 23 36X 22 40X 21 74X 20 226X 19 84X 18 P (X) = − + − − + − 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 312X 88X 280X 48X 80X 12 312X + + − + + − 17 16 15 14 13 12 11 32X − 11 nf va an lu lm ul z at nh oi Chóng ta câ thº kiºm tra r¬ng P 0(X) = X 10(X − 2)5(X + 1)4(X − 1)4 Ti¸p theo chóng ta câ P (2) < −134378, P (1) ∈ [−2, 11, −2, 10], P (−1) ∈ [2, 18, 2, 19] Do â P (0), P (1), P (−1), P (2) l  c¡c sè ph¥n bi»t, â Φ(P ) = Ngo i ra, gi£ thi¸t (G) l  thäa mÂn BƠy giớ, cho f, g M(Cp) (tữỡng ựng f, g ∈ Mu(d(a, R−)), t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) v  gi£ sû α ∈ M(Cp ) (t÷ìng ùng α ∈ M(d(a, R− )), t÷ìng ùng α ∈ M(C) l khổng ỗng nhĐt khổng) Náu f 0P 0(f ) v  g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi, th¼ f = g z m co l gm @ an Lu n va ac th 30 si Tr÷íng hủp phực nh lỵ 2.12 ([11]) Cho P l l a thực nhĐt cho M(C), vợi l > 2, l Q l P °t P (X) = b (X − ai) vỵi b ∈ C , ki > ki+1, ≤ i ≤ l − 1, k = ki, i=2 i=1 gồi u5 l ch số i lợn nhĐt cho ki > v  S5 = u5 − 3, vỵi méi m ∈ N, um l  ch¿ sè i lợn nhĐt cho ki > m v Sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: ∗ ki (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + l X max(0, − ki ) − min(2l, ∞ X sm ), m=5 i=3 ho°c k1 > k + ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G), (3) náu l = 2, th¼ k1 6= k + 1, 2k, 2k + 1, 3k + 1, k (4) n¸u l = 3, th¼ k1 6= , k1 6= k + 1, 2k + 1, 3ki − k, ∀i = 2, 3, (5) náu l > 4, thẳ k1 6= k + Gi£ sû f, g ∈ M(C) l  h m si¶u vi»t v  α ∈ Mf (C) ∩ Mg (C) l  kh¡c N¸u f P (f ) v  g P (g) chung h m nhä α kº c£ bëi, th¼ f = g H» qu£ 2.9 ([11]) Cho P ∈ C[X] thäa m¢n Φ(P ) > v thọa mÂn l Q giÊ thiát (G), °t P (X) = b (X − ai)ki, ki > ki+1, ≤ i ≤ l − 1, (2) lu an n va p ie gh tn to oa nl w nf va an i=2 lu vỵi méi m ∈ N, gåi um l  ch¿ sè i lỵn nh§t cho ki > 4, s5 = max(0, u5 − 3), vỵi måi m > 6, sm = max(0, um − 2) Gi£ sû P thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: k = ki , i=1 d l P z at nh oi lm ul l X (1) k1 > 10 + max(0, − k2 ) + max(0, − ki ) − min(2l, sm ), m=5 i=3 (2) k1 6= k + ∞ X z m co l gm @ Gi£ sû f, g ∈ M(C) v  α ∈ Mf (C) ∩ Mg (C) l  khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0P 0(f ) v g0P 0(g) chung h m α kº c£ bëi th¼ f = g nh lỵ 2.13 ([11]) Cho P l a thực nhĐt cừa A(C) vợi l > v  l P ki > ki + 1, ≤ i ≤ l − l > 2, °t k = ki , gåi u5 l  ch¿ sè i lợn i=2 nhĐt cho ki > v s5 = max(0, u5 − 3), vỵi méi m ∈ N, um l  ch¿ sè an Lu n va ac th 31 si