(Luận văn) vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình chung nhau một tập với đạo hàm cấp cao của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TỐNG THÁI DƯƠNG lu an n va p ie gh tn to VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA LŨY THỪA MỘT HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU MỘT TẬP VỚI ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA CHÚNG d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2020 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TỐNG THÁI DƯƠNG lu VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA LŨY THỪA MỘT HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU MỘT TẬP VỚI ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA CHÚNG an n va p ie gh tn to d oa nl w Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 8.46.01.02 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z @ m co l gm Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG an Lu Thái Nguyên - 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan lu kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm an n va bảo tính trung thực xác p ie gh tn to Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn nl w d oa Tống Thái Dương nf va an lu Xác nhận người hướng dẫn z at nh oi lm ul Xác nhận trưởng khoa Toán z @ PGS TS Hà Trần Phương m co l gm Trần Nguyên An an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn lu an n va p ie gh tn to Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo nhà trường Q Thầy Cơ giảng dạy lớp Cao học K26 trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn co l gm @ m Tống Thái Dương an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii lu an iii Mở đầu n va Mục lục tn to p ie gh Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các hàm Nevanlinna định lý thứ 1.2 Định lý thứ hai quan hệ số khuyết 1.3 Một số tính chất nâng cao oa nl w đề Một số bổ đề chuẩn bị Trường hợp hàm nguyên Trường hợp hàm phân hình d 16 16 31 35 40 z at nh oi Tài liệu tham khảo lm ul Kết luận nf va an lu Vấn 2.1 2.2 2.3 3 10 42 z m co l gm @ an Lu n va ac th iii si Mở đầu Cho f hàm phân hình mặt phẳng phức C Ta kí hiệu E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ C : f (z) = a} lu an Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a, ordf −a (z) = n} va n Cho S tập mặt phẳng phức mở rộng, ta kí hiệu to [ gh tn E(S) = E f (a) Ef (S) = a∈S [ Ef (a) a∈S p ie Cho f g hai hàm mặt phẳng phức C a giá trị phức Ta nl w nói f g chung a kể bội Ef (a) = Eg (a) Ta nói f d oa g chung a không kể bội E f (a) = E g (a) Tương tự, ta nói f an lu g tập S kể bội Ef (S) = Eg (S), ta nói f g chung tập nf va S không kể bội E f (S) = E g (S) lm ul Cho f hàm phân hình, hàm phân hình a(z) gọi hàm nhỏ f T (r, a) = o(T (r, f )) Với hàm phân hình f , ta ký hiệu z at nh oi ρ2 (f ) = lim sup r→∞ log log T (r, f ) log r z @ Năm 1976, Rubel Yang ([3]) chứng minh: Cho f hàm nguyên gm khác hằng, f f chung hai giá trị hữu hạn phân biệt a b co l kể bội f = f Năm 1979, Mues Steinmetz ([2]) chứng minh m kết tương tự thay điều kiện chung kể bội chung an Lu không kể bội Từ cơng trình tác giả nảy sinh vấn đề cho hàm phân hình với đạo hàm chúng n va ac th si Năm 2008, Yang ([4]) xem xét vấn đề nghiên cứu Rubel Yang thay f với lũy thừa bậc n chứng minh: Nếu F F chung nhau giá trị kể bội F = F , F = f n , với f hàm nguyên n > f hàm phân hình n > 12 Năm 2009, Zhang ([4]) nghiên cứu lại vấn đề theo hướng giảm n xuống chứng minh kết cịn n > hàm nguyên n > hàm phân hình Gần tác giả xem xét mở rộng kết Rubel, Yang Zhang theo hướng: ˆ Xem xét lại vấn đề thay đạo hàm bậc đạo hàm lu bậc cao an n va ˆ Xem xét lại vấn đề thay giá trị tập hợp bội chung không kể bội p ie gh tn to ˆ Xem xét lại vấn đề thay giá điều kiện chung kể w Mục đích luận văn giới thiệu số nghiên cứu gần oa nl Zhang, Yang, Banerjee, Chakraborty số tác giả khác theo hướng d nghiên cứu nói an lu Thái Nguyên, tháng năm 2020 nf va Người viết luận văn z at nh oi lm ul Tống Thái Dương z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu 1.1 an Các hàm Nevanlinna định lý thứ va n Định nghĩa 1.1.1 Cho f hàm xác định mặt phẳng phức C, tn to lấy giá trị C, D ⊂ C miền Ta nói f chỉnh hình z0 ∈ C p ie gh tồn lân cận U z0 cho f (z) = ∞ X cn (z − z0 )n nl w n=0 d oa với z ∈ U , cn ∈ C số Hàm f (z) gọi chỉnh an lu hình D chỉnh hình z ∈ D lm ul kỳ đa thức nf va Ví dụ 1.1.2 Hàm f (z) = z chỉnh hình tập mở C Bất P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n z at nh oi chỉnh hình tồn mặt phẳng thức z Ví dụ 1.1.3 Hàm 1/z chỉnh hình tập mở C mà khơng gm @ chứa điểm gốc tọa độ tồn mặt phẳng phức C m co l Định nghĩa 1.1.4 Hàm f (z) gọi hàm nguyên chỉnh hình ac th n va phức C nên chúng hàm nguyên an Lu Ví dụ 1.1.5 Hàm f (z) = ez , g(z) = e−πz chỉnh hình tồn mặt phẳng si Với hàm f : C → C, điểm z0 ∈ C gọi điểm bất thường cô lập hàm f (z) f (z) chỉnh hình lân cận z0 , trừ z0 Điểm bất thường cô lập z0 hàm f (z) gọi (i) Điểm bất thường khử tồn giới hạn hữu hạn lim f (z) z→z0 (ii) Cực điểm f (z) lim f (z) = ∞ z→z0 (iii) Điểm bất thường cốt yếu hàm f (z) không tồn lim f (z) z→z0 Định nghĩa 1.1.6 Hàm f (z) gọi phân hình miền D ⊂ C lu chỉnh hình miền D, trừ số hữu hạn điểm bất thường an cực điểm Nếu D = C ta nói f (z) hàm phân hình C, hay đơn va n giản hàm phân hình gh tn to Nhận xét 1.1.7 Nếu f (z) hàm phân hình D lân cận ie z ∈ D hàm f (z) biểu diễn dạng thương hai hàm chỉnh p hình w oa nl Định nghĩa 1.1.8 Điểm z0 gọi không điểm cấp m hàm f (z) d lân cận z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m h(z), an lu h(z) chỉnh hình lân cận z0 h(z0 ) 6= Điểm z0 nf va gọi cực điểm cấp m ≥ hàm f (z) z0 không điểm cấp m hàm f (z) lm ul f (z0 ) 6= 0, ∞   −m z cực điểm cấp m f (z) z ordf (z0 ) = z at nh oi Với hàm phân hình f , ta kí hiệu   z0 khơng điểm cấp m f (z)  m l gm @ Nhận xét 1.1.9 Nếu f (z) hàm phân hình D f (z) hàm co m phân hình D Hàm f (z) f (z) có cực điểm, đồng thời z0 an Lu cực điểm cấp m ≥ f (z) cực điểm cấp m + f (z) Hơn nữa, hàm f (z) có khơng q đếm cực điểm D n va ac th si Bây ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng Nevanlinna hàm phân hình Với số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu ( log x x ≥ log+ (x) = < x < Như log+ (x) = max{log x, 0} lu log x = log+ x − log+ x Cho f : C → C hàm phân hình, với số thực R > 0, ta có an n va 2π Z2π p Y X + log+ |aν | log aν ≤ m co số phức phân biệt si p p X X +