Đang tải... (xem toàn văn)
Cách tìm vi phân của hàm số hay, chi tiết A Phương pháp giải & Ví dụ Cho hàm có y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b) Giả sử Δx là số gia của x sao cho x + Δx ∈ (a; b) Tích f ''''(x)[.]
Cách tìm vi phân hàm số hay, chi tiết A Phương pháp giải & Ví dụ Cho hàm có y = f(x) xác định (a; b) có đạo hàm x ∈ (a; b) Giả sử Δx số gia x cho x + Δx ∈ (a; b) Tích f '(x)Δx(hay y 'Δx) gọi vi phân hàm số f(x) x, ứng với số gia Δx, kí hiệu df(x) hay dy Chú ý Vì dx = Δx nên: dy = df(x) = f '(x)dx Ứng dụng vi phân vào phép tính gần Với |Δx| đủ nhỏ, ta có hay Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f '(x0)Δx Do f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f '(x0)Δx ≈ f(x0) + df(x0) Ví dụ minh họa Bài 1: Cho hàm số y = sinx – 3cosx Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có dy = (sinx – 3cosx)’dx = (cosx + 3sinx)dx Bài 2: Cho hàm số Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có Bài 3: Xét hàm số y = Hướng dẫn: Ta có : Tính vi phân hàm số Bài 4: Cho hàm số y = x3 - 5x + Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có dy =(x3-5x+6)'dx = (3x2-5)dx Bài 5: Cho hàm số y = 1/(3x3) Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có Bài 6: Cho hàm số Tính vi phân hàm số Hướng dẫn: Ta có Bài 7: Cho hàm số Hướng dẫn: Ta có Tính vi phân hàm số Cách tìm đạo hàm cấp cao hàm số cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x) Nếu f ’(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f(x) kí hiệu là: f ''(x), tức là: f ’’(x) = (f’(x))’ Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – (với n ∈ N, n ≥ 2)) f(n-1)(x) Nếu f(n-1)(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x) kí hiệu f(n)(x), tức là: f(n)(x) = (f(n-1)(x))' Để tính đạo hàm cấp n: + Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n + Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức Ví dụ minh họa Bài 1: Hàm số Tính đạo hàm cấp hàm số Hướng dẫn: Ta có: Bài 2: Hàm số y = (x) = cos(2x - π/3) Phương trình f(4)(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0; π/2] là: Hướng dẫn: Bài 3: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)3 + 4(x+1) Tìm tập nghiệm phương trình f ''(x) = ? Hướng dẫn: Vì: f '(x) = 15(x+1)2 + ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = ⇔ x = -1 Bài 4: Cho hàm số y = sin22x Tính y(4)(π/6) ? Hướng dẫn: Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x; y(4) = -128cos4x ⇒ y(4)(π/6) = 64√3 Bài 5: Cho hàm số y = sin2x Tính y’’ Hướng dẫn: Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x Bài 6: Cho hàm số y = sin2x Tính y ''(π/3), y(4)(π/4) ? Hướng dẫn: Ta có y ''' = -8cos2x, y(4) = 16sin2x Suy y ''' (π/3)= 8cos(2π/3) = 4; y(4)(π/4) = 16sin(π/2) = 16 Bài 7: Cho hàm số y = sin2x Tính y(n)? Hướng dẫn: Ta có Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh Dạng tập Ý nghĩa đạo hàm (Vật Lí, Cơ học, Hình học) hay, chi tiết A Phương pháp giải & Ví dụ Ví dụ minh họa Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : s = s(t) thời điểm to v(to) = s’(to) Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm to : I(to) = Q’(to) Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai f ''(x) gia tốc tức thời cảu chuyển động s = f(t) thời điểm t Ý nghĩa hình học đạo hàm: Nếu tồn tại, f '(xo ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) Mo(xo; f(xo)) Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Mo y - yo = f '(xo)(x - xo) Bài 1: Một vật rơi tự theo phương trình s = (1/2)gt2, g ≈ 9,8 m/s2 gia tốc trọng trường Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 5s Hướng dẫn: Ta có vận tốc chuyển động: v = (s)’ = gt Khi vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 5s là: 9,8.5 = 49 m/s Bài 2: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(ωt + φ) (A, ω, φ số) Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động Hướng dẫn: Ta có gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động là: a(t) = s '' (t) = (Aω cos(ωt + φ) )' = -Aω2 sin(ωt + φ) Bài 3: Một chuyển động thẳng xác định ph¬ương trình s = (1/3)t3 - t2 + 5t, t tính giây s tính mét Gia tốc chuyển động t = bao nhiêu? Hướng dẫn: Gia tốc chuyển động t : a(t) = (s(t)) '' = (t2-2t+5)' = 2t-2 Gia tốc chuyển động t = : a(4) = m/s2 Bài 4: Một vật rơi tự theo phương trình s = (1/2)gt2, g ≈ 9,8 m/s2 gia tốc trọng trường.Vận tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian t (t = 3s) đến t + Δt (Δt = 0,2s) là: Hướng dẫn: Vận tốc chuyển động thời điểm t là: v(t) = (s(t))' = gt Tại t = 3: v = 29,4 m/s Tại t + Δt = 3,2s: v = 31,36 m/s Khi vận tốc trung bình là: Bài 5: Một chuyển động thẳng xác định ph¬ương trình s = 2t3+5t+2, t tính giây s tính mét Vận tốc chuyển động t = Hướng dẫn: Vận tốc chuyển động thời điểm t là: v(t) = (s(t))' = 6t2 + v(3) = 59 m/s Bài 6: Một chuyển động thẳng xác định ph¬ương trình s = t3-3t2-9t+2, t tính giây s tính mét Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu Hướng dẫn: Vận tốc chuyển động thời điểm t là: v(t) = (s(t))' = 3t2 - 6t - v(t) = ⇔ Gia tốc chuyển động t : a(t) = (v(t))' = 6t - Ta có gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu là: a(3) = 12 m/s2 Bài 7: Một chuyển động thẳng xác định phương trình s = t3 - 3t2 + 9t, t tính giây s tính mét Tính vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu Hướng dẫn: Vận tốc chuyển động thời điểm t là: v(t) = (s(t))' = 3t2 - 6t + Gia tốc chuyển động t : a(t) = (v(t))' = 6t - a(t) = ⇔ t = Ta có vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu v(1) = m/s Cách tìm vi phân hàm số hay, chi tiết A Phương pháp giải Cho hàm số y= f( x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x ∈(a;b ) Ta gọi tích f' (x).∆ x vi phân hàm số y= f( x) x ứng với số gia ∆ x Kí hiệu: dy=df(x)=f' (x).∆ x ⇒ Để tính vi phân hàm số y= f(x) ( trường hợp điểm hàm số có đạo hàm) ta làm sau: + Bước Tính đạo hàm f' (x) hàm số + Bước Vi phân hàm số là: dy=d(f(x))=f' (x).dx B Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số y= x3 +3x2 + 10x+ 90 Tìm vi phân hàm số A dy=3x2 + 6x+ 10 C.dy = ( x2 + 3x+ 10).dx B dy= ( 3x2 + 6x+ 10).dx D Đáp án khác Hướng dẫn giải + Hàm số cho có đạo hàm điểm y'= 3x2 +6x+ 10 ⇒ Vi phân hàm số cho : dy=d( x3+ 3x2 + 10x+ 90)= ( 32 + 6x+ 10).dx chọn B Ví dụ Cho hàm số y= √(x2-4) Tìm dy? Hướng dẫn giải Hàm số có đạo hàm điểm x2- > hay x > x