Chuyen de gioi han cua day so 2023 hay chon loc

Giới hạn dãy số cách giải dạng tập Bài viết Giới hạn dãy số cách giải dạng tập giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm tập từ có kế hoạch ơn tập hiệu để đạt kết cao thi mơn Tốn 11 Lý thuyết a) Dãy số có giới hạn Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vô cực, với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số kể từ số hạng trở đi, |un| nhỏ số dương hay lim un = hay un → n → +∞ Kí hiệu: b) Dãy số có giới hạn hữu hạn Ta nói dãy số (un) có giới hạn số thực L lim (un – L) = hay lim un = L hay un → L n → +∞ Kí hiệu: c) Dãy số có giới hạn vơ cực Daỹ sớ (un) có giới ̣n là +∞ n → +∞, nế u un có thể lớn mô ̣t số dương bấ t kì kể từ mô ̣t số ̣ng nào đó trở Ký hiê ̣u : lim un = +∞ hoă ̣c un → +∞ n → +∞ Daỹ số (un) có giới ̣n là −∞ n → +∞ , nế u lim(−un) = +∞ Ký hiê ̣u : lim un = −∞ hoă ̣c un → −∞ n → +∞ d) Một vài giới hạn đặc biệt lim un = ⇔ lim|un| = ; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*) e) Định lý giới hạn hữu hạn * Nếu lim un = a lim = b c số Khi ta có : lim(un + vn) = a + b lim(un - vn) = a - b lim(un vn) = a.b lim(cun ) = c.a lim|un | = |a| Nếu un ≥ với n a ≥ * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) (wn): Nếu lim un = a Hệ quả: Cho hai dãy số (un) (vn): Nếu lim un = f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực * Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn) Nếu lim un = L ≠ 0, lim = +∞ (hay −∞) Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ * Quy tắc tìm giới hạn thương lim un = L L lim Dấu ±∞ Tùy ý 0 + +∞ - −∞ + −∞ - +∞ L>0 L 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: Lời giải Áp dụng cơng thức tính giới hạn đặc biệt, ta có: Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: c) lim (-0,999)n Lời giải c) lim (-0,999)n = |-0,999| < Dạng Tính giới hạn hữu hạn phân thức Phương pháp giải: Trường hợp lũy thừa n: Chia tử và mẫu cho nk (với nk lũy thừa với số mũ lớn nhất) Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia tử mẫu cho lũy thừa có số lớn Sử dụng vài giới hạn đặc biệt: lim un = ⇔ lim|un| = ; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau Lời giải Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Lời giải Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp Phương pháp giải: Sử dụng công thức liên hợp (thường sử dụng tốn chứa căn) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: Lời giải Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Lời giải Dạng 4: Tính giới hạn vô cực dạng chứa đa thức thức Phương pháp giải: Rút bâ ̣c lớn nhấ t của đa thức làm nhân tử chung Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu un = L ≠ 0, lim = +∞ (hay −∞) Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính giới hạn sau: a) lim (n4 − 2n2 +3) b) lim ( −2n3 + 3n − 1) c) lim (5n − 2n) Lời giải a) lim (n4 − 2n2 +3) = Vì lim n4 = +∞; b) lim ( −2n3 + 3n − 1) = Vì lim n3 = +∞; c) lim (5n − 2n) = Chuyên đề giới hạn liên tục A 68 Hội toán Bắc Nam B 69 C 70 D 71 x   27 x  54 m m phân số tối giản, m n số nguyên  , x 3 x  n    x  3x  18 n Câu 20: Biết lim dương Khi 3m  n bằng: A 55 B 56 3x   x  Câu 21: Giới hạn lim  x  1 x 1 C 57 D 58 bằng: A  B  C Câu 22: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn 0? x2 1 B lim  x  2  x  x  x 1 A lim x 1 x  D  x2  x  C lim x 3 x  3x D x lim  x  6 x3  x x 2 Câu 23: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn khác 0? A lim x2 x  3x  2 x C lim  x  3x  x2  x  x  1 x2  B lim  x2  1 3  x  x 3 D lim x3  x 1 x2  Câu 24: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn không tồn tại? x3  A lim x 2 x  11x  18  x  3 B lim x 0  27 x C lim x 0 3x  x 2x D lim  x  2  x x2 x  3x  2 Câu 25: Trong giới hạn sau đây, giới hạn không hữu hạn? x  x  10 A lim x 2 x3  x2  x  B lim x 3 x  x  DẠNG 3: GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH DẠNG C lim x 2 x2 x 5 3 D lim x 3 1 x  x2    Câu 26: Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn 1? x2 1 x3  x  2x  A lim B lim C lim x  x  x  x  x x  x  x 2x2  x 1 x  x  x D lim Câu 27: Trong giới hạn hữu hạn sau đây, giới hạn lớn nhất? A lim  x  1   x  x3  x  x3  1 x  C x lim x   1 x  x   x3  3x  1  x  1 x  x  lim  x  x   x  1  3x  1  x  lim  x  x   x  1 B x  D x  Câu 28: Trong giới hạn sau đây, giới hạn  ? 2 x  x  x  3 x A lim 3x  x  x   2x B lim  3x3  x x   x  x C lim 3x  x  x   x  x D lim Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam x  x  3x Câu 20 Tính giới hạn lim x2   x  2 A B C  3 Câu 21 Cho a , b , c số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a , b , c để x  ax  b x  5 x  cx  a  3b a  3b   5 A B c c D  lim C a  3b  c D a  3b  5 c  x  3x     ax  b   0, a b thỏa mãn Câu 22 Cho a b tham số thực Biết lim  x   cx   hệ thức hệ thức ? A a  b  B a  b  9 C a  b  D a  b  9  Câu 23 Trong giới hạn sau , giới hạn ? 2x  x 1 x2  5x  A lim B lim x  x  x  x   x 3 x  x  11 x  x2  D lim x  x  x  x   2x Câu 24 Tìm giới hạn nhỏ giới hạn hữu hạn sau C lim A lim x  x6  3x3  B lim x  x x x  x  x  C lim D lim 2 x  x2 8x2  x  x 3 x2  x  Câu 25 Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn lớn nhất? A lim  x  51  x  x  3x3  x  x  C lim x  x4  x2   x3  1  3x  1 B  x 1 lim x2  x  5x2 x  D lim x  3 x x2   x Câu 26 Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nhỏ nhất? A lim x2  x  2x 3 x B lim 1  x  C lim x2  x  x2  2x  D lim x  x  x  x  x x 1 3x  x  x5  x  DẠNG 4: Giới hạn vô định dạng 0. 1 1 Câu 27 Cho a số thực dương Tính giới hạn lim    x a x a   x  a 2  B  C  D không tồn a2 Câu 28 Trong giới hạn sau , giới hạn hữu hạn ? 3x x3 A lim  x  1 B lim  x  1 x  x  x 1 2x  x  A  Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam x 1 x D lim  x  1 x  x  x x 2x  x 1 Câu 29 Trong giới hạn hữu hạn sau , giới hạn nhỏ nhất? 2x 1 3x  11 A lim  x  1 B lim 1  x  x  x  x x2 x3  C lim  x   C lim  x3  1 x 1 x x 1 D lim   x  x   x2 x3  3 Câu 30 Tính giới hạn lim x   x  x x   A B   Câu 31 Tính giới hạn lim tan x tan   x   x 4  A x 1 5x  x  D  C  B C DẠNG 5: Dạng vô định    D   n  Câu 32 Cho n số nguyên dương Tính giới hạn lim   n x 1  x 1 x   n n 1 n 1 n2 A B C D 2 2   x   Câu 33 Cho hàm số f  x    x  x  Với giá trị m hàm số f  x  có giới hạn  x  mx  điểm x  A B -1 C D k Câu 34 Tìm tất giá trị tham số thực k cho giới hạn lim(  ) hữu hạn x 1 x  x 1 A k  B k  C k  D k  Câu 35 Trong giới hạn sau đây, giới hạn 1? A lim ( x  x  x) B lim ( x  x  x) C lim( x2  2x  x) D lim ( x  x  x) x  x  x  x Câu 36 Giới hạn lim ( x  3x  5+ax) = + x  A a  B a  C a  D a  Câu 37 Cho a b số thực khác Biết lim (ax  x  bx  2)  , tổng a  b x  A B 6 C D 5 Câu 38 Cho a b số thực khác Biết lim (ax+b- x  x  2)  số lớn hai số x  a b số số đây? A B C Câu 39 Trong giới hạn đây, giới hạn vô cực? A lim ( x  x  x  3) x  D B lim ( x  x   x) x  Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam C lim ( x  3x   x) D lim ( 3x   3x  x ) 2 x  x  m m phân số tối giản, m n x  n n số nguyên dương Tìm bội số chung nhỏ m n A 135 B 136 C 138 D 140 Câu 40 Biết lim ( x  x  27 x3  x  5)   Câu 41 Cho a b số nguyên dương Biết lim ( x + ax  27 x3  bx  5)  x  thỏa mãn hệ thức đây? A a  2b  33 B a  2b  34 C a  2b  35 H Ố LI N , hỏi a b 27 D a  2b  36 C A LÝ THUYẾT Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a, b  x0   a; b  Hàm số y  f  x  gọi iên t c x0 lim f  x   f  x0  xx0 Hàm số y  f  x  không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm STUDY TIP Khi xét tính liên tục hàm số điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định khoảng (dù nhỏ) chứa điểm Định nghĩa Hàm số y  f  x  gọi i n n h ảng liên tục điểm khoảng Hàm số y  f  x  gọi i n ạn a, b liên tục khoảng  a; b  n lim f  x   f  a  ; lim f  x   f  b  xa xb Khái niệm liên tục hàm số nửa khoảng a; b  ,  a; b , a;   ,  ; b định nghĩa cách tương tự STUDY TIP Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng y y aObx a Obx Chuyên đề giới hạn liên tục Đồ thị hàm số liên tục khoảng  a; b  Hội toán Bắc Nam Đồ thị hàm số không liên tục khoảng  a; b  Định ý Giả sử y  f  x  y  g  x  hai hàm số liên tục điểm xo Khi đó: a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  , y  f  x  g  x  liên tục điểm xo b) Hàm số y  f  x g  x liên tục điểm xo g  x   STUDY TIP Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) ột ố định í ản Định í a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức), hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit liên tục khoảng tập xác định chúng (Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit s học chương trình lớp 2) STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định chúng Định lí Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b f  a  f b   tồn điểm c   a; b cho f  c   Nói cách khác: Nếu hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b f  a  f b   phương trình f  x   có nghiệm nằm khoảng  a; b STUDY TIP Một phương pháp chứng minh phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b : - Chứng minh hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b - Chứng minh f  a  f b   B CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN T C DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Phương pháp chung: Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b x0   a; b  Để xét tính liên tục hàm số y  f  x  x0 ta làm sau: - Tính f  x0  ; - Tính lim f  x  - Nếu lim f  x   f  x0  kết luận hàm số liên tục x0 - Nếu lim f  x  không tồn lim f  x   f  x0  kết luận hàm số không liên tục x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x0 Khi xét tính liên tục hàm số tập, ta sử dụng Định lí , Định lí nêu phần Lí thuyết Câu 1: Hàm số y  f  x  có đồ thị gián đoạn điểm có hồnh độ bao nhiêu? A Đáp án B B D C Lời giải Quan sát đồ thị ta thấy lim f  x   3; lim f  x   Vậy lim f  x   lim f  x  nên lim f  x  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 không tồn Do hàm số gián đoạn điểm x  Câu 2: Cho hàm số f  x   A  ;3 x2  Hàm số f  x  liên tục khoảng sau đây? x  5x  B  2;3 C  3;2 D  3;   Đáp án B Lời giải Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định tập hợp D   ;  3   3;  2   2;   nên theo Định lí , hàm số liên tục khoảng  ;  3 ;  3;  2 ;  2;   Vì  2;3   2;   nên đáp án B Câu 3: STUDY TIP Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng tập xác định chúng x2 Cho hàm số f  x   Chọn khẳng định khẳng định sau: x  3x  A f  x  liên tục Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam B f  x  liên tục khoảng  ;1 1;  C f  x  liên tục khoảng  ;2  2;   D f  x  liên tục khoảng  ;1 , 1;2  2;   Đáp án D Lời giải f  x  hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định  ;1  1;2   2;   nên theo Định lí , f  x  liên tục khoảng  ;1 , 1;2  2;  STUDY TIP x2  Thật rút gọn ta f  x   khơng mà kết luận f  x   x  1 x   x  khoảng  ;1 1;  Chú ý: Không rút gọn biểu thức hàm số trước tìm tập xác định! Câu 4:  x  x  Cho hàm số f  x    Chọn khẳng định sai khẳng định sau? x   A f  x  liên tục x  B f  x  liên tục x  C f  x  liên tục 5;  D f  x  liên tục  5;   Đáp án B Lời giải Hàm số f  x  xác định D  5;   0 Theo định lí , f  x  liên tục 5;  Do f  x  liên tục  5;   x  Vậy A, C, D suy B sai Thật vậy, khơng tồn khoảng  a; b chứa điểm x  mà f  x  xác định  a; b nên khơng thể xét tính liên tục f  x  x  Do khơng thể khẳng định f  x  liên tục x  Câu 5: 3x  x  1 Cho hàm số f  x    Chọn khẳng định khẳng định sau  x  x  1 A f  x  liên tục B f  x  liên tục  ; 1 C f  x  liên tục 1;  D f  x  liên tục x  1 Đáp án C Lời giải Trên 1;  , f  x   x 1 nên theo định lí , f  x  liên tục 1;  Vậy chọn đáp án C Giải thích thêm: Ta có lim  f  x   lim   3x    1 , lim  f  x   lim   x  1  x  1 x  1 x  1 Vậy lim   lim  nên lim không tồn x  1 x  1 x 1 Do f  x  khơng liên tục x  1 nên A, D sai x  1 Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Mặt khác f  1   1   Vậy lim   f  1 nên f  x  không liên tục  ; 1 x  1 Do B sai Câu 6:  x3  x   Cho hàm số f  x    x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số  mx  x=2  liên tục x  17 15 13 11 A m  B m  C m  D m  2 2 Đáp án D Lời giải f  x  xác định x3   lim  x  x    12 x2 x2 x  x2 (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) Ta có f  2  2m 1 lim f  x   lim Để f  x  liên tục x  lim f  x   f    2m   12  m  x2 Câu 7: 11   x  3  Chon hàm số f  x    x  x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm  x   m số liên tục x  A m B m C m  D m  1 Đáp án A Lời giải Hàm số cho xác định  x  3 x 3   x  3  lim  lim  1  1 x3 x3 x3 x  x3 x3 x 3 x 3 Tương tự ta có lim f  x   (có thể dùng MTCT để tính giới hạn hàm số) Ta có lim f  x   lim  lim x3 Vậy lim f  x   lim f  x  nên lim f  x  không tồn Vậy với m , hàm số cho không x3 x3 x3 liên tục x  Do đáp án A Ta tam khảo thêm đồ thị hàm số x  để hiểu rõ Chuyên đề giới hạn liên tục Câu 8: Hội toán Bắc Nam Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số  ax   x   liên tục x  f  x   x  x  5b x   A a  5b B a  10b C a  b D a  2b Đáp án B Lời giải ax   a  Mặt khác f  0  5b Để hàm x 0 x 0 x a số cho liên tục x  lim f  x   f     5b  a  10b Vậy đáp án B x 0 Cách 2: Sử dụng MTCT Chọn giá trị cụ thể a b thỏa mãn hệ thức tính Cách : Theo kết biết lim f  x   lim tốn kết lim f  x   f   Chẳng hạn với hệ thức đáp án A, chọn x 0 a  5; b  ta tìm lim x 0 5x  1  ; f    nên không thỏa mãn Với hệ thức đáp x án B, chọn a  10; b  ta lim x 0 10 x    5; f    nên thỏa mãn lim f  x   f   x 0 x Do đáp án B STUDY TIP n lim x 0 Câu 9: ax   a  x n  2x   x   Cho hàm số f  x    Tìm tất giá trị tham số thực m để x 1 x    x  2mx  3m  hàm số liên tục A m  B m  C m  D m  Đáp án C Lời giải Cách : Hàm số xác định , liên tục khoảng  2;   Ta có f    3; lim f  x   lim x 2 x 2   2x    x 1   nên hàm số không liên tục x  x 2 x 2 x  12 x  20 x 1 Nếu m  ta có lim f  x   lim  x 2 x 2 x  2mx  3m  6m Để hàm số liên tục x     m 1 m  6m x 1 Với m  x  , f  x   liên tục  ;2 x  10 x  17 Tóm lại với m  hàm số cho liên tục Nếu m  lim f  x   lim Cách 2: Hàm số xác định , liên tục khoảng  2;   Ta có f    3; lim f  x   lim x 2 x 2   2x    Thử giá trị từ A dến C thấy m  thỏa mãn lim f  x   Do chọn đáp án C x 2 Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam DẠNG CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp chung: Một phương pháp chứng minh phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b : - Chứng minh hàm số y  f  x  liên tục đoạn a; b - Chứng minh f  a  f b   - Từ kết luận phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b Để chứng minh phương trình f  x   có nghiệm ta cần tìm hai số a b cho hàm số liên tục đoạn a; b f  a  f b   Ví dụ Cho hàm số f  x  xác định đoạn a; b Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A Nếu hàm số f  x  liên tục đoạn a; b f  a  f b   phương trình f  x   khơng có nghiệm khoảng  a; b B Nếu f  a  f b   phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b C Nếu phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b hàm số y  f  x  phải liên tục khoảng  a; b D Nếu hàm số y  f  x  liên tục, tăng đoạn a; b f  a  f b   phương trình f  x   khơng thể có nghiệm khoảng  a; b Đáp án D Lời giải A sai Chẳng hạn xét hàm số f  x   x2  Hàm số xác định đoạn  3;3 liên tục đó, đồng thời f  3 f 3  4.4  16  lại có hai nghiệm x1   5; x2  thuộc vào khoảng  3;3 B sai thiếu điều kiện f  x  liên tục đoạn a; b  x  x  C sai Chẳng hạn xét hàm số f  x    Hàm số xác định đoạn  3;3 ,  x  x  có nghiệm x  1 thuộc vào khoảng  3;3 gián đoạn điểm x    3;3 , tức không liên tục  3;3 Vậy D Thật vậy: - Vì hàm số y  f  x  liên tục, tăng đoạn a; b nên giá trị nhỏ hàm số đoạn a; b f  a  , giá trị lớn hàm số đoạn a; b f b - Nếu f  a   giá trị nhỏ hàm số đoạn a; b số dương nên giá trị x khoảng  a; b làm cho f  x   Do phương trình f  x   khơng thể có nghiệm khoảng  a; b  Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam + Nếu f  a   0, f  a  f b   nên suy f  b   Vậy giá trị lớn hàm số đoạn a; b số âm nên khơng có giá trị x khoảng  a; b làm cho f  x  Do phương trình f  x   khơng thể có nghiệm khoảng  a; b Câu 10: Cho phương trình x3  ax2  bx  c  1 a, b, c tham số thực Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình 1 vơ nghiệm với a, b, c B Phương trình 1 có nghiệm với a, b, c C Phương trình 1 có hai nghiệm với a, b, c D Phương trình 1 có ba nghiệm với a, b, c Lời giải Đáp án B Dễ thấy a  b  c  phương trình 1 trở thành x3   x  Vậy A, C, D sai Do B Giải hí h h : Xét tốn “Chứng minh phương trình x3  ax2  bx  c  1 ln có nghiệm với a, b, c ” Ta có lời giải cụ thể sau: Đặt f  x   x3  ax2  bx  c Ta có: + lim  x3  ax  bx  c    với a, b, c nên tồn giá trị x  x1 cho f  x1   x  + lim  x3  ax  bx  c    với a, b, c nên tồn giá trị x  x2 cho f  x2   x  Vậy f  x1  f  x2   mà f  x  liên tục nên suy f  x   có nghiệm khoảng  x1; x2  Từ suy ĐPCM Phương trình đa thức bậc lẻ a2 n 1 x n 1 STUDY TIP  a2 n x n   a1 x  a0  a2 n 1  ln có nghiệm với giá trị , i  2n 1,0 Câu 11: Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình:  m2  3m  2 x3  3x   có nghiệm A m1;2 B m C m \ 1;2 D m Lời giải Đáp án B Nếu m2  3m   : Phương trình cho trở thành 3x    x  Nếu m  3m   : theo STUDY TIP vừa nêu phương trình cho ln có nghiệm Tóm lại với m phương trình cho ln có nghiệm Do B Câu 12: Cho phương trình x  3x3  x   1 Chọn khẳng định đúng: A Phương trình 1 có nghiệm khoảng  1;3 B Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;3 Chuyên đề giới hạn liên tục C Phương trình 1 có ba nghiệm khoảng  1;3 Hội toán Bắc Nam D Phương trình 1 có bốn nghiệm khoảng  1;3 Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f  X   X  X  X  , Start: 1, End: 3, Step: 0.2 ta kết sau: Quan sát kết ta thấy giá trị f  x  điểm khoảng  1;3 đổi dấu lần Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm thực Vậy phương trình 1 có bốn nghiệm khoảng  1;3 Do D đáp án Cách 2: Sử dụng chức Shift Calc (Solve) MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ phương trình khoảng  1;3 Tuy nhiên cách tiềm ẩn nhiều may rủi cách sử dụng chức Table STUDY TIP Nếu f  x  liên tục đoạn a; b f  x  đổi dấu x từ a qua b phương trình f  x   có nghiệm khoảng  a; b Câu 13: Cho phương trình 2x4  5x2  x  1  1 Chọn khẳng định khẳng định sau: A Phương trình 1 khơng có nghiệm khoảng  1;1 B Phương trình 1 khơng có nghiệm khoảng  2;0 C Phương trình 1 có nghiệm khoảng  2;1 D Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  0;2 Lời giải Đáp án D Cách 1: Sử dụng chức Table MTCT: f  X   X  X  X 1, Start: 2, End: 2, Step: 0.2 ta kết sau: Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam Quan sát kết ta thấy khoảng  1;1 phương trình có hai nghiệm, khoảng  2;0 phương trình có hai nghiệm, khoảng  2;1 phương trình có ba nghiệm, khoảng  0;2 phương trình có hai nghiệm Vậy D đáp án C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình đây: Chọn khẳng định đúng: A Hàm số liên tục C Hàm số liên tục 1; Câu Cho hàm số B Hàm số liên tục  ;4 D Hàm số liên tục 1;4 Chuyên đề giới hạn liên tục  x3 2 ,  x   1 f  x   , 4  x2 1 ,   x  7x  Hội toán Bắc Nam x 1 x 1 x  Chọn khẳng định đúng: A f  x  liên tục x  không liên tục x  B f  x  liên tục x  x  C f  x  không liên tục x  liên tục x  D f  x  liên tục x  x  Câu  x4  x2  x  Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm Cho hàm số f  x    x m  x   số liên tục x  A Khơng có giá trị m thỏa mãn B m  D m1;5 C m  Câu Cho a b số thực khác Tìm hệ thức liên hệ a b để hàm số sau liên tục x   ax  bx   x   f  x   x a  b x   A a  b  B 2a  b  Câu A m1;2 Câu D 3a  2b       x  Tìm tất giá trị tham số thực m để Cho hàm số f  x     x  x  m3 x   3m x   hàm số liên tục Câu C 3a  4b  B m1; 2 C m1;2 D m1; 2  x6 a x   Trong a b tham số thực Biết hàm Cho hàm số f  x    x    x3   2b  1 x x   số liên tục x  Số nhỏ hai số a b A B C D   x sin Cho hàm số f  x    x  a cos x  hàm số liên tục A a  11 C a  x  Tìm tất giá trị tham số thực a để x  B a  D Khơng có giá trị a thỏa mãn Chuyên đề giới hạn liên tục Hội toán Bắc Nam 1 Chọn khẳng định đúng: A Phương trình 1 vơ nghiệm khoảng  1;1 B Phương trình 1 có nghiệm khoảng  1;1 C Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;1 D Phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;1 Câu Cho phương trình 4x  2x  x   Câu Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình  m2  5m  4 x5  x2   có nghiệm A m \ 1;4 B m  ;1   4;  C m1;4 D m Câu 10 Tìm tất giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm  2m  5m  2  x 1 1  \  ; 2 2  1  C m   ; 2 2  A m  2017 x 2018  2  x   1  B m   ;    2;   2  D m ... định lí giới hạn hàm số thay x → x0 x → x0− x → x0+ * Giới hạn vô cực - Các định nghĩa , , biểu tương tự định nghĩa định nghĩa phát - Nhận xét: Các định lí giới hạn hàm số thay L +∞ −∞ Các dạng tập... thức làm nhân tử chung Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu un = L ≠ 0, lim = +∞ (hay −∞) Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ Ví dụ minh... làm nhân tử chung Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu lim un = L ≠ 0, lim = +∞ (hay −∞) Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ Ví dụ minh