Chuyen de phep doi xung truc 2023 hay chon loc

Dạng Tính chất đối xứng trục hay, chi tiết A Phương pháp giải [1] Định nghĩa phép đối xứng trục Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành M'sao cho d đường trung trực đoạn thẳng MM'được gọi phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục phép đối xứng đơn giản gọi trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường kí hiệu Dd Đường thẳng d gọi trục phép đối xứng đơn giản gọi trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường kí hiệu Dd Nếu hình H' ảnh hình H qua phép đối xứng trục d ta cịn nói H đối xứng với H' qua d, hay H H' đối xứng với qua d Nhận xét: • Cho đường thẳng d Với điểm M, gọi M0 hình chiếu vng góc M đường thẳng d Khi • [2] Tính chất Tính chất Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm Tính chất Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính [3].Trục đối xứng hình Định nghĩa Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng qua d biến hình H thành Khi ta nói H hình có trục đối xứng B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy điểm A thuộc miền góc đó, điểm B thuộc cạnh Ox (B khác O) Tìm C thuộc Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất? Hướng dẫn giải: Gọi M điểm đối xứng với A qua Ox Vì B ∈ Ox nên suy BA = BM Gọi N điểm đối xứng với A qua Oy Vì C ∈ Oy nên suy CA = CN Chu vi tam giác: PΔABC = AB + BC + CA = BM + BC + CN (*) Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có MB + BC ≥ MC MC + CN ≥ MN Kết hợp với (*), suy PΔABC = (MB + BC) + CN ≥ MC + CN ≥ MN Dấu "=" xảy B, C, M, N thẳng hàng hay C giao điểm BM với trục Oy Ví dụ 2: Cho đường thẳng d hai điểm A,B nằm phía với d Tìm điểm M d cho MA+MB đạt giá trị nhỏ ? Hướng dẫn giải: - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M điểm cần tìm - Thật vậy: Vì A’ đối xứng với A qua d MA = MA’ (1) Do đó: MA + MB = MA’ + MB = A’B - Giả sử tồn M’ khác M thuộc d thì: M’A + M’B = M’A’ + M’B ≥ A'B Dấu xảy A’; M’; B thẳng hàng Nghĩa M trùng với M’ Ví dụ 3: Cho đường thẳng d hai điểm A,B (nằm hai phía d) Tìm điểm M d cho |MA - MB| đạt GTLN Hướng dẫn giải: - Gọi A’ điểm đối xứng với A qua d - Nối A’B cắt d M M điểm cần tìm - Thật vậy: |MA - MB| = |MA' - MB| = A'B Giả sử tồn điểm M’ khác với M d, đó: |M'A - M'B| = |M'A' - M'B| ≤ A'B Dấu xảy M’; A’; B thẳng hàng, nghĩa M trùng với M’ Tìm ảnh điểm qua phép đối xứng trục cực hay A Phương pháp giải Biểu thức tọa độ: Trong hệ trục tọa độ Oxy B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;3) Tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn giải: Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox: Với M(x;y) gọi M' = DOx(M) = (x';y') Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;5) Tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn giải: Ta có: Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Đa, với a đường thẳng có phương trình: 2x - y = Lấy A(2;2); tìm ảnh A qua phép đối xứng trục a Hướng dẫn giải: Tìm ảnh đường thẳng qua phép đối xứng trục cực hay A Phương pháp giải Cách Sử dụng tính chất phép đối xứng trục Cách Sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Ox Oy B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - = Tìm ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn giải: Trục Ox có phương trình y = • Tọa độ giao điểm A d Ox nghiệm hệ • Vì A ∈ Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành nó, tức A'≡A(3;0) Chọn điểm • Gọi đường thẳng d' ảnh d qua phép đối xứng trục Ox d’ qua hai điểm A'(3;0) B'(1;-2) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 7x + y - = Tìm ảnh Δ qua phép đối xứng trục Oy Hướng dẫn giải: (Sử dụng biểu thức tọa độ) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung Thay vào Δ, ta 7(-x') + y' - = hay 7x' - y' + = Vậy ảnh Δlà: Δ': 7x - y + = Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình x + y-7 = đường thẳng (Δ) có phương trình 2x - y - = Phương trình đường thẳng (d') ảnh đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục (Δ) Hướng dẫn giải: • Gọi M = (d)∩(Δ) tọa độ M nghiệm hệ: Lấy N(1;6) ∈ (d) • Gọi (d1) đường thẳng qua N vng góc với (Δ), đó: (d1): x + 2y + c = N(1;6) ∈ (d1) ⇒ + 2.6 + c = ⇒ c = -13 ⇒ (d1): x + 2y - 13 = • Gọi I = (d1)∩(Δ) tọa độ I nghiệm hệ: • Gọi N' ảnh N qua phép đối xứng trục (Δ) ⇒ I trung điểm NN' nên suy ra: • (d') ảnh đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục (Δ) Tìm ảnh đường tròn qua phép đối xứng trục cực hay A Phương pháp giải Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường trịn có bán kính Cách Bước 1: Tìm ảnh I’ âm I tâm đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Bước 2: Viết phương trình đường trịn (C’) với tâm I’ bán kính R’ = R Cách Sử dụng biểu thức tọa độ với trường hợp trục đối xứng Ox Oy B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 3)2 + (y + 5)2 = 36 Viết phương trình đường trịn (C') ảnh (C) qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn giải: Cách Đường trịn (C) có tâm I(3;-5) bán kính R = Ta có Do (C') có phương trình (x - 3)2 + (y - 5)2 = 36 Cách Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox Thay vào (C), ta (x' - 3)2 + (-y' + 5)2 = 36 hay (x' - 3)2 + (y' - 5)2 =36 Vậy (C') có phương trình (x - 3)2 + (y - 5)2 = 36 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn(C): (x - 2)2 + (y + 5)2 = 16 Viết phương trình đường trịn (C')là ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy Hướng dẫn giải: Đường trịn có tâm I(2;-5); bán kính R = Ảnh tâm I(2;-5) qua trục Oylà I'(-2;-5) Do ảnh đường trịn qua trục Oylà (C'): (x + 2)2 + (y + 5)2 = 16 Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x2 + y2 -4x + 2y + = đường thẳng d: 2x - y + = Hãy viết phương trình đường tròn (C’) ảnh (C) qua phép đối xứng trục d Hướng dẫn giải: Đường tròn (C) có tâm I(2;-1) bán kính R = Gọi Hlà hình chiếu vng góc I lên d ⇒ IH ⊥ d ⇒ IH: x + 2y + c = I(2;-1) ∈ IH ⇒ + 2.(-1) + c = ⇒ c = ⇒ IH: x + 2y = Gọi H=Δ∩d H nghiệm hệ: - Gọi I’(x;y) tâm (C’).Khi H trung điểm II’ - Vậy (C’): DẠNG TÌM ẢNH CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, ĐỐI XỨNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I Phương pháp: Xác định ảnh điểm qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm - Sử dụng biểu thức tọa độ Xác định ảnh   đường thẳng  qua hình qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt  , xác định ảnh A, B tương ứng qua phép đối xứng trục, đối xứng tâm Đường thẳng   cần tìm đường thẳng qua hai ảnh A, B Cách 2: Dựa vào vị trí tương đối đường thẳng  trục đối xứng để tìm ảnh   Áp dụng tính chất phép đối xứng tâm biến đường thẳng  thành đường thẳng   song song trùng với Cách 3: Sử dụng quỹ tích Với điểm M  x; y    qua phép đối xứng trục đối xứng tâm biến M thành M   x; y    Từ biểu thức tọa độ rút x, y vào phương trình đường thẳng  ta phương trình đường thẳng ảnh   Xác định ảnh hình H (đường trịn, elips, parabol ) Sử dụng quỹ tích: với điểm M  x; y  thuộc hình H , qua phép đối xứng trục đối xứng tâm biến M thành M   x; y  M  thuộc ảnh H  hình H Với đường trịn áp dụng tính chất phép đối xứng trục đối xứng tâm biến đường trịn thành đường trịn có bán kính sử dụng quỹ tích II VÍ DỤ Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép biến hình F : M  x; y   M   y; x  Chọn mệnh đề đúng: A F phép đối xứng trục Oy B F phép đối xứng trục Ox C F phép đối xứng với trục đối xứng đường phân giác góc phần tư thứ D F phép đối xứng trục với trục đường phân giác góc phần tư thứ hai Lời giải: Đáp án C y M' y' a y=x y M O x x x' Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Đa , với a đường thẳng có phương trình: x  y  Lấy A  2;  ; Đa  A  thành điểm có tọa độ bao nhiêu? A  2;2   14  C  ;  5  1 1 B  ;  2 2  14  D  ;   5 Lời giải: Đáp án C y M' y' a y M O x  x2 y2 Ta có § a  A  A  x; y Gọi H trung điểm AA  H  ;    n   2; 1 vectơ pháp tuyến a , AA ' n phương H  a   x     y    x  x  y        x2 y2  0  x  y  2  y  14 2  2  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A  1;3 Tìm ảnh A qua phép đối xứng tâm O A A '  1; 3 B A '  1;3 C A ' 1; 3 D A ' 1;3 Lời giải: Đáp án C x '   A ' 1; 3 Ta có: ĐO  A   A '    y  3 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép đối xứng tâm I biến A 1;3 thành A '  5;1 I có tọa độ là: A I  6;  B I  4; 2  C I 12;8  D I  3;  Lời giải: Đáp án D  x A '  xI  x A x   I Ta có:   y A '  yI  y A  yI  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M 1;3 M '  1;1 Phép đối xứng trục Đa biến điểm M thành M ' có trục a có phương trình: A x  y   B x  y   C x  y   x y2 Lời giải: Đáp án D D a A(x;y) M' M Ta có: a trung trực MM ' Gọi A  x; y   a  AM  AM '2   x  1   y  3   x  1   y  1  x  y   2 2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x  y   Ảnh d qua phép đối xứng trục tung có phương trình: A x  y   B x  y   C x  y   D x  2y   Lời giải: Đáp án B Lấy M  x; y   M '   x; y  đối xứng với M qua Oy Vậy ảnh d qua phép đối xứng trục tung là: x  y    x  y   Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng l : y   , d : x  y   Gọi d ' ảnh d qua phép đối xứng trục l Phương trình d ' là: A x  y  10  B x  y  10  C x  y  10  D x  y  10  Lời giải: Đáp án A y y M' y=2 y1 O M x x1 x Lấy M  x; y  qua phép đối xứng trục l M  x1 ; y1   x1  x  x  x1  Với   y1   y  y   y1 M  d  x  y    x1  y1  10   M '  d ' có phương trình x  y  10  Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y   Tìm ảnh  ' đối xứng với  qua đường thẳng d : 3x  y   A x  y   B x  y   C x  y   D 5x  y   Lời giải: Đáp án A N d M N' ' x  y   x      d  M 1;1 Xét hệ phương trình:  3x  y   y 1 4 2 Chọn N  2;0    Gọi N ' ảnh N qua Đd ta tìm N '  ;   5 5 1 7  N ' M   ;   n   7; 1 vectơ pháp tuyến  ' 5 5 Vậy phương trình đường thẳng  ' là: x  y   Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ảnh đường thẳng d : x  y   qua phép đối xứng tâm I  4;3 là: A x  y  17  x  y  15  B x  y  17  C x  y   D Lời giải: Đáp án A Sử dụng phương pháp quỹ tích, ta có:  x   x  x   x Ðd : M  x; y   M   x; y      y   y  y   y Thế vào phương trình d  x    y      x  y  17   x  y  17  Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn C  ta có: có phương trình: x  y  x  y   Tìm ảnh đường tròn  C    C  qua phép đối xứng trục Oy A x  y  x  y   B x  y  x  y   C x  y  x  10 y   D x  y  x  y   Lời giải: Đáp án B Phương pháp quỹ tích: từ biểu thức tọa độ ÐOy : M  x; y   M   x; y    C   2  x   x 2     x    y    x  y     y  y Vậy phương trình đường trịn  C   x  y  x  y    x   x Study tip: Phép đối xứng trục Oy : ÐOy : M  x; y   M   x; y    C      y  y Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường trịn  C  có phương trình: x  y  x  y   Tìm ảnh đường trịn  C    C  qua phép đối xứng tâm I 1;3 A x  y  10 x  16  B x  y  10 y  16  C x  y  10 y  16  D x  y  x  10 y   Lời giải: Đáp án C Cách 1: ÐI   C     C   : Với M  x; y  qua phép đối xứng tâm I ta  x  xI  x   x  x   x M   x; y    C      Thế vào  C  ta có:  y   y  y  y I  y   y   x     y   2    x     y      x    y   10 y  16  2 Vậy đường tròn  C   : x  y  10 y  16  Cách 2: Đường tròn  C  có tâm M  2;1 , bán kính R  , ÐI  M   M   M   0;5  Vậy đường tròn  C   : x  y  10 y  16   ... dẫn giải: (Sử dụng biểu thức tọa độ) Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung Thay vào Δ, ta 7(-x'') + y'' - = hay 7x'' - y'' + = Vậy ảnh Δlà: Δ'': 7x - y + = Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d) có phương... (x - 3)2 + (y - 5)2 = 36 Cách Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox Thay vào (C), ta (x'' - 3)2 + (-y'' + 5)2 = 36 hay (x'' - 3)2 + (y'' - 5)2 =36 Vậy (C'') có phương trình (x - 3)2 + (y - 5)2... tìm ảnh A qua phép đối xứng trục a Hướng dẫn giải: Tìm ảnh đường thẳng qua phép đối xứng trục cực hay A Phương pháp giải Cách Sử dụng tính chất phép đối xứng trục Cách Sử dụng biểu thức tọa độ phép