Chuyen de ham so luong giac 2023 hay chon loc

Cách tìm Tập xác định, tập giá trị hàm số lượng giác cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ Ví dụ minh họa Đáp án hướng dẫn giải Vậy tập xác định hàm số Vậy tập xác định hàm số Vậy tập xác định hàm số B Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) tan(2x - π/4) Lời giải: a b) cot (2x-2) b ĐKXĐ: sin(2x-2) ≠ ⇔ 2x-2 ≠ kπ ⇔ x ≠ kπ/2 + (k ∈ z) Bài 2: Tìm tập xác định tập giá trị hàm số sau: Lời giải: a ĐKXĐ: x ≠1 Tập giá trị: D= [-1 ,1] b ĐKXĐ: cos⁡x ≥ Tập giá trị: D= [0,1] Bài 3: Tìm tập giá trị hàm số sau: Lời giải: ⇒ tập giá trị∶ D= R b Ta có: ⇒ ≤ 1-cos⁡x2 ≤ ⇒ tập giá trị = [0,√2] Bài 4: Tìm tập xác định hàm số sau: Lời giải: a Làm giống VD ý b Bài 5: Tìm tập xác định hàm số sau: Lời giải: a ĐKXĐ: b ĐKXĐ: Cách xét Tính chẵn, lẻ chu kì hàm số lượng giác cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ a Tính tuần hồn chu kì: Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T≠0 cho với x ∈ D ta có: ♦ (x- T) ∈ D (x + T) ∈ D ♦ f (x + T) = f(x) Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn Người ta chứng minh hàm số y = sinx tuần hồn với chu kì T = π ; hàm số y = cosx tuần hồn với chu kì T = π; hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cotx tuần hồn với chu kì T = π Chú ý: Hàm số y = sin(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = Hàm số y = cos(ax + b) tuần hồn với chu kì T = Hàm số y = tan(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = Hàm số y = cot(ax + b) tuần hồn với chu kì T = Hàm số y = f1(x) tuần hồn với chu kì T1 hàm số y = f2(x) tuần hồn với chu kì T2 hàm số y = f1(x) ± f2(x) tuần hồn với chu kì T0 bội chung nhỏ T1 T2 b Hàm số chẵn, lẻ: Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: ♦ x ∈ D – x ∈ D ♦ f(x) = f(-x) Hàm số y = f(x) có tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: ♦ x ∈ D – x ∈ D ♦ f(x) = - f(-x) Ví dụ minh họa Bài 1: Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số sau: Hướng dẫn giải a Hàm số cho tuần hồn với chu kì T = 2π/2 = π b Ta có hàm số y = cosx tuần hồn với chu kì T = π , hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì T = π Vậy hàm số cho tuần hồn với chu kì T = π Bài 2: Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số sau: y = cosx + cos√3x Hướng dẫn giải Giả sử hàm số cho tuần hồn với chu kì T ≠ Khi ta có: cos(x + T) + cos[√3(x +T)] = cosx + cos√3x Cho x = Ta có: cosT + cos√3T = Vì cosx ≤ với x nên ta có: mà m, k ∈ Z (vơ lý) Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Bài 3: Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a y = sinx b y = cos(2x) c y = tanx + cos(2x + 1) Hướng dẫn giải a Tập xác định D = R Lấy x ∈ D – x ∈ D Ta có: sin (-x) = -sinx Vậy hàm số cho hàm số lẻ b Tập xác định D = R Lấy x ∈ D – x ∈ D Ta có: cos(-2x) = cos(2x) Vậy hàm số cho hàm số chẵn c Lấy x ∈ D – x ∈ D Ta có: tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1) Vậy hàm số cho không chẵn, không lẻ B Bài tập vận dụng Bài 1: Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số sau: a) y = cos(-2x +4) b) y = tan(7x + 5) Lời giải: a) Hàm số cho làm hàm tuần hồn với chu kì T = 2π/2 = π b) Hàm số cho làm hàm tuần hồn với chu kì T =π /7 Bài 2: Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số sau: y = sinx + sin3x Lời giải: Ta có y = sinx hàm tuần hồn với chu kì T = π hàm số y = sin3x hàm tuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3 Vậy hàm số cho hàm tuần hồn với chu kì T = π Bài 3: Xét tính tuần hồn tìm chu kì sở hàm số sau: y = cosx + 2sin5x Lời giải: Làm tương tự sử dụng ý phần tính tuần hồn chu kì, ta có hàm số cho hàm tuần hồn với chu kì T = π Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = cosx + cos2x b) y = tanx + cotx Lời giải: a) Ta có tập xác định hàm số D = R cos(-x) + cos(-2x) = cosx + cos2x Vậy hàm số cho hàm số chẵn b) Ta có tập xác định hàm số D = R\{k π/2, k ∈ Z} tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx Vậy hàm số cho hàm số lẻ Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) y = cosx + sinx b) y = sin2x + cot100x Lời giải: a) Ta có tập xác định hàm số D = R sin (-x) + cos(-x) = - sinx + cosx Vậy hàm số cho hàm khơng chẵn, khơng lẻ b) Ta có tập xác định hàm số D = R\{k π /100, k ∈ Z} sin(-2x) + cot(-100x) = - sin2x – cot(100x) Vậy hàm số cho hàm số lẻ Cách tìm tập xác định hàm số lượng giác cực hay A Phương pháp giải + Hàm số y = 1/f(x) xác định f(x) ≠ + Hàm số y= √(f(x)) xác định f(x) ≥ + Hàm số y = 1/√(f(x)) xác định f(x)> + Hàm số y= tan [f(x)] xác định cos[f(x)] ≠ + Nếu mẫu 1+ sinx > hàm số đạt giá trị nhỏ 1+ sinx đạt giá trị lớn Hay 1+ sinx=2 < ⇒ sinx= 1( thỏa mãn điều kiện) Khi ymin = 1/2 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ 1/2 sinx= Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn M, giá trị nhỏ m hàm số: y= 2018sin( 9x+π/100)+2000 A m=18 ; M=4018 B m = -18; M= 18 C m=-18; M= 4018 D Đáp án khác Lời giải: Chọn C Hàm số xác định R Với x ta có: - ≤ sin( 9x+π/100) ≤ nên - 2018 ≤ 2018sin( 9x+π/100) ≤ 2018 ⇒ -18 ≤ 2018sin( 9x+π/100)+2000 ≤ 4018 ⇒ giá trị nhỏ hàm số -18 sin( 9x+π/100)=-1 Giá trị lớn hàm số 4018 sin( 9x+π/100)=1 Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y= ∜sinx- √cosx A m= -1; M=1 B m = 0; M=1 C m= -1;M=0 D m= -1 M không tồn Lời giải: Chọn A Với x thỏa mãn điều kiện : sinx > cosx > Ta có: Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ m= – khi: (sinx=0 cosx=1 ⇒ x= k2π Hàm số đạt giá trị lớn M=1 (sinx=1 cosx=0 ⇒ x= π/2+k2π Ví dụ 11 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : y= cos2 x – 6cosx + 11 Tính M.m A.30 B.36 C.27 D.24 Lời giải: Ta có: cos2 x – 6cosx +11 = ( cos2x – 6cosx + 9) +2 = (cosx -3)2 + Do - ≤ cosx ≤ ⇒ - ≤ cosx-3 ≤ -2 ⇒ ≤ (cosx-3)^2 ≤ 16 ⇒ ≤ (cosx-3)^2+2 ≤ 18 Suy ra:M= 18 m= nên M m= 36 Chọn B Ví dụ 12 Gọi M giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ hàm số y=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4) Tính S= M+11m A.4 B.5 C D Lời giải: Gọi y0 giá trị hàm số Khi phương trình y0=(cosx+2sinx+3)/(2cosx-sinx+4) có nghiệm ⇒ y0.( 2cosx- sinx + 4) = cosx +2sinx + có nghiệm ⇒ 2y0.cosx – sinx.y0 + 4y0- cosx – 2sinx – 3=0 có nghiệm ⇒ ( 2y0 -1)cosx – ( y0+2).sinx =3- 4y0 (*) Phương trình (*) có nghiệm : (2y0-1)2 + ( y0 + 2)2 ≥ (3-4y0)2 ⇒ 4y02 – 4y0 +1 +y02 +4y0 + ≥ 9-24y0+16y02 ⇒ 11y02 – 24y0 + ≤  2/11 ≤ y0 ≤ Suy ra: M=2 m=2/11 nên S= M+ 11m= Chọn A Ví dụ 13 Cho hàm số y= √(1+2sin2 x)+ √(1+2〖cos2 x)-1 Gọi m M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi đó; giá trị M+ m gần với giá trị nhất? A 3,23 B 3,56 C 2,78 D.2,13 Lời giải: + Xét t= √(1+2sin2 x)+ √(1+2cos2 x) ⇒ t2 = 1+ 2sin2 x+ 1+ 2cos2 x+ √((1+2sin2 x).( 1+2cos2 x) ) =4+2√(3+ sin2 2x) Mà sin22x ≥ nên t2 ≥ 4+ 2√3 Mà t > nên t ≥ √(4+2√3) =1+ √3 Suy ra: y= t-1 ≥ √3 Dấu “=” xảy sin2x=0 + Lại có: √(1+2sin2 x)+ √(1+2cos2 x) ≤ √((1^2+ 1^2 ).( 1+2sin2x+ 1+2cos2 x) )= 2√2 ⇒ y= √(1+2sin2 x)+ √(1+2cos2 x)-1 ≤ 2√2-1 Dấu “=” xảy sin2 x= cos2x Vậy {(m= √3 M=2√2-1) ⇒ M+ m≈3,56 Chọn B Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Chủ đề: I- LÝ THUYẾT: Giới thiệu tổng quan hàm số lượng giác: "x Ỵ R : - £ sin x £ 1, - £ cosx £ tang sin "x Ỵ R : sin ( x + k 2p ) = sin x cos ( x + k 2p ) = cos x "x Î D : tan ( x + kp ) = tan x cot ( x + kp ) = cot x * Các giá trị đặc biệt: sin x = Û x = kp sin x = -1 Û x = - p + k 2p O cotang a cos sin x = Û x = p + k 2p p + kp cosx = Û x = k 2p cosx = -1 Û x = p + k 2p p p tanx = Û x = kp tanx = Û x = + kp tanx = -1 Û x = - + kp 4 p p p 10 cotx = Û x = + kp 11 cotx = Û x = + kp 12 cotx = -1 Û x = - + kp 4 cosx = Û x = Hàm số y = sin x: * TXĐ: D = R * Hàm số y = sin x hàm số lẽ Đồ thị: - -p * Tập giá trị: "x Ỵ R : - £ sin x £ * Tuần hoàn với chu kỳ: T = 2p y p p O p x 2 Hàm số y = cos x: * TXĐ: D = R * Hàm số y = cos x hàm số chẵn Đồ thị: * Tập giá trị: "x Ỵ R : - £ cosx £ * Tuần hoàn với chu kỳ: T = 2p y -p - p p O p x -1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = tan x: ìp ü * TXĐ: D = R \ í + kp , k ẻ Z ý ợ2 ỵ * Hm số y = tan x hàm số lẽ Đồ thị: Đại số giải tích 11 * Tập giá trị: "x Ỵ D : tan x Ỵ R * Tuần hoàn với chu kỳ: T = p y x O Hàm số y = cot x: * TXĐ: D = R \ { kp , k Î Z} * Hàm số y = cot x hàm số lẽ Đồ thị: * Tập giá trị: "x Î D : co t x Î R * Tuần hoàn với chu kỳ: T = p y O x Dạng toán 1: TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC *Nhắc lại: M ột số dạng tìm Tập xác định hàm số thường gặp: ì A( x ) ³ 1) f ( x ) = A( x ) Điều kiện: ợĐ iều kiện A( x ) cã nghÜa ì A( x ) ³ Þ Tỉng qu¸t: ( x ) = n A( x ) Điều kiện: ợĐ iều kiện A( x ) cã nghÜa ì A( x ) Ỵ R 2) f ( x ) = A( x ) §iỊu kiƯn: ợĐ iều kiện A( x ) có nghĩa Giỏo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số gii tớch 11 ỡ A( x ) ẻ R ị Tỉng qu¸t: ( x ) = n+1 A( x ) Điều kiện: ợĐ iều kiện A( x ) cã nghÜa ì B( x ) ¹ A( x ) 3) f ( x ) = §iỊu kiƯn: í B( x ) ợĐ iều kiện A( x ), B( x ) cã nghÜa π 4) f ( x ) = tan k u ( x ) §iỊu kiƯn: cosu ( x ) ¹ Û u ( x ) ¹ + kπ k 5) f ( x ) = cot u ( x ) §iỊu kiƯn: sinu ( x ) ¹ Û u ( x ) ¹ kπ Bài tập 1: (Mức độ bản) Tìm TXĐ hàm số sau: pư ỉ b) y = tan x - cot x - sin x a) y = tan10 ỗ x - ÷ 4ø è c) y = tan x - sin x d) y = sin x + - cos x Hướng dẫn: 3p pö p p p pỹ ổ ỡ 3p a) Đk: cos ỗ x - ữ x - ¹ + kp Û x ¹ + k VËy D = R \ í + k ý 4ø 2ỵ ố ợ8 ỡcos2 x p ì pü b) §k: í Û sin x ¹ Û x ¹ kp Û x ¹ k VËy D = R \ ík ý ợ 4ỵ ợsin x ỡcos x p ìp ü c) §k: í Û cos x ¹ Û x ¹ + kp VËy D = R \ + kp ý ợ2 ỵ ỵsin x ¹ ì sin x + ³0 ìsin x + ³ "x Ỵ R ï d) §k: í - cos x Do ợ1 - cos x "x ẻ R ùợcos x Nên điều kiện là: cos x ¹ Û x ¹ k 2p VËy D = R \ {k 2p } Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm TXĐ hàm số sau: 3 a) y = b) y = c) y = sin x - cos x 2sin x - cos x - cos3 x Hướng dẫn: 3 =a) y = 2 cos2x sin x - cos x p p p pü ìp §k: cos2x ¹ Û x ¹ + kp Û x ¹ + k VËy D = R \ í + k ý 2ỵ ợ4 p ỡ x ¹ + k 2p ïï 5p ìp ü + k 2p ý b) Đk: 2sin x Û sin x ¹ Û í VËy D = R \ í + k 2p , ợ6 ỵ ù x 5p + k 2p ùợ ì x ¹ kp ì3 x ¹ x + k 2p ù ỡ pỹ c) Đk: cos3 x cos x Û í Ûí p VËy D = R \ ớk ý ợ 4ỵ ợ3 x - x + k 2p ùợ x k Giỏo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 Dạng tốn 2: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HSLG Phương pháp: Bước 1: Sử dụng kỹ biến đổi để có BĐT kết luận GTLN- GTNN Bước 2: Chỉ rõ GTLN- GTNN xãy trường hợp nào? Bài tập 1: (Mức độ bản) Tìm GTLN- GTNN hàm số sau: a) y = - cos2 x b) y = 3sin 2 x - c) y = cos2 x + d) y = cos3 x - Hướng dẫn: a) "x Ỵ R : - £ cos2 x £ Û ³ -4 cos2 x ³ -4 Û -2 £ - cos2 x £ Þ -2 £ y £ p + kp R y = -2 đạt - cos2 x = -2 Û cos2 x = Û x = kp VËy max y = đạt - cos2 x = Û cos2 x = -1 Û x = R b) "x Ỵ R : £ sin 2 x £ Û £ 3sin 2 x £ Û -4 £ 3sin 2 x - £ -1 Þ -4 £ y £ -1 VËy max y = -1 đạt 3sin 2 x - = -1 Û sin 2 x = Û cos2 x = Û x = R y = -4 đạt 3sin 2 x - = -4 Û sin 2 x = Û x = k R p p p +k c) "x Ỵ R : £ cos2 x £ Û £ cos2 x £ Û £ cos2 x + £ Û £ cos2 x + £ Þ1£ y Ê Vậy max y = đạt cos2 x + = Û cos2 x = Û sin x = Û x = k R vµ y = đạt cos2 x + = Û cos2 x = Û x = R Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang p p +k p Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC d) "x Ỵ R : £ cos3 x £ Đại số giải tích 11 Û £ cos3 x £ Û -4 £ cos3 x - £ -2 Þ -4 £ y £ -2 VËy max y = -2 đạt cos3 x - = -2 Û cos3 x = Û sin x = Û x = k R vµ y = -4 đạt cos3 x - = -4 Û cos3 x = Û cos3 x = Û x = R p p p +k Bài tập 2: (Mức độ trung bình) Tìm GTLN- GTNN hàm số sau: a) y = 2sin x - cos2x b) y = sin x + cos x + pư ỉ c) y = cosx + cos ỗ x - ữ 3ø è Hướng dẫn: a) y = 2sin x - cos2x Ta cã: y = 2sin x - cos2x Û y = - 2cos2x vµ tiÕp tục tập 1 b) y = sin x + cos4 x + Û y = - sin 2 x + = - sin 2 x vµ tiÕp tơc tập 2 pử pử p pử ổ ổ ổ c) y = cosx + cos ỗ x - ữ = 2cos ỗ x - ữ cos = 3cos ỗ x - ữ ị - Ê y £ 3ø 6ø 6ø è è è tiếp tục tập Bi 3: (Mức độ khá) Tìm GTLN- GTNN hàm số sau: b) y = 2sin x ( sin x - 4cos x ) a) y = sin x - cos x + c) y = 3sin x + 5cos x - 8sin xcosx - d) y = + cos x sin x + cos x + Hướng dẫn: Chú ý: Điều kiện để phương trình y = a sin t +b cos t có nghiệm là: a + b ³ c a) y = sin x - cos x + Û sin x - cos x = y - (*) Miền giá trị hàm số "y Ỵ R cho phương trình sau: sin x - cos x = y - có nghiệm x Ỵ R Û + ³ ( y - 2) Û y2 - y £ Û £ y £ Vậy max y = đạt sin x - cos x = R 2p pử p p ổ sin ỗ x - ữ = Û x - = + k 2p Û x = + k 2p 6ø è y = đạt sin x - cos x = -2 R pö p p p ổ sin ỗ x - ữ = -1 Û x - = - + k 2p Û x = - + k 2p 6ø è Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 Hướng khác: ỉ pư ỉ sin x - cos x ÷ + = 2sin ỗ x - ữ + Hng 2: y = sin x - cos x + = ỗ 6ứ ố ố ứ tiếp tục tập Hng 3: Theo B§T Bunhicopski: ( sin x - cos x ) £ ( + 1) ( sin x + cos x ) = Þ ( y - ) £ Û -2 £ y - £ Û £ y £ tiếp tục tập ổ - cos x ö b) y = 2sin x ( sin x - 4cos x ) Û y = 2sin 2 x - 8sin x cos x = ỗ ữ - 4sin x è ø Û y = -4sin x - cos x + vµ tiÕp tục tập ổ - cos2x æ + cos2x ö c) y = 3sin x + 5cos2 x - 8sin xcosx - Û y = ỗ ữ +5 ỗ ữ - 4sin x - 2 è ø è ø tiếp tục tập + cos x d) y = Û y (sin x + cos x + ) = + cos x Û y sin x + ( y - 1)cos x = - y sin x + cos x + 2 Với điều kiện có nghiệm y + ( y - 1) ³ ( - y ) vµ tiÕp tơc nh­ bµi tËp trªn BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: + 4cos x 1) y = + 4cosx 2) y = - 8sin x.cos x 3) y = 4) y = 2sin x - cos2x pư ỉ 5) y = - sin x 6) y = cosx + cos ỗ x - ữ 7) y = cos x + 2cos2x 8) y = - 2sin x.cos x 3ø è Bài tập 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: 1) y = sin x - 4sin x - 2) y = a sin x + bcosx ( a + b > ) 3) y = 3sin x + 5cos x - 8sin xcosx - 4) y = 2sin x - 4cos x + 8sin xcosx - 5) y = sin x + cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Tìm tập xác định hàm số: x 1) y = sin x 2) y = cos 6) y = sin x + cos x 5) y = 2cosx 9) y = cosx + pư ỉ 6) y = cot ỗ x - ữ 4ứ ố 10) y = sin x - cos x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 3) y = sin x 4) y = cos cot x cosx - 11) y = cos x - cos3 x 7) y = Trang 8) y = x -1 x +1 sin x + cosx + 12) y = tan x + cot x Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 Dạng tốn 3: XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định D hàm số y = f ( x) , lúc đó: + Nếu D l i xng (tc l "x ẻ D ị - x Ỵ D ), ta thực bước + Nếu D không tập đối xứng ( $x ẻ D ị - x ẽ D ), ta kết luận hàm số y = f ( x) không chẵn không lẻ Bước 2: Xác định f (- x ) Lúc đó: é f (- x ) = f ( x ) : Hµm sè y = f ( x ) hàm chẵn f (- x ) = - f ( x ) : Hµm sè y = f ( x ) lµ hàm lẻ Lu ý: V mt hỡnh hc: thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng Nhận xét: Với hàm số lượng giác bản, ta có: a Hm s y = cos x hàm số chẵn b Hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x hàm số lÏ Bài tập 1: Xác định tính chẵn, lẻ hàm số: x - sin x æ 3p - 2x ÷ d) y = a) y = + xcos3x b) y = + cosx sin ỗ c) y = x sin x cos2x è ø Hướng dẫn: a) TXĐ: D = R Ta cú: "x ẻ D ị - x Î D y ( - x ) = + ( - x ) cos3 ( - x ) = - xcos3x y ( x ) y ( - x ) ¹ - y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm không chẵn không lẻ R ổ 3p b) y = + cosx sin ỗ - x ữ = - cos x cos x è ø TXĐ: D = R Ta cú: "x ẻ D ị - x Ỵ D y ( - x ) = - cos ( - x ) cos ( - x ) =1 - cosx cos x = y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm chẵn R c) TX: D = R Ta cú: "x ẻ D ị - x ẻ D y ( - x ) = ( - x ) sin ( - x ) = - x sin x = - y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm lẻ R pü ìp d) TXĐ: D = R \ í + k ý Ta cú: "x ẻ D ị - x ẻ D 2ỵ ợ4 - x ) - sin ( - x ) - x + sin x ( x - sin x y ( -x) = = == - y ( x ) ị Hàm số đà cho hàm lẻ D cos2 ( - x ) cos2x cos2x BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Xác định tính chẵn, lẻ hàm số: cos2x x - sin x 5) y = 1) y = xcos3x 3) y = x3 sin x 4) y = cos2x x + cosx 9) y = sin 2000 x + cos2x 6) y = x - sin x 7) y = - cosx 8) y = - cosx 2010 x sin x + 2010 10) y = 11) y = 12) y = x sin x sin x + tan x cosx Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 Dạng tốn 4: XÁC ĐỊNH TÍNH TUẦN HỒN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Chứng minh hàm số y = f ( x) tuần hoàn Xét hàm số y = f ( x) , tập xác định D, ta dự đoán có số thực dương T0 cho: ìï"x Ỵ D : x - T0 ẻ D x + T0 Ỵ D (1) í (2) ïỵ f ( x + T0 ) = f ( x ) Chứng minh T0 chu kỳ hàm số ( nghĩa T0 dương nhỏ thoả mãn hệ (1) (2)) Thực phản chứng Bước 1: Giả sử có số T cho < T < T0 thoả mãn tính chất (1) (2): "x Ỵ D : f ( x + T ) = f ( x ) ị Mâu thuẩn với giả thiết < T < T0 Bước 2: Mâu thuẩn chứng tỏ T0 số dương nhỏ thoả mãn (2) Kết luận: Vậy T0 chu kỳ hàm số y = f ( x) Xét tính tuần hoàn các hàm số lượng giác, ta sử dụng số kết quả: a Hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kú 2p b Hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ p M rộng: (cm) 2p a p d Hàm số y = tan ( ax + b ) , y = cot ( ax + b ) (a > 0) tuần hoàn với chu kỳ a nh lý: Cho cặp hàm số f ( x ), g( x ) tuần hồn tập M có chu k ln lt l a b a với ẻ Q Khi đó, hàm số: F( x ) = f ( x ) + g( x ), G ( x ) = f ( x )g( x ) tuần hoàn M b Hệ quả: Hàm số F( x ) = mf ( x ) + ng( x ) tuần hoàn với chu kỳ T bội chung nhỏ a vµ b c Hàm số y = sin ( ax + b ) , y = cos ( ax + b ) (a > 0) tuần hoàn với chu kỳ Bi 1: Chng minh hàm số sau hàm số tuần hồn tìm chu kỳ nó: pư pử pử ổ ổ ổ 1) y = 2sin ỗ x + ữ 2) y = -cos ỗ x - ữ + 3) y = tan ỗ x + ÷ 4) y = cos2 x 4ø 3ø 4ø è è è ỉx pư 7) y = sin xcosx 8) y = 4sin x 5) y = cos ỗ + ÷ 6) y = sin x + cosx è2 4ø 9) y = sin x Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 SAI LẦM Ở ĐÂU? Xét tốn: Tìm chu kỳ hàm số: f ( x) = sin ( ax + b ) ; (a ¹ 0) ( Trắc nghiệm Nghuyễn Văn Nho ĐHSP2006 nhiều sách khác) Một học sinh giải sau: Bước 1: Gọi T chu kỳ hàm số cho Bước 2: Lúc đó: f ( x + T ) = f ( x) Û sin éë a ( x + T ) + b ùû = sin ( ax + b ) Û sin ( ax + b + aT ) = sin ( ax + b ) (*) Bước 3: Do hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kỳ T = 2p 2p Từ (*) Û aT = 2p Û T = a 2p Vậy chu kỳ hàm số cholà T = (ycbt) a Bài giải học sinh chưa? Nếu chưa sai bước nào? *Lưu ý: Nhìn tổng thể giải chất sai Sai chưa hiểu rõ chu kỳ hàm số Nhắc: T gọi chu kỳ hàm số y = f ( x) khi: + f ( x + T ) = f ( x) (*) + T số dương nhỏ thoả (*) Như giải trên, a > Vậy trường hợp tổng quát sao? Ta giải sau: TH1: a > giải TH2: a < Thực phép biến đổi: sin ( ax + b ) = -sin ( - ax - b ) Lúc ta đưa toán TH1 Bài tập: Tìm chu kỳ hàm số sau: ỉ 2x ö a) y = cos ( x - ) c) y = tan ỗ b) y = cot ( -3 x + 1) c) y = sin ( -4 x + ) - 1÷ è ø Bài toán: Cho hàm số f ( x) = a sin ux + b sin vx , a, b, u , v số thực khác u a) Chứng minh rằng: Nếu hàm số y = f ( x) tuần hồn số hữu tỉ v u b) Ngược lại số hữu tỉ hàm số y = f ( x) tuần hoàn v Chứng minh: a) Giả sử hàm số y = f ( x) tuần hồn với chu kì T Ta có: "x : f ( x + T ) = f ( x) Cho x = , ta có: f ( T ) = f (0) Û a sin uT + bcosvT = b (1) Cho x = -T , ta có: f ( -T ) = f (0) Û - a sin uT + bcosvT = b (2) ìcosvT = ìvT = k 2p vT k 2p v k2 Ûí Þ = Û = Ỵ Q (đ.p.c.m) Từ (1) (2) suy : í uT mp u m ỵsin uT = îuT = mp Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 2p m 2p n v m = b) Giả sử = Ỵ Q với m, n số nguyên khác Chọn T = u n u v 2p m ö 2p n ỉ ỉ Khi đó: f ( x + T ) = a sin u ỗ x + ữ + bcosv ỗ x + ữ u ứ v ø è è = a sin ( ux + 2p m ) + b cos ( vx + 2p n ) = a sin ( ux ) + b cos ( vx ) = f ( x) Vậy hàm số y = f ( x) tuần hoàn (đ.p.c.m) Định lý: Cho cặp hàm số f ( x ), g( x ) tuần hồn tập M có chu kỳ ln lt l a a b với ẻ Q Khi đó, hàm số: F( x ) = f ( x ) + g( x ), G ( x ) = f ( x )g( x ) tuần hoàn b M Hệ quả: Hàm số F( x ) = mf ( x ) + ng( x ) tuần hoàn với chu kỳ T bội chung nhỏ a vµ b Ví dụ minh họa 1: Xác định chu kì hàm số sau: pư pư ỉ ỉ 1) y = tan ç x + ÷ 2) y = 2cos ç x + ÷ 3) y = sin x + sin x 6ø 3ø è è 1 x x 4) y = sin x + sin x + sin x 5) y = tan - 3tan 6) y = cosx + 2cos x 3 Giải: 4) Ta có: Hàm số y = sin x tuần hồn chu kì 2p Hàm số y = sin x tuần hoàn chu kì p Suy ra, hàm số y = sin x + sin x tuần hoàn với chu kì T = 2p 2p Hàm số y = sin 3x tuần hồn chu kì 1 Vậy hàm số y = sin x + sin x + sin x tuần hoàn với chu kì 2p Ví dụ minh họa 2: Cho hàm số f ( x) = cos x Chứng minh hàm số khơng tuần hồn phải Giải: Giả sử hàm số cho tuần hoàn phải Khi có tồn số dương T cho: "x ³ : cos x + T = cos x Cho x = , ta có: cos T = Û T = k 2p (1) Cho x = T , ta có: cos 2T = cos T = Û 2T = m 2p (2) k , ta được: = Ỵ Q Mâu thuẩn Vậy hàm số khơng tuần hồn phải Lập tỉ số (1) (2) m Ví dụ minh họa 3: 5x Tìm tất số nguyên n khác để hàm số: y = f ( x) = cos nx.sin tuần hồn với chu kì n 3p Giải: Giả sử hàm số cho tuần hoàn với chu kì 3p Lúc đó, ta có: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 10 Tổ Toán THPT Phong Điền Chuyên đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Đại số giải tích 11 5( x + 3p ) 5x = cos nx.sin n n 15p 15p =0Û = kp Û 15 = kn Tức n ước 15, Thay x = ta được: sin n n đó: n Ỵ { ±1; ± 3; ± 5; ± 15} "x : f ( x + 3p ) = f ( x) Û cos n( x + p ).sin Đảo lại: "n Ỵ { ±1; ± 3; ± 5; ± 15} thì: f ( x) = cos n( x + p ).sin 5( x + 3p ) 5x = cos nx.sin n n 15 số nguyên lẻ nên : n cos n( x + p ) = cos(nx + np ) = - cos nx Thật vậy, 3n 5( x + 3p ) 5x æ x 15p = sin ỗ + ữ = - sin n n ø n è n Do giá trị n cần tìm n Ỵ { ±1; ± 3; ± 5; ± 15} (y.c.b.t) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Xác định chu kỳ hàm số: pư pư ỉ ỉ 1) y = tan ç x + ÷ 2) y = 2cos ç x + ÷ 3) y = sin x + sin x 6ø 3ø è è 1 x x 4) y = sin x + sin x + sin x 5) y = tan - 3tan 6) y = cosx + 2cos x 3 sin Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Trang 11 Tổ Toán THPT Phong Điền ... cho xác định Tập xác định Cách xét Tính đơn điệu hàm số lượng giác cực hay Cách xét Tính đơn điệu hàm số lượng giác cực hay A Phương pháp giải + Hàm số y= sinx đồng biến khoảng ((- π)/2+k2π;... A, B, C, D xuất hai khoảng (-π;-π/2) (π/2;0) nên ta dùng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán + Ấn MODE → Máy F(X)= ta nhập sinX ⇒ START? Nhập -π END? Nhập STEP? Nhập π/10 Lúc từ bảng... định hàm số sau: Lời giải: a ĐKXĐ: b ĐKXĐ: Cách xét Tính chẵn, lẻ chu kì hàm số lượng giác cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ a Tính tuần hồn chu kì: Định nghĩa: Hàm số y = f(x) có tập xác định