Chuyen de phuong trinh luong giac 2023 hay chon loc

Trang 1

Cách giải phương trình lượng giác cơ bản A Phương pháp giải & Ví dụ

- Phương trình sinx = a (1)

♦ |a| > 1: phương trình (1) vơ nghiệm

♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là x = α + k2π, k ∈ Z

và x = π-α + k2π, k ∈ Z

Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết α = arcsin a Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là

x = arcsina + k2π, k ∈ Z

và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a (2)

♦ |a| > 1: phương trình (2) vơ nghiệm

Trang 2

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là x = α + k2π, k ∈ Z

và x = -α + k2π, k ∈ Z

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

x = arccosa + k2π, k ∈ Z và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a (3)

Điều kiện:

Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

x = arctana + kπ,k ∈ Z

- Phương trình cotx = a (4)

Trang 3

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

x = arccota + kπ, k ∈ Z

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sinx = sin(π/6) c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1 d) cotx = tan2x

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos2 x - sin2x =0

b) 2sin(2x – 40º) = √3

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin⁡x = sin⁡π/6

Trang 4

c) tan⁡x=1⇔cos⁡x= π/4+kπ (k ∈ Z)

d) cot⁡x=tan⁡2x

a) cos2x-sin2x=0 ⇔cos2x-2 sin⁡x cos⁡x=0 ⇔ cos⁡x (cos⁡x - 2 sin⁡x )=0

b) 2 sin⁡(2x-40º )=√3

⇔ sin⁡(2x-40º )=√3/2

Trang 5

b)

⇔ sin⁡x+1=1+4k ⇔ sin⁡x=4k (k ∈ Z)

Nếu |4k| > 1⇔|k| > 1/4; phương trình vơ nghiệm Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0 Khi đó: ⇔sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau a) cos(3x + π) = 0

Trang 6

Bài 2: Giải các phương trình sau a) sinx.cosx = 1

b) cos2 x - sin2 x + 1 = 0

Lời giải:

Trang 7

b) 1/(cos2 x) - 2 = 0

Lời giải:

Bài 4: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x Lời giải:

Trang 8

Cách giải Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa:

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Là phương trình có dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0

với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x)

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta có phương trình : at2 + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Trang 9

Bài 2: cos2x – sinx + 2 = 0

Bài 1: 1/(sin2 x)+tanx-1=0

Lời giải:

Trang 10

Bài 3: cos2x + cosx – 2 = 0 Lời giải:

Bài 4: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0 Lời giải:

⇔ 1 + 2 sin⁡x cos⁡x + 2(cos⁡x+sin⁡x ) = 0

Trang 11

Bài 5: cos23xcos2x – cos2x = 0

Lời giải:

Cách giải Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng

Trang 12

Bài 1: Giải phương trình sau: cos2x – sin2x = 0

Lời giải:

Trang 13

Lời giải:

Bài 1: 3sinx + 4cosx = 0 Lời giải:

⇔ 3/5 sin⁡x + 4/5 cos⁡x = 0

⇔ cos⁡(x-α) = 0 với α là góc thảo mãn: cos⁡α = 4/5; sin⁡α = 3/5 ⇔ x - α = π/2 + kπ

⇔x = π/2 + α + kπ (k ∈ Z)

Bài 2: sin7x – cos2x = √3(sin2x-cos7x) Lời giải:

Trang 14

Bài 3: Hàm số sau có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Lời giải:

⇔ (y-2) sin⁡2x-(y-1)cos⁡2x=-3y

⇔ (3y)2 ≤ (y-2)2 + (y+1)2⇔ 7y2 + 2y - 5 ≤ 1

⇔ -1 ≤ y ≤ 5/7

Mà y nguyên ⇒ y ∈ {-1;0}

Bài 4: Giải phương trình:

Trang 15

Bài 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin3x - √3cos9x = 1 + 4sin33x

Lời giải:

Trang 16

Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng

f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình khơng?

Xét cosx ≠ 0 Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho

Hồn tồn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx

Trang 17

Xét cos⁡x = 0 ⇒ sin2x = 1 Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý) Xét cos⁡x≠0 Chia cả hai vế của pt cho cos2x Ta được :

Bài 2: sin3x + 2sinx.cos2x + 3cos3x = 0 (2)

Xét cos⁡x = 0 Ta có (2) ⇔ sin⁡x = 0 (vơ lí do sin2x + cos2x = 1) Xét cos⁡x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos3x Ta được :

(2) ⇔ tan3⁡x + 2 tan⁡x + 3 = 0

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z)

Bài 1: Giải phương trình sin2 x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos2 x=0

Lời giải:

sin2⁡x - (√3+1) sin⁡x cos⁡x + √3 cos2⁡x = 0 (1) Xét cos⁡x = 0 (1) sin2⁡x = 0 → vô lý

Trang 18

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0 Ta có sin2⁡x = 0 → vơ lý

Xét cos⁡x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x Ta được : 2 - 3 tan⁡x + tan2⁡x = 0

Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0: Ta có : sin4x = 0 (vơ lý)

Xét cos⁡x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos4x Ta được :

3 - 4 tan2⁡x + tan4x = 0

Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0 Ta có : (m+1)sin2⁡x = 0 ⇔ m = -1

Xét cos⁡x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x Ta được :

Trang 19

Δ' = 1-2m-2 = -2m-1

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ - 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2 Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm

Lời giải:

Xét cos⁡x ≠ 0 Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x Ta được :

a tan2⁡x + atan⁡x + b = 0 Δ = a2 - 4ab

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔a2 - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

Cách giải Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng cực hay A Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t

Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

Trang 20

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t

Bài 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2

Ta có phương trình đã cho có dạng:

Trang 21

Bài 1: Giải phương trình sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 2 Lời giải:

Trang 22

Bài 3: Cho x thỏa mãn phương trình: sinx + cosx - 4sinxcosx – 1 = 0 Tính sin(x +

π/4)

Lời giải:

Bài 4: Giải phương trình sau: sin2x – 4(cosx – sinx) = 4 Lời giải:

Trang 23

Cách giải các phương trình lượng giác đặc biệt A Phương pháp giải & Ví dụ

1 Sử dụng các công thức lượng giác và kết hợp với cách giải các phương trình

lượng giác cơ bản

2 Đánh giá, đặt ẩn phụ

Trang 24

Bài 2: Giải phương trình sin3xsin3x – cos3xcos3x = -2.5

Bài 1: sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x +cos3x Lời giải:

Trang 25

⇔ sin2x( 2cosx + 1) = cos2x(2cosx + 1)

Bài 2: sinx + sin3x + sin5x = 0 Lời giải:

sinx + sin3x + sin5x = 0

Bài 3: sin6x + cos6x = 0.25

Lời giải:

Trang 26

Bài 4: Tìm số nghiệm của phương trình: sin7x + cos22x = sin22x +sinx trong khoảng (0,5)

Lời giải:

sin⁡7x + cos2⁡2x = sin2⁡2x+sin⁡x

Bài 5: Tổng các nghiệm của phương trình:

sin2(2x - π/4) - 3cos(3 π/4 - 2x)+ 2 = 0 (1) trong khoảng (0; 2π)

Lời giải:

Trang 27

A Ví dụ

Bài 1: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(3x + π/3) = cos(2x - π/4) trong

khoảng (- π , π )

Vậy tổng các nghiệm là: 9π/4

Trang 28

Thử lại ta có các nghiệm nguyên: x=-7 (k=-2); x=-31 (k=10)

Bài 1: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin22x = cos2(3x - π/8) trong khoảng (- π , π )

Trang 29

x ∈ (-π ,π ) ⇒ x = 5π /8; (-7π )/8; (-27π )/40; (-19π )/40; (-11π )/40; (-3π )/40; π /8; 13π /40; 21π /40; 29π /40; 37π /40

Tổng các nghiệm là: 7π/8

Bài 2: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: sin22x + cos25x = 1

Trang 30

Bài 3: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình: (sinx + cosx)2 = 2cos23x

Lời giải:

(sin⁡x + cos⁡x )2 = 2 cos2⁡3x ⇔ 1 + sin 2x = cos⁡6x+1

⇔ sin⁡2x = cos⁡6x

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là: (-π)/8

Bài 4: Tìm x ∈ [0,14] nghiê ̣m đúng phương trình : cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0

Lời giải:

cos3x- 4 cos⁡2x + 3 cos⁡x - 4 = 0

Trang 31

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Lời giải:

Cách loại nghiệm, hợp nghiệm, gộp nghiệm phương trình lượng giác cực hay

A Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác Ta

Trang 32

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

♦ Điểm biểu diễn cung α và α+k2π,k ∈ Z là trùng nhau

♦ Để biểu diễn cung α+k2π/n lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1)) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm , trong đó m, n ∈ Z đã biết, còn k, l ∈ Z là các chỉ số chạy

Ta xét phương trình :

Với a,b,c là các số nguyên

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên ax + by = c (1)

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

♦ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = (a,b) là ước của c

♦ Nếu phương trình (1) có nghiệm (xo,yo) thì (1) có vơ số nghiệm

Trang 33

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra

Bài 1: Giải phương trình:cot3x = cotx

PT ⇔ cos3x.sinx - sin3x.cosx = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = (k π)/2,k ∈ Z

Biểu diễn các nghiệm của hệ phương trình điều kiện và nghiệm của phương trình lên vịng trịn lượng giác ta được:

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung kπ/3 ta có các điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6

Biểu diễn các điểm cuối của cung nπ/2 ta có các điểm B1, B2, B3, B4

Ta thấy A1 ≡ B1, A4 ≡ B3

Trang 34

Cách 2:

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn

Vậy nghiệm của phương trình là: x= π/2 + mπ

Bài 2: Giải phương trình: cot4x.cot7x = 1

Vì 22n-14m là số chẵn cịn 7 là số lẻ nên phương trình này vơ nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Trang 35

Lời giải:

Với sinx ≥ 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1, A2 , A3 Trong đó chỉ có hai điểm A1, A2 nằm phía trên Ox

Trang 36

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1, B2, B3 Trong đó chỉ có hai điểm B2,B3 nằm dưới Ox (sinx < 0)

Hai điểm đó ứng với cung: x = (-π)/6 + k2 π, x = -5π/6 + k2 π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = ±π/6 + k π, (k ∈ Z)

Bài 2: Giải phương trình: cos3x.tan4x = sin5x Lời giải:

Trang 37

Lời giải:

Giải pt (2) ta có các nghiệm:

Trang 38

Bài 4: Giải phương trình: tanx + cotx = 2 Lời giải:

Trang 39

Trang 41

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I Phương trình lượng giác cơ bản

Với k , ta có các phương trình lượng giác cơ bản sau:

 sin a sin b a b k2a b k2          cos a cos b a b k2a b k2          tan atan b   ab k  cot acot b   ab k Nếu đề bài cho dạng độ () thì ta sẽ chuyển 00

Trang 42

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 7 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin x sin23 b) sin 2x 162   c) sin 2x16    d) cos 2x 3 cos4   e) cos x 12  f) cos x16   g)  02 sin x3030 h)  0cot 4x35 1 i) 2 cos 2x204    j) 2 cos x 6 3 0    k) 1 2 cos x 3 cos x 0 l)  0  0tan x30cos 2x 1500

m) 2 sin 2x 2cos x 0 n) sin x 3 sinx 0

2

 

o) sin 2x.cos 2x 1 0

4

  p) sin x cos x cos 2x cos 4x cos8x 1

16



II Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 1 Sử dụng thành thạo cung liên kết

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

 

cos  a cos a sin asin a sin a cos a2     

sin   a sin a cos a cos a cos a sin a

2



  

 

Trang 43

 

tan   a tan a tan a tan a tan a cot a

2     

cot   a cot a cot a cot a cot a tan a

2



  

 

 

Cung hơn kém  Cung hơn kém

2





sin  a  sin a sin a cos a

2    

cos  a  cos a cos a sin a

2     

tan  a tan a tan a cot a

2     

cot  a cot a cot a tan a

2     Tính chu kỳ 

sin xk2 sin x cos x k2  cos x



sin x  xk2    sin x cos x  xk2    cos x



tan x  k tan x cot x   k  cot x

Trang 44

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Ví dụ 2 Giải phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin 3xcosx03    b) tan x.tan 3x 1 0  – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 8 Giải các phương trình lượng giác sau (giả sử điều kiện được xác định): a) sin 2xcosx6    b) 29sin 3xcos x34      c) cos 2xsin x4   d) 2cos 2xsin x3    e) cos 4xsin 2x05    f) 29sin 3xcos x34      g) cot 2x 3 tan x46      h) tan 3x 5 cot x  

 Muốn biến đổi sin thành cos, tan thành cot và ngược lại, ta sẽ làm như thế nào? – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Hãy viết các cơng thức cung góc liên kết dạng cung góc phụ nhau?

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Trang 45

a)  0cos 3x45 cos x b) cos 2xcos x34       c) sin xsin 2x46       d) sin 2x 3 sin x 0    e) tan 3xtan x3    f) cot x 4 cot 2 x 0      g) cos 3xcos x03    h) 27sin 3xsin x035      i) sin 2xcos x04    j) cos 4x 3 sin x 4 0      k) tan 3xtan 2x04    l) tan 2x.tan 3x1

 Muốn bỏ dấu " " trước sin, cos, tan, cotan ta sẽ làm như thế nào?

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Hãy viết công thức cung góc liên kết dạng cung đối nhau?

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

BT 10 Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sin 4x 2 cos x 1 0 2   b) 2cos5x.cos3x sin xcos8x

c) 2

sin 5x 2cos x 1  d) cos 2x cos x cos xsin 2x sin x

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	1,72 MB