Dạng bài tập về phép quay 90 độ cực hay A Phương pháp giải [1] Biểu thức tọa độ của phép quay 90° và 90° Trong hệ trục tọa Oxy [2] Bài toán xác định vị trí của điểm, hình khi thực hiện phép quay cho t[.]
Dạng tập phép quay 90 độ cực hay A Phương pháp giải [1] Biểu thức tọa độ phép quay 90° -90° Trong hệ trục tọa Oxy: [2] Bài tốn xác định vị trí điểm, hình thực phép quay cho trước Bước Xác định tâm quay góc quay theo yêu cầu toán Bước Áp dụng kiến thức sau: Bước Kết luận B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G ( thứ tự điểm hình vẽ) a) Tìm ảnh điểm B qua phép quay tâm A góc quay 90° b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 90° c) Tìm ảnh tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90° Hướng dẫn giải: a) Dựng đoạn thẳng AB’ đoạn thẳng AB cho chiều quay dương có độ lớn góc quay 90°) (Vị trí B’ hình vẽ để • Khi đó: • Vậy B’ ảnh điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 90° b) • Dựng đoạn thẳng AC’ đoạn thẳng AC cho chiều quay dương có độ lớn góc quay 90°) (Vị trí C’ hình vẽ để • Mặt khác, Q(A,90°)(B) = B' (theo câu a) (2) • Từ (1) (2) suy ra: Q(A,90°)(BC) = B'C' c) • Dựng đoạn thẳng GA’ đoạn thẳng GA cho chiều quay dương có độ lớn góc quay 90°) (Vị trí A’ hình vẽ để • Dựng đoạn thẳng GB’’ đoạn thẳng GB cho chiều quay dương có độ lớn góc quay 90°) (Vị trí B’’ hình vẽ để • Dựng đoạn thẳng GC’’ đoạn thẳng GC cho chiều quay dương có độ lớn góc quay 90°) (Vị trí C’’ hình vẽ để • Khi đó: Từ (1),(2),(3) suy ra: Q(G,90°)(ΔABB) = ΔAB''C'' Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD tâm O ( thứ tự điểm hình vẽ) a) Tìm ảnh điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 90° b) Tìm ảnh đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 90° Hướng dẫn giải: a) Gọi E điểm đối xứng C qua D Khi đó: Vậy E ảnh C qua phéo quay tâm A, góc quay 90° b) Vì ABCD hình vng nên Từ (1) (2) suy ra: Q(O,90°)(BC) = CD Vậy CD ảnh BC qua phép quay tâm O góc quay 90° Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;5); đường thẳng d: 3x - y + = đường tròn (C): (x + 4)2 + (y - 1)2 = 16 a) Tìm tọa độ điểm B ảnh điểm A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay -90° b) Viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép quay tâm O góc quay -90° c) Tìm ảnh đường trịn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90° Hướng dẫn giải: a) Cách 1: +) Do Q(O,90°)(A) = B nên dựa vào vẽ bên ta suy ra: B(5;1) Cách 2: +) Do Q(O,90°)(A) = B nên Vậy B(5;1) b) Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vng góc với d Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 3y + m = Lấy A(0;2) ∈ d Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d' Khi m = -2 Vậy phương trình đường d' x + 3y - = c) Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) bán kính R = Khi đó: Q(O,90°)(I) = I'(1;4) bán kính R' = R = Vậy: Q(O,90°)(C) = (C'): (x - 1)2 + (y - 4)2 = 16 Dạng tập phép quay 180 độ cực hay A Phương pháp giải B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1;2) B(-3;4) Tìm ảnh điểm A B qua phép Quay tâm O góc quay 180° Hướng dẫn giải: ● Gọi A’ ảnh điểm A qua phép quay tâm O góc quay 180° Khi đó: A’( -1;-2) ● Gọi B’ ảnh điểm B qua phép quay tâm O góc quay 180° Khi đó: B’( 3;-4) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thắng d: 2x - 5y + = Viết phương trình đường thẳng d' ảnh đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 180° Hướng dẫn giải: Cách 1: +) Do Q(0,180°)(d) = d' nên d'//d Do d' có PT dạng: 2x - 5y + m = (m ≠ 3) +) Chọn M(1;1) ∈ d, gọi M'(x';y') ∈ d' ảnh điểm M qua phép quay Q(0,180°) Suy ra: +) Do M'(-1;-1) ∈ d' nên 2.(-1) - 5.(-1) + m = ⇔ m = -3 +) Vậy d' có PT 2x - 5y - = Cách 2: +) Với điểm M(x;y) ∈ d, M'(x';y') ∈ d' cho A +) Khi ta có: +) Do M(x;y) ∈ d nên ta có 2x - 5y + = ⇔ -2x' + 5y' + = ⇔ 2x' - 5y' - = +) Do M'(x';y') ∈ d' nên d' có PT 2x - 5y - = Cách 3: Chú ý công thức nhanh: Trong mp Oxy, cho d: Ax + By + C = Nếu Q(O,α)(d) = d' α = π + k2π, O ∉ d d' có PT là: Ax + By - C = +) Do d: 2x - 5y + = Q(O,180°)(d) = d' nên d' có PT 2x - 5y - = Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = Tìm ảnh đường trịn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180° Hướng dẫn giải: Cách 1: +) Đường trịn (C) có tâm I(2;-3) bán kính R = + Gọi C'(I',R') ảnh (C) qua phép quay Q(0,180°) Khi ta có: R' = R = Q(0,180°)(I) = I', suy ra: +) Vậy (C') có PT là: (x + 2)2 + (y - 3)2 = Cách 2: + Gọi (C') ảnh (C) qua phép quay Q(0,180°) +) Với điểm M(x;y) ∈ (C), M'(x';y') ∈ (C') cho Q(0,180°)(M) = M' +) Khi ta có: +) Do M(x;y) ∈ (C) nên ta có: (x - 2)2 + (y + 3)2 = ⇔ (-x' - 2)2 + (-y' + 3)2 = ⇔ (x' + 2)2 + (y' 3)2 = +) Do M'(x';y') ∈ (C') nên (C') có PT (x + 2)2 + (y - 3)2 = Chú ý: Ưu tiên giải cách Cách 3: Chú ý công thức nhanh: Trong mpOxy, cho (C): (x - A)2 + (y - B)2 = R2 Nếu Q_((O,α)) ((C)) = (C') α = π + k2π (C'): (x + A)2 + (y + B)2 = R2 +) Do (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = Q(0,180°)((C)) = (C') nên (C') có PT là: (x + 2)2 + (y - 3)2 = Cách tìm ảnh điểm qua phép quay cực hay A Phương pháp giải [1] Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, xét phép quay Q(I,φ) Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc tọa độ O Trường hợp 2: Khi tâm quay I(x0;y0) Ta có: [2] Các trường hợp thường gặp B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 90°, biết: a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3) e) E(0; -5) Hướng dẫn giải: Ví dụ 2: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc -90°, biết: a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1) Hướng dẫn giải: Ví dụ 3: Tìm tọa độ điểm A cho , biết: a) B(3; -5) b) B(-2; 7) c) B(-3; -1) d) B(4; 6) Hướng dẫn giải: Ví dụ 4: Tìm ảnh điểm sau qua phép quay tâm O, góc 180°, biết: a) A(-5; 1) b) B(-4; -7) c) C(2; 3) d) D(4; -8) Hướng dẫn giải: Cách tìm ảnh đường thẳng qua phép quay cực hay A Phương pháp giải ● Cho đường thẳng Δ:ax+by+c = Cách 1: Sử sụng tính chất hai đường thẳng vng góc ( nêu trên) Cách 2: Sử dụng phương pháp quý tích, với lưu ý đây: B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh đường thẳng d: 6x - 5y + 18 = qua phép quay Q(O,90°) Hướng dẫn giải: Cách d'⊥d nên phương trình có dạng 5x + 6y + c = Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ c = 18, hay d': 5x + 6y + 18 = Cách Ta có phương trình d:6x - 5y + 18 = Gọi d’ ảnh d qua Q(O,90°) Khi với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y') ∈ d' Thay (*) vào phương trình d ta được: d: 6y' - 5(-x') + 18 = ⇔ d': 5x + 6y + 18 = Vậy: d': 5x + 6y + 18 = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + = Viết phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép quay tâm O góc quay -90° Hướng dẫn giải: Cách Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vng góc với d Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 2y + c = Lấy A(0;3) ∈ d Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;3) biến thành điểm B(3;0) ∈ d' Khi c = -3 Vậy phương trình đường d' x + 2y - = Cách Ta có phương trình d: 2x - y + = Gọi d’ ảnh d qua Q(O,-90°) Khi với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y') ∈ d' Thay (*) vào phương trình d ta được: 2(-y') - x + = ⇔ d': x' + 2y' - = Vậy: d': x + 2y - = Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y - = , điểm I(3;1), phép quay Q(I,90°)(d) = d' Xác định phương trình đường thẳng d' Hướng dẫn giải: Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d' Đường thẳng d' có dạng: 2x - y + c = Vì d' qua Inên 2.3 - + c = ⇒ c = -5 ⇒ d': 2x - y - = Cách tìm ảnh đường trịn qua phép quay cực hay A Phương pháp giải Cách 1: Dựa vào tính chất phép quay Cho đường tròn C(A;R) Q(I,α)((C)) = (C'), với C'(A';R') Khi ta có: i) R' = R ii) Q(I,α)(A) = A' (quay dạng tốn tìm tọa độ điểm) Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ (Phương pháp quỹ tích) B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm ảnh đường trịn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90° biết: (C): (x + 4)2 + (y - 1)2 = 16 Hướng dẫn giải: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) bán kính R = Khi đó: Q(O,-90°)(I) = I'(1;4) bán kính R'=R = Vậy: Q(O,-90°)(C) = (C'): (x - 1)2 + (y - 4)2 = 16 Ví dụ 2: Tìm ảnh đường trịn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90° biết: (C): (x + 3)2 + (y 2)2 = 25 Hướng dẫn giải: Từ (C), ta có tâm I(-3; 2) bán kính R = Khi đó: Q(O,-90°)(I) = I'(-2;-3) bán kính R' = R = Vậy: Q(O,-90°)(C) = (C'): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25 Ví dụ 3: Tìm ảnh của các đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = qua phép quay tâm O góc 90° Hướng dẫn giải: Ta có: (x + 1)2 + (y - 1)2 = có tâm I(-1;1) bán kính r = Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q(O,90°) ⇒ I'(-1;-1) Suy ảnh đường tròn qua phép quay (x + 1)2 + (y + 1)2 = PHÉP QUAY Định nghĩa Cho điểm O góc lượng giác Phép biến hình biến O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho OM' OM góc lượng OM;OM ' gọi phép quay tâm O góc quay Điểm O gọi tâm quay, gọi góc quay Phép quay tâm O góc , kí hiệu Q O; Câu hỏi: Phép quay biến cờ C thành cờ C ' : Phép quay biến cờ C ' thành cờ C : Tính chất Phép tịnh tiến phép biến hình biến: - Bảo toàn khoảng cách hai điểm - Biến đường thẳng thành đường thẳng - Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho - Biến tam giác thành tam giác tam giác cho - Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Lưu ý Giả sử phép quay tâm O góc quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' Khi đó: Nếu Nếu góc d d ' góc d d ' Phương pháp xác định ảnh điểm qua phép quay Phương pháp Sử dụng định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M ' x M ' ; y M ' ảnh M x M ; y M qua phép quay tâm I a; b , IM ' IM 1 góc quay Khi đó: M ' x M ' ; y M ' Q O; M MIM ' Từ (1), sử dụng cơng thức tính độ dài, tìm phương trình thứ theo ẩn Từ (2), sử dụng định lý hàm số cos, tìm phương trình thứ hai theo ẩn Giải hệ phươngtrình tìm x M' ; yM' từ suy tọa độ điểm M ' x M ' ; y M ' Phương pháp Sử dụng công thức tọa độ x M' x M a cos yM b sin a M ' x M' ; yM' Q I; M yM' x M a sin y M b cos b Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;0 , B 0; 2 Tìm A ', B' ảnh A, B qua phép quay tâm O, góc quay 900 BT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh đường C ()C qua phép quay tâm O, góc quay trường hợp sau đây: a) C : x y 1 1, 900 b) C : x y 4x 0, 900 c) C : x y 2x 4y 1, 900 d) C : x y 1 1, 600 e) C : x y 4x 2y 0, 300 f) C : x y 6x 0, 900 2 BT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay trường hợp sau đây: a) d : x y 0, 900 b) d : x 3y 11 0, 900 c) d : x 3y 0, 600 d) d : 2x y 0, 450 BT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x 3y đường trịn có phương trình C : x y 4x 4y a) Viết phương trình d ' ảnh d qua phép Q O,900 b) Viết phương C ' ảnh C qua phép Q O,900 BT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M 2; , đường thẳng y 2x 3y đường tròn C : x 1 y 1 Tìm ảnh M, d, C : 2 a) Phép quay tâm O góc quay 450 b) Phép quay tâm I 1; góc quay 450 BT Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 4;3 , đường tròn C : x y Tìm ảnh A, C qua phép quay tâm O góc quay 60o BT Cho tam giác ABC có đỉnh kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngồi hình vng ABDE, BCKF Gọi P trung điểm AC, H điểm đối xứng D qua B, M trung điểm FH a) Xác định ảnh BA,BP phép quay Q B,900 b) Chứng minh: DF 2BP DF BP BT Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác BAE CAF vuông cân A Gọi I, M, J theo thứ tự trung điểm EB, BC, CF Chứng minh tam giác IMJ vuông cân BT Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng tam giác ABE BCF nằm phía so với đường thẳng AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AF CE Chứng minh tam giác BMN