chuyên đề giới hạn của dãy lí thuyết bài tập và lời giải

Chuyên đề Toán học về giới hạn của dãy chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 11, 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về giới hạn của dãy và để ôn thi THPQG và thi đại học.

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN Lí thuyết – tập – lời giải GIỚI HẠN DÃY SỐ Giới hạn hữu hạn dãy số 1.1 Định nghĩa: • Dãy số (un ) gọi có giới hạn n tiến dương vô cực với số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, số hạng dãy số , kể từ số hạng trở đi, có giá tri tuyệt dối nhỏ số dương Kí hiệu: lim un = Hay là: x→+∞ lim un = với ε > nhỏ tùy ý, tồn số tự nhiên n x→0 cho: un < ε , ∀n > n0 • lim un = a ⇔ lim ( un − a) = , tức là: Với ε > nhỏ tùy ý, tồn số x→+∞ x→+∞ tự nhiên n0 cho un − a < ε , ∀n > n0 Dãy số (un) có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn 1.2 Một số giới hạn đặc biệt • lim = với k ∈ ¥ * nk n • Nếu q < lim q = n→+∞ • Nếu un = c (với c số) lim un = lim c = c n→+∞ n→+∞ un = a Chú ý: Ta viết limun = a thay cho cách viết nlim →+∞ Một số định lí giới hạn Định lí Nếu dãy số (un) thỏa un < kể từ số hạng trở limvn = limun = Định lí Cho limun = a, limv n = b Ta có: • lim(un + ) = a + b • lim(un − ) = a − b • lim(un ) = a.b • lim un = a (b ≠ 0) b • Nếu un ≥ ∀n lim un = a Tổng CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có cơng bội q thỏa q < Khi tổng 139 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả S = u1 + u2 + + un + gọi tổng vô hạn CSN S = limSn = lim u1(1− qn ) 1− q = u1 1− q Giới hạn vô cực 4.1 Định nghĩa: • lim un = +∞ ⇔ với số dương tuỳ ý cho trước , số hạng dãy số , kể từ n→+∞ số hạng trở đi, lớn số dương • lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ n→+∞ n→+∞ 4.2 Một số kết đặc biệt • limnk = +∞ với k > • limqn = +∞ với q > 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1: Nếu limun = ±∞ , limvn = ±∞ lim(un ) cho sau; limun +∞ +∞ −∞ −∞ limvn +∞ −∞ +∞ −∞ lim(un ) +∞ −∞ −∞ +∞ Quy tắc 2: Nếu limun = ±∞ , limvn = l lim(un ) cho sau; Dấu l limun lim(un ) +∞ + +∞ − −∞ +∞ −∞ −∞ + − −∞ +∞ Quy tắc 3: Nếu limun = l , limvn = > < kể từ số hạng dó trở lim un coi sau; Dấu l +∞ +∞ −∞ −∞ Dấu + − + − lim un +∞ −∞ −∞ +∞ Vấn đề Tìm giới hạn định nghĩa Phương pháp: • Để chứng minh limun = ta chứng minh với số a > nhỏ tùy ý tồn số na cho un < a ∀n > na • Để chứng minh limun = l ta chứng minh lim(un − l) = • Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với số M > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM cho un > M ∀n > nM • Để chứng minh limun = −∞ ta chứng minh lim(−un ) = +∞ • Một dãy số có giới hạn giới hạn Các ví dụ Ví dụ Chứng minh rằng: lim n+2 =1 n+1 lim n2 − 1 2 2n + lim = 1− 2n n +1 = −2 Lời giải Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > − 1, ta có: a n+2 1 −1 = < < a với ∀n > na n+1 n + na + Suy lim n+ n+ − = ⇒ lim = n+1 n+1 Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > n2 − − , ta có: a 3 = < < a với ∀n > na 2n2 + n2 + na2 + − Suy lim n2 − 1 n2 − 1 = ⇒ lim = 2n2 + 2n2 + − Với a > nhỏ tùy ý, ta chọn na > 1− 2n n +1 +2= 1− 2n + n2 + n +1 < a2 − , ta có: 1− 2n + 2(n + 1) n +1 = < n +1 na2 + < a với ∀n > na Suy lim 1− 2n n2 + + = ⇒ lim 1− 2n n2 + = −2 Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) : un = (−1)n khơng có giới hạn 141 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Lời giải Ta có: u2n = 1⇒ limu2n = 1; u2n+1 = −1⇒ limu2n+1 = −1 Vì giới hạn dãy số có nên ta suy dãy (un) khơng có giới hạn Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: 2− n n2 + = −∞ lim lim = +∞ n n Lời giải Với số thực dương M lớn tùy ý, ta có: n2 + M + M2 − > M ⇔ n2 − Mn + > ⇔ n > n  M + M − 4  ta có: n + > M , ∀n > n Ta chọn n0 =    n   n2 + = +∞ n Với M > lớn tùy ý, ta có: Do đó: lim  M + M2 + 8 ÷ > M ⇔ n − M n − 2> 0⇔ n >   ÷ n      n−2  M + M + ÷  > M , ∀n > n0 Ta chọn n0 =  ta có:   ÷ n      2− n = −∞ Do đó: lim n CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Chứng minh rằng: 1 sin2 n =0 lim lim k = (k ∈ ¥ *) lim =0 n+1 n n+ n−2 lim(2n + 1) = +∞ lim 1− n2 = −∞ n Bài Chứng minh giới hạn sau cosn + sinn =0 =0 lim lim n+1 n2 + lim 3n3 + n n2 = +∞ lim 2− n n+1 Bài Dùng định nghĩa tìm giới hạn sau : = −∞ lim n+1 =0 n+ 2n + n−2 Bài Tìm giới hạn sau A = lim A = lim C = lim n−2 n 2n B = lim B = lim n +2 n +7 D = lim 2n + 3 C = lim n + n+1 n2 + nsinn − 3n2 n2 4n + n2 + 3n + Bài Chứng minh dãy số (un ) : un = (−1)n n khơng có giới hạn Bài Chứng minh giới hạn sau: lim an =0 n! lim n a = với a > Bài Nếu dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình  x1 + x2 + + xn   ÷ có giới hạn a n   (x ) Dãy số n thỏa mãn điều kiện < x1 < xn+1 = 1+ xn − xn2 ,∀n ∈ ¥ * Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm limxn Vấn đề Tìm giới hạn dãy số dựa vào định lý giới hạn Phương pháp: Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f(n) • Khi tìm lim ta thường chia tử mẫu cho nk , k bậc lớn g(n) tử mẫu • Khi tìm lim  k f(n) − m g(n)  limf(n) = limg(n) = +∞ ta thường tách   sử dụng phương pháp nhân lượng liên Các ví dụ Ví dụ Tìm giới hạn sau : A = lim n 1+ + + + (2n − 1) 2n2 + B = lim 1+ + + n − n 12 + 22 + + n2 + 2n Lời giải Ta có: 1+ + + + 2n − = n2 143 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Suy A = lim n2 2n + 1 = lim 2+ = n2 n(n + 1) ; n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + + n2 = Ta có: 1+ + + n =  1 n2  1+ ÷ n n(n + 1)  −n −n 2 = lim = Suy : B = lim n(n + 1)(2n + 1)    3 + 2n n  1+ ÷ + ÷ n  n  + 2n −1 +2 Ví dụ Tìm giới hạn sau :   1   C = lim  1− ÷ 1− ÷  1− ÷    n    1 1  + + + + D = lim   n(n + 1)   1.2 2.3 3.4 Lời giải Ta có: 1− = (k − 1)(k + 1) nên suy k2   1   1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + =  1− ÷ 1− ÷  1− ÷ = 2n     n  n2 n+1 = Do C = lim 2n 1 = − Ta có nên suy k(k + 1) k k + k 1 1 + + + + = 1− 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1   Vậy D = lim  1− ÷ = n + 1  Ví dụ Tìm giới hạn sau : A = lim Lời giải 4n+1 − 5n+1 4n + 5n B = lim 4.3n+ − 2.7n−1 4n + 7n+1 n  4 4 ÷ − n  5 = −5 ( lim  ÷ = ) Chia tử mẫu cho 5n ta có: A = lim n  5  4  5÷ +   n  4 36 ÷ −  7 =− Ta có: B = lim n 49  4  7÷ +     1   Ví dụ Tìm giới hạn sau : C = lim  1− ÷ 1− ÷  1− ÷    n   Lời giải Ta có: 1− k = (k − 1)(k + 1) k2 nên suy   1   1.3 2.4 (n − 1)(n + 1) n + =  1− ÷ 1− ÷  1− ÷ = 2n     n  n2 n+1 = Do C = lim 2n CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tìm giới hạn sau : A = lim 2n2 + 3n + 3n2 − n + 2n + 1) C = lim ( ( n + 2) n17 + Bài Tìm giới hạn sau :   A = lim  n + 6n − n ÷   C = lim 3.2n − 3n 2n+1 + 3n+1 Bài Tìm giới hạn sau:   A = lim  n + 2n + + n ÷   C = lim 3n3 + − n 2n4 + 3n + + n B = lim D = lim n2 + 2n n − 3n2 + n2 + − 3n3 + 2n4 + n + − n 3  2 B = lim  n + 9n − n ÷   3  2 D = lim  n + 2n − n + 2n ÷     2 B = lim  2n + − n ÷   D = lim ak nk + + a1n + a0 bpnp + + b1n + b0 145 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (Trong k,p số nguyên dương; ak bp ≠ ) ( ) A = lim n − 2n + ( k k−1 + + a0 C = lim ak n + ak−1n )   B = lim  n + n − + n ÷   với ak ≠ 3   D = lim  2n − n + 1÷   E = lim 3n3 + n − (2n − 1)(n + 3)2 10 F = lim (n − 2)7(2n + 1)3 (n2 + 2)5   3  11 H = lim  n + n + − n ÷ 12 M = lim  1− n − 8n + 2n ÷       13 N = lim  4n + − 8n + n ÷   3  2 14 K = lim  n + n − − 4n + n + + 5n ÷   Bài Tìm giới hạn sau A = lim C = lim 2n + 1− 3n B = lim n3 + D = lim n(2n + 1)2 E = lim n + 2n + n+2 F = lim 4n2 + 3n + (3n − 1)2 n3 − 3n2 + n4 + 4n3 + n4 − 2n + + 2n 3n3 + n − n   M = lim  n + 6n − n ÷   3  N = lim  n + 3n + − n ÷   3  H = limn  8n + n − 4n + ÷   10 K = lim 3.2n − 3n 2n+1 + 3n+1 Bài Tìm giới hạn sau A = lim C = lim 2n3 + sin2n − n3 + 3.3n + 4n 3n+1 + 4n+1 E = lim( n2 + n + − 2n) p H = lim(k n2 + − n2 − 1) Bài Tìm giới hạn dãy số sau B = lim D = lim F = lim ( n n! n3 + 2n n+1 n2( 3n2 + − 3n2 − 1) n + 1+ n )   K = limn  n + − n ÷   un = un = 1+ + 2+ + + (n + 1) n + n n + (n + 1) 13 + 23 + + n3 3n3 + n + 1 n(n + 1) un = (1− )(1− ) (1− ) Tn = T1 T2 Tn un = 23 − 33 − n3 − 23 + 33 + n3 + un = un = q + 2q2 + + nqn với q < un = n ∑ 2k − 2k k =1 n ∑ n k =1 n +k Bài Tìm giới hạn sau: A = lim B = lim ak nk + ak−1nk−1 + + a1n + a0 bp np + bp−1np−1 + + b1n + b0 với ak bp ≠ n6 + n + − n4 + 2n − (2n + 3)2   C = lim  4n + n + − 2n ÷     D = lim  n + n + − n + n − + n ÷   Bài Cho số thực a,b thỏa a < 1; b < Tìm giới hạn I = lim 1+ a + a2 + + an 1+ b + b2 + + bn Cho dãy số (xn ) xác định x1 = ,xn+1 = xn2 + xn ,∀n ≥ 1 + +L + Đặt Sn = Tính limSn x1 + x2 + xn + Cho dãy (xk ) xác định sau: xk = k + + + 2! 3! (k + 1)! n Tìm limun với un = n x1n + x2n + + x2011 147 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả u0 = 2011  Tìm lim un Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u = un + n  n+ u2n  Cho dãy số (un ) xác định : un = n + − n + + n Đặt Sn = u1 + u2 + L + un Tìm limSn u1 = 1;  un   (u ) Cho dãy n xác định sau:  ÷ u2n Tìm lim  ∑ u ÷  n+   u n+ = u n + 2010  Cho dãy số (un ) với un = 4n + 2n n Dãy (sn ) cho sn = ∑ ui Tìm limsn i =1 u1 =  (u ) Cho dãy số n xác định bởi:  un (un + 1)2 − , (n ≥ 1,n ∈ N)  u n+ =  n u −2 i Xét hội tụ tính giới hạn sau tồn tại: lim ∑ n→∞ i =1 u + i Bài Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 = u n+ = u2n 2010 + u với n = 1,2,3, 2011 2011 n Chứng minh ( un ) dãy số tăng không bị chặn Tính n ∑u n→+∞ lim ui i =1 i +1 − Bài 10 Cho dãy số (xn ) xác định sau: x1 = 1,x2 = 2,xn+ = xn+1 + xn ,∀n ≥ Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn n  1 Cho dãy số (un ) : un =  1+ ÷ Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn n  u1 =  u2n − un + 3 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u = , ∀n = 1,2,  n+ u2n + un +  Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả + lim x→+∞ Ta có: +5 x = + = 4 1 1+ + + 1− + x x x x2 + 2x − x2 + x + x = = 2x = Nên B = lim x→+∞ x2 + 2x + x2 + x + x x2 + 2x − x − x2 + 2x + x2 + x + x −2x ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) −2x2 ( x2 + 2x + x2 + x + x)( x2 + 2x + x + 1) −2 = lim x→+∞ 2x2 + 2x + 2x x2 + 2x − 4x2 − 4x ( 1+ 2 + 1+ + 1)( 1+ + 1+ ) x x x x =− Bài a1 a a + + n−1 + n ) n − x x xn Ta có: A = lim b b b x→+∞ m x (b0 + + + m−1 + m ) m − x x xm xn (a0 + a1 a a + + n−1 + n n − x x xn = a0 • Nếu m = n ⇒ B = lim b b b x→+∞ b0 b0 + + + m−1 + m x xm−1 xm a0 + a1 a a + + n−1 + n x xn−1 xn =0 • Nếu m > n ⇒ B = lim b1 bm−1 bm x→+∞ m− n x (b0 + + + + ) x xm−1 xm a0 + ( Vì tử → a0 , mẫu → ) • Nếu m < n , ta có: a a a xn− m (a0 + + + n−1 + n ) n − a0.b0 > x  x xn = +∞ B = lim  b b b x→+∞ −∞ a0b0 < b0 + + + m−1 + m x xm−1 xm x 4+ Ta có: B = lim x→+∞ 1 1 1 + x.3 + − 4+ + 8+ − x x x x = lim x x3 = x→+∞ 3 1+ x 1+ x x4 x 4− Ta có: C = xlim →−∞ 2 x + x 1+ x 1+ x2 x = lim − 4− x→−∞ −x  −   2 − 1+ x3 =  1+ + 1÷ ÷ x2  x  1 x2  1+ + + ÷  x2 x x2 ÷   = +∞ Ta có: D = lim x→+∞  1 1 x  + + +  x3 x5 x6 x ÷ ÷   Bài tốn 04: Dạng vô định: ∞ − ∞ 0.∞ Bài 1 Ta có: A = lim ( x2 − x + − x)( x2 − x + + x) x→+∞ x2 − x + + x x2 − x + 1− x2 = lim x→+∞ B = lim x2 − x + + x −x + 1 =− x2 − x + + x = lim x→+∞ (2x − 4x2 − x + 1)(2x + 4x2 − x + 1) x→−∞ 2x − 4x2 − x + x+1 = lim = x→−∞ 2x − 4x2 − x + Đặt y = n (x − a1)(x − a2) (x − an ) n n ⇒ y − x = (y − x)(y ⇒ lim (y − x) = lim x→+∞ n−1 x→+∞ +y n−1 n−1 x + + x ) ⇒ y−x= yn − xn yn−1 + yn−1x + + xn−1 yn − xn yn−1 + yn−2x + + xn−1 yn − xn ⇒ C = lim x→+∞ xn−1 yn−1 + yn−1x + + xn−1 xn−1 217 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Mà lim x→+∞ yn − xn n −1 = lim (a1 + a2 + + an + x→+∞ x b2 x + b3 x + + bn xn−1 ) = a1 + a2 + + an lim yk xn−1− k x→+∞ Vậy C = xn−1 = ∀k = 0, ,n − ⇒ lim yn−1 + yn− 2x + + xn−1 xn−1 x→+∞ a1 + a2 + + an n =n Bài A = xlim →+∞ −x + =− 2 x − x + 1+ x B = −∞ −2x  x2 − x + − x2 + x + 1 = lim = −1  ÷ xlim →+∞   x→+∞ x2 − x + + x2 + x + −2x lim  x2 − x + − x2 + x + 1÷ = lim = x→−∞   x→−∞ x − x + + x2 + x + D = xlim →+∞ 2x (8x3 + 2x)2 + 2x3 (8x3 + 2x) + 4x2 =0 4    E = lim  16x + 3x + − 2x ÷+ lim  4x + − 2x ÷ = x→+∞   x→+∞   F = −∞ Bài tốn 05: Dạng vơ định hàm lượng giác Bài Ta có: A = lim x→0 ax  ax  sin ÷ = a lim  ÷ = a ax x → 2 x  ÷ ÷   2sin2 Bài mx mx mx + 2sin cos 2 nx nx nx 2sin2 + 2sin cos 2 mx nx mx mx sin sin + cos m 2 = nx nx nx n mx sin sin + cos 2 2 mx nx mx mx sin sin + cos m lim lim 2 =m A = lim nx x→0 nx nx n x→0 mx x→0 n sin sin + cos 2 2 1+ sinmx − cosmx = Ta có: 1+ sinnx − cosnx 2sin2 Ta có: 1− cosx.cos2x.cos3x x = 1− cosx x B = lim x2 + cosx.cos2x 1− cosx x→0 1− cosx + cosxcos2x(1− cos3x) + cosx(1− cos2x) = x 1− cos3x + cosx x + limcosx.cos2x 1− cos2x 1− cos3x x→0 x2 + limcosx 1− cos2x x2 x→0 x =3 Bài 3x sin sin2 x sinx =0 = lim x( ) lim Ta có: A = lim 3x x→0 x→0 x x→0 3x sin 2 5x x 5x 2sin sin sin 2 = − lim( ).lim = B = lim 7x x 5x x→0 7x x→0 x→0 −2xcos sin cos 2 2 tan2 2x C = lim x→0 1− cos2x = lim tan2 2x(1+ cos2x + cos2 2x) x→0 1− cos2x = lim tan2 2x(1+ cos2x + cos2 2x) 2sin2 x tan2x x = 2lim( ) ( ) (1+ cos2x + cos2 2x) x→0 2x sinx ⇒ C = D = lim x→0 1+ xsin3x − cos2x Ta có: x→0 Mà : lim x→0 x2 1+ xsin3x − cos2x = lim 1+ xsin3x − x→0 x x sin3x = 3lim( ) + 2= x→0 3x 1+ xsin3x + Vậy: D = Bài Ta có: A = lim sin π(1− xm ) x→1 sin π(1− xn ) = lim x→1 sin π(1− xm ) π(1− xm ) lim + lim x→0 π(1− xn ) 1− cos2x x2 lim 1− xn x→1 sin π(1− xn ) x→11− xm 219 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả = lim 1− xn m x→11− x = lim (1− x)(xn−1 + xn− + + 1) m−1 x→1(1− x)(x m− +x + + 1) = n m π −x lim sinx = π π x→ sin( − x) 2 π sinx = lim Ta có: B = lim( − x) π cosx x→ π x→ α Ta có: ≤| xα sin |< xα Mà lim x = x → x Nên theo nguyên lí kẹp ⇒ A 39 = Trước hết ta có: sinx < x ∀x > Ta có: sin x + − sin x = 2sin < Mà lim x→+∞ x + 1+ x x + 1− x x + 1+ x cos 2 x + 1+ x = nên D = Bài 7x x sin 2 = Ta có: A = lim 11x x 11 x→0 sin sin 2 −2sin2x B = lim =− Ta có x→0 sin3x 1+ 1+ 2sin2x + (1+ 2sin2x)2 ÷   sin sin2 2x Ta có: C = lim x2 = −96 1− cosx + x2 x→0 cosx − x2 Ta có: D = 16 81 π  1− sin  cosx ÷ 2  tanx E = lim =0 sin(tanx) x→0 tanx 3sinx + 2cosx Ta có: ≤ < → x → +∞ x + 1+ x x + 1+ x Vậy F = m Ta có: H = lim x→0 cosax − 1− n cosbx + b a x2 x2 = − 2n 2m sin x x2 n Ta có: 1− cosax = ⇒ M = lim 1− cosax x→0 x 1− cosax 1+ cosax + ( cosax)2 + + (n cosax)n−1 n n lim x→0 1+ n cosax + ( cosax)2 + + (n cosax)n−1 n a a = = n 2n Bài 7x x sin 2 = Ta có: A = lim 11x x 11 x→0 sin sin 2 −2sin2x B = lim =− Ta có x→0 sin3x 1+ 1+ 2sin2x + (1+ 2sin2x)2 ÷   sin sin2 2x x2 = −96 1− cosx + x2 Ta có: C = lim x→0 cosx − x2 4  sin2x   3x  16 16 Ta có: D = lim  ÷  ÷ = x→0 2x   sin3x  81 81 π  1− sin  cosx ÷ 2  Ta có: tanx E = lim sin(tanx) x→0 tanx sin(tanx) = 1; Mà lim x→0 tanx π  π  1− sin  cosx ÷ 1− cos  (1− cosx) 2  = lim 2  lim x→0 x→0 tanx tanx  x π sin2 ÷  2÷ 2sin2   ÷ ÷   = lim x→0 tanx 221 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  x π sin2 ÷  2÷ sin2  2x  ÷ ÷ sin π   x x = = lim x x x→0 tanx π sin2 ( )2 2 Do đó: E = Ta có: ≤ 3sinx + 2cosx x + 1+ x Vậy F = m Ta có: H = lim x→0 < x + 1+ x → x → +∞ cosax − 1− n cosbx + b a x2 x2 = − 2n 2m sin x x2 Ta có: M = lim x→0 3x + − 2x + x 1− cos2x 1 = 2=− − x2 HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm Bài x−2 1 = lim = = f(4) x→4 x→4 x − x→4 x + Hàm số liên tục điểm x =  (x − 1)(x − 2)  + 2 = 2 lim f(x) = lim  x−1  x→1+ x→1+  Ta có : lim f(x) = lim ( ) lim f(x) = lim 3x2 + x − = ≠ lim f(x) x→1− x→1− x→1+ Hàm số không liên tục x = Hàm số liên tục x = 1, không liên tục điểm x = −1 Bài 2x + − 2x f(x) = lim = lim =1 Ta có : xlim →0 x→0 x(x + 1) x→0 x(x + 1) 2x + + ( Vậy ta chọn f(0) = ( ) ) 3x + + 2 f(x) = lim = Ta có : xlim →0 x→0   3 (2x + 8) + 2x + + 4÷   Vậy ta chọn f(0) = Bài Ta có: f(−1) = lim f(x) = lim ( 2x + 3) = x→−1− lim f(x) = lim x→−1+ x→−1+ lim x→−1− x+ x+ x2 − x − = lim x+ x→−1+ (x + 1)(x − x + 2) x− = x− x+ Suy lim+ f(x) ≠ lim− f(x) x→−1+ x→−1 x→−1 Vậy hàm số không liên tục x0 = −1 Ta có: f(0) =  x + 1+ x − 1+ x −  = lim  1+ ÷ ÷ x→0 x→0 x x   lim f(x) = lim x→0   = lim  1+ ÷ = = f(0) x→0 1− x − + x − 1 Vậy hàm số liên tục x = Ta có : limf(x) = lim x→1 x→4 x−1 1 = lim = = f(1) x − x→4 x2 + x + Hàm số liên tục điểm x =  (x + 1)(x − 2)  + 2x = 4 Ta có : lim f(x) = lim  + + x−  x→2 x→  ( ) lim f(x) = lim x2 − x + = ≠ lim f(x) x→ 2− x→2− x→2+ Hàm số không liên tục x0 = Bài 223 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ta có : lim+ f(x) = lim+ (x + x + 1) = x→0 x→0 lim f(x) = lim (x + 2a) = 2a x→0− x→0− Suy hàm số liên tục x = ⇔ a = 4x + − x→0 x ( ax + 2a + 1) Ta có : lim f(x) = lim x→0 = lim x→0 ( ax + 2a + 1) ( Hàm số liên tục x = ⇔ Ta có : lim f(x) = lim x→1+ x→1+ ) 4x + + = 2a + = 3⇔ a = − 2a + 3x + − 2 x −1 = a(x − 2) a = x− x→1− lim f(x) = lim x→1− Suy hàm số liên tục x = ⇔ a 3 = ⇒ a= Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập Bài 1 TXĐ : D = ¡ \ { 3; −2} Ta có hàm số liên tục x ∈ D hàm số gián đoạn x = −2,x =   1  ; +∞ ÷ TXĐ : D =  −∞; − ∪ 3        ; +∞ ÷ Ta có hàm số liên tục điểm x ∈  −∞; − ÷∪  3      lim f(x) = = f  − ÷⇒ −  hàm số liên tục trái x = −   1 x→ − ÷  lim 3   f(x) = = f  ÷⇒ + hàm số liên tục phải x =  3  ÷  x→  3  1  ; Hàm số gián đoạn điểm x ∈  − ÷ 3  π π  TXĐ : D = ¡ \  + k ,k ∈ ¢  4  Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm π π x = + k ,k ∈ ¢ Bài TXĐ : D = ¡ • Với x < ⇒ f(x) = x − 5x + ⇒ hàm số liên tục 2x3 − 16 • Với x > ⇒ f(x) = − x ⇒ hàm số liên tục • Tại x = ta có : f(2) = lim f(x) = lim ( − x) = ; + x→2+ x→ (x − 2)(x − 3) lim f(x) = lim x→ 2− x→2− =− ≠ lim f(x) 24 x→2+ 2(x − 2)(x + 2x + 4) Hàm số không liên tục x = 2 Hàm số xác định với x thuộc ¡ • Với x < 1⇒ f(x) = 1− x + ⇒ hàm số liên tục x+ • Với x > 1⇒ f(x) = x−1 x−1 • Tại x = ta có : f(1) = lim f(x) = lim x→1+ x→1+ x −1 x −1 ⇒ hàm số liên tục = lim x→1+ (x − 1)( x + 1) 3 (x − 1)( x + x + 1) = ; 1− x + 2 = = lim f(x) = f(1) x+ x→1+ x→2− x→1− Hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục ¡ Bài Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ gián đoạn x = Hàm số liên tục điểm x ≠ ±1và gián đoạn x = ±1 Bài lim f(x) = lim 225 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả π   a + b = a = ⇔ Hàm số liên tục ¡ ⇔  π − π a + b = −1  b =   a = Hàm số liên tục ¡ ⇔   b = −1 Bài x − + 2x − nên hàm số liên tục khoảng ¡ \ { 1} x−1 Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f(1) = 3m − Với x ≠ ta có f(x) = limf(x) = lim x→1 x→1 x − + 2x − x−1     x3 + x − = lim 1+  x→1 (x − 1) x2 − x3 x − + (x − 2)2 ÷       x2 + x +  =2 = lim 1+ 2 x→1  x − x x − + (x − 2)  Nên hàm số liên tục x = ⇔ 3m − = ⇔ m = Vậy m = 4 giá trị cần tìm x + 1− • Với x > ta có f(x) = nên hàm số liên tục ( 0; +∞ ) x • Với x < ta có f(x) = 2x2 + 3m + nên hàm số liên tục (−∞;0) Do hàm số liên tục ¡ hàm số liên tục x = Ta có: f(0) = 3m + lim f(x) = lim x→0+ x→0+ ( x + 1− 1 = lim = + x x + 1+ x→0 ) lim f(x) = lim 2x2 + 3m + = 3m + x→0− x→0− Do hàm số liên tục x = ⇔ 3m + = hàm số liên tục ¡ Với x > ta có hàm số liên tục Vậy m = − 1 ⇔ m= − Để hàm số liên tục ¡ hàm số phải liên tục khoảng ( −∞;2) liên tục x = • Hàm số liên tục ( −∞;2) tam thức g(x) = x2 − 2mx + 3m + ≠ 0, ∀x ≤ + 17 ∆ ' = m2 − 3m − ≤ − 17 ⇔ ≤ m≤ TH 1:  2 g(2) = −m + ≠ m2 − 3m − > ∆ ' = m2 − 3m − >  ⇔ m > TH 2:  x1 = m − ∆ ' >  ∆ ' < (m − 2)  + 17 + 17 m > ⇔ ⇔ < m< 2 m <  Nên − 17 ≤ m < (*) g(x) ≠ 0, ∀x ≤ 2 • lim+ f(x) = lim+ x→2 x→ lim f(x) = lim x→2− x→2− ( ) 2x − + = x+1 = 6− m x − 2mx + 3m + = ⇔ m = (thỏa (*)) Hàm số liên tục x = ⇔ 6− m Vậy m = giá trị cần tìm Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm Bài 1 Xét hàm số f(x) = x3 − 3x + 1, ta có hàm số liên tục R f(−2) = −1; f(0) = 1; f(1) = −1;f(2) = ⇒ f(−2).f(0) = −1 < 0,f(0).f(1) = −1 < 0,f(1).f(2) = −3 < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2;0),(0;1),(1;2) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Phương trình ⇔ 2x − = 63 x − ⇔ (2x − 3)3 − 216(x − 1) = Xét hàm số f(x) = (2x − 3)3 − 216(x − 1) , ta có hàm số liên tục R f(−4) = −251,f(0) = 189,f(1) = −1,f(7) = 35 227 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Suy ⇒ f(−4).f(0) < 0,f(0).f(1) < 0,f(1).f(7) < Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−4;0),(0;1),(1;7) Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm Bài Ta có hàm số f(x) = m ( x − 1) ( x + 2) + 2x + liên tục R f(1).f(−2) = −5 < ⇒ phương trình có nghiệm thuộc (−2;1) π Điều kiện : x ≠ k ,k ∈ ¢  π Xét hàm số f(x) = sinx − cosx − msinxcosx ,liên tục 0;   2 π f(0).f( ) = −1< phương trình f(x) = có nghiệm  π π x0 ∈  0; ÷ ⇒ x0 ≠ k  2 Do phương trình cho có nghiệm Hàm số f(x) = m ( x − a) ( x − c) + n ( x − b) ( x − d ) liên tục R f(a).f(c) = n2 ( a − b) ( a − d ) ( c − b) ( c − d ) ≤ ⇒ phuowngt rình cho có nghiệm Bài Đặt f(x) = ax2 + bx + c • c = ⇒ f(x) = có nghiệm x =  m + 1 −c • c ≠ ta có f(0) = c;f  ÷=  m +  m ( m + 2)  m + 1 −c2 ⇒ f(0).f  = < , suy phương trình f(x) = có ÷  m +  m ( m + 2) nghiệm Bài Gọi f(x) vế trái phương trình Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(1).f(−1) = −3 < Nên phương trình có nghiệm thuộc (−1;1) Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(−2)f(− ) < 0; 1 f(− )f(−1) < 0;f(−1).f( ) < 0;f( )f(1) < 0;f(1)f(3) < 2 Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(a)f(b)f(c) = −abc (a − b)(b − c)(c − a) < Nên ta có điều phải chứng minh f(x) lim f(x) < Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ xlim →−∞ x→+∞ Nên ta có điều phải chứng minh Ta có hàm số y = f(x) liên tục ¡ f(1).f(2) < Nên ta có điều phải chứng minh Bài Ta xét f( Mặt khác từ : ⇔ m f( n n2 n )=a + b + c m m m  a b c m  n2 n m + + =0 ⇒ + b + c÷+ c( − ) =  a 2 ÷ m n p m p n  m n2  n2 − pm pm − n2 pm − n2 n n ) + c = ⇔ f( ) = c= f(0) m m pm pm pn2 n2 * Xét c = Nếu a = ⇒ b = ⇒ f(x) đa thức không, f(x) có nghiệm (0;1) b n < f(x) = x(ax + b) = Nếu a ≠ 0, từ giả thiết ⇒ − = a m b ⇔ x = − ∈ (0;1) a pm − n2 n f (0) < ⇒ f(x) có nghiệm * Xét c ≠ , ta có: f  ÷.f(0) = pm  m n x ∈ (0; ) ⊂ (0;1) m Bài Xét hàm số g ( x) = f ( x) − x ,ta có y = g(x) liên tục 0;1 g(0)g(1) < nên tồn c ∈  0;1 :g(c) = ⇔ f(c) = c • Nếu f(0) = ta chọn c = • Nếu f(0) > Xét hàm số g(x) = f(x) − x , ta có hàm g liên tục [0; +∞) g(0) > f(x) f(a) = L < nên tồn số a > cho < 1⇒ g(a) < Vì lim x→+∞ x a ⇒ g(0).g(a) < nên tồn số thực c ∈ ( 0;a) cho g(c) = Hay f(c) = c  x  x  x  Ta có: f(x) = ff ÷ =  ÷ = = f  n ÷   3  3  x Cho n → ∞ ⇒ n → 0, ∀x 229 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Suy ra: f(x) = f(0) = a, ∀x ∈ ¡ Vậy f hàm  1 Xét hàm số g(x) = f  x + ÷ − f(x) , ta có g hàm liên tục n  n−1 Và k  n − 1 0; n    n−1   k + 1  k   ÷ −  ÷ = f(1) − f(0) = n   n  k =0  ∑ g  n ÷ = ∑ ff k =0 i   j Suy tồn hai số i,j ∈ { 0,1, ,n − 1} cho : g  ÷.g  ÷ <  n  n Hay phương trình : g(x) = ⇔ f(x) − f(x + ) = có nghiệm 0;1 n Bài Xét hàm số : g(x) = nf(x) − f(x1) − f(x2) − − f(xn ) liên tục [a ;b] Vì f liên tục đoạn [a ;b] nên tồn giá trị lớn M, nhỏ m tồn α ,β ∈ a,b cho f(α) = m,f(β) = M ⇒ g(α).g(β) < Hàm số : f(x) = cosx − x2 liên tục ¡ f(0).f(1) = 1(cos1− 1) < Suy ∃α ∈ ( 0;1) :f(α) = hay cosα = α Mặt khác hàm số y = cosx hàm nghịch biến (0;1) , hàm y = x2 hàm đồng biến ( 0;1) nên α số Hàm số g(x) = xtanx − liên tục ( 0;1) f(0).f(1) = −1(tan1− 1) < , đồng thời hàm số g(x) đồng biến (0;1) nên tồn số thực β ∈(0;1) cho β tan β − = Vì sinx < x ∀x > nên g(α) = sin α − 1< = f(β) ⇒ α < β α ... Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn 4 Cho dãy số (un ) thỏa: un + un+1 ≥ 2un+ dãy (un ) bị chặn Chứng minh dãy (un ) tồn giới hạn hữu tìm giới hạn u0 = 1,u1 =  Cho dãy (un )... + n2 + 3n + Bài Chứng minh dãy số (un ) : un = (−1)n n khơng có giới hạn Bài Chứng minh giới hạn sau: lim an =0 n! lim n a = với a > Bài Nếu dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình... minh dãy  u n+ = n+  (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn u1 =  u2n + 4un + Cho dãy số (un ) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số u = ,n ≥  n+ un + u n +  (un ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn