Chương IV GIỚI HẠN A GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
§1 DAY CO GIGI HAN 0
1 Định nghĩa dãy số giới han 0
Định nghĩa:
Ta nói rằng dãy số (u,) cớ giới hạn là 0 (hay có giới hạn 0) nếu mọi số hạng của
dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số
hạng nào đó trở đi
Khi đó ta viết lim (u,) = 0, viết tắt là lim(u,) = 0 hoặc limu, = 0 hoặc u,—>0 noo
Nhận xét: Dãy số (u,) có giới hạn 0 khi và chỉ khi day số 6) có giới hạn 0
2 Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
Sử dụng định nghĩa, người ta chứng minh được rằng 1 1 1 a lim— =0; lim—— =0, lim— =0, n vn Vn Nói rộng hơn lim ir = 0 (k là số nguyên dương cho trước); n
b Dãy không đổi (u,), với u„ = 0 có giới hạn 0.;
c Néu Iq! < I thì limq" = 0
Trang 2§2 DAY CO GIGI HAN
1 Định nghĩa dãy số giới hạn
Xét dãy số (u,) với u„= 9 + st © U,— vn 1 Ta có: lim(u,— 9) = lm—— =0 vn Ta nói rằng dãy số đã cho có giới hạn là 9 Một cách tổng quát, ta có:
Định nghĩa: Ta nói rang day sé (u,) có giới hạn là số thực L nếu lim(u, — L) = 0 Khi đó ta viết lim (u,) = L, viết tắt là lim(u,) = L hoặc limu,= L hoặc u,—> L I 9= —= vn Thí dụ 3 Chứng minh: n n 3 a lim 3.2" -(1) =3; b lim sin tn + 4Vn =4 n fn c lim(u,) = c véi u, = (c 1a hang sé) Loi giai a Ta có Gan = im(-2) =0<— lim 222) _ =0 3 oo b Ta có lim [re _ ‘ = lim 2 sin mn 1 Í sinan < — và Ìlim—— =0 >lim——— =0 Ye Ya ; 3 ey : Tn 3 c lim sinn + 4‡ƒn 4] 206 lim sinn + 4Ÿ/n | Vn Vn c Ta có lim(u„— c) = Íin(c — c) = lim0 = 0 © lim(u,) = c (đpcm) 2 Một số định lý
Định lý I: Giả sử lim u, = L Khi d6
a limlu,| = ILI và lim‡ƒu„ =WL
b Nếu u,> 0 với mọi n thì L > 0 và lim./u„ =XL
Dinh ly 2: Gia str lim u, = L, lim v, = M vac la hang s6 Khi đó
Trang 3Định lý 3: (Định lý kẹp về giới hạn) Cho ba dãy số (v,), (u,), (w,) và số thực L Vv, su, sw a n Nếu với mọi n ta có | thì (u,) có giới hạn va limu, = L limv, =limw, = Dinh ly 4: (Vai-o-xto-rat-xo)
a Day số tăng va bi chặn trên thì có giới hạn
b Day số giảm va bị chặn dưới thì có giới hạn 3 Kết quả đáng nhớ a i + | =e (e=2,7 18281828459 ) on b Téng cua cp sé nhan lai v6 han (Iqi < 1) 18: S=u,+uqtuq es = a ~q 4 Các thí dụ Thí dụ 1 Với k là số nguyên dương và c là hằng số, ta có: lim — = clim — =0 n n Thí dụ 2 lim 3 „ sng + 3n) - 4 n ` 24 n? và lim + ŸÊG c2) 2, n? 4 Thí dụ 3 Tìm các giới hạn sau đây: 2n°+n”~7 _ 13n?-3n+2 oo b lim——————— - 9n" -3n" +n+l n> +4n° +1 Lời giải
(Chia cho luỹ thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức của phân thức)
Trang 4Lời giải Ta có: 3n+2 3n+2 2, 3n n\o (22) = [+2] (142) [i++] = (102+) (142) () n j n/ n n non n 2 l elim| I+—+——| =l+0+0=l (2) n n7 s=(-Ðj]lÍJÏI-gjeg]<eee 5 3n+2 Tir (1), (2), (3) suy ra lim (221) =le=e’ n Thi du 5 Tinh téng’‘S= 2++41 4 ` 2 2“ 2° Lời giải - Rõ ràng S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u, = 1 2 + q= D nên áp dụng công thức S= “_ tacéS= 55 - l l-q 1-0,5
Bạn biết thêm : Một cách minh hoa hình học tổng trên Xét tam giác ABC có diện tích bằng I
Gọi A,,A-, A¿, theo thứ tự là trung điểm AC, A,C, A;C, và Bị, B;,Bạ theo
thứ tự là trung điểm BC, B,C, B;C, ta có :
~ Diện tích tam giác ABB, bằng 3
— Diện tích tam giác AB,A, bằng x
Trang 5Lời giải
a Viết lại 0,3333 25 24+ 2+ 24+ I0 102 105 10 #
= 0,3333 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u, =: = „q 03333 ,= -10_ - } Bê 3 10 b Viết lại 7,28282828 = 7 + 0,28282828 Ta c6: 028282828 = 2% + 25 +78, 28, 100 1002 100° 100 => 0,28282828 là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn vớ: u, = 28 q= —— 100 100 28 nên 028282828 = _100_ - 28 1 99 100 Từ đó suy ra 7 + 0,28282828 =74 2% = 72! pay 728082828 = 2! 99 99 99
Thí dụ 7 Gọi C là đường tròn đường kính AB = 2a (a là số thực dương cho trước)
C; là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính = ,
: co ca AB
C; là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính Sp
~
C, là đường gồm 2" nửa đường tròn đường kính "
Gọi p„ là độ dài của C, và S, diện tích hình phẳng giới hạn bởi C„ và đoạn thẳng AB a Tinh p, va C, b Tìm giới hạn của các dãy số (p,) và (S,) Lời giải
a Mỗi đường tròn đường kính ^Š có bán kính là r,= -^P = _2® = -Â suy ra 2n 2n+l 2nrl 2n
e Nửa chu vi của nó là mr, hay ¬ —=Pp,= = = ra
2 : 2 2
e Diện tích của nó là nr? hay {= => S, = 2" (=) = >
b
e Thấy rằng (p,) là dãy số không déi va limp, = limza = 7a (bằng nửa độ dài đường tròn đường kính AB)
Trang 6e Thấy rằng (S,) là cấp số nhân lùi vô hạn có S¡ = > , công bội là q = 5 Bởi vậy, theo định nghĩa tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ta có: na” = a = xa?, (bằng diện tích đường tròn đường kính AB) †— 3 Thí dụ 8 Cho lại < 1, lQI < 1 Biết rằng: a=l+q+g + +d? + b=l+Q+Q + +Q"'+ Tính tổng S= l + qQ + q?Q° + + q"Q"+ Lời giải lim S, = nt Thấy rằng:
e a là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u = 1 và có công bội là q
e b là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l và có công bội là Q
e© S là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u, = l và có công bội là qQ Theo công thức tông của một cấp số nhân lùi vô hạn ta có + a=—— > q=l (1) I~q a +b=—— =Q=I-2 (2) I-Q - b I + S=—— (3) I~qQ I ab ab Th ay (1), (2) vào (3) c 1), 2) va 3)c6:S= xí) ab-(a-l)\(b~l) a+b-l = 2 aJ, ob
§3 DAY DAN TOI VO CUC
1 Cac dinh nghia
Dinh nghia 1; Ta noi rang day số (u,) có giới hạn là + œ nếu mọi số hạng của
dãy số đều lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở
đi Khi đó ta viết:
lim(u,) = + œ, viết tắt là lim(u,)= + œ
n-»+œ®
hoặc limu,= + œ hoặc u, —> + œ
Định nghĩa 2: Ta nói rằng đấy số (u,) có giới hạn là —œ nếu mọi số hạng của
Trang 7Thí dụ 1 [~ ; elimn= +o: lmvn = +2: limVn os tor: lim2" = ber : : n 3f , an? ® lim(] — 2n)=->z: lim N- Nose lim 2 -¢ 5 Chú y:
+ Các dãy số có giới hạn là + œ và —œ được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực
+ Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn
2 Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Vì + œ và -œ không phải là các số thực nên không áp dụng được các định lý trong §2 Ta thừa nhận các quy tắc sau: Quy tắc 1 limu, limv, lim(u,v,) Ti +oo +œ +œ
Nếu limu, = £00 va limv,, = +09 thi $00 —œ —œ
lim(u,v,) được cho trong bảng bên: —œ 400 —œ
—œ —0O +00
Quy tắc 2 limu, Dấu của L lim(u,v,)
, +œ + +œ
Nếu limu, = +00 va limv, = L # 0 thì +0 _ —œ lim(u,v,) được cho trong bảng bên: —œ + —œ
—œ - +œ
Quy tác 3 Dấu của L Dấu của vụ lim(u,v,)
Trang 85 — 2 X.- 5 +00 5n +4n~Ï s.4_ 1 n n° (vì im(2n—4 + 2] =0, iim(s+ 4-5] =5) n n° n oon 13 22 c lim 13—-2n? +3n” =lim+ n _9-0+3 3 I~7nÌ ly 0-7 7 3 n
Nhận xét: Bằng cách chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu
Trang 9Thí dụ 5 Từn lim 42.3" —n +5
Lời giải
Theo Thí dụ 5§1 chương Ï : (1 + a)" > 1 + na + “ŒL=1 a’,
Với a = 2 có: (l + 2)"> 1+ 2n + 2n(n— 1) hay 3°21 + 2n? suy rt 2 2.3°~n+5>2(1 +2n’?)-n+5=4n-n+7= [n-2) +3nˆ+ - > 1 VneN* l l < 42.3"-n+5_ A4n?-n+7 Lại có lim———— =0 (2) 4l4n?—n+7 Từ (1), (2) suy ra lim————— =0=> limv2.3" -n+5 = +0 V2.3" —n+5 Thí dụ 6 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 6 và tổng của hai số hạng Suy ra 0< (1) đầu bing Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân ấy Lời giải
Goi u,, q theo thứ tự là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đã cho
Tổng của cấp số nhân bằng 6 nghĩa là S = _— =6 =>u,=6(I -q () I-q 2 ~ is 9 Tựa 9 9 Tông hai số hạng đầu bang 2 nghia 1a u, + u,q = 1 u,(+q)= P (2) Thay (1) vào (2) có 6(1~q) +4)= 2 œ1 =g)= Š ` 1 4 4 Thay vao (1): * Voi q=5 có u =6(1= -)=3 <Ằ>q=‡d— q52 * Với q=~2 có u =6(1 + 2) =9 Vậy ta cé hai cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân thoả mãn yêu cầu bài 1 l toán là: (u, (u, = 3; q= —),(u,=9;q=——) q 2 ), (uụ q 2 ) u, =Ì Thí dụ 7 Cho dãy số (u,) : (1) n+l u, =-2-3,khin>2 2
a Chứng minh dãy (v,) xác định bởi v, = u, + 6 1a mét c4p s6 nhan b Tim lim u,
Trang 10
Lời giải
a Ta có v„ạ= uy, + 6 © uạ= vạ— 6 (2)
—6
Thay (2) vào (]) có Vie1-~6= Vụ ne1i= > = (vạ) là cấp số nhân với công bội q = 5 và vạ= l+6=7, Bởi thế (v„) có số hạng tổng quát là v„ = 7 : Qn! Thay vào (2) ta có uạ = sar - 6 Đó là số hạng tổng quát của dãy số (u,) 7 b lim u, = lim ( -6] =0—6=-6 Vậy lim u, = —6 2m1] BÀI TẬP Bài 1 Tìm các giới hạn sau l‡n-2n” I+án _ 13n°+8n~-l a lm————————, b lim——————r, c lim———————- 2-n+nˆ I+nˆ -5n” án +n+3
Bài 2 Tìm các giới hạn sau :
a lim L†Zt3t b lim(+Ín + sin?(n + 1) —+/n — cos?(n + 1) ) l+n” Bài 3 Tìm các giới hạn sau : 2n+! a im{ 2 = ; b lim tt c lim V3.4" -n4+1 n+1 3° 42771 u, =3 Bài 4 Cho diy số (u,): n+ 1 ==®*+4,khin>2 3
a Gọi (v,) là dãy xác định bởi v„ = u„ + œ Tìm œ để (v,) là một cấp số nhân
b Tim lim u,,
Bai 5 Biéu thi moi số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số
a 2,22222 b 5,123123123
Bai 6 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Hình vuông A,B, C, D,có đỉnh là
trung điểm các cạnh của hình vuông ABCPD, hình vuông A,B,C,D, cé đỉnh là trung
điểm các cạnh của hình vuông A,B,C,D,, , hình vuông A,B,C,D, có đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông A,_,B„_.C,_¡D,s,, GỌI pị, p›› Pạ và SỊ, S, ,
Trang 11Bai 8 Cho lal<1 Tính các tổng sau: a.1+2q+3q?+ +nq"'+ b.1+4q4+9q° + +n°q™' + 30-1 c.1+8q+27q?+ +nq"'+ , B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN 1ỤC §4 KIẾN THỨC CƠ BẢN I, Các định nghĩa
a Giới hạn tại một điểm
Giả sử xạ là một điểm thuộc khoảng (a; b), f(x) là một hàm số xác định trên
khoảng (a; bì có thể không xác định tại Xọ
Định nghĩa † (giới hạn hữu hạn)
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dan đến xạ (hoặc tại điểm
Xọ) nếu với mọi dãy số (x,) trong tập hợp (a; b)\xe}(tức là x„e(a; b) và x„# xạ) mà
limx, = xạ ta đều có limf(x,) = L
Khi đó ta viết: lim f(x)= L hoặc f(x)—>L khi x—>Xạ
X~>Xu
(Theo định nghĩa đó :
e Nếu f(x) = c (hằng số) thì lim f(x) = limc =c
X—>Xụ XX, e Néu f(x) =x thi lim f(x) =limx = Xo.) Định nghĩa 2 (giới hạn vô cực)
Ta nói rằng ham số f có giới hạn là vô cực khi x dần đến xạ (hoặc tại điểm xạ)
nếu với mọi dãy số (x,) trong tập hợp (a; b)\{xo}(tttc 14 x,e(a; b) va x, # Xo) ma
limxX,, = Xp ta déu cé limf(x,) = 0
Khi đó ta viết lim f(x)= œ hoặc f(x)—>œ khi x—>Xạ
b Giới hạn tại vô cực
Định nghĩa 3 (tại vô cực)
e Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoang (a; +00)
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dân đến + œ© nếu với mọi
day s6 (x,) trong khoảng (a; +œ) (tức là x„> a với mọi n) mà limx„ = +œ ta đều có limf(x,) = L Khi đó ta viết: lim Í(x) = L hoặc f(x)—>L khi x—> + x¬+œ se lim f(x)=L, lim f(x)= +0, lim f(x) =—o duoc định nghĩa tương tự c Giới hạn một bên
Định nghĩa 4 (giới hạn phải)
Giả sử f(x) là một hàm số xác định trên khoảng (xạ; b) (xạc R )
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn phải là số thực L khi x dần đến xọ (hoặc tại điểm xo) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (xạ; b) mà limx, = xạ ta đều có limf(x,) = L
Trang 12Khi đó ta viết: lim f(x) = L hoặc f(x)->L khi x—>xạ
Định nghĩa 5 (giới hạn trái)
Gia sử f(x) là một hàm số xác định trên khoảng ( a; xạ) (xạeR)
Ta nói rằng hàm số f có giới hạn trái là số thực L khi x dần đến xạ (hoặc tại điểm
xọ) nếu với mọi dãy số (x,) trong khoảng (a; xẹ) mà limx, = xọ ta đều có limf(x,) = © Khi đó ta viết lim f(x) = L hoặc f(x)—>L khi xx 4
x¬^%
Nhận xét: Hàm số f có lim f(x) = L khi và chỉ khi nó có lim f(x) = lim f(x)=L X—Xọ KX XG Điều nói trên đúng cả giới hạn vô cực IL Định lý và quy tắc 1 Giới hạn hữu hạn Định lý I: Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) =M (L,MeR) Khi đó a lim [f(x)+g(x)] =L+M; b lim [f(x)-g(x)] =L-™M; c lim [f(x)g(x)] = LM Đặc biệt, nếu c là hằng số thì lim [c.ƒ(x)] = c.L d Nếu MzZ0thì im C2 xx) g(x) M
(Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số tại một điểm bằng tổng, hiệu, tích, thương các giới hạn của chúng tại điểm đó.(trong trường hợp thương,
giới hạn cuả mẫu phải khác không))
Nhận xér: Nếu k là số nguyên dương và a là hằng số thì với mọi xạeR, ta có: lim ax* = ax‘ x¬Xp Dinh ly 2: Giả sử lim f(x) = L Khi đó X¬—Xo a lim lf(x)l = lLI; b lim $f(x) =ŸL ;
c Nếu f(x) > 0 với mọi x # xọ thì L> 0 và lim Jf(x) = VL
Định lý 3: (kẹp) Giả sử f, h và g là ba hàm số xác định trên khoảng (a; b) chứa
điểm xạ (có thể không xác định tại xạ)
Néu f(x) < h(x) < g(x) v6i moi xE(a; b)\{ Xp} va lim f(x)= lim g(x) =L(LeR)
X—>Xụ XX yy
thì lim h(x) = L
Chi y:
Trang 13Định lý 4: lim Đ* x0 Xx 2 Giới hạn vô cực Khi gặp giới hạn vô cực, bạn có thể áp dụng các quy tắc sau : = 1 Quy tắc 1 limu, limv, lim(u,v,) oa vấn _ +00 +00 +00
Néu lim f(x) = +œ và lim g(x) =L #0 +œ —œ —œ thì lim [fx)g(x)] được cho trong bảng bên: ~œ +œ ~e
X>Xọ —©œ —œ +00
Quy tác 2 limu, Dấu của L ¡ lim(u,v,)
Nếu lim f(x) =L #0, lim g(x) = 0 va g(x )# 0 +œ + +œ X¬—ọ - X—PXy +00 _ —0O thi lim 1œ) được cho trong bảng bên: —œ + —œ x>x¿ g(X) —œ — +œ Chú ý I: eNếu lim g(x) = Ö và g(x) #0 thì lim = +0 XX xg | g(x) e Nếu lim lf(x)l =+© thì lim |e 0 X->Xo xu 1 f(x) | Chú ý 2: Một số kết quả thng s dng
eô lim xơ^đ~ Y è = lim L =0 xơ+đ Y
Trang 14c lim(x —V5x? +4) =1- V5.144 =1-3=2 xl Thí dụ 2 Tìm các giới hạn sau: . 2x? -5x+2 "x7 +2x-8 a lim ———————_ ;; b lim —————— xạ 1-2x xa-4 x" 4+ 4x Lời giải 2 —— — — a lim 2x et 2 = lim ex =) = lim(2 -x) = — xi l—2x rol 1-2x Am 2 2 2 2 _ _ _ b lim X †2X-8 _ mŒ-2ŒX+4)_ un X2 „3, x—>-4 x? +4x x—>-4 x(x +4) x>-4 X 2
Trang 15lim g(x)= lim =8
b Ta có 4*>-2 x-2 X +] => lim g(x) =8
tim f(x)= lim (x+l0)=8 *?2
Lời bình 2: Giới hạn của hàm số và giá trị của hàm số tại điểm lấy giới hạn có
thể bằng nhau, có thể khác nhau (đó cũng là lẽ tự nhiên) Trong thí dụ trên: lim f(x) ¥ f(1) = —13; lim g(x) = g(-2) = 8 Thi du 5 3x -2 ,khix<0 _ a Tim cdc giới hạn của hàm số g(x) = 4 x+] —_ tại x =0 x+10,khix>0 3 x +] ; ——,khix<-I > wae b Tim m dé ham s6 h(x) = { x +1] xs cé gidi han tai x =—1 mx? —x+m?,khix >—1 Loi giai ~2 lim g(x) = lim =~2 a Ta có: 4x20 x90 X +1 ‘| lim g(x) = lim (x + 10) = 10 x—>0° x-0° Thấy rằng lim g(x) # lim g(x) nén hàm số không có giới hạn tại x = 0 x0" x—x›0° 3 lim h(x) = tim 2! = jim (x? =x +1) =3 b Ta có: 4x>-L x+-l x +] x¬-l" lim h(x) = lim (mx? -x+m?)=m?+m+41 xo-l" x¬-l! Hàm số có giới hạn tại x = —l khi và chỉ khi lim h(x) = lim h(x) x17 x-1* 2o3=m+m+1om'+m-2=00 (m=1;m=-2}
Lời bình 3 Mặc dầu hàm số xác định tại điểm x = a, nhưng giới hạn của hàm số
Trang 16b Chia cả tử thức và mẫu thức cho x’, ta cé: xe + 3 lim mx - t3 = lim ——X—X~ = lim Š = +0 x¬+ø 3x7 +4x_—] x74 4 4 l x+m 3 yD x X c Chia cả tử thức và mẫu thức cho xỶ, ta có: ` 3.1, 32 im — T*—_= im —X—XẺ_=-Ủ =g s¬nn4+54—2 X0 sản 4 5 2 S2 “3.2, x” X
Nhắc lại: Để tính giới hạn tại vô cực, bạn có thể chia cho luỹ thừa bậc cao nhất
Trang 17Lời giải 7 „ |2sin 3x + 3cos 2x | ` 3+2 5 Với mọi xeR có 0 < 5 < — = — 2x° +2x+4+1 2x +x+l 2x“ +x+l Ta có lim 5 =0 lim |2sin3x + 3cos2x Ì =0->K=0 x>= 2x“ +Xx+Ì x0 2x7 +2x+1
II Ki thuật tìm giới hạn dạng vô định
1 Dang —,—: lim——, trong dé lim f(x) =lim g(x) = 0, hoặc 4 *Ê
"G0 x¬A g(x) lim g(x) = too
2 Dang 0.0: lim {f(x)g(x)], trong dé lim f(x) = 0, lim 2(x) = too lim f(x) = lim n B(x) = +00
x>
3 Dạng œ~œ: lim [f(x)-g(x)], trong dé ạng œ~e: lim [f(x}-g@x)], trong đó hoặc Him f(x) = lim B(x) = —20
( lim được hiểu A thay cho một trong các kí tự Xọ, x4 osXạ, +9, —œ)
x^A
Để tìm giới hạn các dạng trên, bạn phải khử dạng vô định Các bạn theo dõi một
số kỹ thuật thường dùng để khử dạng vô định trong mỗi thí dụ dưới đây
Trang 18Nên lim(1~x) xt =~ lim | =Đ6+3) =0 xi" Vx? 42x -3 xi x+3 Kĩ thuật 3 Nhán biểu thức liên hợp
Hằng đẳng thức Liên hợp với a-b | Liên hợp với a+b
a°— bỉ =(a— b)(a +b}) a+b a-—b
Trang 19Nên lim (1 ~ x), x17 — = — im — = 0 x” +2x —3 x1" x+3 Kĩ thuật 3 Nhân biểu thức liên hop
Hằng đẳng thức Liên hợp vớia-b_ | Liên hợp với a+b
?— b°=(a-— b)(a +b) a+b a-b
a”— b° =(a - b)(a” + ab + b) a°-ab + bỉ a’—ab+b
Trang 20Kĩ thuật 4 Đổi biến
Thí dụ 18”) (Dạng œ - œ ) Tìm gidi han K = lim (Vx* + 3x? — Vx? -2x)
Loi giai
Viét lai K= lim 'Í-š -[i-2}]- os 1 =
x—<+œ X X X
Khi x —>oœ <>y >0, ta có:
K = lim Vit 3y -vI-2y ins = tn WE cua và y¬0 | y y Tóm lại: K = 2 4 _ 5 _ Thí dụ 19, (Dạng 5) Tim lim v2 lity TS Thế Y 2x I1 xTZ, X— Lồi giải Đặt x =t + 1, x —> 1 khi và chỉ khi t —> 0, ta có ¬== = _ if Meat ett xoi Xx~Ì xi { t~>0 t t 7 —+—-=— 2 5 10 ca: V2K-149x-2 7 Tóm lại lim *“#=—- x X— TT ==^ = Thi du 20.(Dang 0.20) Tim lim (5 - x)tan So - Lời giải Đặt x = 5 — t Khi x —> Š5 & t—>0 Ta có: số nt lim ttan TỢ =0 = lim tan Š~ 1g) = lim = 10 im 10 = 107, t0 10 10 2 | 130 HAI T t>0 TẾ tT tan — tg— 10 10 Tóm lại: lim (5— ~x)tan = 19 x35 10 TN Lời bình: Với mọi a # 0, bằng cách đặt x =a- t, bạn có kết quả: ' tmx 2a lim (a — x)tan—- = — xa 2a T1
III Phương pháp gọi số hạng vắng
Trang 21* Hoặc là đưa về dạng `*cơ bản”, quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải Trong các bài tập khó, các hạng tử cấu thành nhân tử chung thường thiếu vắng
Để giải quyết bài toán, điểm mấu chốt là khôi phục các hạng tử thiếu vắng đó
Việc khôi phục, gọi lại các hạng tử đó như thế nào, bằng cách nào, sẽ được trình
bày trong ba phương pháp dưới đây Kĩ thuật 5 Gọi số hạng vắng bằng hệ số bất định 5 _ 3 -Ÿx?+7 Thi du 21 Tim lim xl x7 -] Lời giải ¬ -Đ\x?+7 Sax’? Vx?+7-2 Ta có: lim—————>—————— = 5 (1) xi x" =Ï lim X —Ì 5-x? -2 1-x? lim——————— =_ lim xi x? — | x1 (x? —1)( ls_ x3 +2) = tim XH) _3 (2) *>! Íx+1XVj5—x" +2) 8 _ Vx? +7-2 x? -1 lim———=————— = lim vơi x? =] 1x2 lx? +7 +8Äk 1+4 = lim (3) x>! Äj(x? +7)” ae +744
Thay (2), (3) vào (1) có: A=—2 L =3! 8 12 24
Lời bình 1: Trong lời giải trên ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của f(x) Ba câu hỏi đặt ra:
(1) Tại sao phải có số 2? (2) Tại sao lại là số 2? (3) Tìm số 2 như thế nào?
Trả lời ba câu hỏi đó ta có phương pháp giải loại toán này
* Trả lời câu hỏi 1: Số 2 là hạng tử đã bị xoá Muốn giải, ta phải khôi phục nó
* Trả lời câu hỏi 3: Cách tìm số 2, thực hiện theo các bước sau đây: V¥5-x? -c Nx" +7—-c x? -1 x? Bước]: Với mọi c e R, luôn có : ƒ(x)= -l
Bước 2: Trong các số c đó, ta tìm số c sao cho x”—l cùng có nhân tử chung với
ƒŒ&) = Ý5—x? - e và ƒa(x) = {x?+7— c Điểu đó xấẩy ra khi và chỉ khi c là
nghiệm của tuyển:
Trang 22‘; ()=0 c= f,()=0 = f,(-—1) =0 | f,(-1) =0
Đó cũng là câu trả lời tại sao lại là số 2
Qua thí dụ trên, chúng ta nêu lên thuật toán như sau: c=V6 & c=2 © Thudt todn 1: Gia si F(x) = +2 c6 gidi han dang g(x) Bước 1: Phân tích ƒ@&)= h2 +€ „ hOI=e | g(%) g(x) Bước 2 (Tim c): Goi @, (i = 1; 2; ) là nghiệm của g(x) = 0 ae as ys f(œ)+c=0 „ Khi đó c là nghiệm của hệ (i = 1; 23 ) f,(a;)-c =0
Với c tìm được thì lim CO Ê€ và tim BC sẽ hoặc là dạng xác định, xa, g(x) xX; g(x) hoặc là dang quen thuộc
Sau khi tìm được c, việc trình bày lời giải như đã làm 3 — Thí dụ 22 Tìm lim X11 -Ÿ8—x x0 X Lai giai X FT 23 i -—-C
Bước 1: (Phân tích) VceR, luôn có: /x)= ZYX‡1=€_ x x Š
Bước 2: (Tìm c) Nghiệm của mẫu thức là x = 0 V0+1-c=0 Suy ra c là nghiệm của hệ I, 0 0” c= 1 Vay —-—-c= xl x xe] X x90 2°24) «12 | X — 3 —_— —_ Wx+1-¥8-x Vil¢tx-l 8 1 1 13 lim“—————————— =2| lim—————-lim———— | =2|—' =—— X
Lời bình 2: Ở phương pháp 1, nhân tử chung được khử để đưa giới hạn về dạng
Trang 23Loi giai -
Goi A= V1+xsin3x —ycos2x = (V1 4+ xsin3x —1)4+ (1—Vcos2x ) _ il +xsin3x ~1)\(V¥14+xsin3x +1) _ (= cos2x)(1 + ¥cos 2x ) V1+xsin3x +1 1+ -Vcos2x
Trang 24Kĩ thuật 6 Gọi số hạng vắng bằng tách bộ phận kép , Ñ f _ Ñ Áp dụng cho dạng lim Km x—a x — a {n, m, k là các số tu nhién, 1 <k < min(n, m) } 3+ v2 _ 3loy2 Thi du 25 Tìm K =tim x0 +* + Ox 49° W9x? +27x +27 xX" Lời giải Gọi A = &x° +x?+6x+9=8x'+(x+3)—= A(x +3)" = Bx" Goi B = 9x? + 27x + 27 = x—( + 3)’ => (x +3)-B=x° _ -3/B Viết lại: K = lim (“A +3) HH) = (1) x0 X X Gọi K,= lim} =Œ+3) & jig ADE AD" 2 tim — 3 ——— x90 X x0 x” (JA +x +3) x90 x" x3(VA +x +3) 8 8 4 = lim =— (2) 10(JA 4x43) V9+3 3 3 Goi Ky = lim a VB _ tìm &‡3) - „ °*9 x°[œ +3)” aan VB?) x? = lim £99 x2[(x +3)? +(x+3)Ä/B + VB? ] = lim £0 1(x 43)? +(x +3)VB + VB] = 3?+3/27+12? 9+9+9 2ï a —@) 4 | 37 37
Từ (1), (2), B (1), 2), (©) suy ra -K=K,+K, itKa= 3 4 57 = 9g Tom BS 35 =— + — =—.TémlaK= —
Trang 25(QAx), Q,(x) theo thứ tự là biểu thức liên hợp của 'ÿf(x) — h(x), h(x) —- t/g(x) )
Suy ra K = lim its) _ + lim 81%) xa (x—a)*Q,(x) x8 (x-a)*Q,(x) Thí dụ 26” Tìm giới hạn K = lim vcos x h0 2x - 2x - VYiron? ax xẢ Lời giải Goi A = cos2x — 2x = 1 — 2x + x?— x?- (1 — cos2x) = (1 — x)?— x’ 2sin’x <> A -(1-x)? =—x?- 2sin’x Goi B=+/1+2x? -— 4x = 1 —4x + 6x?- 4x? + x*— x4 + 4x)— 6x?— 1+ VI+2x? = (1+x)*— x* + 4x3- 6x?— 1+ VI+2x? <> (1+x)'- B= x!— 4x? + 6x? + 1 -V14 2x? _ — _ _4 Viết lại k~ In “A G1, 0) = x0 X x” (1) _fn 2 _x2_ 3 : 2
Goi K, = lim YA =d=*) _ x) = lim A-(l-x) = lim x 2sin” xX
O0 X *20 x2(/A +I—x) *20x2(VA +I—x)
vie of sa) X —=Ì—¿& 1—2.1 3
Trang 26Lời giải in V (1+ 2x)(14+ x2) —3/(1 + 3x)(1 + 3x2) x0 x? Ta có: —- = 5 Goi A = (1 + 2x)(1 +x?) =2x? + (x41 => A-(x4+1)= 2x’, limA =1 x0 Goi B= (1 = 3x)(I + 3x?) = 8x? + (x + 1)? => (x + 1)-B= -8x'3 limB = 1 x0 _3 Viét lai Jt = lim K, x0 nen Re x x" | (1) 2 3
Goi I = lim VA=(+D lim _A-@œ+ÙD_ _ = lim m-
x0 x" 0 x3(JA+x+1) xo9xi (JA +x 41) 2 = lim——————- = Ì (2) 0(JA 4x41) _ : 3_BR Gọi J= lim G+D—ŸB _ lim (x+1) x70 X 0 T(x +1? +(x + DYB 4+ VB? ] — 8x3 = iim £90 (x 41)? ++ RBs 17} _8 = lim (3) 29 [(x + j)2 man i 8 5 3 Ti HO ONE E 1), (2), 8 : =Í+]=Ì-—- =_—-_— + 3 3 K,= — & 5 tw Chu y: ,
1 Biểu thức h(x) được nội suy trong f(x), g(x) Việc phân tách bộ phận kép h(x) chỉ làm trên nháp, không cần trình bày trên bài làm (Các bạn theo dõi thí dụ 28)
2 Các hạng tử của h(x) chứa số mũ từ 0 đến k—l có mặt vừa vặn trong các biểu
Trang 27-Ì x+3 ` lim x0 Jis2x+1+x (1+x)? +(L+x)Ơ143x + Ơ/(14 3x) 1 ơ 2 Irl+l 2 : 2 Kĩ thuật 7 Cọi số hạng vắng bằng tái hiện hệ thức cơ bản Vl+ax—-l a lim——————=— (5) x0 X n 2 7 Thí dụ 29, Tìm K = lim & AUSSI KT x> X Lời giải Biến đổi: (x? +1998)V1—2x — 1998 _ (x? +1998)/1—2x —(x? +1998) + (x? + 1998) — 1998 x X = (X'+ 1998) via 2x-! X = K= i "` | = tim (2 + 1998) 12 = tims X X x = 1998(-2) +0= — 222° Tom lai K = _ %5 7 7 7 Lời bình 3: Trong thí dụ trên, điểm mấu chốt là bớt - thêm (x” + 1998) vào tử J1-2x -I thức làm xuất hiện nhân tử ——————— dẫn đến sự thành công của lời giải X Qua thí dụ trên, ta nêu lên thuật toán như sau : P(x)V14+ax + Q(x) e Thuật toán 3: Giả stt F(x) = Để tìm lim F(), ta biến đổi: F(x) = P(x )¥14+ ax — P(x) _ Pea) +060 = P(x) Vl+ax —1 + F(x) X X X với R6) = CC X 99) ) Suy ra: lim F(x) = — 2 lim P(x) + lim F,(x) x0 n x70
Hang tir vang 6 day 14 P(x), da ’xung danh"'trong biéu thức giới han
Lời bình 4: Khác với phương pháp 1, nhan tử chung trong phương pháp “Tái
hiện hệ thức cơ bản” không giản ước Khi tìm giới hạn, lim P(x) là một số xác định
Lời bình 5: Thông thường ẩn x ở mẫu thức trong hệ thức cơ bản bị triệt tiêu khi
F(x) có dạng thương các căn thức (xem Thí Thí du —
—— +
cu X5 -NX (SE) ig Vee Vem (1) at
Trang 28Visxyi4 s+ -V1-x Thí dụ 30” Tìm giới han A = lim z1 3 x SV4+x -18—x -Ÿ1-x Lời giải Gọi tử thức là T, mẫu thức là M, ta có: T= VL+xiL+ 4]l+Š =ÄfT—x ©T< 4ixxiÍI+Š4jL+Š =iJ1+ X4jL+Š ey Sa cŠ Ý 2Ÿ 3 2Ý 3 2Ý 3 -tlI+Š +i|I+Š =1 ~Ÿt^x +l 3 3 X X X xX <> T= 3144/14 —(W14+x -1) +4l1I+—|3H1+—-—I h- X 4 + 1s] -ÑT=x -1) Áp dụng cơ bản (5) có : lim-T = + L1 = xo0X 1.2 23 34 4 lim M 5 x30 ¥ 24 Tuong tu: lim— BAe ox 24 = —.Suy ra: A= 7% — = — _
Chú ý: Chúng ta cũng sử dụng phương pháp này để tái hiện các “giới hạn cơ bản-quen thuộc” còn lại được tích hợp trong các thí dụ về sau
Trang 31Lời giải Goi A, = V3 -212 „ = 2cos—— 2 3.2! = J2+A, = 2+cos——) = | = 2cos =— 3.2 3.2“ T TL R A,= /2+A, = 20+ 00s) => sa 733 = 2cos— ™ T = J2+A = ,l2(l+cos——) = \ = 2cos ° \ 3.23 3.24
Ay-t= ¥2+Ay_2 = ,{2(1+ cos x) = ,|2.2cos? r= 2C “mm
A,= /2+A,, = J20—ses r)= Ù 2sinˆ—— = 2sI 32"
Trang 32Bài 11 Tìm các giới hạn sau: a lim {2 — = ; b lim(/ex' +3x7 ~V4x? ¬ xo+œ X x * x¬œ sin 3x + 2cosx Bài 12”), Tìm lim x?s 3x?+x+l3 Acosx -Ä/cosx ———, b-c Ìm i —tanx |; = COSX c im -cotx] (Đại học Luật Hà Nội, 88-89) x>0\ sin 2x Bài 13 a Tìm lim x-›0 sin? x Bai 14 Tim lim I — cos x.cos2x.cos 3x cosnx (n là số tự nhiên) x0 x? Bai 15 Cho a kz Tim cdc gidi han sau: -1.K= imC———+———+ -+————) ~ 4cos? = 4? cos? & 2 4" cos? 2n là a\ (1, a | : 2.K =lim (Stan) +[ zen) +t Stan 2 n>=sl\2 2 2° 2 22" §ó HÀM SỐ LIÊN TỤC
Định nghĩa I (hàm số liên tục tại một điểm)
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và xạe(a; b) Hàm số f được gọi là
liên tục tại điểm xạ nếu
lim f(x) = f(xạ)
Hàm số không liên tục tại xạ được gọi là gián đoạn tại điểm xo Định nghĩa 2 (ham số liên tục trên một đoạn)
a Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) Ta nói rằng hàm số f được gọi là
liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
b Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b] Ta nói rằng hàm số f được gọi là
liên tục trên đoạn [a; bị] nếu nó liên tục khoảng (a; b) và
lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b)
xa”
Nhận xét (*):
e Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục tại một điểm là hàm liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu thức tại điểm ấy phải khác 0)
Trang 33Dinh lí I: Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng
Định lí 2: (giá trị trung gian của hàm số liên 4 tục) Giá sử hàm số f xác định trên doan [a; b] ?
Néu f(a) z f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa
f(a) va f(b), tồn tại ít nhất một điểm ce(a; b) sao
cho f(c) = M Ý nghĩa
Gia sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b] và M
là số thực nằm giữa f(a) và f(b), thì đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f(x) ít nhất tại một
điểm có hoành độ ce(a; b)
* Đồ thị hàm số liên tục là một đường liền nét
* Hệ quả: Giả sử hàm số f xác định trên đoạn [a; b]
`
oom! > `—
Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm cec(a; b) sao cho f(c) = 0
Trang 34Lời giải Ta có 4 ~ 3x - x'>0<©-4<x< Ï = Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-4; 1] ® Với mọi xạ€(l; 4) ta có lim f(x) = lim ¥4—3x—x? = _/lim(4—3x —x?) = 44—3xạ — Xã = f(X,) (1) e lim f(x) =0= f(1) (2) xi" e lim f(x) =0= f(4) (3) x4" Từ (1), (2), (3) kết luận hàm số đã cho liên tục trên đoạn [—4; 1] Thí dụ 4”), Tìm các điểm gián đoạn của hàm số : 13x 0 tan x a.Í(X)=——————— b f(x) = V4x7+4x+1 x+I x? ~] c f(x) = yay RM OF Xe! 2,khix =Ohoac x =1 Lời giải 13x 13x (2x +1) ~ [2x4+11 l Ta c6 Xy 1a diém gidn doan cla hàm số © 2xạ + l = © xạ=—— a Viết lại f(x) = 7 >, , =—+k b Ta có xạ là điểm gián doan cua ham s6 <> ho 2 " Xo =-l c Theo nhận xét (*) suy ra f(x) chỉ có thể gián đoạn tại x = 0 hoặc x = I 2 2
© limf(x) x1 = lim — = tim 2 x+l XỔ —X xi x (x-]) = limŠˆˆ =2=f() xol x
Trang 35Lời giải
Với mọi x # Ì, ta có f(x) là hàm liên tục (nhận xét (*)) (1) [tim f(x)= lim sin TS: =] x17 xi Lại có f(l) = sin =lvà | tim f(x) = lim S21 2 jx voi” 2 a
= lim f(x) = 1 =f(1) Hàm số liên tục tại x = J (2) Từ (1), (2) kết luận hàm số liên tục trên R Thí dụ 6” Chứng minh phương trình 3x” — x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (—1; 0) Lời giải
Xét hàm số f(x) = 3x”— x + 1 Rõ ràng f(x) !à hàm liên tục trên đoạn [—l; 0]
Lại cé f(-1) = -1 < 0, f(0) = 1 > 0 Theo hệ quả thì tồn tại ít nhất một điểm
Trang 36hạn với u, = l,q= D nén g(x) = [—= 2 Theo nhận xét (*) — g(x) là hàm số liên = f(x) liên tục với mọi x mà lxÍ < 1 ® Với mọi x, Xạ mà lxỈ > 1, lxạl > l ta có: 2 X 2—x tục với mọi x mà Ìx| < I (1) lim f(x) = lim V5x—l = 2j5xạ —1 = f(x) => f(x) lién tục với mọi x, mà lxI>1 e Tại x= l: *f(1)=g(1)= V5-1 =2 *limf(x) = limA5x—1 = 44 =2 x1 x—>1* * lim f(x) = lim g(x) = lim 2 = 2 x71 xi" x21 2 —X 1
Tir (3), (4), (5) => lim f(x) = lim f(x) =
=> f(x) lién tuc tai x = 1 (2) (3) (4) =2 (5) f(1) (6) Từ (1), (2), (6) kết luận — f(x) 1a ham số liên tục trên R BÀI TẬP
Bài 16 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = V4—x? trên đoạn [—2; 2]
Bài 17 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ¢ Xt? khi-lzxz2 x?—x-2 = oki x = —-lhoặc x = 2 V [/I+4x —1 Bài 18 Xét tính liên tục của hàm số f(x) = ‹ X › khi x #0 taix =O |2,khi x = 0 2, khix 21 Bai 19 Tim a dé hàm số sau đây là liên tục f(x) = (* * x trên R X,X<
Bài 20 Chứng minh phương trình xỶ - 3x
(—2; 2) + l =0 có ba nghiệm phân biệt thuộc
Bài 21 Chứng minh phương trình 2x” + 3x + 2 = 0 có nghiệm
Bài 22 Chứng minh rằng:
Nếu 2a + 3b + óc = O thì phương trình
nghiệm thuộc khoảng | kz; “ +kz | 4
