50 bài tập về các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm (có đáp án 2022) – toán 11

Các bài toán về vi phân đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm 1 Lý thuyết a) Vi phân Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a ; b) và có đạo hàm tại x (a;b) Giả sử x là số gia của x sao cho x x (a;b)[.]

Các toán vi phân đạo hàm cấp cao ý nghĩa đạo hàm Lý thuyết a) Vi phân - Cho hàm số y = f(x) xác định (a ; b) có đạo hàm x  (a;b) Giả sử x số gia x cho x  x  (a;b) - Tích f '(x).x (hay y.x ) gọi vi phân hàm số y = f(x) x, ứng với số gia x , kí hiệu df(x) hay dy Vậy ta có: dy  y'.x df (x)  f '(x).x b) Đạo hàm cấp cao Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) Hàm số f’(x) gọi đạo hàm cấp hàm số f(x) Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hàm số f(x), kí hiệu y’’ hay f’’(x) Đạo hàm đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp hàm số f(x), kí hiệu y’’’ hay f’’’(x) Tương tự, ta gọi đạo hàm đạo hàm cấp (n – 1) đạo hàm cấp (n) hàm số f(x), kí hiệu y(n) hay f(n)(x), tức ta có: y(n )   y(n 1)  ' (n  N,n  1) c) Ý nghĩa đạo hàm - Ý nghĩa hình học + Tiếp tuyến đường cong phẳng: Cho đường cong phẳng (C) điểm cố định M0 (C), M điểm di động (C) Khi M0 M cát tuyến (C) Định nghĩa: Nếu cát tuyến M0 M có vị trí giới hạn M0T điểm M di chuyển (C) dần tới điểm M0 đường thẳng M0T gọi tiếp tuyến đường cong (C) điểm M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm + Ý nghĩa hình học đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) có đạo hàm x   a; b  , gọi (C) đồ thị hàm số Định lí 1: Đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến M0T (C) điểm M0 (x0; f(x0)) Phương trình tiếp tuyến: Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm M0 (x0; f(x0)) là: y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) - Ý nghĩa vật lí Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định phương trình: s = f(t), với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, vận tốc tức thời chất điểm thời điểm t0 đạo hàm hàm số s = f(t) t0 v(t0) = s’(t0) = f’(t0) Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền dây dẫn xác định phương trình: Q = f(t), với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, cường độ tức thời dòng điện thời điểm t0 đạo hàm hàm số Q = f(t) t0 I(t0) = Q’(t0) = f’(t0) d) Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định phương trình: s = f(t) với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, gia tốc tức thời a chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai hàm số s = f(t) t a(t) = f’’(t) Các dạng tập Dạng 1: Tìm vi phân hàm số Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa để tìm vi phân hàm số y = f(x) là: dy = f’(x)dx Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm vi phân hàm số a) y  x  x  x b) y  x  x c) y  x  2x  x 1 Lời giải a) y  x  x  x     Ta có: dy   x  x   dx   2x    dx x x x    b) y  x  x Ta có : dy   x x   x dx   x  x3  x dx  3x  x3  x dx x  2x  c) y  x 1 (2x  2)(x  1)   x  2x    x  2x   x  2x  dx  dx Ta có dy    dx  2 (x  1) x  x 3   Ví dụ 2: Tìm vi phân hàm số a) y = cos 3x.sin 2x b) y  f (x)  sin x  cos x Lời giải a) y = cos 3x.sin 2x y’ = (cos 3x)’sin 2x + cos 3x(sin 2x)’ = – 3sin 3x.sin 2x + 2cos 3x.cos 2x Suy dy = (– 3sin3x.sin2x + cos3x.cos2x)dx b) y  f (x)  sin x  cos x f '(x)  x Suy dy  cos x  x  cos x sin x   x x  sin x dx cos x  sin x  Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cao hàm số Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp đạo hàm đạo hàm cấp Tính đạo hàm cấp đạo hàm đạo hàm cấp Tương tự: Tính đạo hàm cấp n đạo hàm đạo hàm cấp n – Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp ra: a) y = xsin2x, (y’’’) b) y = cos2x, (y’’’) c) y  3x  (4) , y  x2 Lời giải a) y = xsin2x, (y’’’) Ta có y’ = x’sin 2x + x (sin 2x)’ = sin 2x + 2xcos 2x y’’ = (sin 2x)’ + (2x)’cos 2x + 2x(cos 2x)’ = 4cos2x – 4xsin 2x y’’’ = 4(cos 2x)’ – (4x)sin 2x – 4x(sin 2x)’ = – 8sin 2x – 4sin 2x – 8cos 2x = – 12sin 2x – 8cos 2x b) y = cos2x, (y’’’) Ta có: y  cos x  1  cos 2x  y’ = – sin 2x y’’ = – 2cos 2x y’’’ = 4sin 2x 3x  (4) , y  x2 y (x  2) c) y  y''  7 (x  2)  ' (x  2)  14 (x  2)3 y'''  y (4) 14 (x  2)3  '  (x  2) 42 (x  2)  42 (x  2)  ' (x  2)  168 (x  2)5 Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n hàm số a) y = x4 + x3 – 3x2 + b) y  x3 Lời giải a) y = x4 + x3 – 3x2 + y’ = 4x3 + 12 x2 – 6x y’’ = 12x2 + 24x – y’’’ = 24 x + 24 y(4) = 24 Suy y(5) = 0, … y(n) = b) y  x3 Ta có: y'  y''  (1) 1 1!  (1) ; (x  3) (x  3) 1.2 2!  (1) (x  3) (x  3)3 Dự đoán: yn   1 n n! (x  3) n 1 (1), n  N* Chứng minh (1) phương pháp quy nạp: * n = 1: (1) hiển nhiên k! ta phải (x  3) k 1 chứng minh (1) với n = k + 1, nghĩa ta phải chứng minh: (k  1)! y k 1  (1) k 1 (2) (x  3) k  * Giả sử (1) với n  k  1, nghĩa ta có: y k   (1)k Thật vậy: y  k 1  k!  k  k     y   (1) (x  3) k 1    (1)k 1  (1)k 1 k! (x  3) k 1  (x  3) k 1  k!(k  1) (k  1)!  (1)k 1 k2 (x  3) (x  3) k  Vậy (2) nghĩa (1) với n = k + Theo nguyên lí quy nạp ta suy y n   (1)n n! , n  N* n 1 (x  3) Dạng 3: Ý nghĩa học đạo hàm cấp Phương pháp giải: Xét chuyển động thẳng xác định phương trình: s = f(t) với f(t) hàm số có đạo hàm Để tính gia tốc tức thời a chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai hàm số s = f(t) t: - Đạo hàm f(t) đến cấp - Gia tốc a(t) = f’’(t) Ví dụ minh họa: Ví dụ Một chất điểm chuyển động thẳng xác định phương trình: s = t3 – 3t2 + 5t + 2, t tính giây s tính mét Tính gia tốc chuyển động t = Lời giải Gia tốc chuyển động t = 3s s"(3) Ta có: s’(t) = 3t2 – 6t + s’’(t) = 6t – Vậy s’’(3) = 6.3 – = 12 m/s2 Ví dụ Một chất điểm chuyển động thẳng xác định phương trình s = t3 – 2t2 + 4t + t giây, s mét Tính gia tốc chuyển động t = là: Lời giải Gia tốc chuyển động t = 2s s"(2) Ta có: s’(t) = 3t2 – 6t + s’’(t) = 6t – Vậy s’’(2) = 6.2 – = m/s2 Dạng Ý nghĩa vật lý đạo hàm đạo hàm Phương pháp giải: Lưu ý hai kết sau để áp dụng: - Vận tốc tức thời thời điểm t0 chất điểm chuyển động với phương trình s = s(t) v(t0) = s’(t0) - Cường độ tức thời thời điểm t0 dòng điện với điện lượng Q = Q(t) I(t0) = Q’(t0) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) = t2 + 4t + (t tính giây, s tính mét) a) Tính đạo hàm hàm số f(t) điểm t0 b) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = Lời giải a) Ta có: f’(t) = 2t + Vậy f’(t0) = 2t0 + b) Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = v = f’(5) = 2.5 + = 14 (m/s) Ví dụ 2: Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q = 6t + (t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ dịng điện dây dẫn thời điểm t = 10 Lời giải Vì Q’(t) = nên cường độ dịng điện dây dẫn thời điểm t = 10 I = Q’(10) = 3 Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)2 Biểu thức sau vi phân hàm số f(x)? A dy = 2(x – 1) dx B dy = (x – 1)2dx C dy = 2(x – 1) D dy = 2(x – 1) dx Câu Xét hàm số y  f  x    cos 2x Chọn câu đúng: A df (x)  C df (x)   sin 4x  cos 2x cos 2x  cos 2x dx dx B df (x)  D df (x)   sin 4x  cos 2x dx  sin 2x  cos 2x x2 Vi phân hàm số là: x 1 3dx 3dx B dy  C dy   x  1  x  1 dx Câu Cho hàm số y  A dy  dy   dx  x  1 D dx x    Câu Cho hàm số f(x) = x3 + 2x, giá trị f’’(1) A B C Tính f’’(– 1) 2x  B C 27 D Câu Cho hàm số f  x   A  27 D  27 Câu Cho hàm số f(x) = cos2x Tính P  f     A P = B P = Câu Cho hàm số: y  A x = -4 C P = – 2x  Phương trình y’’ = có nghiệm là: x  4x  B x = – C x = Câu Cho hàm số y = sin 2x Khẳng định sau đúng? A y2 – (y’)2 = D P = – B 4y + y’’ = D x = C 4y – y’’ = D y = y’.tan 2x Câu Cho hàm số y = sin2x Khẳng định sau đúng?   A 2y  y  2cos  2x   4  B 2y + y’ tan x = C 4y- y’’ = D y’ + y’’’ = Câu 10 Cho hàm số f  x   2x  Tính f’’’(1) Câu 11 Đạo hàm cấp 21 hàm số f(x) = cos (x + a) A B -3 C D   A f  21  x    cos  x  a   2    B f  21  x    sin  x  a   2    C f  21  x   cos  x  a   2    D f  21  x   sin  x  a   2  Câu 12 Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s = f(t) = t2 + t + (t tính giây, s tính mét) Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = A (m/s) B (m/s) C (m/s) D (m/s) Câu 13 Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s  t   t  2t  4t t tính giây s tính mét Sau chuyển động dừng lại? A (s) B (s) C (s) D (s) Câu 14 Cho biết điện lượng dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q = 3t2 + 6t + (t tính giây, Q tính Coulomb) Tính cường độ dòng điện dây dẫn thời điểm t = A (A) B 12 (A) C (A) D (A) Câu 15 Một vật chuyển động theo quy luật s   t  6t với t (giây)là khoảng thời gian từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? A 24 (m/s) B 108 (m/s) C 64 (m/s) D 18 (m/s) Bảng đáp án 10 11 12 13 14 15 A B C A A C B B D A C A C B A ... Dạng 2: Tính đạo hàm cấp cao hàm số Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp đạo hàm đạo hàm cấp Tính đạo hàm cấp đạo hàm đạo hàm cấp Tương tự: Tính đạo hàm cấp n đạo hàm đạo hàm cấp n – Ví dụ minh... a chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai hàm số s = f(t) t a(t) = f’’(t) Các dạng tập Dạng 1: Tìm vi phân hàm số Phương pháp giải: Áp dụng định nghĩa để tìm vi phân hàm số y = f(x) là: dy =... điện thời điểm t0 đạo hàm hàm số Q = f(t) t0 I(t0) = Q’(t0) = f’(t0) d) Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Xét chuyển động thẳng xác định phương trình: s = f(t) với f(t) hàm số có đạo hàm Khi đó, gia