Em xin phép được gửi đến Thầy sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân emkhông những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốt quá trìnhhọc tập..
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH TRẦN VĂN TẤN
Thái Nguyên, năm 2022
Trang 3Lời cam đoan
Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung
đề tài luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quảmức độ tương đồng 24% Bản đề tài luận văn kiểm tra qua phần mềm làbản cứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu tráchnhiệm
Thái Nguyên, ngày tháng 07 năm 2022TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT
Trần Thị Thu Hương
Trang 4Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáocủa GS.TSKH Trần Văn Tấn Em xin phép được gửi đến Thầy sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân emkhông những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốt quá trìnhhọc tập Đồng thời, em xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục tìm hiểutoán học dưới sự hướng dẫn của Thầy
Em cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy cô
đã giảng dạy lớp Toán trường ĐHSP Thái Nguyên cũng như toàn thể quýthầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên, những người đã cho emkiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quátrình học tập và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành đề này tài
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vìvậy em rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các quý thầy cô vàcác bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn
Cuối cùng, em xin phép được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè nhữngngười đã giúp đỡ và hỗ trợ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thànhluận văn của mình
Thái Nguyên, ngày tháng 07 năm 2022
Tác giả luận văn
Trần Thị Thu Hương
Trang 5Mục lục
Chương 1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí thuyết
1.1 Công thức Jensen 21.2 Các hàm cơ bản và Định lý cơ bản thứ nhất đối với các hàm
phân hình 71.3 Bổ đề đạo hàm Logarit 101.4 Định lý cơ bản thứ hai Nevanlinna 13Chương 2 Hai hàm cùng chia sẻ tính cả bội bốn tập hợp 172.1 Biểu diễn với hạng N theo một bộ phần tử thuộc một nhóm 182.2 Bổ đề về kết thức đối của ba đa thức 202.3 Hai hàm phân hình chia sẻ CM tập một điểm và ba tập hai
điểm 22Chương 3 Hai hàm cùng chia sẻ không tính bội một số tập
3.1 Hàm phân hình chia sẻ IM các giá trị và các tập hợp 32
Trang 63.2 Một số ứng dụng về tính duy nhất 37
Trang 7Lời nói đầu
Được hình thành từ những năm 20 của thế kỉ trước, lí thuyết linna luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong nước
Nevan-và quốc tế Trong chương trình thạc sĩ, tôi đã được học về lí thuyết này,với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của lí thuyết này trong việcnghiên cứu các hàm phân hình, tôi chọn đề tài "Về các hàm phân hìnhcùng chia sẻ một số tập hợp hữu hạn" Đề tài tìm hiểu mối quan hệ giữahai hàm phân hình dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các cặp điểmmỗi điểm thuộc cặp ứng với một hàm trong cả hai trường hợp có tính
cả bội và không tính tới bội
Đề tài tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính sau đây:
Mối quan hệ giữa hai hàm phân hình cùng chia sẻ, có tính cả bội bốntập hợp mà trong đó có một tập gồm một điểm và ba tập còn lại đều làtập hai điểm;
Mối quan hệ giữa hai hàm phân hình cùng chia sẻ, không tính tới bộimột số tập hữu hạn
Bố cục nội dung của luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí thuyết linna
Nevan-Các kết quả của Chương 1 được viết dựa trên công trình [1]
Chương 2: Hai hàm cùng chia sẻ tính cả bội bốn tập hợp
Các kết quả của Chương 2 được viết dựa trên các công trình [4-5],[8],[10]
và [13-14]
Chương 3: Hai hàm cùng chia sẻ không tính bội một số tập hữu hạn.Các kết quả của Chương 3 được viết dựa trên các công trình [2-3],[5-7]
và [9-14]
Trang 8Ta biểu diễn toạ độ trên mặt phẳng phức C dưới dạng z = x + iy.Cho φ là một hàm trên C (với biến z hay hai biến thực (x, y)), nhận giátrị thực, khả vi (tới cấp cần thiết) Để thuận tiện cho việc tính toán tíchphân trên mặt phẳng phức, ta nhắc lại một số phép toán vi phân sau:
∂φ
∂z =
12
∂φ
∂X − i∂φ
∂y
,∂y
∂z =
12
Trang 9∂θdr
,
Cho hàm φ:C−→R∪{−∞, +∞} thỏa mãn các tính chất sau
1 Tập Z(φ) := {z : φ(z) = −∞ hoặc φ(z) = +∞} là một tập rời rạc,Z(φ) = {av}
2 Φ khả vi lớp C2 trên C\Z(φ) và với mỗi điểm av ∈ Z(φ), tồn tạihàm ψv thuộc lớp C2 trên một lân cận của avvà số thực λv sao choφ(z) = λvlog |z − av| + ψv(z) (trên một lân cận của av)
Do ∂∂ log |z−av| = 0 nên ta có thể thác triển liên tục (1, 1) - dạng ∂∂φqua các điểm av của Z, bằng cách đặt ∂∂φ(av) =∂∂ψv(av)
Với hàm φ như trên, ta có công thức Jensen sau đối với φ, 0≤s < r,tuy nhiên khi s = 0, giả thiết thêm φ thỏa mãn điều kiện 0 /∈Z(φ)
r
Z
s
dtt
X
|a v |<t
λv
= 12π
Trang 10Trong đẳng thức trên, kí hiệu ∆(t) := {z : |z| < t} và nếu s = 0, quy ước
12π
2π
Z
0
φ seiθ dθ = φ(0)
Chứng minh Ta chứng minh Định lý theo ba trường hợp
Trường hợp 1 Z∩{z : |z| < r+ε}̸=∅ với ε> 0 nào đó Với tọa độ cực
z = reiθ, trên đường tròn |z| = r, ta có
Trang 11Ta nhận được công thức Jensen trong trường hợp này.
Trường hợp 2 φ(z) =λvlog |z − a| với a∈C và λ∈R
Do hàm log |z − a| điều hòa trên C\{a} nên ∂∂ log |z − a| = 0 do đó
∆(t)
i2π∂∂φ log |z − a| = 0.
- Nếu a = 0 thì theo giả thiết s > 0 và ta có
λ log seiθ dθ
Do đó ta nhận được công thức Jensen cho trường hợp đang xét với a = 0
X
12π
2π
Z
0
λ log teiθ−a dθ=log+ t
|a| + log |a| , (1.1.1)
Trang 12log
Trang 20
(f (z)−ai1)′
f (z)−ai1 −(f (z)−ai2)′
f (z)−ai2
+
(f (z)−ai)′
f (z)−ai