Về các hàm phân hình cùng chia sẻ một số tập hợp hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THU HƯƠNG VỀ CÁC HÀM PHÂN HÌNH CÙNG CHIA SẺ MỘT SỐ TẬP HỢP HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH Thái Nguyên, năm 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN KHOA TOÁN TRẦN THỊ THU HƯƠNG VỀ CÁC HÀM PHÂN HÌNH CÙNG CHIA SẺ MỘT SỐ TẬP HỢP HỮU HẠN Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH TRẦN VĂN TẤN Thái Nguyên, năm 2022 Lời cam đoan Tôi cam đoan đã thực hiện việc kiểm tra mức độ tương đồng nội dung đề tài luận văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương đồng 24% Bản đề tài luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ trước hội đồng Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm Thái Nguyên, ngày tháng 07 năm 2022 TÁC GIẢ CỦA SẢN PHẨM HỌC THUẬT Trần Thị Thu Hương i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của GS.TSKH Trần Văn Tấn Em xin phép được gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân em không những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốt quá trình học tập Đồng thời, em xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục tìm hiểu toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy Em cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy cô đã giảng dạy lớp Toán trường ĐHSP Thái Nguyên cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên, những người đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành đề này tài Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy em rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các quý thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn Cuối cùng, em xin phép được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và hỗ trợ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình Thái Nguyên, ngày tháng 07 năm 2022 Tác giả luận văn Trần Thị Thu Hương ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu 1 Chương 1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí thuyết Nevanlinna 2 1.1 Công thức Jensen 2 1.2 Các hàm cơ bản và Định lý cơ bản thứ nhất đối với các hàm phân hình 7 1.3 Bổ đề đạo hàm Logarit 10 1.4 Định lý cơ bản thứ hai Nevanlinna 13 Chương 2 Hai hàm cùng chia sẻ tính cả bội bốn tập hợp 17 2.1 Biểu diễn với hạng N theo một bộ phần tử thuộc một nhóm 18 2.2 Bổ đề về kết thức đối của ba đa thức 20 2.3 Hai hàm phân hình chia sẻ CM tập một điểm và ba tập hai điểm 22 Chương 3 Hai hàm cùng chia sẻ không tính bội một số tập hữu hạn 32 3.1 Hàm phân hình chia sẻ IM các giá trị và các tập hợp 32 iii 3.2 Một số ứng dụng về tính duy nhất 37 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iv Lời nói đầu Được hình thành từ những năm 20 của thế kỉ trước, lí thuyết Nevan- linna luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế Trong chương trình thạc sĩ, tôi đã được học về lí thuyết này, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của lí thuyết này trong việc nghiên cứu các hàm phân hình, tôi chọn đề tài "Về các hàm phân hình cùng chia sẻ một số tập hợp hữu hạn" Đề tài tìm hiểu mối quan hệ giữa hai hàm phân hình dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các cặp điểm mỗi điểm thuộc cặp ứng với một hàm trong cả hai trường hợp có tính cả bội và không tính tới bội Đề tài tập trung nghiên cứu hai vấn đề chính sau đây: Mối quan hệ giữa hai hàm phân hình cùng chia sẻ, có tính cả bội bốn tập hợp mà trong đó có một tập gồm một điểm và ba tập còn lại đều là tập hai điểm; Mối quan hệ giữa hai hàm phân hình cùng chia sẻ, không tính tới bội một số tập hữu hạn Bố cục nội dung của luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí thuyết Nevan- linna Các kết quả của Chương 1 được viết dựa trên công trình [1] Chương 2: Hai hàm cùng chia sẻ tính cả bội bốn tập hợp Các kết quả của Chương 2 được viết dựa trên các công trình [4-5],[8],[10] và [13-14] Chương 3: Hai hàm cùng chia sẻ không tính bội một số tập hữu hạn Các kết quả của Chương 3 được viết dựa trên các công trình [2-3],[5-7] và [9-14] 1 Chương 1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lí thuyết Nevanlinna Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở về lý thuyết Nevanlinna dùng để nghiên cứu về các hàm phân hình cùng chia sẻ một số tập hữu hạn ở các chương sau Các khái niệm, Định lý, tính chất, , được trích từ giáo trình trong tài liệu [1] 1.1 Công thức Jensen Ta biểu diễn toạ độ trên mặt phẳng phức C dưới dạng z = x + iy Cho φ là một hàm trên C (với biến z hay hai biến thực (x, y)), nhận giá trị thực, khả vi (tới cấp cần thiết) Để thuận tiện cho việc tính toán tích phân trên mặt phẳng phức, ta nhắc lại một số phép toán vi phân sau: ∂φ 1 ∂φ ∂φ ∂y 1 ∂φ ∂φ = −i , = +i , ∂z 2 ∂X ∂y ∂z 2 ∂x ∂y ∂φ ∂φ dz = dx + idy, dz = dx − idy, ∂φ = dz,∂φ = dz, ∂z ∂z ∂φ ∂φ dφ = ∂φ + ∂φ = dx+ dy, ∂x ∂y dcφ = 1 ∂φ − ∂φ = 1 ∂φdy−∂φdx 4π 4π ∂x ∂y 2 Do đó ddcφ = 1∂∂φ, ∂∂φ= ∂2φ dz∧dz 2 ∂z∂z Trong tọa độ cực z = reiθ, ta có:  ∂φ 1 −iθ ∂φ i −iθ ∂φ  ∂z = 2 e ∂r − r e ∂θ ∂φ 1 iθ ∂φ i iθ ∂φ  ∂z = 2 e ∂r + r e ∂θ Do đó dcφ = 1 r ∂φdθ − 1 ∂φdr , 4π ∂r r ∂θ ddcφ = 1 ∂φ ∂2φ 1 ∂2φ dr∧dθ 4π ∂r +r ∂r2 − r ∂θ2 Cho hàm φ:C−→R∪{−∞, +∞} thỏa mãn các tính chất sau 1 Tập Z(φ) := {z : φ(z) = −∞ hoặc φ(z) = +∞} là một tập rời rạc, Z(φ) = {av} 2 Φ khả vi lớp C2 trên C\Z(φ) và với mỗi điểm av ∈ Z(φ), tồn tại hàm ψv thuộc lớp C2 trên một lân cận của avvà số thực λv sao cho φ(z) = λv log |z − av| + ψv(z) (trên một lân cận của av) Do ∂∂ log |z−av| = 0 nên ta có thể thác triển liên tục (1, 1) - dạng ∂∂φ qua các điểm av của Z, bằng cách đặt ∂∂φ(av) =∂∂ψv(av) Với hàm φ như trên, ta có công thức Jensen sau đối với φ, 0≤s < r, tuy nhiên khi s = 0, giả thiết thêm φ thỏa mãn điều kiện 0∈/Z(φ) Định lý 1.1.1 (Công thức Jennsen) r r   2π 2π dt i ∂∂φ+ dt  λv = 1 φ reiθ dθ− 1 φ seiθ dθ 2 t 2π t 2π 2π |av | 0 nào đó Với tọa độ cực z = reiθ, trên đường tròn |z| = r, ta có dc log |z| = 1 dθ 4π Ngoài ra chú ý rằng dφ∧dc log |z| = d log |z| ∧dcφ Khi đó, ta có r s 1 φ reiθ dθ− 1 φ seiθ dθ 2π 2π 0 0 = 2 φ(z)dc log |z| −2 φ(z)dc log |z| |z|=r |z|=s =2 d(φ.dc log |z| ) (Công thức stoke) ∆(r)\∆(s) =2 dφ∧dc log |z| +2 φ∧ddc log |z| ∆(r)\∆(s) ∆(r)\∆(s) =2 dφ∧dc log |z| ∆(r)\∆(s) =2 dc log |z| ∧dcφ (Để ý rằng dcφ= 14π t ∂t ∂φ dθ− t ∂θ 1 ∂φ dt ) ∆(r)\∆(s) =2 1 ∂φ 1 ∂φ d( log t )∧ t dθ− dt 4π ∂t t ∂θ ∆(r)\∆(s) = 1 ∂φ dt∧dθ 4π ∂t [s,r]x[0,2π]   s  2π s =  1 ∂φdθ dt=  1dcφ dt 4π ∂t t r0 r |z|=|t| 4