Phân bố giá trị cho hàm phân hình trên hình vành khuyên

Trung tâm của lý thuyết và hai định lý chính nghiên cứu quan hệ giữa các hàm đặc trưng, hàm đếm và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C.. Nevanlinna được công bố, đã có

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

PHAN THỊ PHƯƠNG ANH

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————–o0o——————–

PHAN THỊ PHƯƠNG ANH

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8 46 01 02LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Lời cam đoan

Tên tôi là Phan Thị Phương Anh, học viên cao học chuyên ngànhToán Giải tích, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khóa học2020-2022 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực

sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS

TS Hà Trần Phương

Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kếtquả trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu làtrung thực, chưa từng được ai công bố trước đây

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Xác nhận của Thái Nguyên, tháng 5 năm 2022giáo viên hướng dẫn Người viết luận văn

PGS TS Hà Trần Phương Phan Thị Phương Anh

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm

- Đại học Thái Nguyên Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường và các QuýThầy Cô giảng dạy lớp Cao học K28 trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang

bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong quá trình họctập và nghiên cứu

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương,người đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em có thêm nhiều kiếnthức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn mộtcách hoàn chỉnh

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô

và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2022

Người viết luận văn

Phan Thị Phương Anh

Mục lục

1 Các hàm Nevanlinna và định lý chính thứ nhất đối với hàm

1.1 Một số định nghĩa về các hàm Nevanlinna 31.2 Định lý phân tích nhân tử Valiron 111.3 Một số dạng định lý chính thứ nhất 18

2 Định lý chính thứ hai và Định lý năm điểm đối với hàm

2.1 Định lý chính thứ hai 212.2 Định lý năm điểm 28

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phân phối giá trị (lý thuyết Nevanlinna) được xây dựng đầutiên bởi R Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp một biến phức vàđược xem là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất trong thế kỷ XX, cónhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Trung tâmcủa lý thuyết và hai định lý chính nghiên cứu quan hệ giữa các hàm đặctrưng, hàm đếm và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình trên mặt phẳngphức C Sau khi bài báo của R Nevanlinna được công bố, đã có nhiều nhàtoán học trong và ngoài nước mở rộng kết quả của ông cho các trường hợpkhác nhau

Cho R1, R2, 0 6 R1 < R2 6 +∞, là các số thực, ta ký hiệu hình vànhkhuyên mở bởi

A(R1, R2) = {z ∈ C : R1 < |z| < R2}

Cho R > 0 là một số thực dương, kí hiệu

∆R =

1

R < |z| < R

.A(R1, R2) và ∆R là các hình vành khuyên trên mặt phẳng phức C

Gần đây có một số nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu cácvấn đề tương tự như định lý chính thứ nhất và thứ hai cho các hàm phânhình trên A(R1, R2) và ∆R và các ứng dụng của các định lý này trongmột số lĩnh vực của toán học Các công trình đó hình thành lý thuyếtNevanlinna cho hàm phân hình trên hình vành khuyên

Với mong muốn tiếp tục phát triển Lý thuyết Nevanlinna cho hình vànhkhuyên, chúng tôi trình bày luận văn “Phân bố giá trị cho hàm phân hìnhtrên hình vành khuyên” Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kếtquả nghiên cứu gần đây về lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hìnhtrên hình vành khuyên và ứng dụng của lý thuyết trong nghiên cứu vấn

đề duy nhất cho các hàm phân hình trên hình vành khuyên

2 Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, phầnnội dung luận văn gồm có hai chương nội dung

Chương 1 với tên “Các hàm Nevanlinna và định lý chính thứ nhất đốivới hàm phân hình trên hình vành khuyên" dành cho việc trình bày cáckhái niệm về các hàm Nevanlinna của một số tác giả giới thiệu trong thờigian gần đây, định lý phân tích nhân tử Valiron và một số dạng định lýchính thứ nhất

Chương 2 là “Định lý chính thứ hai và Định lý năm điểm đối với hàmphân hình trên hình vành khuyên” Trong phần thứ nhất của chương nàychúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu mới trong thời gian gầnđây về bổ đề đạo hàm logarit và một số dạng định lý chính thứ hai Trongphần thứ hai chúng tôi giới thiệu một số kết quả về vấn đề duy nhất chocác hàm phân hình trên hình vành khuyên, từ đó giới thiệu một kết quả làđịnh lý năm điểm trong trường hợp hàm phân hình trên hình vành khuyên

A = A(R1, R2) = {z ∈ C : R1 < |z| < R2}.

Ký hiệu các hình vành khuyên nửa đóng bởi

A[R1, R2) = {z ∈ C : R1 6 |z| < R2}và

A(R1, R2] = {z ∈ C : R1 < |z| 6 R2}

Ngoài ta ta ký hiệu hình vành khuyên đóng bởi

A[R1, R2] = {z ∈ C : R1 6 |z| 6 R2}

Mặc dù các số thực R1, R2 chọn tùy ý miễn là 0 6 R1 < R2 6 +∞,song trong thực tế, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

0 6 R1 < 1 < R2 6 +∞

Thật vậy, nếu f (z) là hàm phân hình trên 0 6 R1 < R2 6 +∞ Ta xemxét các trường hợp sau:

Trường hợp 2: 0 = R1 < R2 6 1, ta chọn cố định một hằng số C sao cho

CR2 > 1, khi đó hàm g(z) = f (Cz) sẽ phân hình trên hình vành khuyênchứa đường tròn đơn vị

Trường hợp 3: 1 6 R1 < R2 = ∞, ta chọn cố định hằng số C sao cho

CR2 < 1, khi đó hàmf (Cz) phân hình trên hình vành khuyên chứa đườngtròn đơn vị

Do đó, trong toàn bộ luận văn chúng ta luôn giả thiết hình vành khuyên

A = A(R1, R2) với 0 6 R1 < 1 < R2 6 +∞ Đặc biệt, khi R1 = R1

2 ta kíhiệu

Với x > 0, ta định nghĩa

log+x = max{0, log x} =

(log x nếu x > 1,

0 nếu 0 < x < 1

Năm 1965, Bieberbach định nghĩa các hàm Nevanlinna (hàm đếm, hàmxấp xỉ, hàm đặc trưng) cho hàm phân hình trên hình hình vành khuyêndạng {z : 0 < ρ0 6 |z| < ∞} như sau

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Cho ω ∈ C là một giá trị hữu hạn hay ∞, tađịnh nghĩa hàm đếm giá trị ω của hàm phân hình f với |z| > ρ0 > 0 xácđịnh bởi

m1(r, f ), m1(r, f∗), T1(r, f ) và T1(r, f∗)

Năm 2004, R Korhonen đưa ra định nghĩa:

Định nghĩa 1.1.2 ([5]) Giả sử f là hàm phân hình trên A(R1, R2) Khi

đó, hàm đếm của f xác định bởi

NR1,R2(r, ρ, f ) =

Z ρ r

log+|f (reiθ)|dθ +

Z 2π 0

log+|f (ρeiθ)|dθ,

và hàm đặc trưng của f là

TR1,R2(r, ρ, f ) = NR1,R2(r, ρ, f ) + mR1,R2(r, ρ, f ),trong đó R1 < r 6 ρ < R2

Ví dụ 1.1.3 Xét hàm số f (z) = e1z khi đó f có điểm kì dị tại z = 0nhưng hàm này chỉnh hình trên miền (0, +∞) Dof không có không điểmtrên (0, +∞) nên N0,+∞(r, ρ, f ) = 0 với mọi 0 < r < ρ Do đó

T0,+∞(r, ρ, f ) = m0,+∞(r, ρ, f )

=

Z 2π 0

log+|f (reiθ)|dθ +

Z 2π 0

log+|f (ρeiθ)|dθ

=

Z 2π 0

log+e1r cos θ

dθ +

Z 2π 0

f (z) = e1z(1 − z)−1trên A(0, ∞) Dễ thấy hàm f (z) có cực điểm duy nhất tại z = 1 Ta

cố định ρ > 1, khi đó nếu r 6 1, nR1,R2(t, f ) = 0 khi r < t < 1 và

nR1,R2(t, f ) = 1 khi t > 1 và do đó

NR1,R2(1, ρ, f ) =

Z ρ 1

nR1,R2(t, f )

t dt = log ρ.

Nhưng khi r > 1, nR1,R2(t, f ) = 0 với mọi t > r và do đó

NR1,R2(r, ρ, f ) = 0

Do đó

lim

r−→1NR1,R2(r, ρ, f ) = 0,nhưng NR1,R2(1, ρ, f ) = log ρ 6= 0 Điều này suy ra hàm NR1,R2(r, ρ, f )không liên tục đối với biến r khi biến ρ cố định

Năm 2005, A Ya Khrystiyanyn, A A Kondratyuk đã xây dựng cáchàm Nevanlinna trên đĩa ∆R như sau: Cho R > 1 là một số thực dươnghoặc ∞ và f là một hàm phân hình trên hình vành khuyên ∆R Ký hiệu

n1 t, f −a1
là hàm đếm số không điểm của hàm f (z) − a, n1(t, ∞) là hàmđếm số cực điểm của hàm f trong {z : t < |z| 6 1}; n2 t, f −a1
là hàmđếm số không điểm hàm f (z) − a, n2(t, ∞) là hàm đếm số cực điểm củahàm f trong {z : 1 < |z| 6 t} Với mỗi r : 1 < r < R, đặt

m(r, f ) = 1

2π

Z 2π 0

log+|f (reiϕ)|dϕ

Hàm đếm tại các a−điểm của f được định nghĩa bởi

f − a



và hàm đếm tại các cực điểm của hàm f được định nghĩa bởi

N0(r, f ) = N1(r, ∞) + N2(r, ∞)

Hàm

T0(r, f ) = m0(r, f ) − 2m(1, f ) + N0(r, f ), 1 < r < R,

được gọi là đặc trưng Nevanlinna của f

Năm 2006, A A Kondratyuk và I Laine đã đưa ra định nghĩa

Định nghĩa 1.1.6 ([6]) Cho f là hàm phân hình trên ∆R, trong đó

1 < R 6 ∞ Hàm đếm của f xác định bởi

N0(r, f ) =

Z r 1

n0(t, f )

t dt,trong đó n0(t, f ) là hàm đếm số các cực điểm của hàm f tính cả bội trong

∆t Hàm xấp xỉ m0(r, f ) và hàm đặc trưng T0(r, f ) tương ứng được địnhnghĩa bởi

m0(r, f ) =

Z 2π 0

log+

fe

iθ

r



dθ2π +

Z 2π 0

log+|f (reiθ)|dθ

2π

−

Z 2π 0

log+|f (eiθ)|dθ

2πvà

T0(r, f ) = m0(r, f ) + N0(r, f ),với 1 < r < R

Ta thấy các khái niệm trong Định nghĩa 1.1.6 và Định nghĩa 1.1.5 khátương đồng với nhau Thật vậy hàm N0(r, f ) trong định nghĩa của A A.Kondratyuk và I Laine có thể biến đổi được như sau:

N0(r, f ) =

Z r 1

n0(t, f )

t dt =

Z r 1

n2(t, ∞)

t dt +

Z r 1

n2(t, ∞)

t dt,

trùng với hàm đếm trong khái niệm của A Y Khrystiyanyn, A A dratyuk trong Định nghĩa 1.1.5 Còn hàm m0(r, f ) trong định nghĩa của

Kon-A Kon-A Kondratyuk và I Laine sai khác so với m0(r, f ) của A Y tiyanyn, A A Kondratyuk một đại lượng hằng số Do đó các kết quả liênquan đến các hàm Nevanlinna khi sử dụng hai khái niệm này có thể dùngchung

Khrys-Rõ ràng, khó sử dụng các Định nghĩa 1.1.6 và 1.1.5 để xác định phân

bố các cực điểm gần với biên trong hơn hay gần với biên ngoài hơn vì cáchàm Nevanlinna chỉ phụ thuộc một biến Ta biết có những trường hợp hàmphân hình có vô hạn cực điểm gần biên trong nhưng hàm là giải tích bênngoài một đường tròn Nói cách khác, từ các định nghĩa trên, ta khôngthể khẳng định về cấp tăng của hàm phân hình là nhanh hơn hay chậmhơn gần mỗi biên Năm 2009, M Lund và Z Ye xây dựng các khái niệm

về các hàm Nevanlinna như sau:

Định nghĩa 1.1.7 ([7]) Cho f là hàm phân hình trên A = A(R1, R2) với

06 R1 < 1 < R2 6 ∞ Ký hiệu nA(t, f ) là số cực điểm tính cả bội của ftrong A[t, 1) nếu t < 1 hoặc trong A[1, t] nếu t > 1 Hàm đếm của f trên

A được định nghĩa bởi

NA(r, ρ, f ) =

Z ρ r

nA(t, f )

t dt,trong đó R1 < r 6 ρ < R2, hàm xấp xỉ của f trên hình vành khuyên xácđịnh bởi

mA(r, ρ, f ) = 1

2π

Z 2π 0

log+|f (reiθ)|dθ + 1

2π

Z 2π 0

log+|f (ρeiθ)|dθ,

và hàm đặc trưng Nevanlinna của f trên A xác định bởi

TA(r, ρ, f ) = NA(r, ρ, f ) + mA(r, ρ, f ),trong đó R1 < r 6 ρ < R2

Nhận xét 1.1.8 Định nghĩa của M Lund và Z Ye phụ thuộc vào haibiến độc lập r và ρ, điều này rất thuận lợi cho việc nghiên cứu tính chấtcủa các hàm Nevanlinna trong lân cận các đường tròn trong và ngoàicủa hình vành khuyên Hơn nữa, nhiều kết quả về tính chất của các hàmNevanlinna trên một đĩa hay trên mặt phẳng phức lại là hệ quả của cácđịnh lý trên Annuli Chẳng hạn, xét trường hợp f là hàm phân hình trênđĩa DR = {z ∈ C : |z| < r} với R 6 +∞ và f (0) 6= 0, ∞ với z ∈ D1, khi

đó ta có:

NDR(0, ρ, f ) = N (ρ, f ) + O(1) và mDR(0, ρ, f ) = m(ρ, f ) + O(1);

và do đó

TDR(0, ρ, f ) = T (ρ, f ) + O(1),trong đóN, m vàT là các hàm Nevanlinna thông thường mặt phẳng phức.Như vậy các khái niệm trong Định nghĩa 1.1.7 giống với các định nghĩatương ứng trong lý thuyết Nevanlinna, sai khác một hằng số

Ví dụ 1.1.9 Xét hàm số f (z) = ez+1z trong A = A(0, ∞) Chú ý rằng1

Định lý phân tích nhân tử Valiron có vai trò quan trọng trong việcchứng minh Bổ đề đạo hàm logarit cho hàm phân hình trên hình vànhkhuyên Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số dạng phân tích nhân

tử Valiron trong các trường hợp khác nhau của hàm phân hình trên hìnhvành khuyên Năm 1939, G Valiron đã chứng minh định lý sau, thườngđược gọi là định lý Valiron gốc:

Định lý 1.2.1 ([9]) Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trên A(0, ∞), có kì

dị cốt yếu tại ∞ Khi đó f (z) biểu diễn được dưới dạng

f (z) = zmΦ(z)u(z),

trong đó m ∈ Z, Φ(z) là hàm chỉnh hình trong {0 < |z| 6 ∞}, Φ(∞) 6= 0

và u là hàm nguyên siêu việt

Định lý 1.2.1 cho một dạng phân tích dưới dạng nhân tử của một hàmchỉnh hình f (z) trên đĩa thủng A(0, ∞) Về sau có một số tác giả xemxét mở rộng cho các trường hợp khác nhau Chẳng hạn, năm 2004, R.Korhonen đã chứng minh:

Định lý 1.2.2 ([5]) Cho G(z) là một hàm phân hình trên {0 6 R1 <

|z| < R2 6 +∞} và lấy số thực ε : 0 < ε < R1 +R 2

2 Khi đó G(z) biểu diễnđược dạng

G(z) = zmΦ(z)u(z),

(i) Cực điểm và không điểm của f trong A(R1, R0) đều là các cực điểm

và không điểm Φ Cực điểm và không điểm của f trong A[R0, R2) đều làcác cực điểm và không điểm u

(ii) Φ(z) là hàm phân hình trong A(R1, ∞) và chỉnh hình, không cókhông điểm trong A[R0, ∞]

(iii) Φ thỏa mãn

6 Mvới bất kỳ R1 < r < r0 < 1 < ρ < R2 Do đó, ta đặt

Bổ đề 1.2.4

Hệ quả 1.2.5 ([7]) Giả sử f, ˜Φ và u˜ xác định như trong Bổ đề 1.2.4 vàlấy r0 ∈ (R1, 1) Khi đó, với bất kỳ r và rˆ thỏa mãn R1 < ˆr < r < r0 vàbất kỳ ρ ∈ (1, R2), ta có

TA(r, ρ, f ) 6 TA(ˆr, ρ, f ) + O(1)

Tương tự, với bất kỳ r ∈ (R1, 1) và bất kỳ ρ và ˆthỏa mãn1 < ρ < ˆρ < R2,

ta có

TA(r, ρ, f ) 6 TA(r, ˆρ, f ) + O(1)

Chứng minh Định nghĩa e(r, ρ) và M như trong bổ đề phía trên Đặt

R1 < ˆr < r < r0 và ρ ∈ (1, R2) Khi đó, vì TA(r, ρ, f ) − e(r, ρ) giảm theo

r, ta có

TA(r, ρ, f ) = TA(r, ρ, f ) − e(r, ρ) + e(r, ρ)

6 TA(ˆr, ρ, f ) − e(ˆr, ρ) + e(r, ρ)

6 TA(ˆr, ρ, f ) + 2M (1.4)Lập luận tương tự cho biến ρ ta có chứng minh của Hệ quả

Bổ đề sau cho thấy mối liên hệ hàm đặc trưng của một hàm f (z) phânhình trên hình vành khuyên với hàm đặc trưng của f (1z)

Bổ đề 1.2.6 Giả sử f là hàm phân hình A = A(R1, R2) Đặt

log+

˜f

eiθs



dθ2π =

Z 2π 0

log+|f (seiθ)|dθ

2π