Phân bố giá trị cho hàm phân hình trên hình vành khuyên

Trung tâm của lý thuyết và hai định lý chính nghiên cứu quan hệ giữa các hàm đặc trưng, hàm đếm và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C.. Nevanlinna được công bố, đã có

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ PHƯƠNG ANH

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ PHƯƠNG ANH

PHÂN BỐ GIÁ TRỊ CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN HÌNH VÀNH KHUYÊN

Ngành: Toán Giải tích Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

Lời cam đoan

Tên tôi là Phan Thị Phương Anh, học viên cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khóa học 2020-2022 Tôi xin cam đoan: Luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Hà Trần Phương.

Các số liệu có nguồn gốc rõ ràng, tuân thủ đúng nguyên tắc và kết quả trình bày trong luận văn được thu thập trong quá trình nghiên cứu là trung thực, chưa từng được ai công bố trước đây.

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.

Xác nhận của Thái Nguyên, tháng 5 năm 2022 giáo viên hướng dẫn Người viết luận văn

PGS TS Hà Trần Phương Phan Thị Phương Anh

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Qua đây em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường và các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K28 trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt và giúp đỡ em có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2022 Người viết luận văn

Phan Thị Phương Anh

Mục lục

1 Các hàm Nevanlinna và định lý chính thứ nhất đối với hàm

1.1 Một số định nghĩa về các hàm Nevanlinna 3 1.2 Định lý phân tích nhân tử Valiron 11 1.3 Một số dạng định lý chính thứ nhất 18 2 Định lý chính thứ hai và Định lý năm điểm đối với hàm

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phân phối giá trị (lý thuyết Nevanlinna) được xây dựng đầu tiên bởi R Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp một biến phức và được xem là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất trong thế kỷ XX, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Trung tâm của lý thuyết và hai định lý chính nghiên cứu quan hệ giữa các hàm đặc trưng, hàm đếm và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C Sau khi bài báo của R Nevanlinna được công bố, đã có nhiều nhà toán học trong và ngoài nước mở rộng kết quả của ông cho các trường hợp

A(R1, R2) và ∆R là các hình vành khuyên trên mặt phẳng phức C.

Gần đây có một số nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu các vấn đề tương tự như định lý chính thứ nhất và thứ hai cho các hàm phân hình trên A(R1, R2) và ∆R và các ứng dụng của các định lý này trong một số lĩnh vực của toán học Các công trình đó hình thành lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên hình vành khuyên.

Với mong muốn tiếp tục phát triển Lý thuyết Nevanlinna cho hình vành khuyên, chúng tôi trình bày luận văn “Phân bố giá trị cho hàm phân hình trên hình vành khuyên” Mục đích của luận văn là giới thiệu một số kết quả nghiên cứu gần đây về lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình trên hình vành khuyên và ứng dụng của lý thuyết trong nghiên cứu vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình trên hình vành khuyên.

2 Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, phần nội dung luận văn gồm có hai chương nội dung.

Chương 1 với tên “Các hàm Nevanlinna và định lý chính thứ nhất đối với hàm phân hình trên hình vành khuyên" dành cho việc trình bày các khái niệm về các hàm Nevanlinna của một số tác giả giới thiệu trong thời gian gần đây, định lý phân tích nhân tử Valiron và một số dạng định lý chính thứ nhất.

Chương 2 là “Định lý chính thứ hai và Định lý năm điểm đối với hàm phân hình trên hình vành khuyên” Trong phần thứ nhất của chương này chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu mới trong thời gian gần đây về bổ đề đạo hàm logarit và một số dạng định lý chính thứ hai Trong phần thứ hai chúng tôi giới thiệu một số kết quả về vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình trên hình vành khuyên, từ đó giới thiệu một kết quả là định lý năm điểm trong trường hợp hàm phân hình trên hình vành khuyên.

Thật vậy, nếu f (z) là hàm phân hình trên 0 6 R1 < R2 6 +∞ Ta xem

Trường hợp 2: 0 = R1 < R2 6 1, ta chọn cố định một hằng số C sao cho CR2 > 1, khi đó hàm g(z) = f (Cz) sẽ phân hình trên hình vành khuyên chứa đường tròn đơn vị.

Trường hợp 3: 1 6 R1 < R2 = ∞, ta chọn cố định hằng số C sao cho CR2 < 1, khi đó hàmf (Cz) phân hình trên hình vành khuyên chứa đường tròn đơn vị.

Do đó, trong toàn bộ luận văn chúng ta luôn giả thiết hình vành khuyên A = A(R1, R2) với 0 6 R1 < 1 < R2 6 +∞ Đặc biệt, khi R1 = R1

Năm 1965, Bieberbach định nghĩa các hàm Nevanlinna (hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng) cho hàm phân hình trên hình hình vành khuyên dạng {z : 0 < ρ0 6 |z| < ∞} như sau.

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Cho ω ∈ C là một giá trị hữu hạn hay ∞, ta định nghĩa hàm đếm giá trị ω của hàm phân hình f với |z| > ρ0 > 0 xác

Năm 1983, Bank và Lain xem xét hàm phân hình trên A(0, ∞) Để đồng nhất ký hiệu với Bieberbach, hai ông phân tích hàm phân hìnhf trên A(0, ∞)thành hai hàm phân hìnhf (z)và f∗(z) = f (1z) trênA[1, ∞) Các hàm Nevanlinna tương ứng lần lượt được ký hiệu bởi N1(r, f ), N1(r, f∗), m1(r, f ), m1(r, f∗), T1(r, f ) và T1(r, f∗).

Năm 2004, R Korhonen đưa ra định nghĩa:

Định nghĩa 1.1.2 ([5]) Giả sử f là hàm phân hình trên A(R1, R2) Khi

trong đó R1 < r 6 ρ < R2 và nR1,R2(t, f ) là số các cực điểm của hàm f trong A(r, t) tính cả bội Hàm xấp xỉ của f xác định bởi

và hàm đặc trưng của f là

TR1,R2(r, ρ, f ) = NR1,R2(r, ρ, f ) + mR1,R2(r, ρ, f ), trong đó R1 < r 6 ρ < R2.

Ví dụ 1.1.3 Xét hàm số f (z) = e1z khi đó f có điểm kì dị tại z = 0 nhưng hàm này chỉnh hình trên miền (0, +∞) Dof không có không điểm trên (0, +∞) nên N0,+∞(r, ρ, f ) = 0 với mọi 0 < r < ρ Do đó

Nhận xét 1.1.4 Hàm đếm NR1,R2(r, ρ, f ) trong Định nghĩa 1.1.2 dường như phụ thuộc vào hai biến, biến thứ nhất là r và biến thứ hai là ρ Tuy nhiên, theo cách định nghĩa của hàm nR1,R2(t, f ), biến r phải cố định Vì nếu ngược lại, NR1,R2(r, ρ, f ) không liên tục theo biến thứ nhất r khi biến thứ hai ρ cố định Hàm NR1,R2(r, ρ, f ) không xác định nếu ta coi r và ρ là hai biến độc lập Để minh họa cho điều này, ta xét hàm

f (z) = e1z(1 − z)−1

trên A(0, ∞) Dễ thấy hàm f (z) có cực điểm duy nhất tại z = 1 Ta cố định ρ > 1, khi đó nếu r 6 1, nR1,R2(t, f ) = 0 khi r < t < 1 và

Do đó

r−→1NR1,R2(r, ρ, f ) = 0,

nhưng NR1,R2(1, ρ, f ) = log ρ 6= 0 Điều này suy ra hàm NR1,R2(r, ρ, f ) không liên tục đối với biến r khi biến ρ cố định.

Năm 2005, A Ya Khrystiyanyn, A A Kondratyuk đã xây dựng các hàm Nevanlinna trên đĩa ∆R như sau: Cho R > 1 là một số thực dương hoặc ∞ và f là một hàm phân hình trên hình vành khuyên ∆R Ký hiệu n1 t, f −a1
là hàm đếm số không điểm của hàm f (z) − a, n1(t, ∞) là hàm đếm số cực điểm của hàm f trong {z : t < |z| 6 1}; n2 t, f −a1
là hàm đếm số không điểm hàm f (z) − a, n2(t, ∞) là hàm đếm số cực điểm của hàm f trong {z : 1 < |z| 6 t} Với mỗi r : 1 < r < R, đặt

Định nghĩa 1.1.5 ([3]) Với một số r : 1 < r < R, hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi

log+|f (reiϕ)|dϕ Hàm đếm tại các a−điểm của f được định nghĩa bởi

và hàm đếm tại các cực điểm của hàm f được định nghĩa bởi N0(r, f ) = N1(r, ∞) + N2(r, ∞).

T0(r, f ) = m0(r, f ) − 2m(1, f ) + N0(r, f ), 1 < r < R, được gọi là đặc trưng Nevanlinna của f.

Năm 2006, A A Kondratyuk và I Laine đã đưa ra định nghĩa

Định nghĩa 1.1.6 ([6]) Cho f là hàm phân hình trên ∆R, trong đó

trong đó n0(t, f ) là hàm đếm số các cực điểm của hàm f tính cả bội trong ∆t Hàm xấp xỉ m0(r, f ) và hàm đặc trưng T0(r, f ) tương ứng được định

Ta thấy các khái niệm trong Định nghĩa 1.1.6 và Định nghĩa 1.1.5 khá tương đồng với nhau Thật vậy hàm N0(r, f ) trong định nghĩa của A A Kondratyuk và I Laine có thể biến đổi được như sau:

trùng với hàm đếm trong khái niệm của A Y Khrystiyanyn, A A Kon-dratyuk trong Định nghĩa 1.1.5 Còn hàm m0(r, f ) trong định nghĩa của A A Kondratyuk và I Laine sai khác so với m0(r, f ) của A Y Khrys-tiyanyn, A A Kondratyuk một đại lượng hằng số Do đó các kết quả liên quan đến các hàm Nevanlinna khi sử dụng hai khái niệm này có thể dùng chung.

Rõ ràng, khó sử dụng các Định nghĩa 1.1.6 và 1.1.5 để xác định phân bố các cực điểm gần với biên trong hơn hay gần với biên ngoài hơn vì các hàm Nevanlinna chỉ phụ thuộc một biến Ta biết có những trường hợp hàm phân hình có vô hạn cực điểm gần biên trong nhưng hàm là giải tích bên ngoài một đường tròn Nói cách khác, từ các định nghĩa trên, ta không thể khẳng định về cấp tăng của hàm phân hình là nhanh hơn hay chậm hơn gần mỗi biên Năm 2009, M Lund và Z Ye xây dựng các khái niệm về các hàm Nevanlinna như sau:

Định nghĩa 1.1.7 ([7]) Cho f là hàm phân hình trên A = A(R1, R2) với 06 R1 < 1 < R2 6 ∞ Ký hiệu nA(t, f ) là số cực điểm tính cả bội của f trong A[t, 1) nếu t < 1 hoặc trong A[1, t] nếu t > 1 Hàm đếm của f trên A được định nghĩa bởi

log+|f (ρeiθ)|dθ, và hàm đặc trưng Nevanlinna của f trên A xác định bởi

TA(r, ρ, f ) = NA(r, ρ, f ) + mA(r, ρ, f ), trong đó R1 < r 6 ρ < R2.

Nhận xét 1.1.8 Định nghĩa của M Lund và Z Ye phụ thuộc vào hai biến độc lập r và ρ, điều này rất thuận lợi cho việc nghiên cứu tính chất của các hàm Nevanlinna trong lân cận các đường tròn trong và ngoài của hình vành khuyên Hơn nữa, nhiều kết quả về tính chất của các hàm Nevanlinna trên một đĩa hay trên mặt phẳng phức lại là hệ quả của các định lý trên Annuli Chẳng hạn, xét trường hợp f là hàm phân hình trên đĩa DR = {z ∈ C : |z| < r} với R 6 +∞ và f (0) 6= 0, ∞ với z ∈ D1, khi đó ta có:

NDR(0, ρ, f ) = N (ρ, f ) + O(1) và mDR(0, ρ, f ) = m(ρ, f ) + O(1); và do đó

TDR(0, ρ, f ) = T (ρ, f ) + O(1),

trong đóN, m vàT là các hàm Nevanlinna thông thường mặt phẳng phức Như vậy các khái niệm trong Định nghĩa 1.1.7 giống với các định nghĩa tương ứng trong lý thuyết Nevanlinna, sai khác một hằng số.

Định lý phân tích nhân tử Valiron có vai trò quan trọng trong việc chứng minh Bổ đề đạo hàm logarit cho hàm phân hình trên hình vành khuyên Trong phần này chúng tôi giới thiệu một số dạng phân tích nhân tử Valiron trong các trường hợp khác nhau của hàm phân hình trên hình vành khuyên Năm 1939, G Valiron đã chứng minh định lý sau, thường được gọi là định lý Valiron gốc:

Định lý 1.2.1 ([9]) Cho f (z) là một hàm chỉnh hình trên A(0, ∞), có kì dị cốt yếu tại ∞ Khi đó f (z) biểu diễn được dưới dạng

f (z) = zmΦ(z)u(z),

trong đó m ∈ Z, Φ(z) là hàm chỉnh hình trong {0 < |z| 6 ∞}, Φ(∞) 6= 0 và u là hàm nguyên siêu việt.

Định lý 1.2.1 cho một dạng phân tích dưới dạng nhân tử của một hàm chỉnh hình f (z) trên đĩa thủng A(0, ∞) Về sau có một số tác giả xem xét mở rộng cho các trường hợp khác nhau Chẳng hạn, năm 2004, R.

trong đó

(a) Φ(z) là hàm phân hình trong A(R1, ∞) và chỉnh hình, không có không điểm trong hình vành khuyên đóng {z : R2 − ε 6 |z| 6 R2}.

(b) u là hàm phân hình trên {z : |z| < R2} và chỉnh hình không có không điểm trong hình vành khuyên đóng {z : R1 6 |z|6 R1 + ε}.

(c) m ∈Z.

Năm 2009, M E Lund và Z Ye đã giới thiệu một dạng Định lý phân tích nhân tử Valiron như sau:

Định lý 1.2.3 ([7]) Cho f (z) là một hàm phân hình trên A(R1, R2) và lấy số thực R : R1 < R0 < R2 Khi đó f (z) biểu diễn được dạng

f (z) = zmΦ(z)u(z), trong đó

(i) Cực điểm và không điểm của f trong A(R1, R0) đều là các cực điểm và không điểm Φ Cực điểm và không điểm của f trong A[R0, R2) đều là các cực điểm và không điểm u.

(ii) Φ(z) là hàm phân hình trong A(R1, ∞) và chỉnh hình, không có không điểm trong A[R0, ∞].

Chứng minh Gọi p1 và q1 là các hàm được xác định tương ứng bằng tích của các nhân tử Weierstrass nguyên thủy với dãy các không điểm và cực điểm của f, được xây dựng theo cách sao cho p1(z) và q1(z) dần về 1 khi z dần tới ∞ Định nghĩa p2 và q2 tương tự, tương ứng sử dụng các không

điểm và cực điểm của f trong A[R0, R2) Chú ý rằng ta bao hàm tất cả không điểm và cực điểm của f trên đường tròn |z| = R0 vào hàm p2 và q2 Đặt Pk = pk/qk với k = 1, 2, và đặt h(z) = f (z)[P1(z)P2(z)]−1 Khi đó, h là giải tích và khác không trên A, cho nên hàm H(z) = hh(z)0(z) là giải tích trong A Do đó, ta có thể viết chuỗi khai triển Laurent của H tại điểm 0

Cố định z0 không là không điểm hay cực điểm của f, với |z0| = R0 Vì H2(z) là giải tích trong D(R2), tích phân Rzz

Ta muốn định nghĩa một hàm tương tự nhưng sử dụng H1(z) Cố định r0 ∈ (R1, R0) Theo (1.1), rõ ràng H1 có một không điểm bội ít nhất 2 tại ∞ Do đó, nếu ta đặt H˜1(z) = H1(r02

z ) thì H˜1(z)

z2 là giải tích trong D(r0).

Đặtγ = γ(t) với t ∈ [a, b],là một đường cong đóng bất kỳ trong A(r0, ∞) Đặt γ(t) =˜ γ(t)r02 với t ∈ [a, b] Khi đó trong A[R0, ∞) Chú ý rằng với c 6= 0 hoặc ∞ vì z0 không là không điểm hay cực điểm của f Theo cách xây dựng, p1 → 1 và q1 → 1 khi z → ∞ Do đó Φ(∞) hữu hạn và khác không Ngoài ra, vì A1 6⊂ A(R0, ∞], Φ thỏa mãn (b) Tương tự, u thỏa mãn (d) (e) được suy ra từ (1.2).

Cuối cùng, ta đi chứng minh (c) Vì Φ(z) giải tích và khác không trong

với bất kỳ z ∈ A[R0, ∞] Định lý được chứng minh.

Bổ đề sau cho thấy mối quan sau giữa đặc trưng Nevanlinna củaf trong hình vành khuyên với đặc trưng Nevanlinna thông thường của hàm trong phép phân tích của f.

Bổ đề 1.2.4 ([7]) Giả sử f là hàm phân hình trong A = A(R1, R2) và gọi f (z) = zmΦ(z)u(z) là phép phân tích xác định bởi R0 = 1 Đặt với mọi R1 < r < r0 < 1 và mọi 1 < ρ < R2.

Chứng minh Chú ý rằng vì Φ(z) khác không và giải tích trong A[1, ∞] và

= log+|Φ(ρeiθ)| + log+|˜u(ρeiθ)|.

Chú ý rằng trong bổ đề trên, theo tính đơn điệu của hàm đặc trưng thông thường, TA(r, ρ, f ) − e(r, ρ) là hàm giảm theo biến r và tăng theo biến ρ Hệ quả sau là một trường hợp thực tế, thường được sử dụng của Bổ đề 1.2.4.

Hệ quả 1.2.5 ([7]) Giả sử f, ˜Φ và u˜ xác định như trong Bổ đề 1.2.4 và lấy r0 ∈ (R1, 1) Khi đó, với bất kỳ r và rˆ thỏa mãn R1 < ˆr < r < r0 và

Chứng minh Định nghĩa e(r, ρ) và M như trong bổ đề phía trên Đặt R1 < ˆr < r < r0 và ρ ∈ (1, R2) Khi đó, vì TA(r, ρ, f ) − e(r, ρ) giảm theo r, ta có

TA(r, ρ, f ) = TA(r, ρ, f ) − e(r, ρ) + e(r, ρ) 6 TA(ˆr, ρ, f ) − e(ˆr, ρ) + e(r, ρ)

6 TA(ˆr, ρ, f ) + 2M (1.4) Lập luận tương tự cho biến ρ ta có chứng minh của Hệ quả.

Bổ đề sau cho thấy mối liên hệ hàm đặc trưng của một hàm f (z) phân hình trên hình vành khuyên với hàm đặc trưng của f (1z).

Bổ đề 1.2.6 Giả sử f là hàm phân hình A = A(R1, R2) Đặt

Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu một số dạng của Định lý chính thứ nhất cho hàm phân hình trên hình vành khuyên tương ứng với các ký hiệu đã được xây dựng Năm 1965, L Bieberbach đã chứng minh một dạng định lý chính thứ nhất như sau:

Định lý 1.3.1 ([1]) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trong lân cận của {z : 0 < ρ0 6 |z| < ∞} và lấy ω ∈ C Khi đó,

m1(ρ, ω) + N1(ρ, ω) = T1(ρ) + O(log ρ).