Luận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdicLuận văn thạc sĩ: Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdic
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hồi An THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Bích Thùy Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Các kí hiệu ii Mở đầu 1 Phân bố giá trị hàm phân hình p - adic 1.1 Hàm đặc trưng hàm phân hình p-adic 1.1.1 Không gian Cp 1.1.2 Hàm đặc trưng 1.2 Hai Định lý lý thuyết Nevanlinna p-adic 1.2.1 Hai Định lý 1.2.2 Các ý Định lý thứ hai 13 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic 15 2.1 Giả thuyết Hayman p - adic 16 2.2 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic 25 Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Các kí hiệu • Cp : Trường số phức p - adic • f : Hàm phân hình p - adic • Nf (a, r): Hàm đếm f a • mf (∞, r) : Hàm xấp xỉ f • Tf (r): Hàm đặc trưng f Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng xem thành tựu toán học đẹp đẽ toán học kỷ XX, mà ngày gọi Lý thuyết Nevanlinna Nội dung Lý thuyết phân bố giá trị hai định lý Định lý thứ mở rộng Định lý đại số, mô tả phân bố giá trị hàm phân hình khác mặt phẳng phức C Định lý thứ hai mở rộng Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng đạo hàm đến phân bố giá trị hàm phân hình Hà Huy Khoái người xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố giá trị cho trường hợp p - adic Ơng học trị tương tự lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày thường gọi lý thuyết Nevanlinna p - adic Họ đưa hai Định lý cho hàm phân hình ánh xạ chỉnh hình p - adic Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị (phức p - adic) Vấn đề xác định cho hàm phân hình khác (phức p-adic) qua điều kiện ảnh ngược tập hợp điểm mà ngày gọi Định lý điểm Nevanlinna (hoặc tương tự Định lý điểm cho trường hợp p-adic) Phân bố giá trị vấn đề xác định nhiều nhà toán học nước xét mối liên hệ với đạo hàm hàm phân hình ảnh ngược điểm riêng rẽ Người khởi xướng hướng nghiên cứu Hayman Năm 1967, Hayman chứng minh kết sau đây: Định lí A[4] Cho f hàm phân hình C Nếu f (z) 6= f (k) (z) 6= với k số nguyên dương với z ∈ C, f Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Năm 1967, Hayman đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman[4] Nếu hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) 6= ′ với n số nguyên dương với z ∈ C , f Giả thuyết Hayman Hayman kiểm tra hàm nguyên siêu việt n > , Clunie kiểm tra n ≥ Các kết vấn đề liên quan hình thành nhánh nghiên cứu gọi lựa chọn Hayman Tiếp đó, hàm nguyên f g , C C Yang G G Gundersen nghiên cứu trường hợp f (k) g (k) nhận giá trị CM, k = 0, Cơng trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu thuộc C.C.Yang – X.H Hua.Năm 1997, hai ông chứng minh định lý sau đây: Định lí B[13] Cho f g hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 ′ ′ số nguyên a ∈ C - {0} Nếu f nf g n g nhận giá trị a CM hoặcf = dg với dn+1 = g (z) = c1 ecz f (z) = c2 e−cz , c, c1 , c2 số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −a2 Từ đó, hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ với kết sâu sắc I Lahiri, Q Han – H X Yi, W Bergweiler, J K Langley, K Liu, L Z Yang, L C Hong, M L Fang, B Q Li, P C Hu - C.C.Yang, A Eremenko, G Frank - X Hua – R Vaillancourt Công cụ sử dụng số kiểu định lí thứ hai cho đa thức vi phân với với ước lượng hàm đặc trưng, hàm đếm hàm đạo hàm Trong trường hợp p-adic, kết theo hướng nghiên cứu thuộc J Ojeda[11] Năm 2008, J Ojeda xét vấn đề nhận giá trị ′ f + T f n với T hàm hữu tỷ Ở đó, J Ojeda nhận kết sau: Định lí C[11] Cho f hàm phân hình Cp, n ≥ số nguyên ′ a ∈ Cp - {0} Khi f n (z) f (z) 6= a với z ∈ Cp f Năm 2011, Hà Huy Khối Vũ Hồi An thiết lập kết tương m tự cho đơn thức vi phân dạng f n (z) f (k) (z) Họ nhận kết sau: Định lí D[4] Cho f hàm phân hình Cp , thỏa mãn điều kiện f n (z) (f (k))m (z) 6= với z ∈ Cp n,m k số ngun khơng Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ âm.Khi f đa thức bậc < k điều kiện sau xảy ra: f hàm nguyên k > m = 1, n > √ 1+ 1+4k m > 1, n ≥ 3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, tồn số C, r0 cho |f |r < C với r > r0 Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề: Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Đây vấn đề có tính thời giải tích p-adic Phương pháp dùng : Vận dụng kiểu Định lý thứ hai trường p-adic để xét phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo luận văn gồm: Chương Phân bố giá trị hàm phân hình p-adic Chương Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Luận văn hoàn thành Khoa Sau Đại Học, Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên hướng dẫn Tiến Sĩ Vũ Hồi An Nhân dịp này, tơi xin cảm ơn Tiến Sĩ Vũ Hoài An, người hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến nhà toán học Khoa Toán, Đại Học Sư phạm - Đại Học Thái Nguyên Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 04 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Bích Thùy Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phân bố giá trị hàm phân hình p - adic Hiện tập giảng nhập mơn Giải tích p-adic [2] Hà Trần Phương tài liệu tiếng Việt dùng cho cao học ngành giải tích Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên Sách chun khảo hàm phân hình khơng Acsimet Hu-Yang [9] tài liệu tham khảo tiếng Anh tốt cho cao học, nghiên cứu sinh người muốn tìm hiểu lý thuyết phân bố giá trị p-adic Trên sở tài liệu này, chương chúng tơi trình bày số kiến thức phân bố giá trị hàm phân hình p-adic để dùng cho chương 1.1 1.1.1 Hàm đặc trưng hàm phân hình p-adic Khơng gian Cp Với p số nguyên tố cố định, Ostowski khẳng định: Chỉ có hai cách trang bị chuẩn khơng tầm thường cho trường hữu tỉ Q Mở rộng theo chuẩn thông thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta có trường số Qp b bổ sung bao đóng đại số Q Ta gọi C Kí hiệu Cp = Q p p p trường số phức p-adic Chuẩn Cp mở rộng tự nhiên chuẩn p-adic Qp Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kí hiệu: Dr = {z ∈ Cp : |z| ≤ r}, D = {z ∈ Cp : |z| = r} P Giả sử f (z) hàm chỉnh hình Dr biểu diễn f (z) = an z n n≥0 Do lim |an | |z | = nên tồn n ∈ N để |an | |z | đạt giá trị lớn ∗ n n−→∞ n Khi ta đặt: |f |r = max {|an | |z n |} n≥0 Trong suốt luận văn ta quy ước log logp 1.1.2 Hàm đặc trưng Giả sử f một hàm chỉnh hình khác Cp Với a ∈ Cp , P f viết f = Pi (z − a) với Pi đa thức bậc i Định nghĩa vf (a) = {i : Pi 6= 0} Cho d ∈ Cp , Định nghĩa hàm vfd : ∈ Cp −→ N xác định vfd (a) = vf −d (a) R r nf (a, x) dx ρ0 x nf (a, x) số nghiệm phương trình f (z) = a tính bội đĩa Cố định số thực ρ0 với < ρ0 ≤ r Định nghĩa Nf (a, r) = lnp |z| ≤ x Nếu a = đặt Nf (r) = Nf (0, r) Cho l số nguyên dương Đặt P nl,f (a, x) intrρ0 dx, nl,f (a, x)= {vf −a(z), l} Nl,f (a, r) = lnp x |z|≤r Cho k số nguyên dương, Ta định nghĩa hàm vf≤k từ Cp vào N xác định bởi: 0 v (z) > k f ≤k vf (z) = v (z) v (z) ≤ k f n≤k f (r) = P |z|≤r f ≤k vf≤k (z), n≤k f (a, r) = nf −a (r) ≤k R r nf (a, x) dx Định nghĩa = lnp ρ0 x Nếu a = đặt Nf≤k (r) = Nf≤k (0, r) Nf≤k (a, r) Soá hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 ≤ n(r, ; a1 , aq ) ≤ nf ′ (0, r) f′ Định lý 1.6 viết lại sau q P (q − 1)Tf (r) ≤ N f (∞, r) + N f (ai , r) − N (r, ′ ; a1, aq ) − log r + Sf f j=1 1.2.2 Các ý Định lý thứ hai Trong phần nghiên cứu thêm số dạng Định lý thứ hai, đặc biệt bổ đề quan hệ số khuyết Giả sử f hàm phân hình khác Cp Chú ý T (r, f ) −→ ∞ r −→ ∞ Ta định nghĩa số khuyết f a ∈ Cp sau: mf (a, r) Nf (a, r) = − lim sup r−→∞ r−→∞ Tf (r) Tf (r) N f (a, r) Θf (a) = − lim sup r−→∞ Tf (r) δf (a) = lim inf Dễ thấy ≤ δf (a) ≤ Θf (a) ≤ Nếu a = ∞ ta kí hiệu mf (∞.r) Nf (∞.r) = − lim sup r−→∞ r−→∞ Tf (r) Tf (r) N f (∞.r) Θf (∞) = − lim sup r−→∞ Tf (r) δf (∞) = lim inf Định lý 1.7 ( Bổ đề quan hệ số khuyết)[2] Giả sử f hàm phân hình khác Cp Khi P P δ (a) ≤ Θf (a) ≤ f S S a∈Cp {∞} a∈Cp {∞} Có thể thấy, quan hệ chưa phải tốt ta xem xét cẩn thận Giả sử f hàm nguyên Cp Khi Nf (r) = log |f |r − log |f |ρ0 −→ ∞ Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Khi r −→ ∞ |f |r > r đủ lớn Bởi mf (∞, r) = log |f |r Khi r đủ lớn, kéo theo Nf (r) = Tf (r) + O(1) Do Nf (a, r) = Tf (r) + O(1) Với a ∈ Cp Từ định lý ta có Định lý Bổ đề sau: Định lý 1.8 Nếu f hàm nguyên khác Cp Khi δf (a) = với a ∈ Cp δf (∞) = Bổ đề 1.9 Cho f hàm chỉnh hình khác Cp Tf (r)−Tf (ρ) = Nf (r), < ρ ≤ r Bổ đề 1.10 Cho f hàm chỉnh hình khác Cp a1 , a2 , , ap đôi khác Cp thì: q P (q − 1)Tf (r) ≤ N1,f (∞, r) + N1,f (ai , r) − N0,f ′ (r) − log r + O(1) i=1 Trong N0,f ′ (r) hàm đếm không điểm f’ 0, xảy điểm khác với nghiệm phương trình f (z) = với i = 1, 2, , q), ≤ ρ ≤ r KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 1, trình bày khái niệm hai định lý hệ nó, lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình p-adic Số hóa Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Chương Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic vấn đề mẻ Năm 2008, Ojeda [11] người xét phân bố giá trị f n f ′ với f hàm phân hình p - adic Trong [11] J.Ojeda chứng minh cho hàm phân hình siêu việt trường đóng đại số có đặc số khơng, thỏa mãn giá trị tuyệt đối K không Archimedean, hàm f ′ f n − có vơ số khơng điểm n ≥ Năm 2011, Hà Huy Khoái Vũ Hoài An [4] thiết lập kết tương m tự cho đơn thức vi phân dạng f n (z) f (k) (z) Mục đích chương trình bày kết Hà Huy Khối Vũ Hồi An trong[4]: Định lí D [4] Cho f hàm phân hình Cp , thỏa mãn điều kiện f n (z) (f (k))m (z) 6= với z ∈ Cp n,m k số ngun khơng âm.Khi f đa thức bậc < k điều kiện sau xảy ra: f hàm nguyên √ 1+ 1+4k k > m = 1, n > m > 1, n ≥ n ≥ 0, m > 0, k > 0, tồn số C, r0 cho |f |r < C với r > r0 Mặt khác, phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic liên quan mật thiết với Giả thuyết Hayman p - adic Do đó, trước tiên chúng tơi trình bày kết Giả thuyết Hayman p - adic[1] Số hóa Trung tâm Học lieäu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Chương Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic vấn đề mẻ Năm 2008, Ojeda [11] người xét phân bố giá trị f n f ′ với f hàm phân hình. .. vi phân hàm phân hình p-adic Ngồi phần mở đầu tài liệu tham khảo luận văn gồm: Chương Phân bố giá trị hàm phân hình p-adic Chương Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic Luận văn. .. 13 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic 15 2.1 Giả thuyết Hayman p - adic 16 2.2 Phân bố giá trị đơn thức vi phân hàm phân hình p-adic