Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)

Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)Đa thức duy nhất và tập Bi URS cho hàm phân hình PAdic (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN MẠNH ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ TẬP BI-URS CHO HÀM PHÂN HÌNH P -ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN MẠNH ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ TẬP BI-URS CHO HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hướng dẫn khoa học TS.VŨ HỒI AN THÁI NGUYÊN - 2017 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ qui định quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Văn Mạnh ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Vũ Hồi An, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp q báu suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Văn Mạnh iii Mục lục Mục lục iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường p-adic 1.2 Các định lí Nevanlinna Đa thức tập Bi − U RS cho M(Cp ) 10 2.1 URS tính bội chặn cho hàm nguyên hàm phân hình Cp 10 2.2 Đa thức cho hàm phân hình 23 2.3 Bi-URS cho M(Cp ) 35 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Vấn đề xác định hàm phân hình (hay đa thức, hàm ngun) trường đóng đại số đặc trưng không K thông qua ảnh ngược tập hữu hạn nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Năm 1926, R Nevanlinna đưa Định lí năm điểm tiếng: Một hàm phân hình xác định cách ảnh ngược, khơng tính bội, năm giá trị phân biệt Định lí năm điểm R Nevanlinna suy hai hàm nguyên chung bốn giá trị hữu hạn phải hàm đồng hàm Kết tốt Năm 1977, F Gross đưa ý tưởng khơng xét ảnh ngược điểm rời rạc mà xét ảnh ngược tập hợp điểm trường đóng đại số Giả sử L trường số phức C trường đóng đại số, đặc trương không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet K F họ hàm xác định L lấy giá trị L Với m0 số nguyên dương ∞ , f ∈ F S ⊂ L ∪ {∞} tập khác rỗng, ta ký hiệu: Efm0 (S) = {(z, m) ∈ L × N|f (z) = a với bội n m = min(n, m0 )} a∈S Trong trường hợp m0 = ∞ (tương ứng m0 = 1), ta viết: Ef∞ (S) := Ef (S) tương ứng Ef1 (S) := E f (S) Tập S gọi tập xác định tính bội chặn m0 , ký hiệu URS với cặp hàm khác f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện Efm0 (S) = Egm0 (S) f = g Trong trường hợp m0 = ∞ tập S thỏa mãn điều kiện gọi URS, với m0 = ta gọi S URS khơng tính bội Thời gian gần đây, nhiều tác giả nghiên cứu U RS dựa hai hướng chính: Hướng thứ tìm U RS khác với số phần tử bé Theo hướng nhiều tác giả dùng ước lượng hàm Nevanlinna để chứng minh tập SY = {z ∈ C|z n + az m + b = 0}, với điều kiện khác n, m, a, b U RS Hướng thứ hai tìm đặc trưng U RS Năm 1997, A Boutabaa, A Escassut L Haddad đưa đặc trưng U RS cho đa thức trường đóng đại số K bất kì: “Một tập hữu hạn S ⊂ K U RS cho đa thức S tập cứng affin, nghĩa tồn hàm h = ax + b, (a, b ∈ K) thỏa mãn h(S) = S h ≡ id” Năm 1999, W Cherry C C Yang mở rộng kết cho hàm ngun trường khơng Acsimet Mục đích luận văn trình bày số kết U RS cho hàm phân hình trường p-adic khái niệm liên quan chặt chẽ với URS đa thức Cụ thể, luận văn trình bày điều kiện đủ để tập URS cho M(Cp ) Các kết luận văn dựa hai tài liệu tài liệu [6] [7] Luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Giới thiệu số kiến thức sử dụng luận văn Chương 2: Giới thiệu khái niệm URS tính bội chặn cho hàm phân hình trường p-adic Trình bày số kết URS đa thức cho hàm phân hình trường p-adic Khái niệm Bi-URS cho M(Cp ) Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác Giả Phạm Văn Mạnh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường p-adic Chuẩn không Acsimet Định nghĩa 1.1 Một chuẩn trường K hàm |.| : K → R+ thỏa mãn điều kiện sau: 1) |x| = ⇔ x = 0; 2) |xy| = |x||y| với x, y ∈ K; 3) |x + y| ≤ |x| + |y| với x, y ∈ K Nếu hàm thỏa mãn thêm điều kiện |x + y| ≤ max{|x|, |y|} với x, y ∈ K 4) ta gọi chuẩn khơng Acsimet Ngược lại, ta gọi chuẩn Acsimet Mỗi chuẩn |.| trường K cảm sinh hàm khoảng cách d xác định d(x, y) = |x − y|, với x, y ∈ K cảm sinh tơpơ K Trường mở rộng trường Q theo chuẩn không Acsimet gọi trường không Acsimet Với số thực r > điểm x ∈ K, ta kí hiệu đĩa mở, đĩa đóng, vòng tròn tâm x bán kính r tương ứng là: D(x, r) = {y ∈ K : d(x, y) < r}; D(x, r) = {y ∈ K : d(x, y) ≤ r}; D < x, r >= {y ∈ K : d(x, y) = r} = D(x, r)\D(x, r); D = D(0, 1) gọi đĩa đơn vị Với số c > 1, hàm υc : K → R ∪ {+∞} cho   −log |x| x ∈ K∗ c υc (x) =  +∞ x = gọi hàm cộng tương ứng chuẩn |.| Bổ đề 1.1 Một chuẩn trường K không Acsimet hàm cộng υ tương ứng thỏa mãn điều kiện sau: 1) υ(x) = +∞ ⇔ x = 0; 2) υ(xy) = υ(x) + υ(y), với x, y ∈ K; 3) υ(x + y) ≥ min{υ(x), υ(y)}, với x, y ∈ K Số p-adic trường p-adic Cho p số nguyên tố cố định Với số nguyên a khác khơng biểu diễn dạng sau: a = pυ a , p không chia hết cho a ∈ Z+ , υ xác định p a Ta kí hiệu υp (a) = υ Khi ta thu hàm υp : Z∗ → Z+ a Ta mở rộng υp lên trường số hữu tỉ Q sau: x = ∈ Q, đặt b   υp (a) − υp (b) x = υp (x) =  +∞ x = Với x ∈ Q, ta thu chuẩn p-adic tương ứng, kí hiệu | |p cho |x|p =   p−υp (x) x =  0 x = Định nghĩa 1.2 Hai chuẩn trường K gọi tương đương cảm sinh hàm khoảng cách cảm sinh tơ pơ K Định lý 1.1 (Định lí Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với hai chuẩn sau: Chuẩn p-adic; Giá trị tuyệt đối thơng thường Như có hai hướng mở rộng trường số hữu tỉ Q mở rộng theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta trường số thực R mở rộng theo chuẩn p-adic ta trường số p-adic, kí hiệu Qp Kí hiệu Qp bao đóng đại số Qp Tuy nhiên Qp không đầy đủ theo tơpơ khơng Acsimet Kí hiệu Cp = Qp mở rộng đầy đủ theo tôpô không Acsimet bao đóng đại số Qp gọi trường số phức p-adic Kí hiệu A(Cp ) vành hàm nguyên Cp M(Cp ) trường hàm phân hình, có nghĩa trường hàm thương A(Cp ) 1.2 Các định lí Nevanlinna Các hàm đặc trưng Nevanlinna tính chất Giả sử f (z) hàm phân hình đĩa Dr ∈ Cp giả sử f (z) viết dạng (z − ) f (z) = f0 (z) i j , (z − bj ) f0 khơng có khơng điểm cực điểm Dr , bj tương ứng không điểm cực điểm tính bội f Ta kí hiệu: n(r, 0, f ) = số khơng điểm f Dr ; ... Đa thức tập Bi − U RS cho M(Cp ) 10 2.1 URS tính bội chặn cho hàm nguyên hàm phân hình Cp 10 2.2 Đa thức cho hàm phân hình 23 2.3 Bi- URS cho M(Cp... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM VĂN MẠNH ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ TẬP BI- URS CHO HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học... đích luận văn trình bày số kết U RS cho hàm phân hình trường p-adic khái niệm liên quan chặt chẽ với URS đa thức Cụ thể, luận văn trình bày điều kiện đủ để tập URS cho M(Cp ) Các kết luận văn dựa