BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH oOo ðặng Tuấn Hiệp ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHƠNG ACSIMET Chun ngành: ðại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HỊA Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 Mở đầu Một vấn đề quan trọng lý thuyết hàm giải tích nghiên cứu không điểm điểm kỳ dò Theo hướng này, vào năm 20 kỷ XX, R Nevanlinna công bố công trình nghiên cứu mà ngày xem thành tựu đẹp đẽ sâu sắc toán học: Lý thuyết Nevanlinna Nội dung lý thuyết Nevanlinna hai đònh lý bản: đònh lý thứ tương tự siêu việt đònh lý đại số, đònh lý thứ hai mở rộng đònh lý Picard Gần 60 năm sau, P Vojta phát dòch lý thuyết Nevanlinna số học: đònh lý Roth Phát giúp P Vojta đề giả thuyết tổng quát lý thuyết Nevanlinna số học mà hệ đònh lý Fermat tiệm cận Sự tương tự lý thuyết Nevanlinna xấp xỷ Diophant cho công cụ để nghiên cứu vấn đề số học: cần tìm từ điển thích hợp, phiên dòch kết lý thuyết Nevanlinna thành kết số học Lý thuyết Nevanlinna cho tương tự số đại số hàm phân hình Nếu xét trường sở trường không Acsimet, mà trường số phức p-adic ví dụ, có lý thuyết Nevanlinna p-adic, xây dựng phát triển Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, W Cherry, P C Hu, C C Yang, A Escassut, A Boutabaa, Giả thuyết tiếng W Cherry có tương tự trường số phức trường p-adic: "Mọi kết cho đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) C cho hàm nguyên (hàm phân hình, tương ứng) Cp , trừ kết hiển nhiên sai", nghóa tồn dòch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K Đây vấn đề nhận quan tâm nhiều nhà toán học giới Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh: hàm phân hình C xác đònh cách ảnh ngược, không tính bội năm giá trò phân biệt Đònh lý năm điểm Nevanlinna suy hai hàm nguyên khác chung bốn giá trò hữu hạn phải trùng (ta nói hai hàm f g chung giá trò a f −1 (a) = g −1 (a)) Kết tốt hơn, hai hàm ez e−z chung 0, 1, −1 Sau đó, Polya ra, hai hàm phân hình f g chung bốn giá trò phân biệt, kể bội, af + b với số a, b, c, d g biến đổi Mobius f , nghóa g = cf + d thỏa mãn (c, d) = (0, 0) Lý thuyết tập xác đònh hàm phân hình F Gross nêu cách tự nhiên: Liệu xét nghòch ảnh tập S mà nghòch ảnh phần tử, nhận kết tương tự đònh lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức có tồn hay không tập S để với hàm phân hình f, g thỏa mãn f −1 (S) = g −1 (S) kéo theo f = g? Ký hiệu W trường số phức C trường K đóng đại số, đặc số không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) vành hàm chỉnh hình W, M(W) trường hàm phân hình W Giả sử S tập không rỗng W = W ∪ {∞}, F họ hàm xác đònh W lấy giá trò W, f ∈ F Đặt {(z, m) ∈ W × N|z không điểm bội m f − a}, Ef (S) = a∈S {z ∈ W|z không điểm f − a} Ef (S) = a∈S Hai hàm phân hình f, g gọi chung S, tính bội (tương ứng, không tính bội) Ef (S) = Eg (S) (tương ứng, Ef (S) = Eg (S)) Tập S gọi tập xác đònh (tương ứng, tập xác đònh không tính bội) cho họ hàm F , kí hiệu URS (tương ứng, URSIM), với hàm f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg (S) (tương ứng, Ef (S) = Eg (S)) f = g Giả sử B = {a1 , a2 , , an } tập hữu hạn, gọi PB (z) = (z − a1)(z − a2 ) (z − an ) đa thức liên kết với tập hợp B Trong [13], C C Yang - P Li nêu khái niệm sau Đònh nghóa Đa thức P (z) ∈ W[z] gọi đa thức mạnh cho họ hàm F với hàm f, g ∈ F số c = thỏa mãn P (f ) = cP (g) c = f = g Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] gọi đa thức cho họ hàm F với hàm f, g ∈ F thỏa mãn P (f ) = P (g) f = g Từ đònh nghóa URS đa thức ta thấy có mối quan hệ chặt chẽ chúng Cho tập S URS cho hàm phân hình, xây dựng đa thức P (z) nghiệm bội nhận S làm tập nghiệm Khi điều kiện Ef (S) = Eg (S) có nghóa P (f ) P (g) có không điểm với bội, điều yếu điều kiện P (f ) = cP (g) Nghóa là, S URS cho hàm phân hình đa thức P liên kết với S đa thức mạnh cho hàm phân hình Vì để nghiên cứu URS cho hàm phân hình ta nghiên cứu đa thức Khi xem xét xác đònh hàm phân hình thông qua ảnh ngược tập hợp ta gặp nhiều khó khăn để giảm số điểm tập hợp Cho đến nay, chưa có phương pháp để tìm URS cho hàm phân hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé 11 (tương ứng, 10) Vì có vấn đề đặt xem xét xác đònh hàm phân hình thông qua ảnh ngược nhiều tập hợp Đònh nghóa ([3]) Giả sử S, T tập W = W ∪ {∞} cho S ∩ T = ∅ Khi cặp (S, T ) gọi bi-URS cho F với hai hàm khác số f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg (S) Ef (T ) = Eg (T ) f = g Năm 1996, P Li C C Yang ([12]) chứng minh C tồn bi-URS kiểu (1, n) cho hàm phân hình có dạng ({∞}, S) với #S ≥ 15 Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W W Adams E G Straus ra: với a = b ∈ K, cặp ({a}, {b}) bi-URS cho hàm nguyên Năm 1998, A Boutabaa A Escassut ([4]), ước lượng phù hợp cho đa thức P (z) = z n − az m + 1, ra: với n ≥ ω ∈ K ∪ {∞}, tồn bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , , zn }) Tiếp theo, [6], tác giả chứng minh không tồn bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , z3 }) Sau đó, đến năm 2001, cách sử dụng ước lượng hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái Tạ Thò Hoài An ([9]) tồn bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1 , z2 , z3 , z4 }) Như vậy, vấn đề tồn bi-URS cho M(K) kiểu (1, n) giải trọn vẹn n = số tốt Gần đây, cách sử dụng công cụ Hình học đại số, xây dựng đa thức liên kết xét tính hyperbolic đường cong tương ứng, Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) tồn bi-URS cho M(K) kiểu (2, n), với n ≥ khẳng đònh n = số bé Các kết Tạ Thò Hoài An Nguyễn Trọng Hòa đạt đóng góp không nội dung mà phương pháp tiếp cận nghiên cứu vấn đề tương tự Bởi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu đa thức song tập xác đònh kiểu (1, n) cho hàm phân hình trường không Acsimet Cụ thể, muốn hệ thống lại cách chi tiết chứng minh kết mà tác giả Qua đó, cố gắng xây dựng ví dụ cụ thể để minh họa kết số trường hợp đặc biệt Đề tài mang tên: "Đa thức bi-URS kiểu (1, n) cho hàm phân hình trường không Acsimet" Phương pháp sử dụng ước lượng hàm Nevanlinna để đánh giá tập không điểm lớp đa thức thỏa mãn số điều kiện Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, tài liệu tham khảo ba chương Chương trình bày kiến thức giải tích p-adic lý thuyết Nevanlinna p-adic Đây kiến thức sở cho chương sau Chương trình bày kết đa thức cho hàm phân hình trường không Acsimet Chương trình bày kết song tập xác đònh kiểu (1, n) cho hàm phân hình trường không Acsimet Luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Trọng Hòa, ngưới đặt vấn đề dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc Tác giả xin gửi tới TS Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Mỵ Vinh Quang người thầy hướng dẫn tác giả công việc nghiên cứu vấn đề lý thuyết Nevanlinna p-adic áp dụng Tác giả xin chân thành biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt TS Nguyễn Thái Sơn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành công việc Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS 6 TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, PGS TS Đậu Thế Cấp PGS TS Lê Hoàn Hóa giảng dạy cho tác giả chuyên đề cao học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán Phòng Khoa học công nghệ Sau đại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà chấp nhận khó khăn dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công việc học tập 7 Chương Các kiến thức sở Trong chương này, trình bày kiến thức sở hàm phân hình lý thuyết Nevanlinna trường không Acsimet Trước hết, đưa ký hiệu dùng luận văn • K trường đóng đại số, đặc số đầy đủ với chuẩn không Acsimet • C trường số phức • Cp trường số phức p-adic • L C K • A(L) vành hàm nguyên L • M(L) trường hàm phân hình L • W trường đóng đại số, đặc số • W không gian xạ ảnh chiều W • F họ hàm xác đònh W lấy giá trò W 1.1 Trường không Acsimet Các khái niệm kết nhắc đến phần trình bày cách chi tiết [8] Chuẩn không Acsimet Đònh nghóa 1.1 Một chuẩn trường W ánh xạ |.| : W → R+ = [0, ∞), thỏa mãn điều kiện sau: (1) |x| = ⇔ x = 0, (2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W, (3) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ W Nếu thay (3) điều kiện mạnh hơn: (3 ) |x + y| ≤ max{|x|, |y|} ta thu chuẩn không Acsimet Mỗi chuẩn |.| trường W cảm sinh hàm khoảng cách d xác đònh d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ W, chuẩn cảm sinh tôpô W Trường với chuẩn không Acsimet gọi trường không Acsimet, ký hiệu K Hai chuẩn trường W gọi tương đương cảm sinh tôpô W Cho r số thực dương điểm x ∈ W Ký hiệu đóa mở, đóa đóng tâm x bán kính r theo thứ tự bởi: D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) < r}, D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) ≤ r} Đóa D = D(0, 1) gọi đóa đơn vò Với số c > 1, hàm vc : W → R ∪ {∞}, vc (x) = − log c |x| x = 0, +∞ x = gọi hàm cộng tương ứng chuẩn |.| 9 Mệnh đề 1.1 Một chuẩn trường W không Acsimet hàm cộng v tương ứng thỏa mãn điều kiện sau: (1) v(x) = +∞ ⇔ x = 0, (2) v(xy) = v(x)v(y); ∀x, y ∈ W, (3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}; ∀x, y ∈ W Không gian p-adic (Xem [8], [2]) Một ví dụ chuẩn không Acsimet chuẩn p-adic, xác đònh sau: Cho p số nguyên tố Với số nguyên a = 0, ta viết a = pv a , p không chia hết a Số tự nhiên v xác đònh a p, ta nhận hàm vp : Z∗ → Z+ , vp (a) = v Có thể mở rộng hàm vp lên trường số hữu tỷ: với x = a/b ∈ Q, đặt vp (x) = vp (a) − vp (b) x = 0, +∞ x = Khi đó, có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|p Q, xác đònh bởi: p−vp (x) x = 0, |x|p = x = Đònh lý 1.1 (Ostrowski [8]) Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với chuẩn p-adic chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường Như có hai hướng mở rộng trường số hữu tỷ Q Mở rộng theo chuẩn giá trò tuyệt đối thông thường ta trường số thực R Mở rộng theo chuẩn p-adic ta trường số p-adic, ký hiệu Qp Gọi Qp bao đóng đại số Qp Tuy đóng đại số Qp không đầy đủ theo tôpô không Acsimet Ký hiệu Cp = Qp trường mở rộng đầy đủ Qp theo tôpô không Acsimet, gọi trường số phức p-adic Mệnh đề 1.2 Cp trường đóng đại số đầy đủ theo chuẩn không Acsimet Cp không gian khả ly không compact đòa phương 10 1.2 Hàm phân hình p-adic Đònh nghóa 1.2 Một chuỗi lũy thừa ∞ anz n ; an ∈ K, f (z) = n=0 hội tụ đóa D(0, ρ) gọi hàm chỉnh hình p-adic đóa Hàm chỉnh hình p-adic toàn K gọi hàm nguyên p-adic Giả sử f g hàm chỉnh hình p-adic không điểm chung đóa Khi hàm ϕ= f , g gọi hàm phân hình p-adic đóa Nếu f g hàm nguyên p-adic ϕ hàm phân hình p-adic K, gọi hàm phân hình p-adic Sau này, không cần phân biệt, gọi chung hàm phân hình K hàm phân hình C hàm phân hình Cho f hàm chỉnh hình p-adic khác số đóa D(0, ρ) Với < r < ρ, ta đònh nghóa hạng tử tối đại: µ(r, f ) = max{|an |r n}, n≥0 tương ứng số tâm: ν(r, f ) = max{n : |an |r n = µ(r, f )} n≥0 Chúng ta quy ước µ(0, f ) = lim+ µ(r, f ); ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ) r→0 r→0 Bổ đề 1.1 Chỉ số tâm ν(r, f ) tăng lên r → ρ thỏa mãn công thức r log µ(r, f ) = log |aν(0,f)| + ν(t, f ) − ν(0, f ) dt + ν(0, f ) log r t Bổ đề 1.2 (Đònh lý chuẩn bò Weierstrass) Cho f hàm chỉnh hình đóa D(0, ρ) Khi đó, có tồn đa thức monic P có bậc ν(r, f ) hàm chỉnh hình p-adic g D(0, r) cho f = gP Hơn nữa, g không điểm D(0, r) P có ν(r, f ) không điểm kể bội D(0, r)