Tính chất hyperbolic trên trường không acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Chuyên ngành : Hình Học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến bạn học viên cao học khóa 23 trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hòa tận tình hướng dẫn em suốt trình học tập tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic 1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.2 Trường số phức p-adic 1.2 Không gian xạ ảnh  n 1.3 Giống đường cong 10 1.4 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường không Acsimet 15 1.5 Lý thuyết Nevanlinna đường cong đại số 24 Chương TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 27 2.1 Định lý Picard cho đường cong đại số trường không Acsimet 27 2.2 Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trường không Acsimet 30 2.3 Bổ đề Schwartz trường không Acsimet 37 2.3.1 Trường hợp 1-dạng vi phân 37 2.3.2 Trường hợp tổng quát 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 LỜI NÓI ĐẦU Một đa tạp phức X gọi hyperbolic (theo nghĩa Brody) ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ giải tích) từ mặt phẳng phức  vào X Theo định lý “nhỏ” Picard, hàm nguyên hai giá trị phải Điều tương đương với 1 \ {0,1,∞} hyperbolic Định lý Picard chứng tỏ mặt Riemann có giống bỏ điểm mặt Riemann có giống bé hyperbolic Trường hợp với số chiều lớn toán khó nhiều Một câu hỏi đưa liệu đa tạp phức loại tổng quát có hyperbolic Kobayashi [17] Zaidenberg [23] đưa đoán phần bù siêu mặt “tổng quát”  n có bậc bé 2n + hyperbolic Đã có nhiều kết liên quan đến đoán Phỏng đoán kiểm chứng Green [15] trường hợp 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Tổng quát hơn, Babets [4], Eremenko-Sodin [12] Ru [19] độc lập đưa kết luận  n \ {2n + siêu mặt vị trí tổng quát} hyperbolic Khi n = 2, đoán cho trường hợp bốn đường cong tổng quát (xem [10]) Đối với trường hợp ba đường cong tổng quát C1 , C2 , C3 , Dethloff, Schmacher Wong ([10], [11]) chứng tỏ  \  Ci hyperbolic deg Ci ≥ 2, i = 1,2,3 i =1 Cho K trường đóng đại số có đặc số tùy ý, đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet Một đa tạp X K gọi K - hyperbolic ánh xạ chỉnh hình từ K vào X Khác với trường số phức, việc nghiên cứu toán hyperbolic trường không Acsimet dễ nhiều Ví dụ hàm nguyên trường không Acsimet không điểm nghĩa 1 \ {0,∞} hyperbolic Định lý Picard trường không Acsimet khẳng định đường cong có giống bé K - hyperbolic Cherry chứng minh đa tạp Abel K K - hyperbolic (xem [6] [7]) Như hệ đơn giản định lý thứ hai Ru [20],  n \ {n + siêu mặt vị trí tổng quát} K - hyperbolic Tương tự giả thuyết Kobayashi Zaidenberg, ta có đoán sau Phỏng đoán: Cho D1 ,, Dq , q ≤ n q siêu mặt tổng quát phân biệt q  n ( K )  n \  Di K - hyperbolic i =1 q ∑ deg D ≥ 2n i =1 i Việc nghiên cứu tính chất hyperbolic vấn đề thời nhà Toán học muốn hướng đến Vì vậy, chọn việc nghiên cứu “Tính chất hyperbolic trường không Acsimet” làm đề tài Ở đây, sử dụng kết nghiên cứu đường cong chỉnh hình trường không Acsimet đa tạp xạ ảnh giới thiệu vài kết gần theo hướng nghiên cứu phương pháp Nevanlinna p-adic Các thành phần gồm lý thuyết Nevanlinna trường không Acsimet, hai định lý Nevanlinna đường cong chỉnh hình cách xây dựng dạng vi phân (tổng quát dạng vi phân tia) Luận văn chia làm chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày số định nghĩa sở giới thiệu vài định lý mở đầu Mục đích giúp người đọc có sở hiểu rõ cốt lõi luận văn phần sau Chương TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Trình bày chứng minh định lý Picard trường không Acsimet cho đường cong phẳng trơn có giống bé 1; chứng minh đoán Kobayashi Zaidenberg; chứng minh bổ đề Schwarz trường không Acsimet cho trường hợp tích 1-dạng đối xứng dạng vi phân tia  với cực điểm lôgarit dọc theo đường cong Cuối cùng, ta kết thúc đoán Kobayashi Zaidenberg trường không Acsimet cho  Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic Ký hiệu , , ,  trường số phức, trường số thực, trường số hữu tỷ, vành số nguyên Nếu T tập  ta ký hiệu T+ = { x ∈ T : x ≥ 0} , T + ={ x ∈ T : x > 0} Cho K trường Với a, b ∈ K cho a ≤ b, ta ký hiệu [ a, b] = { x ∈ K : a ≤ x ≤ b} 1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.1.1 Định nghĩa Cho K trường, chuẩn (giá trị tuyệt đối) K : K → + thỏa mãn điều kiện sau: ∀x, y ∈ K , (1) x = ⇔ x = 0; (2) xy = x y ; (3) x + y ≤ x + y Nếu thay (3) điều kiện sau: (4) x + y ≤ max ( x , y ) thỏa mãn (1), (2), (4) gọi chuẩn không Acsimet Một chuẩn K cảm sinh hàm khoảng cách d định nghĩa bởi: d ( x, y ) =x − y , ∀x, y ∈ K Nếu chuẩn không Acsimet metric cảm sinh d thỏa: d ( x, y ) ≤ max {d ( x, z ), d ( z , y )} , ∀x, y, z ∈ K Metric ứng với chuẩn không Acsimet gọi siêu metric metric không Acsimet 1.1.1.2 Ví dụ Chuẩn tầm thường K xác định 1 x ≠ x = 0 x = Chuẩn gọi trù mật tồn tại= K { x : x ∈ K} tập trù mật  + Giả sử trường K xác định metric d cảm sinh chuẩn không Acsimet Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng K sau: K ( x; r ) = { y ∈ K : d ( x, y ) < r } , K [ x; r ] = { y ∈ K : d ( x, y ) ≤ r} Tôpô sinh họ đĩa mở K ( x; r ) gọi tôpô không Acsimet K 1.1.2 Trường số phức p-adic Một ví dụ cho trường không Acsimet trường số phức p-adic Trong phần ta nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic  p với p số nguyên tố Cho số nguyên tố p, số nguyên a ≠ biểu diễn dạng a = p v a′, với p không chia hết a′ ∈  \ {0} Khi v ∈  cho a p Đặt v p (a ) = v Ta có hàm v p :  \ {0} →  Mở rộng hàm v p  sau: Với x= a ∈ , đặt b v p (a ) − v p (b) x ≠ v p ( x) =  x =0  +∞ Khi v p ( x) hàm  Do đó, ta định nghĩa chuẩn p-adic, ký hiệu p ,  sau:  p − v p ( x ) x ≠ xp = x =  Hai chuẩn K gọi tương đương chúng cảm sinh tôpô K Định lý (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường  tương đương với chuẩn p với p số nguyên tố p = ∞ (chuẩn ∞ giá trị tuyệt đối thông thường) Chứng minh: Trường hợp 1: Tồn số nguyên dương n cho n > Gọi n0 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn n0 > tồn số thực dương α thỏa mãn n0 = n0α Với số nguyên dương n viết dạng n = a0 + a1n0 + a2 n02 +  + as n0s ≤ < n0 , i = 0,1,, s as ≠ n0s +1 > n ≥ n0s a0 + a1 n0aaa + a2 n02 +  + as n0s n ≤ a0 + a1n0 + a2 n02 +  + as n0s = Vì < n0 , i = 0,1,, s nên ≤ Do n ≤ + n0α + n02α +  + n0sα= n0sα (1 + n0−α + n0−2α +  + n0− sα )   ≤ n ∑ α  i =0  n0  α ∞ i ( n ≥ n ) α i   Đặt ∑  α  = C (hằng số) n ≤ C.nα i =0  n0  ∞ Với N đủ lớn, thay n n N , ta có n ≤ N C nα Cho N → ∞ n ≤ nα Do n0s +1 − n ≤ ( n0s +1 − n ) α Ta có n0s +1= n0s +1 − n + n ≤ n + n0s +1 − n Suy n ≥ n0s +1 − n0s +1 − n ≥ n0( s +1)α + ( n0s +1 − n ) α α ( s +1)α Vì n ≥ n0 nên n ≥ n + (n s +1 − n= ) n s α ( s +1)α ( n s +1 = n0 s +1 ) α   1  1 + 1 −     n0     Vì n0s +1 > n ≥ n0s nên n ≥ C ′.nα Với N đủ lớn, thay n n N , ta có n ≥ N C ′.nα Cho N → ∞ n ≥ nα Vậy n = nα a Lấy x =∈ , a, b ∈ , b ≠ x= b a a a aa  a  a x x = = = =   ∞ b ba  b  Do tương đương ∞ Trường hợp 2: n ≤ với số nguyên dương n Gọi n0 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn n0 < n0 số nguyên tố n0= n1.n2 , n1 < n0 , n2 < n0 n1 < 1, n2 < = n0 n1 n2 < n0 (vô lý) Đặt p = n0 Lấy số nguyên tố q ≠ p Giả sử q < 1 Với M , N đủ lớn ta có p M < , q N < Vì ( p M , q N ) = nên tồn số 2 nguyên m, n cho mp M + nq N = Khi 1= =mp M + nq N ≤ m p M + n q N Vì m < 1, n < nên ≤ p M + q N < Vậy q = 1 1 (vô lý) + = 2 Với số nguyên dương a viết dạng a = p1b1 p2b2  prbr p1 , p2 , pr nguyên tố Khi a = p1  p Suy a =   bi p ∃i : pi = ρ Đặt = p j ≠ p, ∀j b1 p2 b2  pr br ord a bi p a rr = = a p p < = Do tương đương p □ Từ với x ∈  \ {0} , ta có ∏x p = p ∏x p hiểu tích p x p với tất số nguyên tố p ∈ , kể p = ∞ Đầy đủ hóa  ứng với tôpô sinh chuẩn hiệu p p p trường, ký hiệu  p ,  mở rộng thành chuẩn không Acsimet  p , ký thỏa mãn tính chất sau: (i) Tồn phép nhúng  vào  p chuẩn cảm sinh p  qua phép nhúng chuẩn p-adic Do ta đồng  với ảnh qua phép nhúng  p (ii)  trù mật  p (iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) sai khác đẳng cấu bảo toàn giá trị tuyệt đối chuẩn p-adic Khi ta gọi  p trường số p-adic  p có tính chất sau: (iv) Với x ∈  p \ {0} , tồn số nguyên v p ( x) cho x p = p −vp ( x) , nghĩa v p  mở rộng lên  p Nói cách khác, tập tất giá trị   p qua p trùng tập { p n : n ∈ } ∪ {0} 8  r Từ (iv) ta thấy ;;; ( x; r ) p  x;  , x ∈ p , r ∈  + p=  p = ; p ;; = Do vành định giá p [ 0;1] p ( 0; p ) vừa mở vừa đóng gọi vành số nguyên p-adic, ký hiệu  p Với n ∈  + , vành  p phủ 0,1,, p (k = ; p  k ; p − n  = k + pn p n − 1) , suy  p compact  p compact địa phương Do đó, ta có  p / p n p ≅  / p n p , lớp p n  p  p cầu tôpô p-adic n −n Các tập ; p =  k ; p  p  p ( n ∈  ) tạo thành hệ lân cận ∈ p Không gian  p không liên thông không gian tôpô Hausdorff Ký hiệu  p bao đóng đại số  p Ta mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic  p sau: Lấy x ∈  p , x thuộc trường mở rộng hữu hạn  p ( x) ta định nghĩa x p cách sử dụng mở rộng chuẩn p-adic  p ( x) Do ta nhận hàm :  p →  + mở rộng chuẩn padic  p Ta chứng minh hàm chuẩn Chuẩn  p gọi chuẩn p-adic Tuy nhiên,  p không đầy đủ với chuẩn Đầy đủ hóa  p ứng với tôpô sinh hiệu  p , chuẩn ký hiệu p p  p trường, ký thỏa mãn tính chất sau: (i) Tồn phép nhúng  p vào  p chuẩn cảm sinh p  p qua phép nhúng chuẩn p-adic Do ta đồng  p với ảnh qua phép nhúng  p (ii)  p trù mật  p (iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) sai khác đẳng cấu bảo toàn chuẩn p-adic Khi ta gọi  p trường số phức p-adic  p có tính chất sau: (iv) Với x ∈ p \ {0} , tồn số hữu tỷ v p ( x) cho x p = p vp ( x) , nghĩa v p  p mở rộng lên  p ảnh  p \ {0} qua v p  (v)  p đóng đại số không compact địa phương 1.2 Không gian xạ ảnh  n 1.2.1 Định nghĩa Cho K trường Không gian affine n chiều K , viết  n ( K )  n , tập hợp gồm n phần tử K Các phần tử  n gọi điểm Đặc biệt 1 ( K ) đường thẳng affine,  ( K ) mặt phẳng affine 1.2.2 Định nghĩa Cho K trường Không gian xạ ảnh n chiều K , viết  n ( K )  n , tập hợp đường thẳng qua điểm ( 0;0;;0 ) + n+1 ( K ) Bất= kỳ điểm ( x ) dạng ( x1; x2 ;; xn+1 ) ≠ ( 0;0;;0 ) xác định đường thẳng {( λ x ; λ x ;; λ x n +1 ) λ ∈ K } Hai điểm ( x ) ( y ) xác định 10 đường thẳng có λ ≠ 0, λ ∈ K cho yi = λ x= 1,2,, n + Ta i với i nói ( x ) ( y ) tương đương Khi  n định nghĩa tập lớp tương đương gồm điểm + n+1 \ {( 0;0;;0 )} Phần tử  n gọi điểm Nếu điểm P ∈  n xác định ( x1; x2 ;; xn+1 ) ∈ + n+1 ta nói ( x1; x2 ;; xn+1 ) tọa độ viết P = [ x1 : x2 :  : xn+1 ] Đặt U i = {[ x : x : : x n +1 ]∈ :n } xi ≠ Mỗi điểm P ∈  n viết dạng P = [ x1 :  : xi −1 :1: xi +1 :  : xn+1 ] Ta định nghĩa ϕi :  n → U i xác định ϕi ( a1; a2 ;; an ) = [ a1 :  : −1 :1: +1 :  : an+1 ] Khi ϕi thiết lập tương ứng 1-1 điểm  n điểm U i n +1 Chú ý  n =  U i với U i xem không gian affine n chiều i =1 1.2.3 Ví dụ (0)  ( K ) điểm (1)= :1 ( K ) {[ x :1] } x ∈ K  [1: 0] đường thẳng xạ ảnh K { } { } (2) : ( K ) = [ x : y :1] ( x; y ) ∈   [ x : y : 0] [ x : y ] ∈ :1 mặt phẳng xạ ảnh K 1.3 Giống đường cong 1.3.1 Định nghĩa Cho K trường Gọi f ( x1 , x2 ,…, xn ) đa thức n biến khác không với hệ số K Đa thức f ( x1 , x2 ,…, xn ) gọi đa thức bậc d f ( x1 , x2 ,…, xn ) = ∑ ak1k2kn x k1 x k2  x kn với ak1k2kn ∈ K k1 ++ kn = d 11 1.3.2 Định nghĩa Gọi f ( x, y, z ) đa thức khác Đường cong phẳng xạ ảnh C siêu mặt  ( K ) xác định sau: C= 0} {[ x : y : z ] ∈ : ( K ) : f ( x, y, z ) = Bậc đường cong C bậc đa thức f ( x, y, z ) Đường cong C gọi bất khả quy đa thức f ( x, y, z ) bất khả quy Một điểm [ a : b : c ] ∈ C gọi điểm kì dị (hoặc điểm bội) C ∂f ∂f ∂f = (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c) ∂x ∂y ∂z Số bội điểm [ a : b : c ] ∈ C số nguyên dương nhỏ m cho ∂m f (a, b, c) ≠ với i, j , k ≥ i + j + k = m ∂xi ∂y j ∂z k Một điểm [ a : b : c ] ∈ C không điểm kì dị gọi điểm đơn Khi ∂f ∂f ∂f (a, b, c) ( x − a ) + (a, b, c) ( y − b ) + (a, b, c) ( z − c ) = tiếp tuyến C ∂x ∂y ∂z điểm [ a : b : c ] Đường cong C điểm kì dị gọi đường cong xạ ảnh không suy biến (hoặc đường cong xạ ảnh trơn) 1.3.3 Định nghĩa Cho C đường cong xạ ảnh không suy biến, A trường hàm đại số xác định K , với điểm P ∈ C ta kí hiệu ord P hàm thứ tự A Một ước C có dạng hình thức D = ∑ nP P nP ∈  nP = với hầu hết P∈C điểm trừ số hữu hạn điểm P Bậc ước tổng hệ số ước, nghĩa deg ( ∑ nP P ) = ∑ nP 12 Một ước D = ∑ nP P gọi hữu hiệu nP ≥ 0, ∀P ∈ C Đặt L( D= ) { f ∈ A : ord P ( f ) ≥ −nP , ∀P ∈ C} dim ( L( D) ) = l ( D) 1.3.4 Định lý (Riemann) Có giá trị g ∈  cho l ( D) ≥ deg( D) + − g với ước D Giá trị g nhỏ thỏa l ( D) ≥ deg( D) + − g gọi giống C Giống số nguyên không âm 1.3.5 Mệnh đề Cho C đường cong phẳng xạ ảnh có bậc d với n điểm kì dị Pi (1 ≤ i ≤ n ) ứng với số bội ri Khi giống C cho công thức: = g ( d − 1)( d − ) − ri ( ri − 1) (xem [13]) ∑ i =1 n 1.3.6 Ví dụ Một đường cong C xác định đa thức f ( x, y, z )= x3 yz + y + z bậc Dễ dàng kiểm tra C có điểm kì dị [1: : 0] bội Do đó, g = − 2) ( − 1)(= −1 1.3.7 Định lý (Picard – Berkovich) Giả sử C ⊂  ( K ) đường cong đại số trơn xác định trường K , đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường, có giống g ≥ Khi đó, ánh xạ chỉnh hình từ đường thẳng affine 1 ( K ) lên C ánh xạ Nếu đường cong C K có giống g ≥ C gọi hyperbolic K hay K − hyperbolic 1.3.8 Định nghĩa Gọi R( z0 , z1 , z2 ), S ( z0 , z1 , z2 ) đa thức K Đặt 13 W ( zi , z j ) = Các 1-dạng 1-dạng zi dzi zj với ≤ i < j ≤ dz j R( z0 , z1 , z2 ) W ( zi , z j ), ≤ i < j ≤ 1-dạng hữu tỷ  ( K ) S ( z0 , z1 , z2 ) R( z0 , z1 , z2 ) = S deg R + W ( zi , z j ) gọi xác định tốt deg S ( z0 , z1 , z2 ) Gọi C đường cong đại số xác định f ( z0 , z1 , z2 ) =  ( K ) với f ( z0 , z1 , z2 ) = đa thức bậc n ≥ 1-dạng ω C gọi quy hạn chế 1-dạng hữu tỷ  ( K ) cho cực điểm ω thuộc C Một 1-dạng hữu tỷ quy xác định tốt C gọi 1-dạng kiểu Wronskian Tiếp theo, ta thiết lập mối liên hệ số chiều không gian 1-dạng quy giống đường cong 1.3.9 Định nghĩa Gọi Ω không gian 1-dạng quy ω C Lấy ω ∈ Ω, ω ≠ 0, ước ω div(ω ) có dạng hình thức div(ω ) = ∑ ord P (ω ) P W = div(ω ) P∈C gọi ước tắc 1.3.10 Định lý Cho W ước tắc Khi deg W = g − l (W ) ≥ g (xem [13]) 1.3.11 Định lý (Riemann – Roch) Cho W ước tắc C Khi với ước D ta có = l ( D) deg( D) + − g + l (W − D) Ngoài ra, ta mối liên hệ 1-dạng quy giống thành phần bất khả quy C thông qua bổ đề Key 14 1.3.12 Bổ đề (Bổ đề Key) Cho C đường cong xạ ảnh bậc n  ( K ) xác định f ( z0 , z1 , z2 ) = Giả sử có i, j , k ∈ {0,1,2} , ≤ i < j ≤ 2, i ≠ k , j ≠ k hai 1- dạng kiểu= Wronskian ω1 (i) S1 , S2 nhân tử R1 R2 W ( zi , z j ); ω2 W ( zi , z j ) thỏa mãn = S1 S2 ∂f ∂zk (ii) ω1 , ω2 độc lập tuyến tính thành phần bất khả quy C (iii) Với i = 1,2 , ωi quy điểm P ∈ ∩ i  tập hợp điểm kì dị C i tập hợp không điểm Si Khi thành phần bất khả quy đường cong C có g ≥ Chứng minh: Lấy cực điểm ( z0 , z1 , z2 ) ∈  ω1 cho S1 ( z0 , z1 , z2 ) = Theo quy tắc Cramer, ta có ∂f W ( z1 , z2 ) ∂f ∂f W ( z2 , z0 ) ∂f suy = = ∂z0 W ( z0 , z1 ) ∂z2 ∂z1 W ( z0 , z1 ) ∂z2 W ( z1 , z2 ) W ( z2 , z0 ) W ( z0 , z1 ) = = ∂f ∂f ∂f ∂z0 ∂z1 ∂z2 Vì S1 nhân tử ∂f ∂f nên ta viết = S1H1 Khi ∂zk ∂zk = ω1 = Suy ω1 R1H1W ( zi , z j ) R1H1 = W ( zi , z j ) ∂f S1H1 ∂zk R1H1W ( z1 , z2 ) R1H1W ( z2 , z0 ) R1H1W ( z0 , z1 ) = = ∂f ∂f ∂f ∂z0 ∂z1 ∂z2 15 Do ω1 có cực điểm ( z0 , z1 , z2 ) ∈ ∩ i (mâu thuẫn với (iii)) Do ω1 quy C Tương tự cho ω2 , ta có ω2 quy C Kết hợp với điều kiện (ii), ω1 , ω2 độc lập tuyến tính thành phần bất khả quy C , g ≥ □ 1.4 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường không Acsimet Ta xây dựng khái niệm hàm chỉnh hình hàm phân hình trường K đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường Các khái niệm dãy, chuỗi hội tụ dãy, chuỗi giống trường định chuẩn Acsimet Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có số tính chất riêng 1.4.1 Định nghĩa Với U ⊂ K tập mở, hàm f : U → K gọi khả vi z0 ∈U tồn lim h →0 f ( z0 + h ) − f ( z0 ) := f ′( z0 ) h Hàm f ′ gọi đạo hàm f Hàm f gọi khả vi U f khả vi z ∈U 1.4.2 Bổ đề Giả sử ( xn ) dãy K Dãy ( xn ) dãy Cauchy lim xn+1 − xn = n→∞ Chứng minh: Theo định nghĩa dãy Cauchy, ta có điều kiện đủ Ta chứng minh điều kiện cần ∀n, p ∈  ta có xn+ p − xn = xn+ p − xn+ p −1 + xn+ p −1 − xn+ p −2 +  + xn+1 − xn { } ≤ max xn+ p − xn+ p −1 , xn+ p −1 − xn+ p −2 ,, xn+1 − xn Vì lim xn+1 − xn = nên ta có điều kiện cần n→∞ □ Từ bổ đề theo định nghĩa hội tụ chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có mệnh đề sau 16 1.4.3 Mệnh đề ∞ Chuỗi ∑a , a n =0 n n ∈ K hội tụ lim an = Khi n→∞ ∞ ∑a n n =0 Chuỗi = f ( z) ∞ ∑a z n =0 Đặt ρ = n limsup n an n ≤ max an n , an ∈ K hội tụ z lim an z n = n→∞ , ta có (1) Nếu ρ = f ( z ) hội tụ z = (2) Nếu ρ = +∞ f ( z ) hội tụ z ∈ K (3) Nếu < ρ < +∞ an ρ n → f ( z ) hội tụ z ≤ ρ (4) Nếu < ρ < +∞ an ρ n  f ( z ) hội tụ z < ρ 1.4.4 Định nghĩa ρ gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa f ( z ) Nếu ρ = ∞ f ( z ) hội tụ K Khi f ( z ) gọi hàm nguyên K Với r > 0, ký hiệu ∞   r ( K ) = an z n : an ∈ K , lim an r n = 0 ,  f ( z) = ∑ n =0    (= ( K ) = f ( z) r  ∞ ∑a z n =0 n n } : an ∈ K , bán kính hội tụ r ≥ r ,  ( K ) = ( ∞ ( K ) tập hàm nguyên K Ta có r ( K ) với hai phép toán cộng nhân hai chuỗi lũy thừa lập thành vành r ( K ) =  s ( K ) s≤r [...]... thuẫn với (iii)) Do đó ω1 chính quy trên C Tương tự cho ω2 , ta có ω2 chính quy trên C Kết hợp với điều kiện (ii), ω1 , ω2 độc lập tuyến tính trên mỗi thành phần bất khả quy của C , do đó g ≥ 2 □ 1.4 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường K đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường Các khái niệm về... đường cong đại số trơn xác định trên trường K , đầy đủ với chuẩn không Acsimet không tầm thường, có giống g ≥ 1 Khi đó, mọi ánh xạ chỉnh hình từ đường thẳng affine 1 ( K ) lên C đều là ánh xạ hằng Nếu đường cong C trên K có giống g ≥ 1 thì C được gọi là hyperbolic trên K hay K − hyperbolic 1.3.8 Định nghĩa Gọi R( z0 , z1 , z2 ), S ( z0 , z1 , z2 ) là các đa thức thuần nhất trên K Đặt 13 W ( zi , z j... tôpô sinh bởi chuẩn hiệu là p p p là một trường, ký hiệu là  p , trên  được mở rộng thành chuẩn không Acsimet trên  p , vẫn ký và thỏa mãn các tính chất sau: (i) Tồn tại phép nhúng  vào  p và chuẩn cảm sinh bởi p trên  qua phép nhúng là chuẩn p-adic Do đó ta đồng nhất  với ảnh của nó qua phép nhúng  p (ii)  trù mật trong  p (iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất... ∈ p Không gian  p không liên thông nhưng là không gian tôpô Hausdorff Ký hiệu  p là bao đóng đại số của  p Ta mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic trên  p như sau: Lấy x ∈  p , khi đó x thuộc trường mở rộng hữu hạn  p ( x) và do đó ta có thể định nghĩa x p bằng cách sử dụng sự mở rộng duy nhất của chuẩn p-adic trên  p ( x) Do đó ta nhận được hàm :  p →  + là một mở rộng của chuẩn padic trên. .. padic trên  p Ta chứng minh được hàm này là một chuẩn Chuẩn trên  p cũng gọi là chuẩn p-adic Tuy nhiên,  p không đầy đủ với chuẩn này Đầy đủ hóa của  p ứng với tôpô sinh bởi hiệu là  p , chuẩn này vẫn ký hiệu là p p trên  p là một trường, ký và thỏa mãn các tính chất sau: 9 (i) Tồn tại phép nhúng  p vào  p và chuẩn cảm sinh bởi p trên  p qua phép nhúng là chuẩn p-adic Do đó ta đồng nhất ... niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như trường định chuẩn Acsimet Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có một số tính chất riêng 1.4.1 Định nghĩa Với U ⊂ K là tập mở, hàm f : U → K được gọi là khả vi tại z0 ∈U nếu tồn tại lim h →0 f ( z0 + h ) − f ( z0 ) := f ′( z0 ) h Hàm f ′ gọi là đạo hàm của f Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z ∈U 1.4.2 Bổ đề Giả sử ( xn... : c ] ∈ C không là điểm kì dị được gọi là điểm đơn Khi đó ∂f ∂f ∂f (a, b, c) ( x − a ) + (a, b, c) ( y − b ) + (a, b, c) ( z − c ) = 0 là tiếp tuyến của C ∂x ∂y ∂z tại điểm [ a : b : c ] Đường cong C không có điểm kì dị được gọi là đường cong xạ ảnh không suy biến (hoặc đường cong xạ ảnh trơn) 1.3.3 Định nghĩa Cho C là đường cong xạ ảnh không suy biến, A là trường các hàm đại số xác định trên K , với... (iii)  p đầy đủ Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn chuẩn p-adic Khi đó ta gọi  p là trường số phức p-adic  p còn có tính chất sau: (iv) Với mỗi x ∈ p \ {0} , tồn tại một số hữu tỷ v p ( x) sao cho x p = p vp ( x) , nghĩa là v p trong  p được mở rộng lên  p và ảnh của  p \ {0} qua v p là  (v)  p đóng đại số nhưng không compact địa phương 1.2 Không gian xạ... 1.2 Không gian xạ ảnh  n 1.2.1 Định nghĩa Cho K là một trường Không gian affine n chiều trên K , được viết là  n ( K ) hoặc  n , là tập hợp các bộ gồm n phần tử trong K Các phần tử của  n được gọi là các điểm Đặc biệt 1 ( K ) là đường thẳng affine,  2 ( K ) là mặt phẳng affine 1.2.2 Định nghĩa Cho K là một trường Không gian xạ ảnh n chiều trên K , được viết là  n ( K ) hoặc  n , là tập hợp của... được xem như không gian affine n chiều i =1 1.2.3 Ví dụ (0)  0 ( K ) là một điểm (1)= :1 ( K ) {[ x :1] } x ∈ K  [1: 0] là đường thẳng xạ ảnh trên K { } { } (2) : 2 ( K ) = [ x : y :1] ( x; y ) ∈  2  [ x : y : 0] [ x : y ] ∈ :1 là mặt phẳng xạ ảnh trên K 1.3 Giống của đường cong 1.3.1 Định nghĩa Cho K là một trường Gọi f ( x1 , x2 ,…, xn ) là đa thức n biến khác không với hệ số trên K Đa thức