TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Khắc Hiếu TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Chuyên ngành : Hình Học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến bạn học viên cao học khóa 23 trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Đặc biệt, em trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy Tiến sĩ Nguyễn Trọng Hòa tận tình hướng dẫn em suốt trình học tập tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn Footer Page of 114 Header Page of 114 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic 1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.2 Trường số phức p-adic 1.2 Không gian xạ ảnh  n 1.3 Giống đường cong 10 1.4 Hàm chỉnh hình hàm phân hình trường không Acsimet 15 1.5 Lý thuyết Nevanlinna đường cong đại số 24 Chương TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 27 2.1 Định lý Picard cho đường cong đại số trường không Acsimet 27 2.2 Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trường không Acsimet 30 2.3 Bổ đề Schwartz trường không Acsimet 37 2.3.1 Trường hợp 1-dạng vi phân 37 2.3.2 Trường hợp tổng quát 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Footer Page of 114 Header Page of 114 LỜI NÓI ĐẦU Một đa tạp phức X gọi hyperbolic (theo nghĩa Brody) ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ giải tích) từ mặt phẳng phức  vào X Theo định lý “nhỏ” Picard, hàm nguyên hai giá trị phải Điều tương đương với 1 \ {0,1,∞} hyperbolic Định lý Picard chứng tỏ mặt Riemann có giống bỏ điểm mặt Riemann có giống bé hyperbolic Trường hợp với số chiều lớn toán khó nhiều Một câu hỏi đưa liệu đa tạp phức loại tổng quát có hyperbolic Kobayashi [17] Zaidenberg [23] đưa đoán phần bù siêu mặt “tổng quát”  n có bậc bé 2n + hyperbolic Đã có nhiều kết liên quan đến đoán Phỏng đoán kiểm chứng Green [15] trường hợp 2n + siêu phẳng vị trí tổng quát Tổng quát hơn, Babets [4], Eremenko-Sodin [12] Ru [19] độc lập đưa kết luận  n \ {2n + siêu mặt vị trí tổng quát} hyperbolic Khi n = 2, đoán cho trường hợp bốn đường cong tổng quát (xem [10]) Đối với trường hợp ba đường cong tổng quát C1 , C2 , C3 , Dethloff, Schmacher Wong ([10], [11]) chứng tỏ  \  Ci hyperbolic deg Ci ≥ 2, i = 1,2,3 i =1 Cho K trường đóng đại số có đặc số tùy ý, đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet Một đa tạp X K gọi K - hyperbolic ánh xạ chỉnh hình từ K vào X Khác với trường số phức, việc nghiên cứu toán hyperbolic trường không Acsimet dễ nhiều Ví dụ hàm nguyên trường không Acsimet không điểm nghĩa 1 \ {0,∞} hyperbolic Định lý Picard trường không Acsimet khẳng định đường cong có giống bé K - hyperbolic Cherry chứng minh đa tạp Abel K K - hyperbolic (xem [6] [7]) Như hệ Footer Page of 114 Header Page of 114 đơn giản định lý thứ hai Ru [20],  n \ {n + siêu mặt vị trí tổng quát} K - hyperbolic Tương tự giả thuyết Kobayashi Zaidenberg, ta có đoán sau Phỏng đoán: Cho D1 ,, Dq , q ≤ n q siêu mặt tổng quát phân biệt q  n ( K )  n \  Di K - hyperbolic i =1 q ∑ deg D ≥ 2n i =1 i Việc nghiên cứu tính chất hyperbolic vấn đề thời nhà Toán học muốn hướng đến Vì vậy, chọn việc nghiên cứu “Tính chất hyperbolic trường không Acsimet” làm đề tài Ở đây, sử dụng kết nghiên cứu đường cong chỉnh hình trường không Acsimet đa tạp xạ ảnh giới thiệu vài kết gần theo hướng nghiên cứu phương pháp Nevanlinna p-adic Các thành phần gồm lý thuyết Nevanlinna trường không Acsimet, hai định lý Nevanlinna đường cong chỉnh hình cách xây dựng dạng vi phân (tổng quát dạng vi phân tia) Luận văn chia làm chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày số định nghĩa sở giới thiệu vài định lý mở đầu Mục đích giúp người đọc có sở hiểu rõ cốt lõi luận văn phần sau Chương TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET Trình bày chứng minh định lý Picard trường không Acsimet cho đường cong phẳng trơn có giống bé 1; chứng minh đoán Kobayashi Zaidenberg; chứng minh bổ đề Schwarz trường không Acsimet cho trường hợp tích 1-dạng đối xứng dạng vi phân tia  với cực điểm lôgarit dọc theo đường cong Cuối cùng, ta kết thúc đoán Kobayashi Zaidenberg trường không Acsimet cho  Footer Page of 114 Header Page of 114 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic Ký hiệu , , ,  trường số phức, trường số thực, trường số hữu tỷ, vành số nguyên Nếu T tập  ta ký hiệu T+ = { x ∈ T : x ≥ 0} , T + ={ x ∈ T : x > 0} Cho K trường Với a, b ∈ K cho a ≤ b, ta ký hiệu [ a, b] = { x ∈ K : a ≤ x ≤ b} 1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.1.1 Định nghĩa Cho K trường, chuẩn (giá trị tuyệt đối) K : K → + thỏa mãn điều kiện sau: ∀x, y ∈ K , (1) x = ⇔ x = 0; (2) xy = x y ; (3) x + y ≤ x + y Nếu thay (3) điều kiện sau: (4) x + y ≤ max ( x , y ) thỏa mãn (1), (2), (4) gọi chuẩn không Acsimet Một chuẩn K cảm sinh hàm khoảng cách d định nghĩa bởi: d ( x, y ) =x − y , ∀x, y ∈ K Nếu chuẩn không Acsimet metric cảm sinh d thỏa: d ( x, y ) ≤ max {d ( x, z ), d ( z , y )} , ∀x, y, z ∈ K Footer Page of 114 Header Page of 114 Metric ứng với chuẩn không Acsimet gọi siêu metric metric không Acsimet 1.1.1.2 Ví dụ Chuẩn tầm thường K xác định 1 x ≠ x = 0 x = Chuẩn gọi trù mật tồn tại= K { x : x ∈ K} tập trù mật  + Giả sử trường K xác định metric d cảm sinh chuẩn không Acsimet Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng K sau: K ( x; r ) = { y ∈ K : d ( x, y ) < r } , K [ x; r ] = { y ∈ K : d ( x, y ) ≤ r} Tôpô sinh họ đĩa mở K ( x; r ) gọi tôpô không Acsimet K 1.1.2 Trường số phức p-adic Một ví dụ cho trường không Acsimet trường số phức p-adic Trong phần ta nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic  p với p số nguyên tố Cho số nguyên tố p, số nguyên a ≠ biểu diễn dạng a = p v a′, với p không chia hết a′ ∈  \ {0} Khi v ∈  cho a p Đặt v p (a ) = v Ta có hàm v p :  \ {0} →  Mở rộng hàm v p  sau: Với x= a ∈ , đặt b v p (a ) − v p (b) x ≠ v p ( x) =  x =0  +∞ Footer Page of 114 Header Page of 114 Khi v p ( x) hàm  Do đó, ta định nghĩa chuẩn p-adic, ký hiệu p ,  sau:  p − v p ( x ) x ≠ xp = x =  Hai chuẩn K gọi tương đương chúng cảm sinh tôpô K Định lý (Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường  tương đương với chuẩn p với p số nguyên tố p = ∞ (chuẩn ∞ giá trị tuyệt đối thông thường) Chứng minh: Trường hợp 1: Tồn số nguyên dương n cho n > Gọi n0 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn n0 > tồn số thực dương α thỏa mãn n0 = n0α Với số nguyên dương n viết dạng n = a0 + a1n0 + a2 n02 +  + as n0s ≤ < n0 , i = 0,1,, s as ≠ n0s +1 > n ≥ n0s a0 + a1 n0aaa + a2 n02 +  + as n0s n ≤ a0 + a1n0 + a2 n02 +  + as n0s = Vì < n0 , i = 0,1,, s nên ≤ Do n ≤ + n0α + n02α +  + n0sα= n0sα (1 + n0−α + n0−2α +  + n0− sα )   ≤ n ∑ α  i =0  n0  α ∞ i ( n ≥ n ) α i   Đặt ∑  α  = C (hằng số) n ≤ C.nα i =0  n0  ∞ Với N đủ lớn, thay n n N , ta có n ≤ N C nα Cho N → ∞ n ≤ nα Footer Page of 114 Header Page 10 of 114 Do n0s +1 − n ≤ ( n0s +1 − n ) α Ta có n0s +1= n0s +1 − n + n ≤ n + n0s +1 − n Suy n ≥ n0s +1 − n0s +1 − n ≥ n0( s +1)α + ( n0s +1 − n ) α α ( s +1)α Vì n ≥ n0 nên n ≥ n + (n s +1 − n= ) n s α ( s +1)α ( n s +1 = n0 s +1 ) α   1  1 + 1 −     n0     Vì n0s +1 > n ≥ n0s nên n ≥ C ′.nα Với N đủ lớn, thay n n N , ta có n ≥ N C ′.nα Cho N → ∞ n ≥ nα Vậy n = nα a Lấy x =∈ , a, b ∈ , b ≠ x= b a a a aa  a  a x x = = = =   ∞ b ba  b  Do tương đương ∞ Trường hợp 2: n ≤ với số nguyên dương n Gọi n0 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn n0 < n0 số nguyên tố n0= n1.n2 , n1 < n0 , n2 < n0 n1 < 1, n2 < = n0 n1 n2 < n0 (vô lý) Đặt p = n0 Lấy số nguyên tố q ≠ p Giả sử q < 1 Với M , N đủ lớn ta có p M < , q N < Vì ( p M , q N ) = nên tồn số 2 nguyên m, n cho mp M + nq N = Khi 1= =mp M + nq N ≤ m p M + n q N Vì m < 1, n < nên ≤ p M + q N < Vậy q = Footer Page 10 of 114 1 (vô lý) + = 2 33 Header Page 37 of 114 2.2.4 Định lý Cho D1 ,, Dn siêu mặt không suy biến  n ( K ) cắt ngang n Khi  n \  Di K − hyperbolic deg Di ≥ với ≤ i ≤ n i =1 Chứng minh: n Giả sử tồn ánh xạ chỉnh hình f : K → : \  Di Theo định lý 2.2.2, ảnh n i =1 f chứa đường cong bất khả quy C Khi f ánh xạ chỉnh { } { } n n hình từ K vào C \  Di Nếu C ∩  Di có hai điểm theo bổ đề i =1 i =1 n 2.1.4, f Ta phải xét C ∩  Di có điểm x i =1 Vì dim C + dim Di − n ≥ nên C ∩ Di ≠ ∅, ∀i n Điều xảy x ∈  Di C ∩ Di = i =1 { x} , ∀i Theo định lý Bezout, ta có = ( C , Di ) x deg C.deg Di ≥ deg Di ≥ 2, ∀i n Do đó, ΘC , x ∩ Θ Di , x  { x} , ∀i Vì  Θ Di , x = { x} nên C phải có hai i =1  → C phép chuẩn hóa C đường tiếp tuyến phân biệt điểm x Gọi π : C Khi # π −1 ( x) ≥ Nếu f : K → C \ { x} phép nâng f f : K → C  \ {π −1 ( x)} có chứa hai điểm Vì vậy, f f = π  f □ Tiếp theo, ta xét điều kiện để  bỏ đường cong xạ ảnh không suy biến K − hyperbolic Nhưng trước hết ta đưa vài trường hợp mà  bỏ đường cong xạ ảnh không suy biến không K − hyperbolic Footer Page 37 of 114 34 Header Page 38 of 114 2.2.5 Định nghĩa Cho D đường cong bậc d ≥  Một điểm x không điểm kì dị D gọi điểm uốn cực đại tồn đường thẳng giao với D x bội d 2.2.6 Bổ đề Cho D1 D2 đường cong xạ ảnh không suy biến  Giả sử D1 D2 cắt ngang deg D1 ≤ deg D2 Khi  \ { D1 ∪ D2 } không K − hyperbolic (i)= deg D1 1, deg D2 ≤ (ii) deg = D1 deg = D2 D1 , D2 tiếp xúc Chứng minh: Ta cần xây dựng ánh xạ chỉnh hình f : K → : \ { D1 ∪ D2 } khác nghĩa  \ { D1 ∪ D2 } không K − hyperbolic (i) Xét deg D1 deg D2 Sau biến đổi tuyến tính hệ tọa độ, ta giả sử = = = D1 X 0} {= = D2 X 0} {= Đặt f ( z ) = (1,1, z ) D = D= Nói 1( f ) 2( f ) cách khác, f : K → : \ { D1 ∪ D2 } ánh xạ chỉnh hình khác Xét= deg D1 1,= deg D2 Khi giao điểm D1 D2 chứa nhiều điểm phân biệt Nếu chứa điểm D1 tiếp xúc D2 điểm Sau đổi hệ tọa độ, ta giả sử = D1 X 0} {= D1 ∩ D2 = ( 0,0,1) Khi D2 xác định dạng {a0 X 02 + a1 X 12 + a2 X X + a3 X X = 0} Vì D2 không suy biến nên D2 bất khả quy Do đó, ta giả sử a1 ≠ a3 ≠ Không tính tổng quát, cho a3 = Đặt f ( z= ) (1, z,1 − a − a2 z − a1 z ) D = D= hay f : K → : \ { D1 ∪ D2 } ánh xạ chỉnh hình khác 1( f ) 2( f ) Footer Page 38 of 114 35 Header Page 39 of 114 Nếu D1 cắt D2 điểm D1 không tiếp tuyến D2 Ta giả sử ( 0,0,1) số giao điểm D1 D2 , { X = 0} đường tiếp tuyến D2 ( 0,0,1) Các lập luận trước xác định phương trình D2 a0 X 02 + a1 X 12 + a2 X X + X X = với a1 ≠ Vì ( 0,0,1) ∈ D1 nên D1 có phương trình b0 X + b1 X = Vì D1 không tiếp tuyến { X = 0} D2 nên b1 ≠ Giả sử b1 = Đặt f ( z ) = ( 0,1, z ) D1 ( f ) = D2 ( f = ) a1 ≠ (ii) Giả sử deg = D1 deg = D2 2; D1 , D2 tiếp xúc x = ( 0,0,1) = L X 0} đường tiếp tuyến chung {= D1 = D2 = {a X {b X D1 D2 x Khi + a1 X 12 + a2 X X + X X = 0} + b1 X 12 + b2 X X + X X = 0} với a1 ≠ 0, b1 ≠ Lấy f ( z ) = ( 0,1, z ) D1 ( f = ) a1 ≠ D2 ( f = ) b1 ≠ □ 2.2.7 Định lý Cho D1 D2 đường cong xạ ảnh không suy biến  Giả sử D1 D2 cắt ngang deg D1 ≤ deg D2 Khi  \ { D1 ∪ D2 } K − hyperbolic deg D1 ,deg D2 ≥ hoặc= deg D1 1, deg D2 ≥ D1 không giao với D2 điểm uốn cực đại Chứng minh: Phần thuận Nếu deg D1 , deg D2 ≥ theo định lý 2.2.4, ta có  \ { D1 ∪ D2 } K − hyperbolic Ta xét trường hợp= deg D1 1, deg D2 ≥ D1 không giao với D2 điểm uốn cực đại D2 Gọi f : K → : \ { D1 ∪ D2 } ánh xạ chỉnh hình Nếu f khác theo định lý 2.2.2, ảnh f chứa đường cong phẳng bất khả quy C Nói cách khác, ta có ánh xạ chỉnh hình Footer Page 39 of 114 36 Header Page 40 of 114 { } n f : K → C \ { D1 ∪ D2 } Theo bổ đề 2.1.4, C ∩  Di có điểm i =1 f phải { } n Giả sử C ∩  Di có điểm Nếu deg C ≥ theo định lý Bezout, ta i =1 có ( C , Di ) x = C.Di = deg C.deg Di ≥ deg C ≥ 2, i = 1,2 Khi lập luận chứng minh định lý 2.2.4 chứng tỏ f phải Nếu deg C = ( C , D2 ) x = deg D2 x ∈ D1 ∩ D2 Suy x điểm uốn cực đại D2 D1 cắt D2 x (trái với giả thiết) Do f phải Phần đảo Theo bổ đề 2.2.6,  \ { D1 ∪ D2 } không K − hyperbolic deg D1 1, deg D2 ≥ D1 deg D1 = deg D2 ≤ Do ta trường hợp= giao với D2 điểm uốn cực đại D2 Không tính tổng quát, ta lấy ( 0,0,1) điểm uốn cực đại D2 và= L X 0} {= tiếp tuyến D2 x = ( 0,0,1) Khi số bội giao L D2 x deg D2 Theo định lý Bezout, ta có L ∩ D2 = { x} Mặt khác, D1 D2 cắt ngang nên D1 ≠ L Theo lập luận bổ đề 2.2.6 D1 xác định bX + X Gọi f = ( 0,1, z ) : K → : D1 ( f ) = L chứa ảnh f Vì L ∩ D2 = ∅ { x} x = ( 0,0,1) ∉ f ( K ), f ( K ) ∩ D2 = nên  \ { D1 ∪ D2 } không K − hyperbolic □ Chú ý đường cong tổng quát D2 bậc thấp điểm uốn cực đại Nếu đường cong D2 có bậc có nhiều điểm uốn, ta chọn đường cong tổng quát D1 bậc thấp cho D1 không cắt D2 điểm uốn cực đại Do đó, điều kiện định lý thỏa mãn tất đường cong tổng quát Footer Page 40 of 114 37 Header Page 41 of 114 2.2.8 Hệ Cho D1 D2 đường cong tổng quát phân biệt  Nếu deg D1 + deg D2 ≥  \ { D1 ∪ D2 } K − hyperbolic 2.3 Bổ đề Schwartz trường không Acsimet 2.3.1 Trường hợp 1-dạng vi phân Bổ đề Schwartz bước tiêu chuẩn để chứng minh đa tạp hyperbolic Bổ đề công cụ mạnh trường hợp trường không Acsimet Nghĩa đường cong với 1-dạng quy đa tạp Abel hyperbolic trường không Acsimet Trước hết, ta đưa cách chứng minh cho trường hợp 1-dạng vi phân Cho X đường cong xạ ảnh trơn compact giả sử có 1-dạng quy toàn cục không tầm thường ω X , với tính chất địa phương lân cận affine đủ nhỏ U điểm trơn x thỏa mãn ω = a ( x)dx a ( x) hàm quy U Vì X xạ ảnh nên X chứa không gian xạ ảnh  n Với  n , ta phủ lân cận tọa độ Ui = {Zi ≠ 0} = {( z0 ,, zi−1 ,1, zi+1 ,, zn ) | z j ∈ K , j ≠ i} cầu đóng dạng z − a ≤ r r , a ∈U i với tọa độ Z i Mỗi cầu đóng gọi afinoit Khi tồn phủ hữu hạn  Hơn  X = {U ∩ X | U ∈  } tạo thành phủ afinoit X 2.3.1.1 Định lý (Bổ đề Schwarz) Cho X đường cong xạ ảnh không suy biến xác định ( K , ) Nếu X nhận 1-dạng quy toàn cục không tầm thường ω ω ( f , f ′) ≡ với ánh xạ chỉnh hình f : K → X Footer Page 41 of 114 Header Page 42 of 114 38 Chứng minh: Cho ω dạng vi phân quy X Chọn phủ mở affine hữu hạn  phủ X cho với điểm P ∈ X có tập mở V ∈  thỏa ω V = θ dφ θ , φ ∈X (V ), nghĩa hàm hữu tỷ X quy V Chọn afinoit U ∈  X cho U ∩ V ≠ ∅ Khi θ φ quy U ∩ V Với ánh xạ chỉnh hình f : K → X , ta có với f ( z ) ∈U ∩ V , = ω ( f ( z ), f ′( z ) ) θ= ( f ( z ) ) df ( f ( z ) ) θ ( f ( z ) ) (f ( f ( z ) ) )′ dz = θ ( f ( z ) )f ( f ( z ) ) (f ( f ( z ) ) )′ dz f ( f ( z)) Vì θ , φ quy U ∩ V U afinoit nên θ φ bị chặn U ∩ V Khi tồn số cU ∩V thỏa θ ( f ( z ) )f ( f ( z ) ) ≤ cU ∩V , với z , f ( z ) ∈U ∩ V Vì có hữu hạn U V nên tồn số c thỏa cU ∩V ≤ c với U V Mặt khác, theo bổ đề lôgarit ta có (f ( f ( z ) ) )′ f ( f ( z)) ≤ z Khi θ ( f ( z ) ) (f ( f ( z ) ) )′ ≤ c Vì f ánh xạ chỉnh hình xác định z K nên cách cho z → ∞ ta θ ( f ( z ) ) (f ( f ( z ) ) )′ ≡ Do đó, ω ( f , f ′) ≡ f ′ ≡ Vậy f □ Các lập luận trước thiết lập cho đa tạp xạ ảnh không suy biến nhận tích 1-dạng đối xứng bội m quy toàn cục không tầm thường, nghĩa H ( X ,  m T * X ) ≠ Ta có kết tương tự sau 2.3.1.2 Định lý Cho X đa tạp xạ ảnh không suy biến xác định ( K , ) Nếu X nhận tích 1-dạng đối xứng bội m quy toàn cục không tầm thường ω ta có Footer Page 42 of 114 39 Header Page 43 of 114 ω ( f , f ′) ≡ với ánh xạ chỉnh hình f : K → X 2.3.1.3 Định nghĩa Một bó vectơ quy  đa tạp xạ ảnh X có số chiều n gọi nối tiết diện quy toàn cục phân thớ x với điểm x∈ X 2.3.1.4 Định lý Cho X đa tạp xạ ảnh không suy biến ánh xạ chỉnh hình f : K → X Nếu  m T * X nối với số nguyên dương m f Chứng minh: Cho x1 ,, xn hệ tọa độ địa phương điểm P ∈ X Vì  m T * X nối, với số nguyên dương m nên tồn tích 1-dạng đối xứng bội m quy toàn cục ωi , ≤ i ≤ n cho ωi V = dxi⊗ s với V lân cận mở affine P The định lý 2.3.1.2, ta có ωi ( f , f ′) ≡ suy ( xi  f )′( z ) = với ≤ i ≤ n z thỏa f ( z ) = P Vì x1 ,, xn hệ tọa độ địa phương nên f ′( z ) = với z Do □ đó, f 2.3.1.5 Hệ Một đa tạp Abel A xác định trường K thuộc trường không Acsimet K − hyperbolic 2.3.2 Trường hợp tổng quát Cho X đa tạp trơn n chiều Ký hiệu J k X phân thớ tia thứ k X Các phân thớ xác định sau: Cho x , x ∈ X bó phôi { f : B(r ) → X đường cong chỉnh hình, = =x f (0) = x} B= (r ) {z p chỉnh hình với r > } < r đĩa bán kính r  p Với k ∈ , ta định nghĩa quan hệ tương đương cách gọi phần tử f , g ∈ x thuộc Footer Page 43 of 114 40 Header Page 44 of 114 lớp k − tương đương (kí hiệu f ~ k g ) f j( p ) (0) = g (j p ) (0) với ≤ p ≤ k f j = z j  f ; z1 ,, zn tọa độ chỉnh hình địa phương gần x f j( p ) = ∂ p f j / ∂ζ đạo hàm cấp p theo biến ζ ∈ p Bó k − tia tham số hóa xác định bởi: J k X =  =x / ~ k x∈X Các phần tử J k X kí hiệu j k f (0) = ( f (0), f ′(0),, f ( k ) (0) ) Đặt J X = X , J X = TX tổng quát J k X không tự địa phương với k ≥ Hơn nữa, có K * − tác động tự nhiên J k X xác định thông qua tham số hóa Với λ ∈* f ∈ x , ánh xạ f λ ∈ x xác định f λ (t ) = f (λt ) f (0), f ′ (0),, f (0) ) ( f (0), λ f ′(0),, λ (= Khi j k f λ (0) = λ λ (k ) λ k f ( k ) (0) ) Vì vậy, K * − tác động cho λ j k f (0) = ( f (0), λ f ′(0),, λ k f ( k ) (0) ) Chú ý J k X không phân thớ vectơ tiết diện không có nghĩa (nghĩa f (i ) (0) = 0, ∀i = 1,, k ) Với phân thớ tiếp xúc TX ta có đối ngẫu T * X = ΩX1 bó kết hợp với sơ bó = ΩU1 {ω : TX U } →  p chỉnh hình = ω ( λ j1 f ) λω ( j1 f ) , λ ∈ p Tương tự, ta định nghĩa với số nguyên dương m, k , bó phôi k − tia vi phân trọng số m, ký hiệu  mk X , bó kết hợp với sơ bó =  mkU {ω : J k X U } →  p chỉnh hình= ω ( λ j k f ) λ mω ( j k f ) , λ ∈ p Chú ý  11 X = T * X = ΩX1 Ta đặt  0m X = X với m Bây ta nhắc lại định nghĩa  mk X ( log D ) X đa tạp xạ ảnh không suy biến D ước hữu hiệu Ký hiệu  mk X ( lD ) bó k − tia vi phân Footer Page 44 of 114 41 Header Page 45 of 114 trọng số m với cực điểm cấp cao l dọc D  mk X ( log D ) bó ∞   mk X ( lD ) có tính chất địa phương lân cận mở U với φ hàm xác l =0 định D U , ta có φω φ dω quy U , ∀ω ∈ mk X ( log D ) Trong ứng dụng, ta thường yêu cầu D đường giao chuẩn tắc đơn nghĩa D chia thành tổng q thành phần bất khả quy không suy biến D = D1 +  + Dq điểm x thuộc giá D hàm xác định địa phương cho thành phần D giao với X coi phần hệ tọa độ địa phương x Ví dụ, X =  n D tổng q (≤ n) siêu mặt trơn bất khả quy vị trí tổng quát D ước giao chuẩn tắc đơn Bổ đề Schwarz trường không Acsimet cho  mk X ( log D ) kết luận tương tự trường hợp tích 1-dạng đối xứng Ta dựa vào [2] để có chứng minh đầy đủ 2.3.2.1 Bổ đề (Bổ đề Schwarz trường không Acsimet) Cho X đa tạp xạ ảnh f : K → X ánh xạ chỉnh hình Khi ω ( j k f ) ≡ với ω ∈ H ( X ,  mk X ) ω ∈ H ( X ,  mk X ( log D ) ) , D ước hữu hiệu với đường giao chuẩn tắc đơn 2.3.2.2 Hệ Cho X đa tạp xạ ảnh với m k đó, H ( X ,  mk X ) ≠ {0} ( tương ) ứng H ( X ,  mk X ( log D ) ) ≠ {0} Khi ảnh ánh xạ chỉnh hình f : K → X (tương ứng f : K → X \ D ) chứa đa tạp Y X có số chiều ngặt 2.3.2.3 Hệ Cho V siêu mặt bất khả quy  n có bậc thấp 2n Khi ảnh ánh xạ chỉnh hình f : K → : n \ V suy biến thật Footer Page 45 of 114 Header Page 46 of 114 42 Chứng minh: Giả sử ( Z ,, Z n ) hệ tọa độ xạ ảnh không gian xạ ảnh  n = xi Z i / Z , ≤ i ≤ n Gọi P ( Z ,, Z n ) phương trình xác định D Đặt ω= dx1  dxn ω cực điểm tập mở U = P (1, x1 ,, xn ) Nếu yi Z= = 0,, ˆj ,, n hệ tọa độ U =j i / Z j, j xi = {Z {Z ≠ 0} j ≠ 0} dx j dx dyi dy0 dy yi dẫn đến i = − = − , i ≠ j; , i ≠ j; x j = xi yi y0 xj y0 y0 y0 Do đó, ω= y y j +1 yn dy0  dyi dy0  y dx1 dxn y0deg P  j −1  ∏ −   y0 y0 y0 y0 y0 y0 i ≠ j  yi y0  x1 xn = − P (1, x1 ,, xn ) P ( y0 ,, y j −1 ,1, y j +1 ,, yn ) x1  xn cực điểm U j deg P ≥ 2n Do đó, ta kết luận H ( X ,  mk X ( log D ) ) không tầm thường kết hợp với hệ 2.3.2.2 suy f suy biến thật □ 2.3.2.4 Hệ Cho D đường cong phẳng tổng quát bậc thấp Khi  \ D K − hyperbolic Chứng minh: Cho D đường cong phẳng tổng quát bậc d ≥ f : K → : \ D ánh xạ chỉnh hình Khi ảnh f chứa đường cong bất khả quy C Theo kết Xu [22], C ∩ D có d − điểm phân biệt Do đó, ảnh f chứa C bỏ điểm Nhưng điều xảy f Footer Page 46 of 114 □ 43 Header Page 47 of 114 Chú ý theo hệ 2.2.8,  \ ( D1 ∪ D2 ) K − hyperbolic D1 q D2 đường cong tổng quát deg D1 + deg D2 ≥ Theo [1]  \  Di i =1 K − hyperbolic q ≥ D1 ,, Dq vị trí tổng quát Kết hợp với hệ q 2.3.2.4, ta có điều sau đây:  \  Di K − hyperbolic D1 ,, Dq i =1 đường cong tổng quát deg D1 +  + deg Dq ≥ Footer Page 47 of 114 44 Header Page 48 of 114 KẾT LUẬN Phần luận văn nghiên cứu tính chất hyperbolic trường không Acsimet nhằm hướng đến giải đoán Kobayashi n Zaidenberg, cụ thể xem xét điều kiện để  n \  Di K − hyperbolic, đặc biệt i =1 n = tính chất hyperbolic đường cong xạ ảnh không suy biến cho trường hợp tích 1-dạng đối xứng dạng vi phân tia Thông qua việc nghiên cứu tính chất hyperbolic giúp cải thiện số kết liên quan trình bày trước Kết nghiên cứu đề tài Qua việc nghiên cứu đề tài, ta nhận kết sau đây: n • Điều kiện cần để  n \  Di K − hyperbolic Cụ thể, i =1 n  n \  Di K − hyperbolic deg Di ≥ với ≤ i ≤ n i =1 với D1 ,, Dn siêu mặt khác  n ( K ) cắt ngang • Khi n = với kết cho ta  \ { D1 ∪ D2 } K − hyperbolic deg D1 ,deg D2 ≥ Ngoài ra, deg D1 = ta nhận  \ { D1 ∪ D2 } K − hyperbolic ⇔= deg D1 1, deg D2 ≥ D1 không giao D2 điểm uốn cực đại • X đường cong xạ ảnh không suy biến xác định ( K , ) nhận 1- dạng quy toàn cục không tầm thường ω X K − hyperbolic Từ đó, ta có đa tạp Abel A xác định trường K thuộc trường không Acsimet K − hyperbolic • Cải thiện kết liên quan [1], cụ thể Footer Page 48 of 114 45 Header Page 49 of 114 q  \  Di K − hyperbolic q ≥ D1 ,, Dq vị trí tổng quát i =1 q Ta chứng minh với q > tùy ý,  \  Di K − hyperbolic D1 ,, Dq i =1 đường cong tổng quát deg D1 +  + deg Dq ≥ Hạn chế đề tài Do thời gian nghiên cứu lực thân nên đề tài số hạn chế sau: • Chưa thực nghiên cứu chứng minh định lý liên quan đến lý thuyết Nevanlinna trường không Acsimet • Chưa phân tích cách chi tiết số chứng minh định lý hệ trình bày Hướng nghiên cứu Qua luận văn này, ta thiết lập số kết liên quan đến đoán Kobayashi Zaidenberg cho trường hợp q = n Như vậy, vài câu hỏi hướng đến sau: q q i =1 i =1 • Liệu tính chất hyperbolic  \  Di có tương tự  \  Di ? q • Với n ≥ q < n, ta có nhận xét tính hyperbolic  \  Di ? n i =1 Footer Page 49 of 114 46 Header Page 50 of 114 TÀI LIỆU THAM KHẢO An T T H., A defect relation for non-Archimedean analytic curves in arbitrary projective varieties, to appear by Proceeding A.M.S An T T H., J T.-Y Wang and P.-M Wong, On p-adic hyperbolicity, preprint An T T H., J T.-Y Wang and P.-M Wong, Non-archimedean analytic curves in the complements of divisors, preprint Babets V A (1984), Picard-type theorems for holomorphic mappings, Siberian Math J 25, 195–200 Berkovich V (1990), Spectral theory and analytic geometry over nonarchimedean fields, AMS survey and monographs 33, Amer Math Soc Cherry W (1994), Non-archimedean analytic curves in abelian varieties Math Ann 300, 393–404 Cherry W and Ru M (2004), Rigid Analytic Picard Theorems, Amer J Math 126, 873-889 Cherry W and Wang J T.-Y (2002), Non-archimedean analytic maps to algebraic curves, Comtemp Math 303, Amer Math Soc., Providence, RI, 7-36 Cherry W and Ye Z (1997), Non-Archimedean Nevanllina theory in several variables and non-Archimedean Nevanllina inverse problem, Trans Amer Math Soc 349, 5037-5071 10 Dethloff G., Schumacher G and Wong P.-M (1995), Hyperbolicity of the complements of plane algebraic curves Amer J Math 117, no 3, 573-599 11 Dethloff G., Schumacher G and Wong P.-M (1995), On the hyperbolicity of the complements of curves in algebraic surfaces: the three-component case Duke Math J 78, no 1, 193–212 Footer Page 50 of 114 Header Page 51 of 114 47 12 Eremenko A E and Sodin M L (1992), The value distribution of meromorphic functions and meromorphic curves from the point of view of potential theory St Petersburg Math J 3, 109–136 13 Fulton W (2008), Algebraic curves An Introduction to Algebraic Geometry January 28 14 Green M.L (1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties Amer J Math 97, 43–75 15 Green M.L (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n + hyperplanes in general position in  n and related results Proc Amer Math Soc 66, no 1, 109–113 16 Hu P.-C and Yang C.-C (2000), Meromorphic functions over nonArchimedean fields Mathematics and its applications 522, Kluwer Academic Publishers 17 Kobayashi S (2002), Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, Inc., New York 1970 ix+148 pp 18 Noguchi J and Winkelmann J., Holomorphic curves and integral points off divisors Math Z 239, no 3, 593–610 19 Ru M (1993), Integral points and hyperbolicity of the complement of hypersurfaces J Reine Angew Math 442, 163–176 20 Ru M (2001), A note on p-adic Nevanlinna theory Proc Amer Math Soc 129, 1263-1269 21 Siu Y.T and Yeung S.K (1996), A generalized Bloch’s theorem and the hyperbolicity of the complement of an ample divisor in an abelian variety Math Ann 306, 743–758 22 Xu G (1996), On the complement of a generic curve in the projective plane Amer J Math 118, no 3, 611–620 23 Zaidenberg M (1989), Stability of hyperbolic embeddedness and construction of examples Math USSR-Sb 63, 351–361 Footer Page 51 of 114 ... với trường số phức, việc nghiên cứu toán hyperbolic trường không Acsimet dễ nhiều Ví dụ hàm nguyên trường không Acsimet không điểm nghĩa 1 {0,∞} hyperbolic Định lý Picard trường không Acsimet. .. of 114 Chương TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 2.1 Định lý Picard cho đường cong đại số trường không Acsimet Trong phần này, ta bàn luận định lý tương tự trường không Acsimet định... hình trường không Acsimet 15 1.5 Lý thuyết Nevanlinna đường cong đại số 24 Chương TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 27 2.1 Định lý Picard cho đường cong đại số trường