Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH GIẢ SƠN ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH GIẢ SƠN ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Một số ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số 1.2 Đường cong phẳng 5 Đa thức cho họ hàm phân hình phức12 2.1 Các điểm kỳ dị đường cong phẳng 12 2.2 Đa thức cho họ hàm phân hình phức 17 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 MỘT SỐ KÝ HIỆU C : Trường số phức k : Trường An (k) : Không gian afin n chiều trường k Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trường k k[x1 , , xn ] : Vành đa thức n biến trường k V (S) : Tập nghiệm hệ đa thức S ∅ : Tập rỗng A ⊂ B : A tập B A ⊂ B : A không tập B A ∪ B : A hợp B I(X) : Iđêan X M(C) : Tập hàm phân hình C MỞ ĐẦU Thời gian gần đây, vấn đề nghiên cứu đa thức thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Việc nghiên cứu đa thức có liên quan chặt chẽ với việc nghiên cứu tập xác định Rất nhiều tác giả đưa điều kiện để đa thức đa thức cho họ đa thức phức, họ hàm nguyên, họ hàm hữu tỷ Chúng ta kể đến công trình tác giả Boutabaa, Escassut, Haddad, Cherry, Yang, Voloch, Fujimoto Theo hướng nghiên cứu này, [2], tác giả T.T.H.An J.T.Y.Wang đưa điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hình phức Trong luận văn này, tập trung tìm hiểu trình bày cách chi tiết kết báo [2] T.T.H.An J.T.Y.Wang Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung chương Chương Đa thức cho họ hàm phân hình phức Chương nội dung luận văn Trong chương trình bày điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình F (X, Y ) = P (X) − P (Y ) =0 X −Y P đa thức biến trường số phức C thỏa mãn Giả thiết I Fujimoto Đồng thời, trình bày điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hình phức Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Ngọc Diệp, người tận tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy, cô giáo, người trực tiếp giảng dạy thời gian tác giả học trường Đại Học Vinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, giúp đỡ tác giả học tập sống Cuối tác giả mong nhận góp ý chân tình thầy giáo, cô giáo bạn Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung chương Ngoài trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Các khái niệm tính chất chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [7] 1.1 Đa tạp đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho k trường tùy ý F (x1 , x2 , , xn ) ∈ k[x1 , x2 , , xn ] Một điểm P = (a1 , a2 , , an ) ∈ An (k) gọi không điểm F F (P ) = F (a1 , a2 , , an ) = Nếu F không hằng, tập không điểm F gọi siêu mặt xác định F , ký hiệu V (F ) Một siêu mặt A2 (k) gọi đường cong phẳng 1.1.2 Định nghĩa Nếu S tập hợp đa thức k[x1 , x2 , , xn ], V (S) = {P ∈ An (k) | F (P ) = với F ∈ S} gọi tập đại số An (k) 1.1.3 Ví dụ (1) Tập rỗng ∅ tập đại số tập nghiệm phương trình f = với f ∈ k , f = 6 (2) Một điểm a = (a1 , a2 , , an ) không gian An (k) tập đại số tập nghiệm hệ phương trình    x − a1 = x − a2 =   x −a =0 n n hay (a1 , a2 , , an ) = V (x1 − a1 , x2 − a2 , , xn − an ) (3) Tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi đa tạp tuyến tính (4) An (k) tập đại số An (k) tập nghiệm phương trình = 1.1.4 Nhận xét (1) Cho S1 , S2 hệ đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Nếu S2 ⊆ S1 V (S1 ) ⊆ V (S2 ) (2) Hợp hai tập đại số tập đại số Nghĩa là: Cho S1 , S2 hệ đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Khi V (S1 ) ∪ V (S2 ) = V (S) với S = {f g | f ∈ S1 , g ∈ S2 } (3) Giao họ tùy ý tập đại số tập đại số Nghĩa là: Cho {Si } họ hệ đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Khi ∩V (Si ) = V (∪Si ) Do hợp hai tập đại số tập đại số, giao họ tùy ý tập đại số tập đại số, tập rỗng toàn không gian An (k) tập đại số nên ta trang bị tôpô gọi tôpô Zariski An (k) cách coi tập đại số tập đóng 7 1.1.5 Định nghĩa (1) Một tập đại số V ⊂ An (k) gọi khả quy V = V1 ∪ V2 , V1 , V2 tập đại số An (k) Vi = V, i = 1, Ngược lại, V gọi bất khả quy (2) Một tập đại số bất khả quy An (k) gọi đa tạp affin (3) Một tập mở đa tạp affin gọi đa tạp tựa affin 1.1.6 Định lý Giả sử V tập đại số An (k) Khi đó, tồn tập đại số bất khả quy V1 , V2 , , Vm cho V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm Vi ⊂ Vj với i = j Các Vi gọi thành phần bất khả quy V ; V = V1 ∪V2 ∪ .∪Vm phân tích V thành thành phần bất khả quy 1.1.7 Nhận xét Với tập X An (k), I(X) = {F ∈ k[x1 , , xn ] | F (a1 , , an ) = với (a1 , , an ) ∈ X} iđêan k[x1 , , xn ] 1.1.8 Định nghĩa I(X) gọi iđêan X 1.1.9 Định lý Với tập đại số X ⊂ An (k), ta có V (I(X)) = X 1.1.10 Mệnh đề Một tập đại số X ⊂ An (k) đa tạp affin iđêan I(X) ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan nguyên tố 1.1.11 Định nghĩa Một đa thức f gọi đa thức tất đơn thức có bậc 1.1.12 Định nghĩa (1) Với tập S không rỗng gồm đa thức k[x1 , x2 , , xn+1 ] V (S) = {P ∈ Pn (k) | F (P ) = với F ∈ S} gọi tập đại số xạ ảnh Pn (k) 8 (2) Một tập đại số V ⊂ Pn (k) gọi bất khả quy không hợp hai tập đại số bé thực (3) Một tập đại số bất khả quy Pn (k) gọi đa tạp xạ ảnh (4) Một tập mở đa tạp xạ ảnh gọi đa tạp tựa xạ ảnh 9 1.2 Đường cong phẳng Đường cong phẳng C A2 (k) xác định đa thức F (x, y) C = {(x, y) ∈ A2 (k) | F (x, y) = 0} Đường cong C bất khả quy F (x, y) bất khả quy Bậc đường cong bậc đa thức xác định đường cong Giả sử F = Fiei Fi nhân tử bất khả quy F ei ≥ Ta nói Fi thành phần F ei bội thành phần Fi Ta nói Fi thành phần đơn ei = 1, thành phần bội ei > Vì vành đa thức k[x, y] vành Gauss nên đa thức F (x, y) ∈ k[x, y] có phân tích thành nhân tử bất khả quy F = F1 m1 F2 m2 Fr mr với F1 , F2 , , Fr đa thức bất khả quy phân biệt m1 , m2 , , mr số tự nhiên Ký hiệu Ci = {(x, y) ∈ A2 (k) | Fi (x, y) = 0} , i = 1, 2, , r, Ci , i = 1, 2, , r, thành phần bất khả quy C C có phân tích thành thành phần bất khả quy C = C1 ∪ C2 ∪ ∪ Cr Giả sử F (x, y) đa thức bậc n vành đa thức k[x, y] Đặt x y Fˆ (x, y, z) := z n F ( , ) z z Khi đó, Fˆ (x, y, z) đa thức bậc n thuộc k[x, y, z] gọi hóa đa thức F (x, y) Ta gọi đường cong Cˆ := {(x : y : z) ∈ P2 (k) | Fˆ (x, y, z) = 0} 10 đường cong xạ ảnh tương ứng đường cong C Ta nhận thấy (x, y) ∈ C (x, y, 1) ∈ Cˆ , C bất khả quy Cˆ bất khả quy Nếu C có phân tích thành thành phần bất khả quy C = C1 ∪ C2 ∪ ∪ Cr Cˆ có phân tích thành thành phần bất khả quy tương ứng Cˆ = Cˆ1 ∪ Cˆ2 ∪ ∪ Cˆr 1.2.1 Định nghĩa Cho đường cong phẳng C A2 (k) xác định phương trình F (x, y) = 0, P (a, b) ∈ C P gọi điểm đơn C ∂F ∂F (P ) = (P ) = Trong trường hợp đường ∂x ∂y ∂F ∂x (x − a) + P ∂F ∂y (y − b) = P gọi đường tiếp tuyến với C P Một điểm điểm đơn gọi điểm kỳ dị Đường cong gọi trơn điểm đường cong điểm đơn 1.2.2 Định nghĩa Cho đường cong phẳng C A2 (k) xác định đa thức F (x, y), P = (0, 0) Ta viết F = Fm + Fm+1 + + Fn Fi đa thức bậc i k[x, y], Fm = Ta gọi m số bội C P = (0, 0) viết m = mP (F ) = mP (C) Vì Fm đa thức hai biến trường đóng đại số nên ta viết Fm = Lri i Li nhân tử tuyến tính Các Li gọi đường tiếp tuyến C P = (0, 0), ri gọi số bội tiếp tuyến Li gọi tiếp tuyến đơn (tương ứng kép, ) ri = (tương ứng 2, ) Nếu C có m tiếp tuyến đơn phân biệt P ta nói P điểm kỳ dị tắc C 11 Giả sử F = mP (F ) = Fiei phân tích F thành thành phần bất khả quy Khi ei mP (Fi ); L đường tiếp tuyến Fi với số bội ri L tiếp tuyến F với số bội e i ri 1.2.3 Chú ý Để mở rộng định nghĩa cho điểm P = (a, b) = (0, 0), ta thực phép tịnh tiến T (x, y) = (x + a, y + b) biến (0, 0) thành P Khi F T = F (x + a, y + b) Ta định nghĩa mP (F ) m(0,0) (F T ) 1.2.4 Định lý ( Định lý Bezout ) Cho H G đường cong phẳng xạ ảnh có bậc tương ứng m n Giả sử H G thành phần chung Khi đó, I(P, H ∩ G) = m.n P 12 CHƯƠNG ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Trong chương này, tìm hiểu điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình F (X, Y ) = P (X) − P (Y ) =0 X −Y P đa thức biến trường số phức C thỏa mãn Giả thiết I Fujimoto Đồng thời trình bày điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hình phức 2.1 Các điểm kỳ dị đường cong phẳng Trong suốt toàn chương này, ta luôn giả sử P (X) đa thức biến trường số phức C có bậc n Ta ký hiệu hệ số P sau: P (X) = a0 + a1 X + + an X n , ∈ C, an = Ký hiệu α1 , α2 , , αl nghiệm phân biệt P (X) m1 , m2 , , ml bội nghiệm P (X) Khi đó, với λ C, ta có P (X) = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 (X − αl )ml 13 Ta đặt P (X) − P (Y ) X −Y Trong mục này, trình bày điểm kỳ dị đường cong F (X, Y ) = xác định phương trình F (x, y) = 0, thiết lập kết cần cho việc chứng minh mục sau 2.1.1 Định nghĩa Đa thức P (X) gọi thỏa mãn Giả thiết I P (αi ) = P (αj ) với i = j, i, j = 1, 2, , l, hay nói cách khác, P đơn ánh tập không điểm đạo hàm bậc P 2.1.2 Mệnh đề Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I Khi tập hợp điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình F (X, Y ) = {(x, x) | x nghiệm bội phương trình P (X) = 0} Hơn nữa, điểm kỳ dị (x, x) đường cong phẳng xác định phương trình F (X, Y ) = điểm kỳ dị tắc với số bội số bội x P (X) Chứng minh Ta có (X − Y )P (X) − (P (X) − P (Y )) ∂F = , ∂X (X − Y )2 ∂F −(X − Y )P (Y ) + (P (X) − P (Y )) = ∂Y (X − Y )2 Điểm (x, y) với x = y thuộc đường cong phẳng xác định phương trình F (X, Y ) = P (x) = P (y), (x, y) điểm kỳ dị P (x) = P (y) = Do đó, với P (X) thỏa mãn Giả thiết I điểm (x, y) với x = y không điểm kỳ dị Điểm (x, x) thuộc đường cong phẳng xác định phương trình F (X, Y ) = P (x) = Nếu (x, x) thuộc đường cong phẳng xác định 14 phương trình F (X, Y ) = 0, ta giả thiết x = P (0) = sau thay đổi biến Khi F (X, Y ) = am+1 (X m + X m−1 Y + + XY m−1 + Y m )+ am+2 (X m+1 + X m Y + + XY m + Y m+1 ) + , am+1 = X m + X m−1 Y + + XY m−1 + Y m phân tích thành m nhân tử tuyến tính Điều chứng tỏ (0, 0) điểm kì dị tắc 2.1.3 Mệnh đề Cho số nguyên d > 0, ei ≥ h (d − 1)(d − 2) = ei (ei − 1) + 2g, i=1 g ≤ Nếu h ≥ h ei ≥ d + h − i=1 trừ d = 4, e1 = e2 = 2, d = 5, e1 = 3, e2 = Hơn nữa, h = d = 1, Nếu h = g = 1; g = e1 = d−1; g = d = 4, e1 = Chứng minh Ta có h h ei (ei − 1) = i=1 ei i=1 h − ei − i=1 ei ej 1≤i[...]... cần và đủ để đa thức một biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức Ký hiệu M(C) là tập các hàm phân hình trên C và F là tập con không rỗng của M(C) 2.2.1 Định nghĩa Đa thức một biến P trên trường số phức C được gọi là đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn P (f ) = P (g) thì f = g 2.2.2 Định nghĩa Cho Q(X, Y ) là đa thức hai biến... đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức một biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức 2.2.3 Định lý Cho P (X) là đa thức một biến bậc n trên trường số phức C và P (X) = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 (X − αl )ml , trong đó λ là hằng số khác 0 Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I Khi đó P (X) là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức khi và chỉ khi l ≥ 3, trừ khi... cần và đủ để đa thức một biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức 2.1 Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng Trong suốt toàn bộ chương này, ta luôn luôn giả sử rằng P (X) là đa thức một biến trên trường số phức C có bậc là n Ta ký hiệu các hệ số của P như sau: P (X) = a0 + a1 X + + an X n , trong đó ai ∈ C, an = 0 Ký hiệu α1 , α2 , , αl là các nghiệm phân biệt của... đã tập trung tìm hiểu và trình bày một cách chi tiết các kết quả chính sau: (1) Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) = P (X) − P (Y ) =0 X −Y trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa mãn Giả thiết I (2) Điều kiện cần và đủ để đa thức một biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt... lý Bezout ) Cho H và G là các đường cong phẳng xạ ảnh có bậc tương ứng là m và n Giả sử H và G không có thành phần chung Khi đó, I(P, H ∩ G) = m.n P 12 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về các điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) = P (X) − P (Y ) =0 X −Y trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa... cong C đều có giống ít nhất bằng 2 Do đó, phương trình F (X, Y ) = P (X) − P (Y ) =0 X −Y có nghiệm hàm phân hình khác hằng khi và chỉ khi đường cong xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 Vì vậy, đa thức P (X) không là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức khi và chỉ khi đường cong xác định bởi phương trình F (X, Y ) = P (X) − P (Y ) =0 X −Y 20 có... vành Gauss nên mọi đa thức F (x, y) ∈ k[x, y] đều có phân tích duy nhất thành nhân tử bất khả quy F = F1 m1 F2 m2 Fr mr với F1 , F2 , , Fr là các đa thức bất khả quy phân biệt và m1 , m2 , , mr là các số tự nhiên Ký hiệu Ci = {(x, y) ∈ A2 (k) | Fi (x, y) = 0} , i = 1, 2, , r, khi đó Ci , i = 1, 2, , r, là các thành phần bất khả quy của C và C có sự phân tích thành các thành phần bất... nghĩa Cho đường cong phẳng C trong A2 (k) xác định bởi đa thức F (x, y), P = (0, 0) Ta viết F = Fm + Fm+1 + + Fn trong đó Fi là đa thức thuần nhất bậc i trong k[x, y], Fm = 0 Ta gọi m là số bội của C tại P = (0, 0) và viết m = mP (F ) = mP (C) Vì Fm là đa thức thuần nhất hai biến trên trường đóng đại số nên ta có thể viết Fm = Lri i trong đó Li là các nhân tử tuyến tính Các Li được gọi là các đường... đẳng thức trong khẳng định Do đó, ta chỉ còn xem xét trường hợp e1 + e2 = d Khi đó (d − 1)(d − 2) = e1 (e1 − 1) + e2 (e2 − 1) + 2g = d2 − 2e1 e2 − d + 2g Điều này dẫn đến e1 e2 = d + g − 1 Vì e1 ≥ e2 ≥ 2, ta có e1 ≤ d+g−1 2 Nếu g = 1, thì e1 = e2 = 2 và d = 4 Nếu g = 2, thì e1 = Vì d+1 2 d−1 2 d+1 d−1 và e2 = 2 2 = d + 1, nên d = 5, e1 = 3, e2 = 2 17 Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức. .. khả quy của C và C có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy C = C1 ∪ C2 ∪ ∪ Cr Giả sử F (x, y) là đa thức bậc n của vành đa thức k[x, y] Đặt x y Fˆ (x, y, z) := z n F ( , ) z z Khi đó, Fˆ (x, y, z) là đa thức thuần nhất bậc n thuộc k[x, y, z] và được gọi là sự thuần nhất hóa của đa thức F (x, y) Ta gọi đường cong Cˆ := {(x : y : z) ∈ P2 (k) | Fˆ (x, y, z) = 0} 10 là đường cong xạ ảnh tương ... e2 = 17 Đa thức cho họ hàm phân hình phức 2.2 Trong mục này, tìm hiểu điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hình phức Ký hiệu M(C) tập hàm phân hình C F tập... ) =0 X −Y P đa thức biến trường số phức C thỏa mãn Giả thiết I Fujimoto Đồng thời trình bày điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hình phức 2.1 Các điểm kỳ... nghĩa Đa thức biến P trường số phức C gọi đa thức cho họ hàm F với hàm khác f, g ∈ F thỏa mãn P (f ) = P (g) f = g 2.2.2 Định nghĩa Cho Q(X, Y ) đa thức hai biến trường số phức C Q(X, Y, Z) đa thức